장음표시 사용
521쪽
titas mensuram maiorem, dicamr piari maioris S, Maior vero mensurata a minor , dicatur minoris mul ipIM .
SATIS atiram peripiam ex Me definitisne eoEigistir, partem antea de iram esse eam , qua perfecte moris instium totum . Si hnim ς. diceretur metira γ. τί vuti Petit aratis, o GlitiYta sane de Dionem, r. multiplex it sus c. quod es absenρdrim . C ET ERVM quando duae magni dines minores Amatias maiores a st metiunt r, hoc es, una minor in etna maiors toties continetur , qCoties altera manor in ahera majore diiuntur Δὰ sa maiores iaram illarum minortima diem triptites . Quod εdem dices, splures minores aqtie metiantiar ures maiores .
eiusdem generis mutua quaedam, secundum quantitatem, habitudo.
523쪽
pectabimp sae similitudo proportionatita. . Multa autem abi innis proportionum, seu propoγrionalisares, Nos enim lcumptari s comparationem duarum quantitatum, proportionem appellabimin habitudinem autem opsrtionum, proportionalitatem9 astri oribs praesertim Boetio, is Iorda no , descritantur i infer quia, primtimsemper Iocum osti m
runt apud Veteres, Proportionatita, Arithmerica, Geometri
ca, atque Musca Geti Hamonica, de qui spaulo los διε- mus e Vertim Etietiues Asia Geometrica vie kre libro;quaqtiivim duplex es, continua altera, in qua singvia quantitatos intermedia bis sumuntur , ita me sella fae proportionumini ruptio, sed quaelibet quantism intermediast oe antes edens, consequens; Antecedens quidem quantitatis Abs quentis, consequens mero quantitatis antecedentis. Vis diem tur, qua est proportio E, ad Rea es F, ad G s motabistir saeproponio siem, continua. Ahera vero discretaleti non continua, in qua singula quomitates intermedia semel tanttim accipiuntur ra te fiat proportionum interruptio, nulti' quantitas sit Θ antecerim , ct consequens , sed mes antecedens tantum, mel co equens tantam . Vis dicatur , qua est proportio A, ad B, ea es C, ad D; appeltabitis Proportionali ashae, discreta sitie non continua.
Diuisionibus. OPE pnetium esse arbitror, licishbe Ioco exponere,quomam simi gene proportioutim apud Mathematicos, O quanam simis cist proportionalitates, earumque proprietates, vel ob hanc ne cipue utilitatem, ut ea, quae his duobus libris ab Euclide demonstrantur de proportionibus magnitudinam, rebus possint materia ib- accommodari, quo do opus fuerit, O tum ea , quae ὰ Mathematicis de proportionibus dicuntur, tum ea, quae a Philosophis
cum Aristotele de Proportione mutuam disputantur, intelligi.
524쪽
s intelligi. Vt autem maior militas, ac voluptra ex
admiratilibus proportionum abfectionibus percipi possit , innituemus paulo uberiorem tractationem in hac po teriori editione, quam tu priori: rejciem tes nihilominus innumera propemorum , quae dicil possent,inpleniorem nostram Anthmeticam,ubi omnisgenera Proportionalitatum diligentissime perpe-
P R. P0 RT Io igitur ab Euclide definita, d
luditur in proportionem rationalem, O irrationalem. tionalis est ea, qua in numeris potest exhiberi. Qualis est proportio lineae et o palmorum, ad lineam 1 o palmorum. Haec enim proportio in hisce numeris 2 o. Io. ostenditur. Drationalis vero proportio ea es, quae in numeris exhiberi neqhit. Qualis es pro portib diametri cuiuslibet qoadrati ad latus eiusdem quadrati. Haec enim proportio innum ris reperiri non potes ιν in I o. b. Euclide demons tur. 1 . alii dicunt, proportionem rationalem eam esse, quam habent quaeuis duae quantitates comunensurabi
ἰes: Irrationadem Pgro eam, quam habent duae quint ibet qualitates incommensim biles. Dic tur autem quantitates commensurabiles, quae babetat unam communem partem aliquotam ,stu quas eadem mensura communis metitur. Cuiusmodi sunt linea et O. palmorum, linea 8. morum Nam linea q. palmorum es viri quesurs aliquota, similiter linea a palm9'rum . Sicut enim linea tam q. tam a palmor m tituri meam 2 Ο palmorum ; Ita quoque eadem linea Vm --tam Σφa morum liveam 8. palmorum mense ι- rat. Non aliter omnes numeri, commensurabiles di
525쪽
centur, quia saltem unitas omnes metitur. Quantitates vero incom- sturalites dicuntur, qua nullum habent communem partem aliquotam , seu quarum nullam messuram communem contingit reperiri. Cuiusmodi sunt diameter, O latus eiusdem quadrati. Quamuis enim quaelibet harum linearum infestata habeat partes aliquota utpote partem dimidiatam, tertiam, qAartam, c. Tamen nulla pars aliquota unius, quantumuis minima, altera m metiri potest, ut de-m onstratur ab Euclide lib. I o. pro festima. Quo in lib.multae aliae lineae incommensimabiles osten suntur, aetere illas duas. Itaque in numeris inmeritur sola proportio rationalis ; ist in quantita re continua tam rationalis, quam irrationalis proportio continetur. LIo modo diuidi solet Proportio in proportio nem aequalitatis, O inaequalitatis. Aequalitatis pro portio, est inter du, quantitates aequales, ut inter
morum, O lineam ro. morum, O c. I qualitatis vera proportio inter dis , quantitates inaequesta reperitur, ut inter et O. I Oister 8. oo.Mter lineam 6. palmorum oe lineam et . palmsrram, dic. Habent autem haec duo proportio numgenera curus perioribus duobus eam connexionem, ut omnis pro
portio aequalitatis sit neces ario rationalis, sed non contra. Omnis item proportio irrationatis necessorio sit proportio i qualitatis , sed non contra. quo manifestum est, minus recte 2 quibus ans diuidi proportionem rationalem, in proportionem aqualitatis, ct iraequalitatis. Quamuis enim omnis proportio rationalis si necessario aequalitatis,inaequalitari ve,non
526쪽
ta ou contra omnis proportio huismodi est rationalis ; cum multae proportiones inaequalitatis sent Dr tioneses. Pari ratione perspicuum est, quo am non satis recte disribueres oportionem inaequalitatis, in proportionem rationalem oe irrationesem . Quamuis enim omnis proportio inaequalitatis set necesario ratio is, inrati allve, non tamen omnis huiusmodi proportio e contrario est proportio inaequalitatis: cum multa proportiones rationales sint proportiones aqualitatis. Rectius igitur meo iudicio duplici diuisione secanda es proportio in genere, priori quidem in pro
portionem rationalem ct i rationalem; Posteriori vero inproportionem aequalitatis O inaequalitatis ;vta nobis factum est . Ita enim membra diuidentia cum Diui dit cum Dialecticis loquamuo tu utraque diuisione reciprocantur. Scio recte pose subdiuidi tam proportionem rationalem in proportionem aequesitatu, O inquaesitatis; quam proportionem inaeques, i tata, in proportionem rationalem, O irrationalem;
si in utraque diuisione subintelligatur Diuisum. Sed cur duplicem nostram diuisonem, qua proportio in tota Ilia latitudine dii Gitur, utrique harum subdiu mnum raetulerim, pra exposui in responsone mea a ologiam Peleta; f. R HIRSVS proportio inaequalitatis Reliquiamus eniim aequacitatis proportionem, quonia ampli subdiuidi nequit, cum quaecunqus quantitates aqua' ἰει sue magnae , me parva fuerint, eandem semper habeant proportionem aequalitatu ) 'ldiuiditur in oportionem maioris inaequalitatis, O minoris inae quasitatis. Maioris inaequalitatis proportio est, qua Mo
527쪽
maior quatitas cum minore confertur; qualis est' portio et O. ad I o. Item lineae 8. pedum ad lineam 6. pedum, c.Proportio minoris inaequalitatis est, quo do minor quantitaN ad maiorem refertur; qualis es proportio I o ai et o Item lineae 6. pedum ad lineam
8 pedum, c. gon est antem haec diuisio inanis σμ-
peruacanea, ut mestissicantur. Neque enim e dem es proportio q ad a. quae 2. ad q. sed multum in-o
terse disse runt, cum Palde diuersus sit Uus Diriusque, νt perspicuivim est ij qui vel mediocriter tu rebus Geometricis, O regula Algebrae sent νersati. Hae igitur sunt generales diuisiones proportionis, prout complectitur omnes proportiones, nulla seclusa :Nunc autem tam proportionem maioris inaequa is tu,quam minoris inaequalitatis, quatenus fulas pro portiones rationales comprehendunt ,subdiuidemus;
quoniam de quoentita iura, quae habent proportiones irrationales, in I o lib. esse 9 futurus. P I OP O MI Ι O ergo rationalis malamis inae qualitatis , distribuitur in quinque genera, t in Froportionem multiplicem, superparticularem, stuperpa tientem, multiplicemsuperparticular , O multi plicem superpartietem. Pari ratione proportio rationalis minoris inaequalitatis in eadem genera secatur,
se modo seingulis vocabulis praeponatur praepositio siub ) xt in proportionem submultiplicem ,subsuperparticularem, subsuperpartientem, sub et lic
superparticulare, submultiplicem superpartietem. Horum autem quinque generum priora tria sunt sim
plici posteriora vero duo ex illas tribus conuo ita, ut manifes es. Cur vero tantum mi quinque haec genera l
528쪽
sio EVC L ID. G S O M. genera proportionis rationalis tam maioris,quam in noris inaequalitatis,post explicationem omnium ha rum quinque proportionum ostendemus.
ioris quantitatis ad minorem, quando maior mi rem aliqucties, ut bis, te decies, centies, ct c. contin trita ut minor maiorem metiatur. Qualis est proponso numeri et o .ad q.Nam numerus et O. comprehendis q. quinquies. Item proportio lineae Io. pedum ad liueam s. pedum, O M AE C autem sub sie continet infinita genera . Si enim proportionis multiplicis maior quantitas minorem bis tantum continet, dicitur proportio dupla:
si ter, tripla: si decies, decusa: si centies, centupla , O .E X his sacile ovires species proportionis multi
plicis dejiniemus . 'eam proportio o pia nil erit alii , quam habitudo maioris quantitatis ad mino
rem, quamd0 maior mi norem octies complectitur. Eo
demqtie modo definiendae erunt reliqua proportiones muti lices : utproportio quincupla, qualis es qo. ad 8. dicetur ea, cui res maior quantito minorem continet quinquies Item proportio dupla lineae Io. cubitorum ad lineam s. cubitorum ea , in qua maior quantitio minorem bis comprehendit ,σ Dde r liquis . C AE T E-
529쪽
C IET E RVM omnes propoptiones m Diploces in m me iis integris , hoc est, omnes n meros multis rem habeni priportionem, intim es hoc modo . Accipe n meram, qua im scat , quoties maior namerus minorem in data proportionemtihiptica continet. Is enim ad initatem habet primam pro portionem multi aram, qua inuesigastire hoc os, numeres
EGO mnifaue sunt primi ae minimi numeri, inter 'spo- si proportio multiplex reperirer . Atque num/rtis Eb idem, atque Unita, diruntur ah Ari meracis termini eius 'ssor tionis multiplicis,qtia preponaris. Inuentis his terminis, in ter quos prima proponis multi ex proposita reperitur, etfer que duplices r. pro celar duo numeri habentes secun mproportionem multiplicem 'opo frames τterque idem rei plicerer, procreabtingtir numeri tentae proportionis mia i itis ρνη tars uterque quadruplicetur, extirgent κtimeri Par ea proportionis multiphras quae te. Altis ira si sedem tormini
pre quemvis meram mesti acentur , pro centis dias xti mori proponianis maltiplicis propos tae , Da enm Iocum in 'γomnes proportiones messe Nices alitus jecies ob nes, qtiem nutam us, qui utram cie termintim mtiltiplicarit, inuitiae Ad his multi iratio far per Io o. procreemur δεο nsmeri Osri non es cent mum iactim inter omnes numeros propositam pjoportionem habentes . EXEMPLI gratia . Quaran αγ sm nes semerino nimis Din pia . Et quoniam maior ntime Vm minorem continet quinqtires in quintripla proportione, eruprima proponio quintupla inter s . se a. qui dtio tismini si
meri a s. 9 3. Iertia proportionu quintupla : Et sic Lin si . Itaque si decima propretio quintupla qua stir, randi o ne duo primi trimini inurari 1. O 1 . per Iostero miliesma γὰ- periendas messeipheani erunt ijdem termini per I ooo f e.
OMNES irem numeri queproportionis Mah eis reperien γ hoc modo. Constituantur dria exies n&me ortim in in nisum pruridientes j quartim inferior ab mnitate enti piat . per sortem natur Lemnumerorum progredia in f, perior amem ab eo semers, qtii significat, Dotissi maior ntimeras m norem in data ops, sisti rentinet, metrium duca pro grediarurisper consentiam addisionem e meri, dipi
530쪽
mtim ad ipsum, deinde ad confartim semeram, Nam superioris orianis numeri ad n mepos ordinis inferioris, primus ad primum, secundus ad secundum, tistitis ad ter ritim, isc. habent omnes proportiones multiptices seriei ινορι ita. Exempla ias habes in proportionibus quin tiptis, sep - lis, is de ptis. Proportiones quintupia. is si oliuelao si os ρ, ι ol uessos, uelςolς si os uel δoloc.
Superparticulari. T RO P ο RTIO superparticularis en habitu maioris quantitatis ad minorem, quando maior minorem semel damtaxat continet, O insuper unam eius partem aliquotam ,scilicet dimidiata tertiam, quarta S c. Qualis sproportio I. ad Nam 3. conti-
nent a semel, O insuper unitatem, dimidiata parsi es numeri et . Ita quoque linea I a. pedum ad lineam dum , proportionem habet superparticulamem,l quia prior line a continetposeriorem semel, insuperi lineam 8 se si,quae tertia pars es lineae 9.pedu, oeci HAE