장음표시 사용
611쪽
quadratas non habent, gnati spriorem hoc modo,R. II. poseriorem autem sic. E q. 2δδ. Ha autem radices inter se multiplicata faciant u. terminum medium proportionatim inter a I. Θ aδst hoc modo II. a. ag g. Vbi etiam admiratione dignum es , duos numeros , quorum neuter poseri esse ri. inter se multiplicatos gignere numerum rationalem: cuius rei demonseratio ex tis.s o.petenda es. Quo pacto autem inere se multiplicanda sine utio numeri suγH. qui nimisiam ese ferai nonpossunt, Datissunt R.pa 8. 9R.q. 2IJ. docebimmis Aliena . R V R S V s sidia i sint δεο numeri Ic cus. inter quos dies medij constratisia sint, accipiemm in primo ortitae numerum medio m 3 .etii in ordine secundo subscribistir numems . Igitur ex miroque dato numero extrasenda est radix. qua quater posita, ct continue ulti leata virumque producat, qua quadrari quadrata,veI qensiet enseri die otie, i mo di in dato exemplo sunt a. Θ s.Consimo ergo hos ordines triti terminorum sis 16. o sis. Geometrice proportionarium in Ροpoisione multiplici ne ientes ab eisdem raditistis 2 ct s. a quisus proportiones horum ordinum denominantur , ut Lie apparet .
fiant o.pro primo medio . Ex o. in as. sunt ros. pro media fecundo . Denique ex a. in Ias.sent aue o.pro tertio medio. s C I T V autem digntim est, medios teminos intimios tum draobus extremis datis continere proportionem continuam i eam , qua inter radices dato tim numerortim reperi r . Sic enim in dato exemplo vides ita esse cas. ad aue o. O as c. ad roo. Θ ros. ad O. Θ o. ad Ic.- s. ad a. Duapropter , - tientis radicibin maior per minorom dimidia ruri se per Axο- tientem,qui denominares est proportionis radictim in resarti,
612쪽
mtilli iactur minor numerus datin ,'pro Em numerus rursum per eundem Lussuntem mulsiplicertiri argiae ita demeen, conmrtientur inter duos extremos daros medij triminiudem, etiamsi δεο illi ordines proportionum muli fictam α dicibus rino natarum non insiluant r. Vt in exemplo dato. Diuisa radice , per radicem a Je Quotiens Σ- . denominator videlicet praportionis , ad a. Si igitiar duem minoγὰntimerum datum Ic in I Flignes Oo primum mediumr Et si mrsem ducas o in a procreasas Is o. fecundum messium: Et denique si Io o. cas in a . produras as s. tertiti mediu.
PERS PICVVM atitem es, inter datos quoslibet numeros nonsemper consimipuo niam eram terminorum no- positum , qui sint rationatis, sed Nemnque intimus e minos se irrationatis e proptraea qtiod dari numeri non Latine sim per illas radices, qua edit hende sunt atii certe non hent eam proportionem, quam aliqui dus acim,ri , ex quibus ea radices pistini ext si, quod etiam ratis elisas . Sistit enim inter a c. D Uas. qui sabene rarites quadratiquadrat m, Loes,qua quater ista eos suis mul istieationibus prosicunt, nos medij termini incidunt ita γορορ inter δ. 18 3. qtii Uis ascas .moportionales sunt, Iices non habearit simitis dices, eadunt rem medij remini . vi hic paret.
ter quos cadant,quotquot modes, termini medij rationales in data proportione , accipiendi sunt duo semenά quomodocungritam hasentes proportionem. Eoriam enim iterque stolies ponatur , quos semias medij quarendὶ sunt, ad ue δε- mel, ct continue -hi ierim, retine ultimi duo numeri producti , quos quaerises: Inter eos enim medij remini constituentur eo modo, quem expositam i, hoc est, veI insisti/ndo stib illis duos odidines proponioniam mviripticium, qum assumpti numeri denominent, tot terminoriam , quot med, termini qua muri via Dipticando minorem eorum per denomi natorem proportionis drua , que es inter acceptos os num H sec. Verbi gratia quis velit duos ntimeros inter quos consimi possint quatuor termini medij rationatis in proportione superbipaniente renias, cultis denominatoν es a sumemus duos numeros c. O 1 o. habentes datam proponsonem supeνι partientem
613쪽
confintia viriti tis exi ne hi numeri c. Iossos. im ter quos consitura quaruor medios numeros proportionatis. ii sic vides . a
614쪽
Eadem partes iamnientur, stimantur si a 3 c. numeri
quorum summa os o oo. Nam daem n merus 71ύ. Husus persummam priorem facit rao o. qui Quotiens dractu, in imum numerum iacceptum - dabit primam partema a. ut pritis, sec. At idem numerm datus uec. diuisus perposterioris ummam cs oo. Deit Quotientem qui δε-ctus in primum numerum asti tum Io o. producit eandem partem primam Ia Θμ de careris .
QV O D si cupias moum , quis rari possit in quo uis partes proportionales e vila factione, amnis sortietur
id, quod iam praecipiemus, incidemtis plerunque in stactiones assequeris proposium. umas quemcunque numerum mul- Uticam summa totidem terminopum proportionalitim asstim- prorum . Ut si quis querat numerum , qui possi di i i in
s. numeros insegros se uialteram proportionem continuam habentes sumptis s.terminis insesequialtera oportione continue quibuscunque, ut 6 .sLI .a I Q sa . quorum sum ma es a. .aceipiemus huius summa quemcunque numerum multiplicem, nimirum demptam F o. Hic enim per praeceptiam tradisum secassem in s. numeros integros proportionis sesequialtera continua, cum eo diuisoper summam acceptorum numerorum, Quotiens necessario si numerus integer. HINC natio negotio satisfaci/mus qMasioni, qua ius-mtir in data proportione continua reperire quotuis numeros, qui in mam si am couecti Gnsimant numerum ν-- cumque dat m. Nam si datus niaminus secetur in res panes proportionales data proportionis, ut docuimus , fruta erit qtiae iis . Ves quis inuenire metit .. -meros tripla propertionis continua, quorum summa sis a so secandus erit hic nu
s eo trie debeant mmam oo. erunt numeri quasti in tripla pr portione continua ALI s.7 o.s s. azo.Horum enim simiama es oos. Si denique iammam con cere debeant non sup rantem I. cine huiusmodi numeri, a V.S-ma enim L M, es hoc es, i.
615쪽
In omnigus enim ex primo termino Apishmeraca μυον rionalitatis in secundum θ' tonitim se primus terminus Ma montea , is sectinisse ex sciando vero in senium, tertius. ALIO modo, o in idem ratidie, gigni ν Harmonica pro tronalitas excitis metitia . Nam messius remin- Arithmericaργoportionalisatis daetias in extremos gignit extremos Harmonitu exraemi ι'o eiusEem Arte meracis imiisse messe Aeati ereant medium Harmonica . Vt in i Ismaxem is manifestam est. HINC se, eaerrimos erem nos Harmonica proportionalitatas , ni proinde H Nisen lari eandem habere proportionem , quam extremi Arithmetieae, ex qua orta es , Lasenti Dia iiiiiset extremi Arit metica per eundem medium mtile Atari pro et erant Harmonica extremos.
portionalitatis Harmonic et, quIrtim extremἱ , atqtie adeo
diffrientia, datam habeant proportioncm, stimendi sent diasnti rei φ, oportionem datam Labentes , ct intre eos medius Astir esiae Roponimai ratis constituendesse ae denique eae A seo tribus terminis inueni/ndi rara in preponionatitate ει ν monita, mi disimus . Visque nrtir ires, quomm extremi Λό ne oportionem se uitertiam , stimemus y. Ο . antra quos ea φν portis repentiare sed quia eorum fiamma V. impar est,non po os inter eos rectoraγi medius in eger in propertionalis ara Ap thmetica, ducemtis mirumque per aliquem numerum tarem,nim rum pSr a. In εν prorictis εnam c. g. cadet irriger medatis propor ronalis Ariumetice, .nimistim semissi ebriam fiammae . Ex Lis tui ν tritus c. I. g. Arit elice
616쪽
praportionatibus oriemur si tres Harmonice proportionales, a. I. sc quo tim extremi, atque adeo disserentia,propo rionem se Miseniam daram sabens .s E QUU I TV R eriam binos numeros retam termisertim ργοφον maritatis Harmonica binis Arithmetica, ex qua o ta est, conuerso ordine esse proportionalis 1 hoe es, in Harmonica ita Hse serandum ad primum, mi in Arithmetica te
litis es ad frandum. Item in icta sie esse trilium ad se Ad umetit in lac esseeundus ad primo quia nimirum priores duo in Harmonica proricta sint eae psseris, sitis obtis in
Apithmetita per primtim eundem triplicaris Dtio vero po- seriores Harmonica procreati sum ex prioribus duo sinit
metica in tertiam ductis. Vt ex superioribus exemplis perissio m est. VICISSIM si primus numeras Harmonica propyiknesitaris duratin in secundiam, ac feritam, o sectinuus in tertium, procreati erunt tres semisi Arithmetica proportionalitarii. Vel od idem e si medius terminus Harmonita in Etios extremos ducamγ,gignentiar duo extremi Ari maticas o υero emremi Harmonicil interse multiplicatino eret medium Arithmeticar eodem friticet promtis modo, quo ex Arithmetica proportionati re Harmonicam oriri dixi-mtis . Ita vides eae hae Harmonica a. 3.ς gigni sane Arithmeticam, c. I a. IJ. Sitie em m δευου primum a. in1seundum s. se tertiti c. trem sectindu 3 in tentia s produces c. I a. II. siue duem meditim 3 in eiremos s.c acies extremos c. I g. o ex primo a. in tertium c. medium I a.
ri mitra tres terminos siue ad maiores semeras progressiendo , e regrediendo ad minores, Dando primi tres numeri sint proportionatis Harmonice, a terrio adisumtur duo cum Geonstitientes quoque eandem proportiona tarem Harmoniacam, πm eades omnino proportione. Deinde Ultimo, Di quimitis es, raditiniuntur eodem modo an, dcio; atque ultimo, e septimo, alij δεηι isse in in iram. Noe autem se versus maiores numeros progressiendo inposteriores deso semen tacantis in denominatorem pdivorsionis,quam senius ad prsmum sa-bet . Ut datis sis tribtis numeris a. 3. c.Harmonice proportionatibus, si posteriores duo, 3. . cantur in s. denominatorem
617쪽
proportionis c. ad asent s. 1δ.arq; ira retini iam quini re mini, a. 3. c. s. rg. Harmonice proportionatis: E Doserioras duo s. t g. eantur iterum in s . denomanatorem proportionis, erunt septem si termini, 2.3.c.s. II. IX. s . continue proportionatis Harmonices Θμναγedi poterimus in in iram. ιρα mi semper Harmonica proportionalitas continxeriar per terminos Iocomm Imparium, mi per tertium, quin um,septimum, nonum, θα Luod si versus minores rerminos progredi Iueat, diuidendi eisne minores duo numeri per denominatorem 'oportionis extram rum Et pseriores duo mintres inuenti it rum diuidendi per eundem denomina Mem, o sic deince s in in jeum. Vt da is his tristis numeris, a J.s. c. minores duo, s. c. dividantur per ρ.denominatorem proportionis inter exere mos a F. 6. fent s. a. atque ita erant ram quinque termini, ιδ.f. s. g. a. Et si rursus duo poseriores inuentis. a. disida νper etinim denominatorem s. adtancti erant vltimo termino a. alij duo in Harmonica proponionalitate hoe modo , IJ.s.c.R. a. I .-F. ars ita deinceps egressi licesit in infinisti. ALIO modo, Θ quidem magis oprie , continuatur pro- poptionalitas Harmonica ,sue ad maiores numeros progrediendo tiὰ ad minores, quando primi tres semeristine Har-m nice proportionales; Item, res iccto primo, al, sequentes tressis petietis δεο sieqtientes Hij Des, ars ira deinceps Sed in
hac continuatione nunquam erit eadem proportio inter extremta trium,qua inser extremos aLortim ratam. Ve in Aia ntimeris, 3. . 6. II. conti ara dici ν 'oportionalitas Hadimonica, quonaam tam tres ρ. . s. quam tres M. c. Ia Harmonice
proportionales sint sedpriorum extremi 3. c. proporrionem habent iapumat exiremi poseriisti ra. trip am. Item tensanua esse dicitiar Harmon ca proportionalitas in his qMing ro
Irim reperitur, licet extremi quo=umi set iritim nin haseant easdem proporriones. Qtio pacto atitem in mirami partemhse modo continuanda sis, quado continuari res imp enim sempo ad masores semeros progrediendo potes hoc modo erirendi aut quo pacto oor Ibee xtimini continu. Harmonice proportionatis , ut exposuimia reperiri pessint, ex ijs , Das qAnniuν , constabit .
618쪽
INT ER Dostiis datos duos meros tonstitues mediam
Harmonice proportionatim, hac ratione. Numeram , qui stex datoriam Etiorum numerorum disserensia in eorum minorem , partire per ererandem summam, Quorientemque minori adde. Confatus enim niamertis erit meditis, qtiem quaris. Vel eandem disserent am datorum numerorum utic in maiorem , se productum partire per eorundem fiammam. Si enim Κώorientem ex maiore; dato subtrahas, reliquus flet medius
remistis qua tus. Vs Inter hos numeras Is.Θ co inuentu- rtis med tim duc eorum disserentiam os. in minorem I s. Θ meo productum c s. partire per eorum summam, s. Nam saeuotiorem f.minori I , .adjcias confabis medium terminum a .is sic patet, I s. a . cf. Eundem medium reperies, si eandem L errariam s. ista, in maiorem co. θproductum a s fore eortim stimmam s diui ι . Luotiens enim 3ς ex maiore co. detracytis relinquet eundem mediam terminum a . VIDES rego, quandosumma datorem duortim numerorum non merrtiar productam ex eorundem disserentia in minorem emtim, veris maiorem,medium inuentum esse necessario integrum cum stactione. Vt si inser . θ ro. inueniendus si medius, due eorum da eremiam s. in minorem productum 2 r er eorundem mmam a pa fise . Qtiotiens enim Iως. audatus eidem minori fatis medium terminum Vt Me vides, z. X-. I s. Quia tam so .ad . habent Do- portionem superaripartientem septimas , Dam disserensia maiorum I - . . ad minorum diminentiam Vel eo md mentiam 3. due in maiorem a o pristi tamque ritimerum 3 o. partire per eorum summam I .Ltietiens enim I - . μό- tractas ex maiore as. retiquum faciet eundem medium terminum ALII tradunt medij trimini ἱnuensionem .nter duas numeros datos in proponioniaditate Harmonica soc modo.Inuentis duo ου minimis ntimeris in pro retone duorum numer adaurum, iubent aeuotientem, qui se ex iuus One diffisentia
datorum das m ntimeVistim persummam minamoptim duorum inuentorem, o in minorem inuentum , productum
619쪽
meram minori dato Myri r VH eiandem QNorientem diari in maiorem inuentum, O productum n reum ex maiore dato sistrati. Semper enim mel ille confatus numerus, mel hie reliquias dabis medium serminum , Di quaeritur . Vis inter 2 Oct 3 ost inuenietatis med me minimi numeri proponionis inter uo. is 3 o. sunt a. s. Si igitur diserentia datorum numeroram us diuidatiar per inuentorumsti am a tΩuotiens a.qtiem si ducamus in minorem inuentiam a. νη- ductum . minori 'o a o. addamtis, vias eundem Καοtientem a. camtis in maiorem inuentum I. se productum 6. Hadato maiore 3 o.demamus, inuenietur semper medius terminus a . Vt sic apparet. as. 6. 3 o. A REVIV S ira medius i mistis νε Heris. D iuida ruν darorum merorum differentia per numerum, qui denominatorem propsisionis, quam dari numeri Labent, una mn tales erat. Quotiens enim minori redimino additus dabis medium . Vt datis eris so. o Aabentiam propretionem quadruplam si eorum differensia 3 o. diuida r per s. qui κώ- merus denominatorem proporrionis ina Cnitate superat, fer Luotiens c. qni addistis minori termino Io. condicio medsum
S E D ad memisiam istiandam insumemus sonasse tam modius. licet aliquanto sensiore operar Ineb medium terminum inter Os extremos datos,hoc modo. Si duo extremi non
sunt impares, vel pares , sed Ῥntis pariis alter impar, dupli- ea isios, se inter duplieatos consime mediam Arit metice proportionalem, qui eri emissis stimma eo m. pre hosd inde ero numeros Arithmetice proportionatis quare ex regula I. dies Hapmanzco proportionatis. Ita enim inuentus eris medius termintis ister dura, Di eandem interse proportionem
habent, quam dari duo extremi. Duods sal, me dirimminuentias adsectindiam, ira ppimus dattis ad aliud ; loe .ss
620쪽
inmitis a 3δ. adserendum ago. ita primus datus . ad aliud, intienietur numerus I, . qui medius est Harmonice intre
. o a s. qui ab initio nosti fuerunt. III.
pR IOsITIS Assus numeris; reperiemus territimmditque maiorem in proporticnalitate Harmonica , qtiando,dsieri potest, s Pule e atitem operatio doe is, quiando id Ieri nequear hae ratione. Numeriam ex uno in aherum geni-ram pararemur per numeram qiai relinquitur, btracta am-όoptim disserentia ex minora termino dato. Quoriens enim erit territis te intis etrroqtie dato maior, Dem qua rimas. Ouῖd quando ditiis, reperiarm esse o. vel quando amsortim differentia ex minore termino subtrahi nequit, impossibile es datis duobus ntimeri,posse adriano tertium maiorem in propor-rionalitate Hamonica. Ut si duo tremini minores uentin1 a. 16.druidemtis semertim ex eis procrearum Isa re δ.Di merus dielinqviitur ambortim disserentia . ex minore a a.dstra riar. Ωtistiens enim a . om datis risus tonsi is hanc Ha snicam proportionalitatem, Ia. 1σ.a . Hanc extendemus , ad ΔΜ terminos Ic.a . territim adiungamus, nimiram druidendo sy . numerum ex Is.in a . factum, per
rtim,quae es δ. ex minore Io. Intienietur enim numerus X.Luαγe ita stanne M. remini Harmonise proportionalis, Ia. Ic. a . δ. Quod rememtis sis adtangere a tam maio-νem, fra a Iaborabimtis Nam daris sitis ultimis a . R. dippe estir diuisor esse o. Di reentia enim ambortim, Da esa itibtracta ex minore a . retin is o. O sed quis prσο-nat Aos duos numeros. rs. 32. aditive in illas territis utroque maior, I 3 .Ad hos vero isos, ro. II. apponetur tertius Ial. Et ad duos s s.s '.tersitis Ir o.As vero ad s.c. ntilius adiungi poterat: Dra dispensia inter ambos, qtia es; . dempta ex minore ρ retin tiit o. Atque eodem modo quando dati semeri habentproportionem uti iam, non pres illis adiungi teritas p=oportionalis , quia isti entia amborram semper os minori germino aqualis . Miato magis tum dari numeri habent pro portionem dupla maiorem, non inuenietur tertius maior illis