장음표시 사용
601쪽
Ater Ap γ ant1Itis, est, Arium enee proportionati s . si rotissim ahj ntime fumantur haben es eassem proportiones , alii , eodem ostrine sumpti operabunt se quoque poe-riores hi semen a in iter , hoc est , reunt Ariumetieὰ proportionales , si falli si sa numeri, .7. I s. II. Ic. I s. Arithmerace proponionares proponantur, sumanturque albsex edim i sim proportionibus, cuiusmoda lyns hi, aΟ.I S. so. cf.y o. 91. mperies ipsos quoque Ariumente esse proportionales ; qtiive cum habeant disserentiam Is . Sed caue putes, hanc proprietatem po se conubrii: Neqtie enim s demtir quot-uis meri Aris nuce pr portionales, totides alb Arithmetice quoque 'oportionales stimantur, etiamsi mirosique dem sie dissisentia, necessario hi iliis proportionatis erunt.
Id bd persimum es in ce duabus proportionalitiaribus
s prior secetur in paries , quὰ A I adita ipsim tox sesam .
602쪽
a. I. I s. Mo. ct earum qualibet in poseriorem numeramala. - ων, gignentiar si numeri , 17 o. 1 us. 2βIo. IIclos. qnibus sigillatim per numerum priorem 1 . dmisis, sunt Lustientes , Io. as. so. 2os. qm in Cnam cosi cti summam consistitim posteriorem numeram si s. sabent que easdem proportiones, quas habent partes a. s. Io. s. nimi m d iam sesquialteram, dulam,'quadruplam: singuli vero adsimulas parte mi ro. ad a. 9 as.ad s. 9 1 o. ad I s. Iaso. o. eandem omnino proportionem labent, ni mistim qtiinrupiam .
EASDEM pareontimeri posterioris obrinosis, si eum per priorem , qui in partes distribuitis es , partiaris, Ruotientιmque factam in singulas paries ei dem prioris numeri eas. Vr in eodem exempti, disso semero ast s. per , .st Quotiens s. quo ducto in s. s. I o. partes numEri , . sunt partes numeri aΤs. H, I s. as. I s.a oo ut prius.
HINC facile Hieitur, quo pacto duo quilibet numeri secandi sint in partes eomponentes ipsis numeris aquatis, ita mi partes Cnius sint parribus alterius proportionales , GLIatis itim partistis τtri sitie numeri inter se, stim opa tutis τnitis cum panistis alterius. Asque hae proprietate nitat- temtia ratio distri endi medium Rusium inqtiottiis partes Arithmetice propertioniatis , quam in regulai s. proportionalitatis Arithmetica prascrip tis. Nam sim-nis fotidem numeris Ariumetice proponionalibus, erit eo-rtim summa , numeras in ilios, tanqtiam in paries imum componentes, ditistis. Lua=e s snstiti La paries in datum numerum ducamur, o producti numeri per summam iLIam ditiidantur s Uel se per asumptorum numeroram stim mam darias semeras disi stir , ne Qaordens in singulos
eos numeνos ducatur; producens tir partes toridem numera propositi in eisdem proportionibtis. Quare Arithmetice quo e
proponio tis retine, me ex antecedente regula . manis
dares , erunt eorum d erantia continue Doliae in eadem proso
603쪽
proportione proponionales. Vt in apposito exempti tam nume ri , Dam eorum di mentia, halent congi iam proportio. nem sesquialteram a
Eadem ratisne in sol altero exem se, quod sequitu a- bene is numeri. Θ eorum disserentia , duplam proportionem. Vsi iides di erantia, non disserae a ntimeri, dupla proportionis, quortim sunt istierentia. Id quod sti prepo
ioni dupla Mimnqtie accidit quia in ea Ditilet nsmerus maior proxime praecedentem minoγem se erat ipsemet numero proxime antecedente , cuius in e Loc e L embis continet.
D A r IS quot nque numeris raminiae troportionalibus , s Eorum summa per eos si statim diuidatur , erant Lutrienses conuerso ordine in eadem proportione continue proportionales . Et s Quotientiam stimma pes ipse Luotientes sigiliatim ditii itir, restabun in Vim pro tis LNorienses ordine eo reser atque ira in in itiam . Stimma autem eorum Quotientum aquatis erit semero, qui si ex primo Luseiense in thimum , vel eae mtili Aeariora Δoriam Doramlibet ias extremis aequalite uisantiam , mel denique ,si terminorum numerus es imp γ , ex medio in si iam ducta. Luo arie in eib L ωideri posse. Exempti e- .
605쪽
terminoria impari aquatis, o e. Ωtia res miraculi insar Dodammodo censistipsist, dari posse in data proportione , quot- ot quis in erit, terminos contritie proponsonales, quyrtim stimma eae inhiplicatione primi termini in visinjugigna tir cum contrarium Atilis experiamur in omnisus proportioni-bias conti is in aqtiatiraris, quarum termini sine n timori integri , ct in aliis etiam omnisin, qtiarum semeri stactiones habens admistas, ns si numeri titistientes sint ργoducti ex diuisione Amma ritimis Dor cunqtie terminorum continue proponionia tam,per ipsos terminos proponionales,ut diximus.
EODEM modo satisfaciemus qtiasioni ,s quis petat
duos xtimeros datam Lahentes proponionem, quorum Amma; aquatisse niam o ex eo m multipheiatione mmus in arte
INTER tios quo unq; numeros constituemus mediuGeometrice proportionalem , si eas inter se mti tiphe tis , se
proportionem qtiad Nam qtiatim etiam fas ne a . ad s. Itaque si inter Iatos desos ntimeros constituendus t n merus medius Varroniatis,qui υidelicet reprimi possit, necesse es , miniam us ex uno in ait A pro Atisse qiandrastis. Nisi enim quadratus sit, non LabElis radicem in numeris, sed eius pavide
606쪽
tres numeri qtiimn e, Dorum secun s primis quiniu-ρItis , o tertius eiusdem primi petistis. Qtiariati enim --
meri eorum erexe Arithmerices proportionales,opi imm numeras accepitis insecti tam ductus producet meditim propo tionalem Geometricῖ infer primcim quadratum , ct fecundiam , inpraportione imi assumpti numeri rid Ontam: δε- cundus mPro numerus assti tus in renitim aridus 1ner m ditim proportionalem rerer secundum quadratum, Θ te ritim , in proportione , qtiam intres Labens Gndus, ac tertius numeras assumptus. Id quod peri*i δ in εοc axempti paratia. LME'. Arit s. t
607쪽
HINC Deile reterres idies numeras quadratos i qui δε i. alibus differen in muttio stiperent, spis OdScibias eorum sumes tres numeros, quorum scundus e primi quintuplus, is
ranius eiusEem primi ruptis. τt diximus. PARI ratione , daro quotiis quadrato ς reperientκr Hij duo maiores cum icto consit emes proportionae ratem Arisί- metieam . Si enim radix dati quadrari matur primus numerus , o any d o meri fumantiar , Dorum alter illitis r dicis sit quintuplus, e sumptas alier, erant quadra i ntimeri sortim duorum numerorum , quos quarimus. Vi s derupquadrattis numerus erit eius radis F. Di s numerus ssecundus , in o. tertius, Fc. Θc. INVENTIS atitem tribus quadratis Aristmerice ρνspretionalibus, si eos per quemvis numerum eundem multiplices , ωes per quamuis partem ali oram Dam habem, diuidas, erum producti qtioqtie num/ri, aut morientes Ari metice proportionatis, intra Do m binossin Ii ctiam m dij in Geomefrica proponianauerate interripitin re qui medj reperien r eodem modo, sin istim med j inris PMdrasos inuenti per eundem istam numeram m Itiplicen γ , vel per eandem istam parrem aliquotam diui nitidi . Visi pistoris quadrati, na ctim medijsproportionatibus duplicentur,creabiantur hi numeri.
Arithmet proportio .s 8 s i a ool l sya
Habestim au om fit numeri Me modo intienti e P smor proportiones, quas quadrati,eorumque med j inter se faberi
608쪽
Quodsi ει g. vos. 3sa diuidas per M. inuenies alios, a. s o. 'I. Arithmetice proportionares , inter quos cadunt Geometrice medij, 1 s. a zo. Et si denique Los a. F o .sδ. partiaris per a. sabebis alios, r. 23. os . inter quos medij Geometrico sunt, s. 931. V B I sse etiam admiratione lidetur di tim , quando- nque infer tres numeros Ari metice proportionales, Atie
quadratisnt,sive non , cadunt duo medij Geometrice propo rionales , unm inter primum secundum, istos nδε ac tertium vitrer quadratum prioris medij , quadratum secundi numeri Arit otica proponionalitatis, Θ qtiariarum poserioris medij eansisti e proponisnatitatem Arium elicam. Vi in poseriori exemplo, quadrati numeri horum tria
Arithmetite proportionales, sabentes disserentiam eandem communem 3δ oo. oesic de caeteris.
INTER quoscunque os numeros reperiemtis rano cunq; medios continti e proportionatis, iucundasene, o artimio se operatione : quam ut planius explicem, iacenda patica sunt de radictim genestibus, se qu5 paecto inmeri ex suis
raditibus gignanIur. In omni ergo proportione continua , qua ab I. incapit, fecundus terminus Odex es omnitim numerodium in qtientitim. Ea enim radix bis posita, atque ira in s ipsam ducta producit territim terminia, qui es numerus qtiadratus , radix e ipsa quadrata dicitur. Eadem radix iis lpsta, ct primum ins, is iterum in productum multi cata gignit quartum termrnum , qui cubus es, se propter radix eius crisica appeliatur Denique seadem radix ponaruν quarer, o saxi tres mia Nicationes, peimum in se, deinde in pro ettim , renio iterum in ultimum productum requiustis serminus e Et si ponatur quinquies, fant , qtiartior ordine multipheationes, cpiertir sextias terminus, atque ira in infinitum . Stio pacto autem omnes sa radices nomisari debeant , ct gna=i, non os ktiis, loti declaradie, sed ad AIgebram rota hac res Per fiat , ethi etiam dotes dis, qua arte ex
dato nam ero emendae rat. Atinc, vi intritigerar res,de quaazimus,
609쪽
uimtis, nos anda sunt tres infra ripta proportionati res continua , quarum rie prima tint Ars mericae, nimirum duaseries nastipatis nesmerorum ab r . incipientes, tertia vero Geomefrica ab i. qnoqiae in tium ducens . Vbi persa me appare- sis, quam egregium Uum habeat series numeroram natura- llis in re proposita . Ppima eo Iectitur seminos medio m eonfiituendorum, secunda numeros, qui significant genera radicum, hoc es, quoties termistis sectinias tertiae proportionalitatu, quem radicem omnitim insequensitim diximus, redine poni debeas, eti murripi caras numeros proportionalitatis Geometrica Egis respondentes procreet. Verbi gratia, itas medij oraenis signiscat; mreum a. ter ij ordinis, qui radix es omnium actoria , femerpositum non esse multiplicandum , sed ipsium mei esse rassicem omnitim ex nucta Di multiphcataone productam. At merus a. eitissem secunda ordinis indicat, eandem radicem 2.t w ordinispositam bis hoc modo, a. a. O ita in se mcilli-pIcatam gignere . . territim termistim ei Am traiij ordinis. Sic numerus 3. mesi orrinis denotat, radicem eandem P -- i ordinis positam ter Me modo, a. o. a. atque ita mia lithta tam producere Ι. quartum tremiatim in mi ordinis. N am ex radice a. primo loco posita in eandem s. postam secundo lora fit numerus o. ex hoc prodacto in radicem a. perito p id mloco gignitiar numerus δ. quartus mimi m p pretionali istis Geometrica sis mero s . ordinis fecundi. Id2m iures des nis. Vt verbi gratia semertis r. fecunda proportionalitatu mon strat, radicem eandem a. terr ordinis positam Hetrios , hoc
pacto, a. a. a. a. a a. a. ms contritie oriri mcili si ram producere actae. octautim numerum Geometricae propypti ona i
610쪽
Me raraet '. sexti siti sunt co .ct deniqtie ex c. . in a. seprimi Dei n/ s 2 δ .cte. Atque hoc non solum et erum es in propos ta proportione collatia dupla, sed in omnibus alijs, qtiletin
qua numeras sectintam locum occupet tanquam radix alio
rum , ex qui proportionem denominae.
proposiros meru, cape mertim mediorum constituenda rum in primo ordine. Nam ex Creoque numero dato ex ra
plicata miramqtie producat, quot unietates continentur in numero sectindi ordinis, qui infra numeram mediorem con Lmendorum in sipremo ordine accepitim scriptus es. Radites intientas sui datis meris colloca, quamqtie sub suo , o at eisdem astonae per contintiam miriusitie Utiles itarione, ducendo primum quamque radatem intientiam in f, deindὸ in numeriam productum , O sic deinceps. 9 ita Si dum proportionalitates Gramet piras multiphees insitum a raditibus incipientes, se at eisdem denominat , pos terminoram, semeitisis dari, ostis numerio quot mediν termini Daeruntur . Pos hae utius terminos mitis ordinis duc insin Ios tremi nos ali itis ordinis aduersos, ct oppositos , soc e maximum etnitis in minimum alteritis: proximum deinde sub illo intraxim stippa Mncis c. Ita vi in uno ordine semper descem das a s remo ad is um que , in aetero mero ab infimo que ad se remum ascendas, mi in exemptis piatehit. Na- meri enim procreati dabunt medios terminos, q&os quoi s. . Exempli Ossa, si inter s. N a Lanuenien ast intis terminus medio Iora Aoponionalis, sumemtis in Irimo ordiae tib hoc te ino insectini oriune meram a. qui indicat, ex treoque mero dato eruendam esse radicem Dadratiam, a sidelicet stipssita, re eius mutiiplicationὰ virumque pro car, Ut declarati mus . Rarices autem quadrata
intientasunt 3 ct ra. Et quia zntis ranitim medius terminas risu artiri non sum instimenda troponio Atates Geomes ea a padiciίtis incipietes, qua ures terminos sabeant, sed ipse radices iter ses Utilriplicanda. Numeras enim procrea tis scr. erit messio loco proportisnalis inter s. Θ r o . Vth c vides. s. sc. 1 . Sic etiam sinter a g. is a II. consi- tuendio e wκus rediminus meditis: quonia hi numeri radices quadratas