장음표시 사용
551쪽
MANI F E ST V M iam/m os, quod de proportionistis maioris inaquatitatis Loe Deo diximus,mer m qtioqtie esse de minoris λά alitatis/νθον tonittis, itim ijdem numeri inter
maiorem ntime mac minorem, Θ inser minorem, ac marorem interjciantur .
s AE TER VM ex θs, qua de quinque specie
bus proportionis rationalis tam maioris, quam minoras inaequalitatis diximus, perspicue colligitur, non puse plura esse genera proportionis rationalis maioris inaequalitatis, quam quinque iam exposita . Cum enisis, m Euclides demonstrat propos s. lib. I o. commensurabiles quantitates quacunque, inter quas, ut diximus , estproportio rationalis, inter se proportionem eam habeant,quam numerus ad numerum ἰ sit, ut omnis proportio rationalis quarumcunque quantitatum continuarum a ignari, seu exbiberi possit inmmeris. Atit igitur maior numerus comprehendit minorem, ad quem refertur, aliquoties perfecte :qua ratione co I xuimp pr portio multiplex: Aut jemel tantummodo , ac Braeterea unam eius pamtem aliquotam; ct sic habetur proportio superparticularis ut semel duntaxat , ct in Huper plures partes eius ali notas non facientes una omscitur proportio superpartiens qui aliquoties , ct unam eius partem aliquotam; ct colligitur propo tio multiplex superparticularis qui denique aliquoties , est plures eiis partes aliquotas non faciem tes unam; ct exurgit proportio multiplex superpam
Hens . Neque vero alio modo maior quantitaου mi norem continere, aut misor quantitas a maiore con tineri potest. Eadem ratione conssitat, totidem esse genera proportionis minoris inaequalitatis. Recte e so proportionem rationalem mm maioris inaequalia talis, tAm mιnoris, in quinque genera, qua exposeu mus, partiti semus.
552쪽
11 ' EVCLID. GEOM. his D E PROPORTIONUM
in ONIA A f sero non exiguus est Um D
nominatorumproportionu rationalium, quas haci nus exposuimus, non abs re erit, paucis Hocere, a quibusnam numerissingula proportiones denomin tur. Denominator ergo cuiuslbetproportionis, dicitur is numerus, qui exprimit diffincte, ct ape te habitudinem unius quantitatis ad alteram. Vt d nominator proportionis o pia est δ. Nam hic numerus indicat,maiorem quantitatem proportionis octVia , continere minorem orities . Similiter denominator proportionis se quiquintae est I ris quoniam iste numerinsignificat, maiorem quantitatem proportionis sesquiquinta , continere minorem semet, ct quintam eiusdem partem. Atque ita de reliquarum proportionum denominatoribuae dicendum erit. Inde fantum esZ, ut arbitror, quod Euclides in lib. 6. o plerique alty AE thematici, appessent denominat rem cuiusuisproportionis, quantitatem illius ; quia denominator, ut diximus , OLTendit, quantasit una quantitas ad ahteram, cum qua conferta vi expro positis exemplis constat.
E X lys autem, quae diximus, facile colligi potes
denominator cui que proportionis. Denominator enim proportionis multiplicis, quacunque ea sit, GEnumerub integer tot coimens vn states, quoties maior quantitas minorem continere dici r in ea proportione, ius denominator quaeritur. Vip Portionis duplae denominator est a. Noncupia, st. Centupla, I o. millecuplae, Iooo. ct c. Denominatores autem p
portionumsubmultiplicium multiplicibus corres ondentium, simi partes aliquotae a denominatoribtis proportionum multiplicium, quibus respondent , δε-
553쪽
nominatae . Vt denominator proportionis sκί -- pla, est 'I'; subquintuplae, subnoncupia, seu centupla, : submisiecuplae,m .hoctem modo denominatores aliarum proportionum submultiplicium reperiemm . Itaqae denominator cuiuscunque proportionis submultiplicis est numerus fractus, cuius numerator perpetuo es unisad , denominator autem, Humerus proportionem multiplicem correspondentem denominans , ut ex prolatis exemplis patet . Neque vero ulla di cultas es in cuiusque proportionis mustiplicis, veljubmultiplicis denomia natore reperiendo, si ea qua Aicta sunt, recte inte lagantum. quippe cum ipsa prolatio proportionis denominatorem offerat , ut ex datis exemplis manis num est. DENOMINATOR cuiusuis proportionis superparticularis es unitas cum parte ilia aliquota,
quam maior quantitas nebet ultra minorem com
prehendere . Vt proportionis sesequialterae denomia nator es iq-; sejquio ue , a Φ ς sesequimilles-ms, I r δό-,erc. Neque di tale erit denominatorem cui que proportionis superparticularis inuenire ;cum i a proportionis prolatio denominatorem ex primat per suam partem aliqtiotam , ut ex datis exemplis perspicuum est. Denominatores aut ri portionum i superparticula m correspondentiu ,
punt fractiones, quartim nMmeratores una tantum unitate minores sunt earundem denominatoribus .
Vt denominator proportionis subseseruialterae,s- ;sub'sequio ua,-; subsesqui millesima, , s c.
Inuenietur atitem denominator cuiuslibet pro orti
nis subsuperparticularis , si pro numeratore i Gonis sumatur denominator partis aliquot dein profo tione expressa , ct pro eiusdem fractionis denomina
tore , numer- .nitate maior. m denominator pro-
554쪽
portionis subsesquiderimae, en - . cum huius f
Itionis numerator sit numerus denominans partemdecimam, nimirum Io. denominator autem eiusdem fra tionis numeratorem superet unitate, g c. Reperiemus quoque denominatorem cuiusuis proportionis subsuperparticularis hoc modo . Denominatore com
respondentis proportionis seu perparticularis reuocabimus adunam stactionem, ut in Arithmetica docuimus; cuius quidem numerator superabit hic semper
et,na unitate denominatorem , qui etiam denomina
tre in partis aliquotae, cuius mentio sit in oblata proportioue . Nam si huim pactionis terminos inuerim
mus, ut ex numeratore stat denominarer, ct ex d nominatore numerator, labebimus denominatorem
propositae proportionis subsuperparticularis Vis o feratur proportio subsesqui optima: quoniam denominator proportionis sesquis timae, quae illi restondet, Z I Z. qui reuocatur ad hanc stritionem --. cmius numerator una vitate maior est, quam denominator partis aliquotae . Quare si ea actionem in
uertamus hoc modo- .dicemus denominatorem'
portionis subsesqui septimae quee ἀ-. Factum denique
cuiusuis proportionis obosep articularis denominator fortassis reperietur , si inueniantur primi numeri habentes proportionem superparticularem res ondentem , ut supra docuimus. Nam fractio , cuius numerator sit eorum ni merorum minor, denominator vero, maior, erit denominator Proposita proportionis . Ut si proponatur proportio subsesequi ept ma quoniam primi, siue minimi numeri habentes proportionem si quiseptimam , sunt 8. 2 p. si ex mi
nore fiat numerator, Ur ex maiore denominator, conficiemus hanc stantionem pro denominatore
proportionis subse quiseptimae propositae , ut prius . DENO M IN AT O R cuiusuis proporti
555쪽
nis superpartientis est unitaου cum illis partibus at
quotis non e cientibus unam, quas maior quantiatas debet ultra minorem continere. Hi denominator
proportionis seupertripartientis septimari est i se; sin
pertripartientis vigesimas , I . ctc. A eque ulla discultas est in huiusmodi denominatoribu inu nienssis : propterea quoa prolatio ipsa proportionis denominatorem proprium exhibet, ut ex superioriabus exemplis liquido confitat. Denominatores autem proportionum subhuperpartientium , sunt raIliones,
quarum numeratores tot unitatibus minores simi, quam earundem fractionum denominatoris , quot partiam aliquoris maior quantitas mino rem sup
rat. Vt denominator proportionis subsupertripase lentis septimas , σῆς subsupertripartientis vi
iuslibet proportionis subsuperpartientis , si pro numeratorestactionis immatur denominator partis at quotarum , quae in proportione exprimuntur , cui si addatur numerus earundem partium , habebitur eiusdem fractionis denominator . Vt denominator proportionis subsuperquadripartientis undecimas, est b, cum huius esionis numerator sit numerus denominans partes undecimas, nimirtim i I. cui additus est numerus δ. quatuor partium,ut piat eis sedem fractionis denomanator I F. Denominator autem proportionis sub iupertripartientis quintra eLἱ
hac fractio, . Nam iam numerator est numeriti d nominans Lartes quintas, nimirum s Denominator autem s. eiusdem'adtionis conflatus est ex illo nimmeratore s. ct ex numero Z. trium partium . Eademque ratione reperiemus aliarum propcrtionum subsuperpartiretium denomina ores. Quos hac etiam ratione inuenies. Revoca denominatorem proportionis cuiusque superpartientis correspondentis
556쪽
ad una ractionem, ut in Arithmetica dociamin; cuivi quidem numerator denominatorem , qui pa tes etiam aliquotas expressas denominat , Juperabit hic semper tot unitatibus, quot sunt partes aliquo tae . Nam huius stallionis numeri inversi, it ex numeratorestat denominator, ct ex denominatore numerator , dabunt denominatorem propositae propo tionis subsuperpanientis. In denominator propoditionis subsuperde partientis de imastertias est . L . quia denominator proportionis superdecupartientis decimastertias en I . qui ad hanc fractionem η'.r uocatur , cuius numeri inversi es iciunt hanc stractionem c b. Denique facilius cuiusuis proportionis subsuperpartientis denominator inuenietur fortassis, si reperiatur primi vel minimi numeri habentes proportionem superpartientem correspondentem; ut supra tradidimus . Frantis etenim, cuius numerator sit
eorum numerorum minor, denominator autem, ma
ior, denominator erit propositae proportionis subsuperpartientis . Veluti siproponatur ρroportio subsuperquadrupartiens nonas: quoniam minimi numeri habentes proportionem seu erquadrupartientem n nas sunt ι 3 .ct st faciemusfactionem pro denominatore proportionis subsuperquadri partientis nonas : ct sic de cateris.
nis multiplici uperparticularis est numerus integer multiplicem proportionem expressam denominans, cum illa parae aliquota, quam maior quantitas comtinere debet ethra minorem quantitatem. Vt denomia
reator proportionis triplae sesquiseptima , est 34'. si intuylae se quinones, se, es c. Vt nullas omnino labor sit, exhibere denominatorem cuiuslibet propor tionis multiplicis superparticularis ; quippe cum s 'ulatio proportionis dijiimie mprimat est densi
557쪽
minatorem multiplicis proportionis, Er partem al quotam, ut exempla proposita declarant. Denom uatores autem proportionum submultiplicium sipem particularium , sunt mones , quarum numeratores numeri sunt denominantes partes aliquotm in proportionibus expressas. In denominator proportion:
subtripia sesquiseptima, est subquintupia sese
quisonae, d- cst . Inuenietur autem denominator
cuiuslibetproportioms submultiplicis superparticularis, si pro numeratore factionis sumatur denomia nator partis aliquota, quisi multiplicetur per denominatorem proportionas muli licis, addaturque uni tinnumero producto, habebitur denominator eius Estadisionis . ' denominator proportionis subquadru- pia sesquisextae, est π;; cum huius stactionis numerator 6. denominet partes sextas, uri ductus sit in
..denominatore Eroportionis quaarviae, ac prodis Eis numero a . a data unitas, ut eiusdem stactionis denominator conficiatur as. ω c. Iidem denominatores proportionum submultiplicium superparticularium inuenientur,s denominator cumsuis proportionis multiplicis superparticularis ressondentis reuocetur ad una stadiisne, ut in Arithmetica docuimus, multiplicando nimirum denominatorem multiplicis proportionis per denominatorenu stantionis ei adhaerentis, ct producti numero unitatem, id est, num
ratorem eiusdem factionis addendo . Nam si huius fra tionis termini commutent ordinem inter se, flet denominator proportionis proposita . His detur proportio subquadrupla sesquisexta: quoniam deuom Nator correri ondentis proportionis quadrupla sese quisexta es in P. ducemus o. id iat, denominatorem multiplicis proportionis, in s. hoc est, in denoman
torem fractionis adhaerentis , numeroέproricti a 4. addemus I .nimirum numeratorem eubdem raedio nis s
558쪽
nis, ut totum denominatorem Ad . reuocemus ad
hanc fractimem 2 'i Cuius termini si inter se ordo nemperamitent , siet hac franio pro denominatore proportionis subquadrupla sesquisextae. Eodemque modo in cateris agendum erit. DGique facilius fortasse denominatorem cuiusque proportionis su -ιltiplicis superparticularis inuenies, si duos primos, minimoseue numeros proportionis multiplicis superparticularis correspondentis reperias, visupra traditiu- f. Nam fra tio, cuius numerator sit nu
nor eorum numerus, denominator autem, maior,
erit denominator proportionis proposita . Visio ser tur proponio subtripla sesquis tima: quoniam primis e minimi numeri proportionis tripta se quo ptima sunt aain . siet ex illis raritio haec pro denominatore proportionis subtriplas quiseptima,
DA NOMIN AT O R cuiusuis proportionis multiplicis superpartientis , est numerus integer
denominans proportione multiplicem in ea expressam, cum illis partibus aliquotis, non constituentibin Unam, quaό maior quantisin ultra minorem debet com rehendere. Vt denominator Pro ortionis tri laesu erquincu artientis octauas, es 3 quadruplasve inartientis quintaου, --τα es c. Nihil enim dissicultatis habet haec sementio denominatorem in pro ortionibus multiylicibus su eryartientibus , quod verte, ct distinae in qualibet earum ex rimaturtaem denominator roportionis multi licis in ea comtentae , quam artes aliquota , ut erspicue in exemplis yrolatis arearn . Denominatores vero ro oditionum submulti licium seu eryartientium,sunt fractiones, qAarum numeratores numeri sunt denomia nantes Partes aliquotas, quae in pro orationibus ex
Presse sunt. Vt denominator proportionis subtri la
559쪽
seuperquin yartientis octauas , est subquadru-yia su erbi artientis quintas , P , s c. Auentetur utilem denominatre cutari et re ortionis submul t licis Dyer amentis , si ro nu eratore fractionis. sumatur denominator Dartium aliquotarum , qhem si multiplices per denominatorem Pro oratonis multi icis , numeroque yroducis addas artiuma uotarum numerum , obtinebis eiusdem fractionis denominatorem . Vt denominator Pro ortionas subripia superont partientis decimastertias , est quia huius fractionis numerator I R. denom nat Partes tertias terimas: qui si ducatur in a. denominatorem δε la proportionis, Productoque numeroa 6.adi ciatur numerus δ. oeso Partium, consicietur eiusdem fractionis: denominator 3 . ct . Denominatorem quoque cuiuslibet ro ortionii submulti Gcis su er arrientis sic re erias. Reduc den minatorem yro ortionis multi iris su er artientis, quae ro osita restondet, aὰ unam fraditionem, o in Arithmetica Fraecerimus, nimirum multi licando denominatorem musti licis roFortionis er denominatorem fractionis ei adhaerentis, rodunti num re addendo numeratorem eiusdem fraddionis . Nam huius fracilionis termini, si inter se fermutent orH-nem, tabunt fra tionem, quae denominator erit Pro-
ortionis submultii licis su er artientis. luci si ro
rimas, reducemus denominatorem correspondentis
ortionis quintu e Vertri Partientis decimas, hocaei', 1 . ad hanc fori mem , - . quod sit ducen-λ F. in Io. Productoque numero addendo g. vs flat
dus est. Nam si haec fractio terminos ermutet, fer denominator Fro ortionis sub' mola Dyontri artientis decimas, . ct c. Sed fors an facilius d
560쪽
nominatorem culmuis proportionis sti ulti iris superpartientis obtinebis , se primos , sitie minimos numeros proportionis multiplicis sti perpartientis restondentis reperias , ex eisi fratctionem constittim, 1 timendo minorem pro ntimeratore, cir miorem pro denominatore . Frassio enim haec dabit denominati-
rem pro ortionis propositae . Ut si proponatur prο- Ortio subquintuplasvertriparties decimaaequoma
minimi numeri in yroponiano quint la superi, artiente decimas sunt 33 .cr Io. conHimetur ex eis denominatorproyortionispropositae haec fra Eo - .ct se de caeteris.
nis aequalitatis per emo es vritis: quia sna quantitas debet in ea proportione esse aequalis alteri, ac proinde ina alteram continere semel, ct nihilyraeterea. qtiod quidem unisinsignificat.
E X his, Da de s=optritontim denominar oriatis diximas , perspictium esse 'sto, denominatores proportionum maioris inaequalisatis re Θ nsmine ipsas proportiones maioris inaequa-
Atatis denominise; denominato es vero proportionum minoris inaqtialitaris re tanttim, non aurem verbo , sitie nomi
ne denomina=e proportiones minoris inaqtialitatis. Id quod eae prolatis Memplis Iiquido conclat. Nam denominator, et bi gratia . proportionis tripla super quadrupargientu nonas , Di os Loc es, ta integra, quamor nonA partes , re misso denominas eam proportionem, cum disincte, se te e nobis indicet, in ea matreem antitatem continere minorem ter, in Aser Damor eius partes nonas. At vero denominarop co espondensis proportioni tibi tia superqui. δε anteiis nonas, nimiram id es, notiem true apri .ma parte re quidem ipsa proponionem sustriplam sepinqua-d panientem nsnas denominat, cum mere Ignificet, minorem quanti aram in ea esse mini is nouem partes trigessimas primas , quod o nim necessapitim est,eti minor quan iras ad maiorem labeat pro rionem sistriplam superquadruparit ensem G as e Terὼa autem Me nomine, eam proportire