장음표시 사용
561쪽
nequaquam denominas, quippe ctim hoc est, note em par
tes trigesam rima cum nomine proponionis sustri a s p - ad partientis nonas nihil miri rur Aasere commune, jed penitus ab eo descrepare. ARE si donomi fost alienius 'oponionis mimr sin Dalitatis xtim 1s ox sistis sit nimis per fractionemi, w dictum est; ipsetas, qtio pacto proportionem , quam de nominat, erre deIeas, vide quam proportionem haleat de nominator eius factionis ad me rerem: quod Ues, si partiaris denominatorem stactionis per semeratorem . Nam Quotiens denominabit proportionem , quam denominarer stamonis sabet ad num aiorem. Eodem enim nomine proportionem dii denominat is oportionis minoris in tiali aris
p=onunciabis, aposita tantum Vitabis, Ah, Do ista denomina
torti factionas ad n oratorem appeliatur. Vt s detin δε- nominator L.drcetur eimproponio subo pla.stiando enim numerator stactionis es υnitas, proponio dati denominatoris erit bmulti ex rib eiusdem strictionis denominatore denominata. Luodsi ius denominator sit - Diuiso denominatore 3 I . per numeratorem Io. Ist Quotiens ac Do nominasse igitur frictionis . Λ me rorem habet proponionem decuplam sepem tu Hientem vigesimas adpVsinde proportio , curtis denominator es . dicenda erisubsedecuplas res lupartiens migesimas , is c de taeteris.
SEX IA mero non semper commode omnes proponisnes propriis nomini s spectariposirent, quis enim proportionΘ, meνbi gratia,3 . ad s. commode dixerit trigilas viam,ies trigemptim spmplam, ves alio id genus nomine ' Suis
item commode proponionem My.ad as. dixerit supernotiem- de partientem mi es mamonasp c. se ne Geometrae ple--nque in Dis scriptis exprimine proponionem quam n e per primo De minimos meos eius proportiovis . Vt proso tionem II .ad I .mia 3 s. ads .mel Is o ad so. malane riseroeam, quam habent sy. ad I. quam tredecuplam. Et et iris m oportionsm 1 .ad 1s via 3. ad 3y.ves 3 o ad 3s s. orsus diacunt eam, quam faber I .ad I 3. qtiam obtri demptam . Ita
quoque proportionem , a. ad s. vocant proportionem I s. ada o.qua alias diceretur pertripartiens decimas. Pr po ionem vero ρ.ad 12.appellane eam, qua est a I.ad II. quia 'ο-
562쪽
prio nomine dicerit uupertriparii s decimas, sese de aliis. lN A M aurem spoportio qualibet exprimi
postper min os eius aeum os, ut diximm 1 pernecessaria tamρn est cognatio Hnsminatoris eiusEem proportionis, mi L. bistidinem inius numeri ad alterum cognosiamus . Nam etiamsi aliquis proportionem numini I os. ad Lo s. dicat esse eam, qua es numeri I .ad O. non intelligam tamen plane, ευὰnam se ista propoprio, nisi pias denominatorem cognouero, qui es . Hic evim mani sese declarat, maiorem ntime continere minorem quater insuper quartam eius partem. Atque hic inominior facilius ex minimis numeri saticuitis proportionis percipitur, quam ex numeris non minimis. Lusdsi quando minimi numeri agituitis proponisnis sint ita magni, ut denominator ex iliis non facile posis intelisti, die mendum erit ad ge tum, quod mox subiungam, ct ex quo denominatir proponionis inter qtiosuis Δos numeros, e minimi θ t , e non. notas essestur . O D si proportionem quamc qtie per eius numeros
m nimos Uforunt Marhematici, licebit nobis mtilio commodius pr o iisnem Dorumhbet duorum numerorum ex ira re per eius proportionas denominatorem: ita ut proportionem Iosa ad as. dicamus eam , cuius denominator est 1. Item
proportionem My. ad 3 F. eam, mitis denominatores I - . . qua dicenda esset superquis partiens decimasnonas . Sic etiam proportio a o. aso. diei potes ea, qua habet denominatorem SL. Et proporrio I R. ad ψI. ea, mitis denominator es ieri dρ peti urs qm τidelites denominatoν eurissme '
qtiostiis numeros ira reperietur . Diuidatiar semerus antecedens,qui nimirum ad ahum refertur,per consequentem. Quo riens enim numerus, reducta priss stactione , qua adsit,a d minimos numeras . ut in Arithmetica rearissimi, erit eius proportionis denominator Veistiproposiano Hilone 3s. au s. vel 3so. ad 3 s. dicemus denominasorem eius esse s. Quo
quando minor numerm per maiorae druid uri . vel 3 o. cum mel Nam
563쪽
esfactio, cuius numerat, es minodi numerus, ct denominator , maior mi in Arithmetica explicatiimin. Et quia mira que patiis, si eius semcti ad minimos reuocemur, reducatur ad hane . dicemus denominatorem proponionis I. ad 3s. 'vel 3 o. ad 3s o. esse Rursu, data proportione sa. ad ψo. ex diuisone 32.per os . sit aeuotiens a M. cuius pactio ν duci r ad sane . Hi γ denominator proportionis sa . ad s. erit I-- . Si autem proponio osseratur o. ad sa. istie- metiar denominator sitie Ouotiens . Lot rari in minimis
meris, - . Fratre ea oportio Ioo ad Id. denominatorem Lalebit s. Disses enim Io o er a o. Quotiens es F. Proportionis mero a o. ad Io o.denominator eris V . pronerea quod diuises uo .pre 1 oo. aeuosiens es id es, in minimis numenis, Denique deneminator proportionis My. ad ro . erit αυ- . quὸd diuisi os er Io Luotiens si θ.Aoc es, in numeris minimis, At denominator proportionis I o. ad S. ereii E. id est,in minimis numeris,. Et qtita demm nator stactionis ad numeratorem habet proportionem quadraptam superquadruparrientem quintas quod diuisis 6 per s. aeuotiens fae . spectabistirproportio Is ad M a. subquadrupla superquadrupartiens quintas. Vt enam rite effreatur proportio minoris inaequalitatis , denominanda Ditis es vorsis denominatoris stactionis ad xtimeratorem, i upra dixi s. IN V E N T C denominatore proponianis duorum Mu me rum in minimis numeris, mi dactum es, eos reducto adinam stactionem, mi in Arithmetica tradartim es, erunt -- merator , Θ denominator factionis , minimi numeri , interetios icta proportio reperitur . In muti lici tamen proportione, ando nimbum denominaris inuerum non habet aηnexam factionem , erunt denominator inuenitis, is unitaw, minimintimeri Atim proportionis. Vi Doniam denominator propo rionis 3 δ. ad tuo. est avi. si e carar ad hane unam stactionem, ὀθ. quod', cendo integrum seminum a. n denominatorem factionis ro .producto numero a o. eiusdem factionis numeratorem s. addendo. erunt as. Θ Io. miniminumeri habentes proportionem eandem, quam I I. ad Iao. Sic etiam , quia denominator proportionis 3 a . ad II 33. esa . eriat δ. EI II. minimi numeri proportionis Ru . ad ar37. M m nem
564쪽
Item Dia denominator proporrionis X . ad ra. es merui in ea proporrione minami ntimeri t. mousim numeri mini mi p=oportionis 1 a. ad Jo cuius denominatoν es erunt
quaerantur minimi numera eandem, Dam illa, hahentes φνο- poditionem, Haenien im eris denominator proponaonis eortim, me dictam es, isque ad unam stactionem redigendus. Huius enim stactioκis numerator, o, d nominator, eram mmimi meri quasiti. Urs quaran γ minimi numeri proportionis. quam habent os o aus o. DAV3 antecedente per conseqtiem rem ereminum, fit Qtiotiens in minimis numeris . aeras reuocato ad hanc stactionem . diremtis minimos numeros oportionis ooia d so.esse 9o. 9s. Eademque ratio es
scere velis , τ ra earum maiorsit, vel minor, uites eam maiorem esse, mim denominaIor maior es, minorem vero eam, tu-im denominator es minor. Quod denominatores ne a iatis,proportiones quoque aquatis esse pronunriabis. Visproponantur dua ha proporriones , superactapartiens decimawqωntas, stiperd cupartiens decimas septima quarum denominatores sunt I ct Irij. dices priorem posteriore esse minorem e quin denominarer I r . monor es denommatore1 Vi. RS a vero arte cognoscata , mira duartim factioniam maior μ, et et minor , an υero aquatis snt, tradidimus in Arithmerica. Eadem ratione,s o orantur duae proportiones, quarem denominae o=o sne a s--- .dic innio rem esse maiorem. Muanquam enim cpio IUUa-. minor se stactione . ntim vita tamen rinteger I s. inretro numero f. maior es. Sic si dent- diae proportiones, a I . ad II. altera IX ad au dices Etam hac esse mavorem , quia il- Iim denominator 1 - . maris es sultis denominatore I-b Caterram, qtiando dua proponiones proponuntur in nrumeris, dignoscemusfacile, Ῥua earum sit maior , etiamsi ea mdenominas ores non inqMiramus, hac ratione. Mialipheato antecedente termino prioris preportioni, in termistim consequentem pos toris , ct remino anteced reposectioris in coa,equentem terminam prioris; cuius proportionis antecedens sterminus maiorem numeram prodaxerit, icta proporrio maior
565쪽
U Etsi duo aequales numeri geniti fuerint, proportiones imires a natis erunt. Visiproponan γ dua proponisnes 1 .
terso arent. Eistro fixisse sperationis se qaia Me rarione, prepo sis quatucr ntimeris , mnhiplicanem intra s sam ex-rrhmi o, qtiam dilo mi me , me in datis Mem is patet. Igitur si procreentur x meri aquatis, erit eadem proportiopi ama adfectindum, qua reprij ad quantim , me ab Eueside demons fur lib. . prs f. II. Nint se , si primm in quartum
producat malo em ntimerem , qtiam secrandus in tres,m, maiorem se pri m , qtiam mi Onim Lubere possis proportionem adserendum, quam tertim ad quartum e guan-λθtiidem missγ esse deberet, Ce orandem mertim post producere, ac proinde eandem Lalere proportionem.
D E SI DER A NTVR nonntinguam rio numeri in quacunque proportione , siue V primi sine .stie non s hos ergo,
566쪽
habebis disisti nnmertis Io. ad Quotientem IO- proportionem distam duplam se Mitertiam . Sed ut stactiones ti-tentur , si quidem per multiplicationem rem expedire lubet, accipiendm erit semerm multiphcandus, qui numeretur a denominiore partis aliquora, vel unum partium, quarum in proprii est mentior in propo trone tamen misi Di,quianusitas partis si mentis, assumi potest Dilibet numerus. Vt si desiderentur duo num i proportionis tripla supersipartientis nonas, accipiendus erit numerus a s. merasus, qualis esIδ. Hur.3 sec. Cuil bet enim sortim ductus in denotaminatorem I p. gagnet numerum integrum e ut diactis s in 3-. t mmctrus I s.qua ad assumptu numeria os . oportionem habet datam. Sie etiam s curas quis Woponionem subquadruplam , cuius denominator es sumendus erit numerus a .ntimeratus, ut Ir. Hic enim descitis in denominatorem prorices R. numerum integrum , qui ad asstimpium ι a. habet proportionem sq iti iam . Si mero per diuisonem agendumsit,ost actiones etatanda, semendus eris in proportione multiplici numeras a denominatore proportio nis numeratus. In aliis autem proputionistis,reuocandus eris denominator proportionis ad unam stactionem , numerussaestimendias a ntimeratore ntimisattis . Vis quaeratur proportast quinsula, stimendus erit, versi alia, numerus 3 O. a I. -- meratus. Hic enim diursus per denominatorem b. facis Luο-rientem c. ad qtiem proportionem Labet quintuplam . Si autem desideretur proportio, mitis densminator sil reuocato eo adsi actionem . stimendus erit numerus a II. numeri rarus, ut ca. Nam hoc diuiso per . st Quotiens a . ad queacceptus numeras sa. habet proportionem a ψ- . denominatam , nimirum quadruplam supertripartientem septimas. Cκter se duo ntimeri proponanstiti piatg qtiis alios duos in eadem proportione reperire, fatis erit , si utrumque per quemvis numerum muti licet, aut disidat. Ntimeri enim pro AI, ais Quotientes eandem habebunt proportionem ,
quampropositi δεο numeri. Item si opsto quotii numero, inueniendus sis altas , qui ad eum proponionem habeat datis, fel ad quem is diam habeat proportionem, sequeris primum , si propo tum numerum per denominatorem proponionis multi ierar assectiniam obtinebis, s eundem per deno
567쪽
duobus num ris , proponattirque tertius qui 'iam numerus ssi idem inueniendus sit quantis, ad Dem territis datus eandem saleat proportionem, quamproximus dattis adfectinis: si quidem denominator pγsportionis dMoram numerorum δε-
toriam nottis est deiurindus eris territis semistis datus per de-mminatorem. Otiotiens enim numerus erit, quem querimm . VH eerte sitis Amminator eo istis totae mi, hi Scandus erit tertius numerus per secundiam diariam,iae es per comsequentem terminum datae proportionis, pro tauque nramertis per Dimum, siue per antecedentem terminum , diuiden utis. Vrsidemur duo numeri M. . quodium proportionis dens- minatis es destir irem territis numertis dro. Diride n merum a s. per demminatorem produceturqΠe quantis numerus quaestus 3 si s A multiplica teritam n merum a s. per fecundum z. 9 productam numerum I o artise per primum . Ad Laot sentem enim s sis abebit territis numeras I s. n-dem proportionem, am -- .si mero inueniendus si qtiartias , qtii ad rθrritim eantiem Labeat proporitonem, quam dati duo semerisq&Uem denomisator nortis es, . cendtis is erit in tertium ntimeram i pratacitis enim numεrus erit, quem queris . Uessitie notus si denominator, siue non, mraltiplicandus erit territis numerus per primm datum, nimirum per terminum antecedentem, is numerus 'orictus per fecundum , id est,per consaequontem formi m , di irin s. Vt datis eisdem duobtis numeris terris a n.muhiplica a s. per denommatorem , gignetur e quintus numeras II --. VAdue tentam ntimeriam a o. in primtim . numeramque productam δ s. partire fer Iecundtim . Nam ad tertium uo Labe- bit ae strens II - . eandem proportionem, quam M. ad 7.ΩS I A vero diximus, eam proportionem esse maiorem ictitas denomanasor maior est fit, ut in propinionibus reti riplia cibi detin minimis,nimirtim dupla denominata a I non autem maxima e pN pe ea quod minus 2:inrer omnes denim natores proporrioniam mtihi Fritim es mammus , marimus aiatem dari non potis, cum numeri augeantur in infinitum. scitur quoque , inter pretorsionis superparticulures reperisi maximam,mmarum sese tal eram, denominata a I - .
568쪽
narorum proportionum superparticularitim maximus es , MLnimas a tem dari non totest, cum denomisatores se acrioκtim progredi silae in infinitam. Comiae aurem ex iis, qua in Arithmetica tradidimus, factionem, certis denominior maior es,minorem esse ,si idem numerator s faetionem
autem, cuius denominae minis es . idems t n merritor, maiorem esse . C- ergo denominarsr a. sit omnitim mini-mtis , erit factio omnium, quae ncim atorem habent I.
quales sunt faenones denominatorum Roponionum stite panicia arsum maxima. COIigitur denigrae, in Hiis proportionibus maSoris ina ahentis neque miti mamposse dari,
nitie maximam . Luod intri geniam es da illimis speci stis . Nam si de Urimis secietas non e sermo, erit per bipartiens inter superpartientes, minima perpartiens otem tertias, maxima . Inrer Diplices antem sepe anim&res maxima eris Utiles ex fessi titatieria minima Gero, δε- pia superparticularis. Inter retitii ices deni estiperparilem
in maxima erismati Iex superpartiens lenias; minama me
que prusHisnistis minoris Ayqualitatis neque maxima, ne que minima dari potis . Luae omnias jictia orint, sidens minaures proportiontim interse conferantur. C O L L I G IT V R eriam, hisne esse connexion- -- ter proportionem maioris ina agitaris, aequalitatis, is minoris inaqtialitatis, me Datibis proponio maioris Ma ahtatis maior si proportione aqualitatis, Dalibes mero proponio minoris inaeqMaritatis , minor : Dopterea quod qtitisset de nominator pro prioris maioris inequesitatis, Maneti is minimus, maior Hy Unitiare, qtia rinominator ebs proporrisκis qualisiarib, ctim icte minor esse nequeat, quam mnisas cum mna parte es, ora r Ae denominar ' Irtionis minoris inequatientis semper minor e , quam mnuas, cum L actio. cuius numerator a denominatores erasuri te ex θ qtia β-pra dixi s , pater. Itaqtie proponio quatitaros me ita es inter proponionem maioris iis ausisti se minisu ingqtia litatis . Vbi locanimataesone Egn m es, Proponion
569쪽
mrispis inaqualitatis decrescendo appropinquare se re magis ac magis in in nitiam proportioni aqsalitatis, nunqtiam
tamen ad eam pertienire r E contrario vero proportionem minoris in equauearis crescendo semper magis, ac magis in infinitum accedere ad eandem proportionem kquatitatis , qtiam tamen eam attingere. Nam qualibet proportione mutiti iri proposita datur minor, ac minor, De ad duplam,qua omnium multipticium est minima . Deinde hae datur mi nor nimirtim stipes articularis vel superpartiens Dactinque, in qua ram minima non posit dari, omnisi proponio eiusmodi maror si proportione aquatitatis , liquido consat, proponio nem maisns inaequalisatis ad kqualitatis proportion/m non
posse peruenire, etiamsi in infinitiam decresendo ad ipsam
acceEat. Rursim ctim omnis proportio minoris in aquai tatis minor se oportione aqualitatis, non post autem in ea reperiri maxima, manifestim quoqtie es, proportionem minor inaequalitatis attingere non posse proportionem aqualitatis, ILcet in in iram ostendo ad eam aceediat. Sed me mirumq; exempti etiam disca γ, silendo es, s inter duci numeros
quosvis non proximos interponatur qNilibet numerus interme datis , maior scia et uno eortim , a altero minor i proportionem maioris ntimeri ad minorem arti fam esse in has minores, quarum una est maioris ntimori ad medrum interpositia, altera vero numeri medij ad menorem . Item proportionem minoris semeri ad maiore diuisam esse in Ptias maiores, ia-ram ina es minoris meri ad meditim interpositim, Here imo medij ad maiorem. Vis inser os numeros c. 3. pona Iur medim Aoc modo, c. s. proportio c. ad 3. qtiae dupla
3 quarum utraqtie minor es proportione dupla c. ad 3. Contra vero,proportio 3.ad c quas M la os, diuisa eris in b-j qui retiam s. ad . ct sit quialteram M. ad σά qtiartim miraque maior es proportione stilia a 3. ad 6. Idomst ,
inter cossem numeros c. 3. inre snamr medius s. sc modo,
570쪽
baripossunt. Veram utramque demons limr hac ratione. Luoniam medius numerin minoν es maiora dato, Θ maioγm nora, Labebit maioν datus ad minorem datum maiorem proportionem, quam idem maior ad medium a is quam me dim ad minorem. At vero minor ad maiorem sabesis mino rem propciptionem , quam idem minor ad medium . Θ qaiam medius ad maiorem , ut manifestim GF vel ex de . a o. lib.
.ut ibidem e litabimus, mel ex propos. R. hiatis 5 h. s. visi demonis i Euetides, propostis duabm quantitatibus inaquatibus,maioris ad tertiam aliqtiam esse maiorem proportiones, quam minoris : At e contrario, temtiam eandem quantita tem ad minorem habeste maiorem p=vortionem, quam ad maioνem . Ex quo sequi in id, quod diximus e nimirumposuis
his tribus numeris Q . 3. maiorem esse ppoportionem eiusdem numeri s. ad minorem s. quam ad medium δ. maiorem Ite maiorem esse proponionem maioris numeri s. ad 3. quam minoris ad evindem 3. Contra vero, maiorem esse proportione eiusdem numeri s. ad minorem o. quam ad maiorem c. Ites maiorem esse proportionem maioris numeri ad ς. quam mi noris s. ad eundem c. Eademque in cateris ratio es. Dispos iis, eris proponio dupla ad a. diuisa sic, . s. a. in aue mi nores . Es tam proportio a ad c qua eadem est, qua o. ad 3.
diuisa hic, s. c. qtiam p=oportio c. ad .. qua eaciem eis, quas. ad a. Lic, c. F. . in duas minores. Item tam proportio a c.
au s . qua eadem es, quae δ. ad .ditiise hic j o. a s. I . Θ'6ortio a .ad ru. qua eadem est, qua r. ad s. hic, I . a 3. II. quam proporris ra. ad I o. que eadem eis, qtia c. ad s. hic, ra. I I .s proportio ro. ad 8. qua eadem es , qua 3. ad . Lic, Is s. R. in diam minores ne e ita fieri potest in infiniarum . E contrario mero proportio Uesiti alte . ad c. ditiis erit Lit, . s. c. in dum maiores. Et ram proportio l. ad I s. qua eadem es,qua ad F .ditiisa sit, a. s. et s. quam proportio so. ad I a. qua eadem es, quae s. ad c hic, Isis I. II. in duas maiores. Item eam proportio 1ς .iad 1δ. quae eadem es, qua R. ad s.dtasia Aic, Ic. IX. II. Onoporsio I R. ad Io. qtia eadem e se, quae s. ad I s. hic, IJ. Is .as.quam propctrtio a s. ad a. qua eadem est, Dae r o. ad 1 r. hac. Io. ai. 22. Θ poportio: a. ad uo. qua eadem es, Da s r. ad Ia. Arc, a I. a3. a . in as maiores e atque guttis incrementi ntinquam erit Min