장음표시 사용
531쪽
LIRE R V- FI 3 H A E C quoque proportio in infinita genera di uiditur. Si enim ilia pars aliquota contenta in m tori quantitate, es dimidiata pars minoris qua tit
iis , consuluitur proportio sesiquialtera ; Si es tertia pars, exurgit proportio sesquitertia; si quatria, se quiquarta; mi Iesima, sessui resinta, ctrc. VNI E. ex inomet vocabulo 'iles erunt d
finitiones omnium proportionum superparticularium. Erit enim proportio stesquioctaua,quando maior quantito minorem semel iacludit , O insuper octauam partem minoris: qualis es inter se. O 8. Item interqs. η o. Idem habeto de reliquis iudicium.
INVENI E NT V R omnes proponiones f p partiaculares , sitie omnes semeri, inter qtim proportio supinianiolaris qua nque reperitur Ase modo. Accipiatur numeruου, qui partem ali oram iis proportione ex tiliam de nominat. Ad eum enim mmerus proxime maior, qtii mirificet eum mnasia Uni sat esuperat. habebit primam proponisnom δε- perparticularem proposiam, ita it m minoribus e meris ea priportio referiri neqtierit. Hi o ntimeri , qui germani datanoportionis di nitir , si dupticentur, resticonmr, mel pepquemctinque atium numeram mullipticentur, ignentin albntimeri eandem proportionem Labento , nimirum secundam, tertiam, mes eam , Dam mmerus multiplicans indicat. FERET O s. Si Deran Ar omnes troportiones A septima ; quoniam sic exprimitur pars septima, erit 7. mrnor terminin sui in proportionis,mator autem opit Τ.αna initate iI-
532쪽
eoperiemur,s tonstituantur duo ordines numerorti, quora in serior a numno planem aliqtiotam denominante incipiat, sti perior mero a semero proxime maiore r iterque vero per con rinuam additionem numeri, a qtio maritim stimit, rimiam ad se, deinde ad tonsarum numerum , c. progrediatur. Exsmplis hic posuimus in proportionibM f uialtens, fessu epit-mis , o stata decimis .
Proportiones sesquialtera. 3 ip ta ii ii alia ar 3os 3 36 3ρ Il es c. Proportiones sesquiseptima Ili silai gal ol. ylsolo zalyolyyloue io, o c.
TRUI PO RTIO superpartiens est habitudo ma
ioris quantitatis ad minorem , quando maior minoremflanti duntaxat continet, is insuper aliquot eius partes aliquotas, non e cientes unam aliquotam . Qualis es proportio 8.ad 8. continent si et insuper tres variates, quarum quaelibet est pars aliquota, ν ote qainta, huius numeri s. ' autem tennarin ex illis compositus, no spars ν aliquota numeri l
533쪽
numeri s. Dixi partes illas aliquot, non debere constituere partem aliquotam, ob multas proportiones,quae primo a spectu videntur ese superpartientes , cum immen Hi superparticulares ; cui modi proportio en inter Io. 8. Quamquam enim IO. contineantsemel 8. duas insuper unitates, qua rum quesibetes octava pira numeri 8. quia tamen binarius ex illis unitatiburi compositus, es quartapars 8. non dicenda est ea proporti uperpartiens, sed superparticulatris, nempe s siquiquarta. Itaque ut duae quantitates dicratur habere proportionem superpa Gentem, necesse est , ut maior quantitas minorem contineat semel, o plures eira partes aliquotas, qua Hsumpta non constituant mim aliquotam. Quod
quidam non aduertentes , mirum in modum genera
proportionum inter se confundunt. DIVIDITVR primum proportio superpartiens, habita ratione num&ri partium aliquotarum , in genera infinita. Si enim maior quantitata minorem semel comprehendit , O duas eius partes aliquotas non constituentes unam, conficitur proportio superbipartiens; si tres partes aliquotas, Vertripartiens; si decem ,superde partiens, s c. DIVI DI T V R deinde quodlibet borum generum, habita ratione denominationis partium aliquotarum , in infinita tabuc genera. Nam proportio su perbipartiens inter duas quantituta inaeqHales, quarum maior continet minor semel , ct dura eius partes tertias, dicitur superbipartiens tertias . Quod
se duae ilia partes fuerint quinta, appellabitur superbipotiens quintas, ct ita de reliquis proportionibus KL a super
534쪽
superbipartientibus. Pari ratione super lecIpartiens proportio inter duo quantitates in Pales, quarum maior excedit minorem decem partibra undecimis, appellabitur superde partiens undecimas. Quod si decem illae partes sint decimatertia, vocabit&r proportio superdecupartiens decim, tertias; ct hc dereliquis omnibua superde partientibus proportio-
7 E autem proportiones superpartientes vel imtersie confundantur, vel cum proportionibra si ediparticularibus, quod ὰplerisique facti esse deprehendimus , diligenter consederanda Dnt ea, qua fe-
qumtur. Primum, in pronunciatione cuiuscumque proportionis superpartientis, duos indisari numeros, quorum alter monserat , quomam partes aliquota minoris quotitatis in maior superseret; alter vero, quotae partes eae sent, acit quantae, indicat. Vt inproportione supertripartiente octauas, denotantur duo hi numeri 3. O 8.quorum prior si Nicat, maiorem quantitatem dicte proportionis contineres es m norem , O adhuc tres eius partes aliquotas, exprimiturque yllaba illa strid quando dicitur, superin, partiens : posterior autem per vocem Γ octau s 4 expiresius mendit, illo tres partes aliquotas, vise se tes octareas minoris. Deinde in qualibet proportione stiperpartiente duos praedictos nummros, cqui qui-drem facile ex ipsa proportionis prolatione cog nosco tur, ut ex proximo exemplo patet elasimodi esse debere , ut non habeant vllam partem aliquotam coinmunem, praeter unitatem, o quidem es omnium numfrorum pars aliquota : hoc est, ri sent intere se primi.
535쪽
primi. Nummros enim, qui praetere unitatem nullam aliam partem aliquotam communem admittunt, dicunt serithmetici cum Euclide, primos inter rivi ex lib. . constabit . Tales sunt duo dii numeri 3. O 8. insuperiori Proportione supertripartiente octauas e
pressi. Nam sola unitas, xt constat, est utriusique
pars communis aliquota. Qua e recte denominabimus propontionem inter D. 8.supertripartientem
Octauas: qualis etiam est inter 22. I6. Nyn autem recte appellabitur proportio posterior inter I 6. supersextupartieno tradecimam quamuis maior minorem contineathmel, O insuper sex unitates, quorum quaelibet decim exta pars est minoris e Non,inquam, recte sic appellabitur; quia duo numeri 6. O16. in ea expressi, habent partem aliquotam a. per
quam, ut tu Arithmetiis diraditur,reducuntur ad dri atque ita proportio ea dicenda est, supertripartiens octauo. Sic etiam non recte vocalitur proportio inter-σ 6. Rupertripartiens statas, quoniam
duo numeri in ea denotati I. O 6. habentp ter unitatem , aliam communem mensuram, videlicet 3. Nam ternarius semessumptuπ Je sium, O bis r peritin , sienarium metitur, ac Proinde reducentur per partem Eiquotam communem 3. ad i. Quocirca talis proportio nuncupanda erit seliquialter cum m ior quantito contineat semel minorem, O eius paset Em alam Eadem ratione non recte dicetur ' portio inter I o. 6superquadripartiens sexta quia duo numeri in ea notati A. O 6.habent 2.communem partem Eiquotam , Praeter unitatem; atque ita di
cenda erit triis proportio superbipartiens tertio,
536쪽
clim maior quantitas contineat minorem semel, duas eius partes tertias. Ex his igitur non discite erit unicuique, denominare comenienter omnesproportiones superpartientes. P E RS PIC V V M etiam ex dictis relinquitur,cur proportionem superbipartientem diuisierimus paulo ante, tu proportionem superbipartientem reditias, quintas, septimas, nonas, oec. praetereuntes superbipartientem quartas, sextas, octauas, decimas , oec. Cum enim hae posteriores omisiae , sint perparticulares, propterea quodH faciuntd-. consituunt P. Ociunt Q. denique Q. aequivalent '. confunderentur proportiones superpartientes cum proportionibsis superparticularibus,ses ipse in numerum proportionum 'perbipartientium referirentur . Quo modo autem dignostendi sit, an duo quilibet numeri propositi habeant, praeter
unitatem, aliquam aliam partem commuinem aliqlio tam , necne, in arithmetica docetur, demonstrabi
turque ab Euclide, ad initium libri .
INVENTIO omnium proportionum stiperpartientiaeui que Lyecies si e s habet. Ntimerm tot mnitatibuου maior denominatore partium aliquot artim, qua in proportione nominantur, quot pars es in eadem proportione exprimunttir, fassiit primam proportionem deciei proposita ad nsmertim easdem partes aliquor aue denominantem . QMi drus semini duplicari,iri irati, vel per quemvis semer m miatiplicati, gignent sectindos numeros eandem vorsionem habentes, tintios, via alios, me pra diritim es . VERA I gratia, si inqtiirenda si omnes ntimeri proportionis supertripartiretis uecima ,erunt primi Missmodi ntimedii. I; Θ I o. in maior perat min9em , Di parto decima, denominat, fri setia silm,qtist Uritieet partatim decimartim mentiosi, in
537쪽
proportione supratri Hiente dec m. Duri eortim, qui nim dium secundam proponionem consistitim, sim a P.Θ as.Τ-pti,3s ct s o. Centesma autem eiusnodi proportio erit asso ad so oo. cum si nume=i centupti ne seminorum II. 9 ao. qui primo loco inuenti sunt. EOSDEM numeros omnium pHpsHAnum superpa rientium γὰperies spatiam duos numeroram o ines, quor minferior incipiat a partium aliquot arum denominatore,superior atitem a n mero, Di mero partitim nominatarum pViorem ilium severat 1 meis e denique ordo progrediaturpeν continuam additionem primi numeri sit ordinis ad Ie sim , ct ad n mens conisa os, iis pra diximus. Exemptatae adierimus proportis m superbrpartientium quintas , superata arrientium nona,, Θμpes4fupartiensitim decimas.
multiplici super rarticulari. PII OT O Rr Io multiplex stiperparticularis es habitara maioris quantitatis ad minorem, quando Ah q maior
538쪽
maior minorem aliquoties , ut bis , ter, vel qua ter, Oc. continet, o praeterea unam eias partem aliquotam. Cui modis proportio, 9. ad q. Conti
nent enim 9 bis q. qua ex parte proportio haec cum multiplici covuenit, νtpote cum dupla. )σ insuper
comprebendunt unitatem, qrsae est quarta puto num
ri minoris; qua in re proportioni superparticulari, nimirum si quiquartae, eadem proportio proposita Hmilis est. ) ut recte proportio haec composita dicatur ex multiplici, O superparti lari.
DI VID IT VR autem proportio haec, balitaratione proportionis mestiplicis, in genera infinita, veluti multi ex . Vt in duplam superparticidarem;
triplam superparticularem, o c. prout maior quant ias minorem bis comprehendit, aut ter, grateseue, Oc. O insi er inta partem minoris quantit iis aliquotam.
V V M a V OD RU E rursu horum generum in infinita alia si diuiditur, habita ratione proportionissuperparticidaris. Proportis, verbi gratia, tripla superpartici aris continet 'b se triplam fef-quialteram , quanido sicilicet maior quantitas minorem ter continet, O pr erea dimidiata eius partem;)triplam siesquitertiam; triplam se quiquarta M, . ita insinitas alias.
R E P ERI E MUS vero omnes proportiones multiplices superparticulares tui stibεt spera i ,si advortamus dii genter denominatorem partis aliquot e , is proportionis πιι tiplicis, quarum in proposita proponisne mentio se . Nam si
denominatorem partis alij ora per denominatorem multiplibris stroportionis multiplicemus roductos numero assifciamus mitatem habebit hic numer m consalud ad denominatorem partis
539쪽
partis aliquote primam prannionem feci ei proposita . Et hi duo xtimini ἁ-tieati, triplicati , viam, quemvis nume- multiplicati dabiant alios in eadem troportione numeros, nimisiam fecundos, tertios s mel alteram ordinis, pro numera unitatum, que in numero multi icante continentur, miri a ijs dictum est. E X E M p L IeVatia. 7 inueniendi tomnes numeri proponionis saerupti se timona; ducemus s.
denominatorem partis nona in c. ub nominatorem multiplicis proporisonis , productoλ κ mero I .. addemtis r. Constatus namque numerus 11. ad s. denominatorem partis nonae ex
p=usa habet primam noportionem sextuplam fe uinonam ,
ita τι in minoribus numeris integris ea dari nequeae. Dupli orum numerorum rI o. Θ ιδ. erunt secundo num i in eadem φρυωsione e Tripli vero Iύς. a . errant terrij , scire a ut eorundem centupli sueos. Θ s so. Ghibeant centes mam proportionem eandem P . EASDEM proportiones m Di Ires superpartim&res inuenies, si consti m dcias feries numerorum quarum inferioν incipiat a denominarere partis ahquota nomanarae , superior autem a semero con fato ex mnitate, ndi meroproducto ex multiplietione denominatoris panis ahq osa eiusdem in denominatores proportionis multi ices ex tisae Vier Φ
do per eontinuam aditionem primi ntimeri fui ordanis rid ipsum , is au constatum numeram , Oci progrediartir, ut in superioribus dictam .st Exempla hic miris proportisnis dupias Dialiora, triplas quis prima, O decupla se Misertie. Proportiones duplae sesquialterae.
Proportiones triplae sesquis trimae Proportiones decuplae sesquitertiae.
540쪽
EVCL ID. G Τ OM. D E P IL O P O IL T I O REmultiplici superpartiente. T1 P ORTIO denique multiplex super Nitens et habitudo maioris quantitatis ad minorem, quando maior aliquoties complectitur minorem, insuper aliquot eius partes aliquotas, non conficientes unam: qualis estproportio I 1 iad I .Dixi,non conficientes νnam, ob causam dictam in proportione fu- perpartiente . Nam se partes illae aliquota unam efficerent,non setproportio multiplex superpartiens, sed multiplex superpartisularis . Vt proportio 2 O. ad 6. non dicenda es multiplex superbipartiens sextas,
quamuis et O. contineant ter 6. O duas sextas; quia duae sextae conm,ut unam tertia- partem. Quare
vocabitur proportio tripla sesequitertia. DI ST RI B V IT V Rici autem haec proportio primum, habita ratione proportionis multiplicis . Uti multiplex in duplam superpartientem; triplam superpartientem, O .
DE IR DE quelibet hamum, babitu ratione numeri partium, sis se continet genera infinita . Vt sub tripla superpartiente, continetur tripla superbipartiens ; tripla supertripartiens, s c. POST ME M O quaevis clarum, habita ratio ne denominationis partium aliquotarum, in genera adhuc infinita hecatur. Vt tripla supertripartiens diuiditur in triplum supertripartientem quartas; in tria piam pertripartientem quintas, ctc. Quartim omnium definitiones , ct exempla non es cile es cuiuis ex dictis depromere, o Q