장음표시 사용
491쪽
pentagoni a ilateri, aDianguli. Ex quosequitur, totum peruagonum esse aquiangulum. Si enim compleamr, ast ton cipiatur esse eompletum, hoe es,supeν F, G. cogitentur des ipsa duo alia latera, radent ea necessario inptinctum Η.ALoquin , se supra Η, aut infra monuenirem, essent ea urima, rora, τ et minora rectis FH, Iti,it constat, si iangula es, μό- tendereti bos F G r atqtie ideireo aliis Iuteχώ- FA, A B, BG, aDalia non forent. quod est abseruum. Penu agontim e
ΡROBE ret. PROPOS. I 2. CIRCA datum circulum, pentago
num aequilaterum,& aequi angulum describere.
sIT circa datum circulum ABCDE,
describendum pentagonum arqDilate reum,& iquiangulum. Inscribatur in eo pentagonum aequi laterum & aequiangulum ABCDE, & ex centro F , ducantur re FA, FB, FC, FD. FE. ad quas ducantur perpendiculares GH, HI AK,KL, LG, coeuntes in G,H. I. Κ, L. Cum enim anguli GAE. GEA , duobus
snt rectis minores,partes nimirum angulorum rectorum yAG FEG; e eoibunt re AG. EG, ad partes G, & scde alijs. Et quia ipsae tangunt circulum, per toroll. propos. 16. lib. 3.crit descriptum pentagonum GAIKL, et ca circulum;quod dicci esse sequitatorum atque aequiangulum.Ducti enim rectis FG,FΗ pLFΚ,FL;erunt qua orato rectae F H, aequalia tam quadrata rectarum F AAH, quam rectarum FB, BH Quare quadrata rectarum FA,AH aequalia erunt quadratis rectaru fB,BH. Dei ptis igitur quadratis aequalibtis rectarum aequalium F A. FB,remanebunt quadrata rectarum AH, B H, aequalia; ideoque & rectae AH , BH, aequales erunt. Quoὰ etiam constat ar ri .
492쪽
constat ex corolL2.propos 3 i. luγ: 3 cum AH, B H. ex eodem puncto H. ducantur circulum tangentes in A,& B. Quoniam
ergo latera AF, FH , trianguli AI Η, aequalia sunt lateribus BF, FH, trianguli BFH. Est autem & basi; AII. bas ΒΗ, aequalis , ut ostensum est Θ erunt anguli A s H , B F Η, aequales . Igitur h&anguli AH F, BHF . Duplus igitur est angulus AFB , angu i BF H;& angulus AHB, anguli BHF.Eodem modo ostendemus angulum B FC, duplum esse anguli BFI,& angulum BIC, anguli BI F. Cum igitur c anguli AFB, BFC, sint aequales, quod insistant circumscrenti)s AB , BC, d quid aequales sunt, cum a rectis aequalibus subtendantur AB, BC,erunt & dimidij eorum B p H, B FI, aequales. Quocirca cum duo anguli B F Η, HBF,trianguli BFH,aequales sint duobus angulis B FI, Ips, trianguli IFB,& latus illis adiacens commune BFὴς crunt de latera BH, BI,xqualia,& anguli B H F , BI F.
aequales . Dupla est ergo recta H I, rectae HB. Eademque ratione ostendemus G H. rectam duplam esse rectae HA. Sunt autem ostense aquales HB, HA . Igitur & earum duplae III, HG, equales erunt. similiter demonstrabimus, rectas IX, Κ L, LG, aequales esse cuilibet rectarum HI PIG. Aequi laterum er o est pentagonum GHIKL. Rursus quoniam ostensum est,angulos BEF,BIF, aequales esse , ac semisses angulorum B H A , BIC ; erunt &eorum dupli BHA,BIC, aequales .Eademque ratione anguli I . Κ LG, I GH, aequales runt cuilibet angulorum BII A. BIC . Acquiangulum igitur est pentagonum GHIT L. Quapropter cum&sequi laterum sit ostensum , descriptum erit circa datum Circulum , pentagonum, qui laterum, & atqui angulum . Quod efffcien
493쪽
φ y. primi, metrorum ex centro ad angulos duciarum excitentur
linea perpendiculares has perpendiculares constitu re aliam figuram totidem laterum, es angulorum circulo circumscriptam. Eadem enim semper ratione demonstrabitur, ilias perpendiculares concurrere, angulosis conficere aequales , si nimirum ab isiis ad centrum ducantur rectae, ut in pentagono facitam
est: qua quidem ipsos angulos bifariam secabunt; quemadmodum in pentagono hic probatum est, o c.
PROBL. 13. PROPOS. I S.IN dato pentagono aequilatero & aequi angulo circulum inscribere .
SIT inscribon tu; circulus in clato A pentagono A BCDE. a Dividantur duo eius anguli B A E. A B C, proximi bifariam rcetis AF,BF,que coeant in F.Cum Cenim anguli B A F , A B F , sint minores lduobus rectis Nam qu a anguluq BAE. Q L Dduobus rectis minor eat , erit eius semissis , nimirum angulus BAF, recto minor . Eodemque modo ABF, minor erit recto ,9 b coibut necusario re AF, BF:atque adeo intra pentagonum . Nam si ducerentur rectae AC, AD, quas tamen ducendas non censuimus, ne multitudo linearum confusionem pareret. Quilibet si vult, poterit eas ducere,vel saltem punctis notare. ς escnt ista inter se aequales, angulique BAC , E A D, aequales etiam , propterea quod latera BA, BC, lateribus ΕΑ,ED,aequa lia sunt, aequalesque continent angulos B. E. Hisce ergo angulis ablatis ex angulis aeuualibuq BAR EAF, reliquiessent aequales anguli CAF, DA F. Quare recta AF, diui dens in Isoscete ACD,angulum C AD bifariam secabit producta basta CD, bifariam ex scholio propos. 26. lib. I. Non aliter demonstrabitur, ructam B F , productam
494쪽
secare bisariam rectam D E . Quocirca G, Θ necesse est,duas rectas AF, BF, se mutuo
intra pentagonum secare,priusquam re- CD, DE, occurrant. Connectantur
. ex constructione, & anguli ipus contenti aequales ABF, ' 6, primi. a erunt bases AF, CF.& anguli B AF, BCF, aequa lex . Cum igitur anguli BAE, BCD, ponantur aequales,& B AF dimidium sit anguli BRE, per constructionem; erit & BCF,dimidium anguli BCD.Diuisus est ergo angulus BCD, bifariam . Simili modo ostendemus, reliquos duos angulos CDE, DEA . diuisos esse bifariam. Ducantur iam ex F,ad singula Pentagoni latera perpendiculares FG FH, FI, FR, FL. Quoniam igitur duo a
guli pGA FAG, trianguli F A G. aequales sunt duobus angulis FLA , FAL, trianguli F A L s, estque latus A F,
hu Aprimi. sustensum uni aequalium angulorum, commune; erunt& rectae FG, FL, aequales . Similiterque Ostendentur reliquae perpendicularcs FH, FI,FΚ, aequales cuilibet istarum. Circulus igitur descriptus ex centro F,&interuat
lo FG,transibit per puncta quoque Η, Ι, Κ, L. Quoniami vero latera pentagoni circulum hunc tangunt, per c r-roll. propos 16 lih 3 eo quod angulos rectos faciant cusemidiametris FG, FbH, &c. erit circulus in dato penta gono inscriptus . Quod faciendum erat .
495쪽
ΡROB L. Iq. PROPOS. Iq. CIRCA datum pentagonum aequi laterum, & aequiangulum circulum describere.
SIT circa pentagonum ABCDE. aequi- laterum , & aequiangulum, circulus descri-hedus.Diuisis duobus angulis BAE, AB C. 'bifariam rectis A F, B F, quae coeant in F, intra pentagonum, ut in antecedente propos demonstratum est ; & coniunctis rectis FC, FD, FE, Ostendumus, ut in praecedenti problemate, reliquos etiaangulos BCD, CDE DEA, sectos esse bifariam . Erunt erSO Omnes anguli dimidia inter se aequales , quod totianguli aequales ponantur. Quoniam igitur in triangulo AFB,duo anguli aequales sunt FAB. FBA erunt rectieFA, FB,aequares. Eademque ratione erunt reliquae F C, FD, FE cuilibet istarum aequales.Quare circulus descriaptus ex centro F,interuallo autem FA , transibit quoque per puncta B , C, D, E. Circa datum erSC pentagonum. . Quod faciendum erat s CHOLIUM . EODEM Dorsus arti is eirea quamlibet figuram aquilateram aqui angulam ci, cuilum describemtis Sem per enim o endemus, divisis duobus angu is proesimis bifariam, rectas ex ptincto contur a mearum angulum di idem titim ad angulos figura ductas , mre 2 esse ἀquales r Me propterea ptinorum i u concursis centrum esse circusi esν -- scribendi . q.
PROBL. 13. PROPOS. I S.IN dato circulo, heYagonum & aequ1Iaterum, & aequiangulum inscribere.
496쪽
SI T in dato circulo ABC DEF, cuius
centru G,inscribcndum hexagonu equilateru,S aequiangulu. Ducta diametro AD, describatur circulus ex centro D, interuallo vero DG qui secet circulu datum in puctis C.& Ε, e quibus per centrum G, rectae extendantur CF, EB. Si igitur ccinnectan
tur rectae AB, BC, CD, DE, EF, FA. inscriptum crit in dato circulo hexagonum ABCDEF; quod dico esse& aequilaterum, & aequiangulum . Cum enim recta GC, aequalis fit rectae GD,& rccta DC , aequalis eidem rectae D G, ex definitione circuli; erunt & rectae G C , D C,
aequales inter se : Ideoque triangulum CD G, erit aequila Leriam. Quare a tres anguli CGD,GDC; DCG, aequa los inter se erunt: qui cum di aequales sint duobus rectis, erit quilibet illorum , nempe CGD, tertia pars duorum rectorum . Eodem modo erit angulus DGE, tertia pars duorum rectorum .sunt autem tres anguli CGD, DGE, EGF, e aequales duobus rectis . Reliquus agitur angulus E G F s tertia quoque pars erit duorum rectorum Sunt
ergo tres anguli CGD , DGE , EGF, inter se aequales; quibus cum etiam 4 aequales sint ad vertice anguli FGA, RGB, BGC ; erunt sex anguli ad centrum G , aequales.. Qupro circumfercntiae, quibus insistunt , iac propterea rectae AB,BC, CD, DE,EF, FA,aequales erunt. Quapropter aequilaterum est hexagonum ABCDEF. Rursus quia eircumferentia B C, aequalis est circumserentiae AF ; s addatur communis CDEF, erunt circumferentqBCDEF, AFEDC, aequales Anguli igitur ipsis imsstentes BAF, ABC, b mquales crunt. Similiterque ostem demus , reliquos angulos BCD , CDE , DEF, EFA, aequales osse cuilibet istorum , quia nimirum quilibet insistit arcui composito ex quatuor arcubus aequalibus, nimirum ex tot, quot latera continet figura in scripta, demptis duobus . Ex quo fit, angulos omnes aequalibus arcubus insistore. Quare aequi angulum quoque est hexagonum ABCDEF. In dato ergo circulo hexago num aequilaterum , & aequiangulum descripsimus. Quod
497쪽
HINC manissum est , Hera ni lattis aqua Ie esse femi diametro circuli . Nam D C , latus h xagoni ,. quati es semidiametro D G , ex desinitia
propos a I. Is .is I . describemtis hexagonMm aquilasertim , ' aqua angulum circa datum circulum. Item in dato sexagono aequilateis aquian D circulum insidiibemus, ct denis eirca idem sexagonum describemus cisculum. Nam, ut exagoniam circulo circumscribatiar, inseribendtimprim erit hexagonum intra circulum, ut Liae propos. II doctiit Etic Ades . Si mero Hreiam mel in Aeaea no, vel circa hexagonumdscribendusse, diuidendi erunt duo an ti proximi bifaria Reliqua deinde perseienda, ut propos Ia. II. I .r ditur.
PORRO eae sis Dograe facile ae mon abimus, dari posse triangulum Issieles ovgontam, cuius tertium latinmismis aequiarum maius sis sitie in quo
rectis minores, ex te iterqNe ametis. Ducta item recta AB,
498쪽
PROBL. 16. PROΡOS. 16. IN dato circulo, quintidecagonum& aequilaterum,& aequiangulum descri
499쪽
arcus B I, pars decimaquinta totius circumserentiae. Quare ducta recta BI. subtendet decimamquintam par tem totius circumferentiae; cui si aliae quatuordecim, aquales in circulo accommodentur, inscriptum erit in ' I . quani. circulo quintidecagonum aequi laterum,quod h& aequiangulum est cum eius auguli subtendant arcus aequales, compositos videlicet ex Iarcubus aequalibus omnes , ut perspicuum est.In dato igitur circulo cuintide cago num , &c. Quod faciendum erat.
SIMILITER autem per ea, quae dicta sunt de
pentagono supra, propos. 11.1-Iq.describemus circa datum circulum quintidecagonum aequilateru, & aequiangulum. Item in dato quintidecagono aequilatero , &mquiangulo circulum inscribemus ι & tandem circa datum quintidecagonum describemus circulum.
E X Mitis , fglomatis fractura, atque demonstratione Pigi potes methodus, atque ars quadam , qua infinita propemodum Aura in dato circulo inscribantur. Nam Psa re cta AB, denominatur a rornario, quod ea sit Iaim trianguliaq&Hateri, is recta AE,is quinario, quod ea sit fatus pensagoni j si multiplicentur p. cum f.escien tir i s. mare ex ILIis duobus lateribis in cis Is ris Utis, inscriberar in eodem figura i s. laterum, angulorumque aquatrum , hac ratione . Denominator lateris AB, hoc est, I exceditur a denominato-pe Iistris AE, id es, a s. hinario. Igitur arctis EF, csmine
riam in I,erit jubtensa re fa R I, latus Aurae 1 s. laterum , anguorum aqualium, mi demons sum fuit Hac fere a te mitis es Euclides, in deseris/ndo Q inridetagono intra circulum Ex Da licebit nobis inferre Miusmodi Theorema .
SI in circulo ab eodem puncto inscribantur duo latera duarum figurarum aequilaterariam,& aequiangularum; continebit arcus inter illa latera inclusus tot latera alterius figurae inscri-
500쪽
bendae in eodem circulo, quot unitatibus inter se differunt denominatores eorundem laterum: Continebit autem figura inscribenda tot lat ra , angulosque aequales, quot unitates sunt innumero, qui ex multiplicatione denominatorum producitur.
IN s C R I R A N T V R iis eis Io A BCDE, initio semper De FO a puncto A plurima latera , Η amni quidem A B, pentagoni Cero AC, 9 Dadrati A D, Diautiti donique aquilateri A E. Lamiam igistir denominator lateris
3 o. es tota circumferenna, talium s. es arcus AB, sextapars eis m- fostentia ι θ talium c.esI adictis A C, qtilata pars cis remiae . Igitur arcus B C, unam ratim continebit panem. PARI Oriones aretis B D , continebit duo latera figura a . laterum, angularumque aquatium . Nam denominatortiteris AB, et riticis c. s perae demmonaeo em Iateris A D , nimi m M. sinario; em -I Uticatione M. in ε. M a . ITA DODe arcus B Ε, comprehendet oria late Am
ARCUS autem C E. dtis larer a figura i s. Iadertim. E C V S deni e DE, confinedia inum laetis figurata. laterum, a Mortimques aquatitim. Hac iraque arte,