장음표시 사용
621쪽
μoportionalis Harmonice, quia disserentia amsors t per maior es minore remino , atque idcirco siseraelio I inequit. Vis dentur numeris . . quoram proportio es dupla sesquiteretia, nimirtim maior, quam diapla, vides amfortimae ferensiam O. maiorem esse minora remino I. Qtiare illas
non adjungetiar mllus tertius proportionalis . ALII ita inuestigane temtitim terminum . Dcictim datorum numerorum aesserentiam in maiorem, numeremque productam per Mumerum, Di relinquitur, subtracta enim differentia ex minore numero suadunt; Ruotienum deniq; maiori adb eisne, vi tertium conjiciant. Vt datis Δobias numeris, Ia. ac se tim disserentia . r in rc. is productis numeras σ dotii tudi per δ. qui merus retin isti , 5- tracta eadem di erantia ψ. ex minore Iu . 9 se aeuotiens δ. qtii is artis ad maiorem rcfacit territim a . ut pratis . , ITA LV Ε, s duobus κtimeris ad tingi possis territis maior proportionatis, necesse es, Hortimpropoditionem esse me u- perparti larem , meis perpartientem , nimistim dupla mi norem. Ex quo liquido consae, Harmsniciam proportionalitatem non posse progressi in in latium versus maiores numeras. Nam cum pristio ventum erit ad iam ntimercs, tiretim
'oportio despia es, mel maior , ibi necessa o 'oportionalitas is et , se mora non promouebitrar S E . I T V R quoque eae priori regnia, qtiando minor
te istis superat disserent am ambortim sola initate , territi procreara ex primo in secundiam Dia productas hic ntimerus ditistis pre Etam ιnitarem facit territi xtimerti, ut diximus . Constat aure ntimero per unitarin aetiis, Quotientem esse eundem num prum ditiistim. Vrsidentur dias numeri. c. II . tita minor ciuerat amsortim in ferentiam s. sola initate , erit tertius proportis lis numeras 56. qtiis eY ς .in i riseiati hiemides, ς. II. cf. Idem cernifur in si e numeris. a. s. c.ΘI o. II. Is o. Semper enim tertius sis ex primo in secundtim
quia 'imus stiperae disserentiam prioria duor sola mnitiare
iori adjeiatur: quia 's etas ille di fas per i tam sella rem , non satis diue sum Lustione em ab eo producti , ctc.
622쪽
Vt dari, eisdem numeris c. o differentia sa ducatur in I s. Ο productus 1 s. adda ν maior, a r . et tertim terminus σύ. ii trinis igLVA R E fatua quoqtie referiri 'ossunt isti numeri Barmonite proportionales , spro primo stimastir Dilibet numerus , pro seiunus mero e m diapim, rit Aia pratis unitate, pro terris denique numinus , qui ex primo si in secundum. Ut primm sis F. erisson ου 1,. is r/nitis Iao. se dacereris . Proportis a tem tam extremorum , quam disseremtiarum semper erit multiplex a medio, qui perpetuo impar es, denominaria . Vs in his proximis res ου, .f. II. Iaa .proportio
as quinde pia, V N D E s Da vim tres minimi meri integri Hammonice proportionales in Dacunque proportione multiplici, squidem denominator es mortis impar, sianiemin eum denominatorem in media es siem amem numeri ΡΟΣ emaἱoris in primo Deo. In terris denique colio limis eum ,
qui ex primo in secundiam se . Vestae Verre reres numeri in uri , is minimi in proportione septupia, Aeasimus r. in medio . O .. id est, femi cm ntimeri Τ. Roxime maioris
quam o in primo loco, in tertio numerum aδ. - in 7, procreatum , ut A c fides, . r. vae. Si et ero denominatores par, statuemtis numerum proxime malopem in primo locors M tritio vero costscabimus nesmertim, quis ex illo proxime mal e in denominalyem In medio deniqtie ponemuta denominatorem duptitaram. Vis inueniendi sint die minimi integri in proportione o pia, constituemm s. qui numerus proa e maior οἱ denominatis e F. in primo Ioco , d in tertio numerum ra. ex s.in g. genitum s in medio denique diaptam
denominatoris, nsmarum I mr hic apparet. I. Iσ.et a.
RV V D s ires numeri Harmonice opserionales in dita sponsens inueniandi sit, e ihi minimi si ct interat, siue non, agendtim erat hoc modo. In medio famemus denominatorem data proportionis r In primo mero semissem numeri, qui denominae a mni ate seuperiat: In tertio in quesito locabimus numeram ex mtillipticatione primi per mediufactam. Veluti siqnyran tir tres in data pro prione dia asti e tripartiente s rimas; erit denominatoγ suius proportionis collocandus in medio, is in primo numerias I - . ni
623쪽
nem reducatur e Numeraetores autem M. I Is a o .erunt numeri integri Harmonice propyrronatis, eritque extremorum
proportio , ae proinde disserentiarum , dupla supertripartiens eptimas,quae iidelicet data est.
D V BV S numeris datis, reperiemus tertiam viroque minorem in proponionagitare Harmonis hoc modo'. Num ptim ex uno in alteram productum parriemur per summam ex maiora dato, εν amiorum disserentia cohecyam. Cuotiens enim eris is,Di quaritur. Ves dentuν dtio numstri c. 12 ῶ-
Midamus numeram a.em c.in Ia .ractum, per ν δ. summam ex sa. Θ ambo m d erentia c.collectam,reperiemus tertiu . minorem Glrog illis proportionalem, ut sic cernis, . c. ra. Hanc exterimus regrediendo versitis minores numeros, duo bus .c.minores territim adiungamus s. hoc modo. 3. . s. ra. qui numeras s. inuenietur, diuidendo numerum 2 . factum ex , .in coer I summam videlicet ex c. ambortim disti rentia a. sie m. Eodem modo duobus minorisus 3. a iungetur territis miser a- . Atque in hunc modiam decrescet proportio sitas quatibet Harmonica continue in sonitum Vbi animaduenere licet admirabilem sane varietatem inter A, tres proportionalitates Ariremetiram , Harmonicam ,
Θ Geometricam; με varietas tristis hisca propositioni sexplicatur. I. ARITHMETICA augetur in in trum,su in is nitum non decrescit. II. HARMONICA cont=a, decressis in in nitum, sed in in itum aueri non tes . ΩΛodinreligondum est, sita
624쪽
Dryamquo partem exr dipotes in in iram, sicut Geom trica , ut supra in retusa r. diximus.111. GEOMETRICA deni e se augetur, od , escit in in nitum. EST O Ase notasti dignum, in etiIo reperiri quatuor re minos in Harmonitapraportionatitate continuatos, qui etarie interse comparari praecipum perfoFas consonantias Musica3 exprimunt. Nam c. eitis bas s quadrata 3 R. anguli solidis Ia. Iasera; o a . angulis vi consistisnt soso. terminos c. g. I a. a . continue proportionatis Ha monite . Fropo rio ararem I. ad s. essesquisenia , qtia consxamiam Diatessaron , e Luanam , consimis. Ppoponio mero II. ad
Lurneam. Proportio deinde ra ad 6. mel a . ad II. pia est, explieans consonantiam Diapason, stis Octauam. At pro portast Σμ ad S. 2γipia es, esseiens consonantiam Dia sen o Diapenten, hoc es, Duodecimam. Denique proportio a . ad
DATI A quoslisu numeris Ariumerica proportionali- itatis ,s quicunque numeru3, e minimm ne non minimus,as eis κtimerarias persutilos dividastidi, erant aetiorientes conuerso ordine Haνmonice proponionatis . Et mitissim, δε- sis qtintlibet numeris in proportionalitate Harmonicas nume iras, quem metiantiar, ρὰν singulos diui stir, e ne Otisti en- res ordine conuerso Ariumetice proponianales. Verbi gratia. Sim Arithmetice 'oportionatis, a. a. 3. . s. c. Numerus, que metiuntur, es o. ex eorum continua mtitit iratione intris praereatris . AI minimus ab eis semeratus erit co . quem νε- pedites per ea, qtia in Arithmetica practica cap. I sicripsimus. Priore ergo persintilos dies diuis, inuenient in si in propa rionali se Harmonica remis a.
TVeriore amem per eosdem datos ditiise, reperientur Li.
625쪽
Atque si numeri inureri e Pem proportiones lasei, Das dari viamisi Arithmetitu vore onritiearis, siniae sam, con uerso tamen ordiner nimirum me in Harmonica primus adserandum, ira in Arithmerica serandus ad primum e Et me in Hamonicasecundas adferatam, ita in Ariumetica te abus ad serendum, oc. Ntimeri quoque per minimum num ratiam inuenti, fune minimi in sitiis proportionibus. Luod mitissm mmems ab istientis numera m ditiari r per vulos intimios , gignentur totidem ntimeri Arit erige proportionatis r Et siqnidem minimus , quem meritinetir , tii δε- sin , prodi ne ijdem numeri Ariethmetice proportioniales, per quos Hamonic/ prvortionatis inuenti np, se eodem qu dem dine, qtio dari me, sed ordine ecnuerso . sciam inuentis in Harmoni pro Hionalitate conferanor. Sempis enim sinina proportionaligare'ogrediantur numeri a minoribtis ad
maiores , in altera a maioritas ad minores progresstis M. Θ
numeratus, ct minimus Didem , s minimi de erimur per singulos diuidendus , ψ dixim-4ν I DAT Is disitis nummia in venionalitate Harmoni- ea . tantiam fit ex priorum iusserentia in tertium, quantum eae disserentia postixioriam in primum. Vt sic cernis. Nam rum ex a. in Ia.rum ex .in cit merias u . Rasio Atii cares es: quia cum sit, ut ra. , ita
et eris numerus ox primo I 2. in quartum a factus, aquatis mero, qui ex seundo c. t in tentam me ex a. regiati's-
portionalisatis Geometrica manifestim s. Idem consat in plaγibm terminis, sterni aeteret Amantiadi, cum suu differentidis,ut in his s. terminis apparet .
626쪽
Nam eae 3 s. in Io. θ ex ro. in cofune cos. Item ex ro. in r s. a ex s.in 3 o. unt aso. Rursus ex s. in ra. Θ ex s. inas, mos . Ac denique ex s. in Io. θα a. inrs.sunt 3 o. Atque ita, vi vides utunda operatione pro re potes, numdari quotcunque termini. aut inuenti, seruent continuam φν portionatitatem. Harmonicam , nec ne . Nam sumpsisternis,ae ternis, cum suis disserentiu ,s dissisentia commutato omdine diacantur in primum terminum aesecadum, produc an que moebi e numeros aequales, erunt termini omnes tantiantie oportionatis Harmonice, sin minus, nequaluam. VII. RV o D squis dioperire melit Dinque minimos παmeros, in rhus omnes re proportionalitates existant: ita inprimi tres semers habeant proportionalitatem Arithmetieam: R Myo istis primo, tris insequentes proportionalitatem Geometricam tres postremi proportionalisarem Harmonicam: ae denique primus, tertius, ct qtiistias habeant datam proportionem conti am Geometricam. Vel peperire quis metit tras numeros in data proportione continuo proportionales, ita ut inter primtim, ae secundum radat medius Arit merice proponionialas, ct in er secundum ac teritum meditis Η mo nite proportionalis, meditis denique erium datorum numerorum sit into medios intiensos metatas proporrionalis Geometrice, at a. quinque numeri ita intientisint minimi omnium, in quilus ea conringant sesciendum id erit hac ratione
Sis dasa proportio tripla, in qua tres minimi stimantiar terminu , s.f. I. Inrer primos ossis marinmὰdius Ariumetice, c. Per hune diuidatur quadrarus m/dij numeri 3.Qsumpti, se Luotiens r-. inter 3. Θ I . satuarin, o in primo ordine sic posis apparet. Sed
627쪽
qnia hie Luotiens inroger es cum se acrions reuocabimus inmiad meserim paepionem Lanc it in sectindo ordine vides. Luodsi eim numeratorem 3 . accipiamin, re ficto denomina
tore , εν alios ntimeros secundi ordinis per denominaeorem a. male licemus, procreabimus Fin e minimos numeros γῆ-sios, Si in tertio ordine cernis. Nam a S. II. c. Arithmeti crim Labent proportionalit rem1 12. c. s. Geometricam : θ6.3. a. Harmonicam 1 ac denique agA. a Iriptam datam. .
Quod si non inueniendisint minimi qtiisque tremini in his fribtis proportionalitatilus confinuatis, accipi possum quia nqtierreb numeri datam proponionem habentes conti iam, o e meis dtio mediri nim orum fondus, Θ qtianus, inue gandi, mdictam es. SI minisci termini cum maiorism conferendUns, ct δε- in i pro nis sustri a xti insita eo-dom artificio eae his tristis m1nimis. a. s.f. subtri is hos gni a. c.s. IS.
nimi termini tis. 6. . Inter s. ct c. medicis en Ari m rice, - .mt in primo ordine. Retiο- ceme ad tunicam hane stactionem i- . mi in secundo ordine . Ss to aurem numeratore i s. pro sectando numero, reticZo denominatore, ca
628쪽
quaesti , me in quimo ordine apparetis. SI minores numeri cum maioribus comparandi sint, inueniemur in proportione data sissesquialtera qtiisque termini minimi, it hie vides in qtiano ordine. Eademque in cators es ratio. P OT E S quoque ,si placet, in primo ordine omnes qtiisque nrame- νει construere, o stactiones, si quasi,ad initam den minarionem minimam retio care, is deinde quamIiber ad unicam stactionem . Nam se num aiores 3νο istis stibistia denomina ore communi rellecto,stretiquos numeros integros per commianem denominatorem multiphees, est cres quinque numeros minimos integros quassos. Vt si βό- quadrupla proportio proponatur, erunt minimi tres termini, c. Additis vi s. . erit Amma imidium aq-. m
dim Adi, metice inter eos. Et si diuidatur quadrasus nume-νm n meri er b. st Stiο- tiens medius Harmonice inter . Θ rc. Duae autem stactiones reduietur ad minimam denominationem, ut in se n-da ordine. Et stactionistis singulis ad unieam stactionem reuocatis, constimetur tertius sydo. mptis autem ntimerioribus, retinquendo denominatorem communem, o numeris inregris per denominatorem communem multiplicaris,eon mentur qtiinq; minimi utimeri quasti, τι in quinto odidine miris. Atque in Aunc modum quotcunque terminos proportionem aliquam seruans es, in Di s 88mi sunt factiones: adio idem reminos integros reduces, quando res exi is .
Geometricῖ proportionales non contantie, et us autem medio rtim cum extremis semet proportionatitarem Aris meritam, aure etero Harmoracamina us in Partior illis maris omnes tres
629쪽
i es proportisnalitates, quin diximuΗ , reperiamur, dicuntur quam, isti num res consituere Harmoniam maximam a xuando autem quatuor meri ita ordinansis, mi in ipsisFeperiamur diae utintaxatproponionatitates , ut tei Geometrica , Arithmetica r vel Geometrrca, ct Harmonica . misi Harmonica , Arithmetiea, Honor ilii Ρamor numen Harmoniam minorem consistiere. MAXIMAM Hamoniam , in qua exfremi terminisabeant etiam proportionem datam , ita consestues . Sas da proportio qua O .ad I. quam extrema termini Liabere debent. sition iam fiamma es iam ny impar,riccipro eorum duplos ra. a .inter quos medius Arit metice consimamr r. hoc mo-us Io. . I. Lias eorum summa fui ei pari acesi em satim meditim inter eos in proportionatisare Arithmetica . Ex his tribus Arithmetice proportionalibus inueniantiar tres Harmonico spoponionatis per primam regulam, R .a . I . ρο --m extremi Lasent proportionem data nimirtim eandem, qtiam Io ad 2 ιH6.ad a .Si stiriar inser extremos Io. I qtii sempeν ita inuenti pares reunt, martir erram meditis AritAmerice, s. erunt quatuor quaesti numeri, X . s. a .r . Nia extremi salem datam proportionem, quam c. ad I. Dcinde in eu reperiuntur omnes tres proportioniatitates . Inser ipsos enim quatuor existit Geometrica proportionalitas non continua , cum eademst proponio S .ad os . quae I . ad I . velae .ad 2 .qua . au I . t liquido consar pro'ietare tritim sarum oportionalitatiam.At inter δ' - s. ro. Arriamatica. Ac denique inter g .a . I .Harmonaca ex cons mone, ut sic vides.
meditis in Arithmetica proportis litare, I. cc modo, c.I. q.
630쪽
Ex his preprimam regulam inuenio Harmonicti proportionales 3 o. a .uo. Constituto amem medio Arielmetree as. inter Io. θ o. erant eadem ratione quatuor numeri quoti, 3 c as. a .uo. cam habeant omnes tres proportionatitates , υt sis apparet.
3 E O S D E M .n meros maxima farmoria reperiemurispra extremis stimamias quosvis duos numeros daram propo tionem labentes,pares,mel impares. Si enim insep ossa artir medius Arithmetice fise aurem, me inuenitis ad primm extremum, ita alter extremus ad Mitid, eris hic iuuenem in Harmonica proponionagitare meditis inter eosdem miremos. Ωuando enim in o. ntimeris Geometrice proportionatibus, qualessunt .intienti,unus meaiorum es medius in 'voγtio naritate Ariumetiea , alter medio m medius es in Hammonica inter eosdem extremo ettsupra diximtis in .proprietate sartim tritim pru rionalistatum. Londo igitur L .ntimeri inuenti sunt integri, factum erit, quodpisponi r es vero admisissent stae Dones, reducemus eos ad insegro is ad nem antecedentis ν ura scripsimus. Vi si 'oportio datast dupla amen ins extremos,1 a. ' ς Dim diu umma eorum s erit med in reminin ister eos Ariumetice proponionalis,hoc modo, I a. s.c.Si igitur fiat, me s. ad s. Da ra. ad ahud Velmes .ad 1a ita c.ad aliud, inuente ν semper nia mortis I inrer Ia. I c. in Harmonica propistis litate me dius , Quare se sabunt nummi maximae Harmonia, 12.3.3. o. Pol emo sin eadem proportione dupla exraemo-rtim stimamus pro extremis. Io is Io. inuerimus mediam Adiit metice, i s. o Harmoniee r in minimis numeris,