장음표시 사용
651쪽
RATIONEM habere inter se magnitudines dicuntur, quae possunt multiplicatae se se mutuo superare.
nem utiartim magnitudinum eiusdemgeneris, vocaveras ra tionem,quam nos cum aliis auctori 3 proportionem dicimus, ex icat nune d nisione hac , qtii in reqMirant δεδ qtian-ritates eiusdem generis, me proportionem dicantur habere . Neque enim omnes lineae, neque etiam omnes an si plani, quamuis ni eiusdem generis quantuaris, propyrionem Aia- bene inter se , mrm dic m. Ast igitiar, iam magni di nes diei proportionem Labere inter se, quartim miratiis multiplicata ita augetur, it alteram eandem raperes rideo in altercina θααMeiamtiis mugii Dara nunquam Hieram excedat, Ea rati e proportion m habere diciantiar Vr daameter , O lattis et rim quadrar dicen tir habere proportionem s i licet irrarisnatim , quae nullo post numesro exprimi )qtira Iartis x Iripticiarum per 2.hoe es diis Ampium, excedit diametrum . Ctim enim duo lasera gnatari , ac diameter constituant trianorum Issi telis, eνtini Ptio latera quadria ei diametro ritissem maiora. Ita quoque circ&mferentia circuli , diameter eiusdem , propoditionem kalens, qtiam is nondum sit nolis ex orata . atque regnis qtiiri de merermultiplicata per ψ .soc es M sa quiater, circti reentiam superat,cum omnis circumferentia ei culi, mi ab Archimede demonstrastir, fer maxat compresὰndas diamstram eius Lm; Θ partictiliam adhuc patiti minoremi rima parte dia- merri Eori modo m ita crutillinea cti ree filineis proporriones habebur, quia is a salira, ct ina Dahim inter ea reperitur,cti Hippocrates Clius Lanulam quandam, που gura es contensa duostis arcu 3 ciro rum insar Luna noua, quando falcata esse eerniem Aregimeris rasciam qnad pit se es, i 28 midam Itinvia , sic τero parassia quadratum inuenerit a Dale. Hint enim fit, vs ct quadrartim de tirmatus
652쪽
maius ea tantila, ac parabola; Atque e contraris tantila parabola maior eo quadrato . Ηtic accedit, qtisd Archimeris di tis. da Spiralibus demonspauit, tineam Hiqtiam recta esse circti reentia cistiui aqualem, O atiam diaptim, triplam Atiam , sec. ac proinde is quadratiam aliquod cistula esse aquati, mi in I solis de dimensione ciretiue demonistratiis. De eoalitateporis linea recta, o circularis 3 quadrati, is
cirrati, adeatrem Iis. c. agemus . Adde , a Proclo quoque inster angulos rectilineos , ac cintillineos aqualitatem demonstrari. Ostendit enim lis. p. in primtim Melidis, ad Ia. Axisma, odit sies .Posulamm,ram recto angulo, ratiam Ogetis, se actito,ex iseri posse angulum eurtillinetim aquati. Sis eκim an ius rectas ABC, contentus re iis aqualitas
aquatis; addiro communi angulo mixto A B E, Mi anstitiu restis tumitinous D A F, rori antiti recto ABC, aquatis . Si mititer ostendes, angultim cum lineum I G K, aqualem Hse obfuso F G Hs nemon curuismeum G M P, actito LMN, mmodo hie ab angulis semicirtutiγώ LMO,NMP, auferas communem an tam mixrtim, qtii continerar recta linea L M, ct cintia M P. Ex Dibus constat, altera νtim angulorum multiphealtim posse aiserum excedere a quare propeνtisnam inter se Lishestine. At moro linea Mita ad lineam iunitam non hab/bilproportionemqnia ira Domodo n-que miriplicata n tam neqtiis superare. Sic neqtie Iinea cum superficie, neque superseios ctim corpore, eandem ob causam,UIam Labebit proportionem. Denique non censetis r habere prsportione avtilus coracitis eum ian Io rectitines,quia , angulus confacitis quantum is multi itastis, minιν ad c
653쪽
intellisi, que hane tonditionem habeam, et ahe Ira mMYLplicata alteram pust superare, alias Sero non, etiamsin es- de quantitatis genere videartir coprehendi, quiatis fune tineri ita, es infinita; angulas Metilinos, ct an ius cora sise Hanc ob causam in pleri tie demonseratioκibtis propo tioni, iubet toties mugiipticare unampropositarum magnitudintim, qua proportiomem ponuntur habere inter se, donec aetera excedat . aetiod etiam fatis propos. 1 Iib 1 o. inplerisque actis propositionibus. Tactant uirin, qui stigant, pis magnitudines eius m generis in de nitione Proponioκis, Dam Tricti-des Rationem dixit, inrefligendas esse, aftis eodem tenere
proximo, sue in o continens&r. Hac enim ratione non esset proportio inter angulas recti ineos, ct cinui tinus,atit inter s-guras recctilineas, tu itineas 4. Om non ius eodes comineantur genere proximo ood falatim esse diximns. SH χt quel, qtii exsimant, intelligendas esse m ritudines in eodem genere quan iratis, sue in eodem genere fusialterne, me Logici loquuntur . ita me falis sit, ut duae quanti res diciantiar Aa-bereproportionem, si sint testima, mel superscies, mel corpora, mel anguli, mel ntimeri. Ita enim proportio esset inter angulia recZι ineti, is anguia contaAm,cu ingreere angu a centimantur r Item proportionem saberent inires, linea ita, ct tinea in fra, cum in genere linea exis antequor u Grumque fassium esse, A ido re hac de itione tonsae. P ER S p I CV V M ὰ se ex his, quam inepte, Θ quam
falso,hanc definitionem expostieris Cromitis. Ait enim metidem non definire, x docere,qtianam magnistidines proportionem dieantis habere M qtialem proportione dua quaecunque proposita quantitates habeant. Itaque, inqtiit, utiis Euchris
muIriplitentis ADHiter, hoc es, ambarustimamur quac - qtie kDe multipliciae, nempe C,tam mMIriplex ipsas A, qua multiplex D , iustis B; habere magnittidines ta A, E, eam inter se propresionem, quam earum que multiplicia C,9 D . Non aduenit antem, Fa
654쪽
dines eandem sabere proportionem, quam eam aque mul-
riptit a C , O D. Non peto ira es inrodigenda hac de isto, praesertim cum tam ignota sit hac proponio in , C, ΘD, qua illa inter A,θ R; quandoqtiidem fmper eadem es. Suare non recte nos Euclides perduceret ad notitiam 'sportionis imiὸμ Α, Θ B. E go sensus Mitis doni ionis ille , quem exposuimus, vi 5Dido consat ex verbis Euclidis .
V I. IN eadem ratione magnitudines dicuntur esse, prima ad secundam, & temtia ad quartam , cum primae & tertiae aeque multiplicia, a secundae & quartae aeque multiplicibus , qualiscunque sit
haec multiplicatio, utrumq; ab utroque vel una deficiunt, vel una aequalia sunt, vel una excedunt; si ea sumantur, quae inter se respondent.
nes requirant, apud Geometras, magnisudines, it eandem dicantuν saber/ prvorsionem. Quod in exequatur, cogitur confugere ad earum aequemultiplicia, ut comptic stir omnes proportiones magnitudinum am rationales, tiam irrationatis Sint igitin amor munirudines A, primas S, serandas C, tertia; Θ D,quarta, Aman rque primae, ιθ tertia aequem Inplicia quae que s E,
l l s seriora sint ita multiplicia secunda, ct quadita sim'priora duo mia Nicia sine ima, ct iratia, sitie non. Luod si iam inter se consis stir sium aqua mutis icta ea, qua inter se NUondens, v
655쪽
' multiplex prima , multiplex fecunda insedis . hoc es , Ε, Θ Gi Item multi ex tertia , is multiplex Daria inter se, hoc es F, ct H; deprehensumque fueris preperαῖ, ea ita in iis sese habere, vis E, multiplex prima magnistidinis A, minus Deri quam G, multi ex secunda magnitudinis Ei erraF, multi ex tertia magni dinis minus e quam es,mtititiplex quarta magnitudinis D r Aut E , aquati fuerat ipse Gs etiam F, aquale sit ipsΗ: Aut denique s E,maius θὰ-rat quam Gi etiam 'maius sit quam H quod es mirumque ab medioque via etna deficere, GH Una aqtialia esse es ina excedere ea me in nusso genere multiplicitim contraritim possis reperiri, id es , Ct nunquam E, minus sit quam G , quin εν F, minus sit quam Hictii nunquam Ε, aqualest ipsi G,
quin F, i 'sit aquatis Deniqtie - nquam E , maius si quam G,quin is F, maius sit, quam A. Si inquam deprehensum fuerit , aque muItiplicia quaevis accepta, perpetuo sese ita habere, ut dictum es ; dicetur eadem esse proportio
prima magni danis Α, ad secundam magnitudinem B, qtia est proponio tertia magnis dinis C, ad quartam magnitudinem D. Luod si deprehenderetur aliquando , etiam in suum genere muItipliciam , mulsi ex E , doscere a multiphe G,non autέm multiplex F, descere a multiplici H Aial E . aquale esse ipsi G, at F, non aquale ipsi H; Aur dentque E,excedere Ultim G, at F, non exterire ipsim H, quam is is in nisu alijs multiplicibias conditio pra dicta reperiatur, milia ratione dicentcir quantitates proposita eandem habere propoγ-
nitionem , concludantur Damar quantitates candem habe
re proportisuem, ostendendum erit, quod quidem perdiligen-eὰν ab Eraeside Me s. lib. in atiis seruatur ) quacunνου aque multiplicia prima, δν tertia collata cum qui sectinque aque multiplicistis sescundae, is quarta , hasere semper cond)tionem pradictam defectus, aequatitaris , arat excustis; aravi mnquam contrarium eatis intieniri posse. Simili eps quatuor quantisates concedantiar eandem habere proportionem, concedatur quoque necesse es, Datifer aeque -ltiplicia pri
656쪽
exelsus conditionem. Degent enim de nitis donirtim reciprocari. Vt autem pressiciatur, quo pacto, propositis quatuor magni dinibus eandem proportisnὰ Lahendibus quadapque multiplicia ima in tertiaos istissinis, a quisu amae a mni plicibus secunda Φquartae magnitiassinis, mirum se ab mirach etna deficiant; aha vero Una aquatione; alia donique Sua excorint, ea stimantar,que infersis resimvir; placet unum exemplam preferre in numeris. Sint igitur quatuor n meri s. a. . . sumamurg primi se rense aqua misti iras,nempe ais ti 1 a. Cy a . Item serandi is quarti sumantur alij aqtie multiplites, mi septupti l . 9 2I. Vides igitur trim I 2. m Dipheem primi descere a i . multiplice secundi, quam e . muti, icem terri, a 23, mulit ite quar- ri.Rinsisφνimi, ct rejiij marur alii aque mul-
6 eundi, is quartistiman- αν alij sque Diplices, me noncupii II. θ 3ς. Vides ergo,iam ra. Dipueram nimi aequalem esse a X.multiplici secundi, quam 3 c. multiplicem tertiV, 36. multiplici quani. Postremo primi, se teste , sitimantur alij aqtie mulsi ices, nempe tripli s. Θ IF. Item seundi, O quani alij aquὸ
multiphees,ma doti . HI J.Vides igitur ram s. multiplicem primi, exserire o. multiplicem secundi, quam a J. multiplicem reny superab e R. mtitii Feem quarti . Si igitur in omnitas aeque mialtiplicistis, in quamnque stimantur mtiliis plicasione , semper deprehendasvir, etnum tritim Lorum et mm esse, dicestir eadem esse proportio s. ada. qua es c. ad
CAMPANVS mera ars Orontitis, Iove aliter definitionem hanc exponunt . Dicunt enim Euclide telie, itim demum quattior magnitudines eandem fabere preportionem,
prime, o tertia aeque multiplicia, a secunda' angaque multi Pisus, virumque as et reqtie , vel a doctant proportionaliter, hoc es, in eadem 'oportione , via ina aequalia sunt a Meerat proportionaliter, ea maturiquἀinter se respondent. Clar tis,eti ait Campanias, quando earum
657쪽
ue Itiplicia proportionalia sunt des,ctim eandem proportionem habes multiplex prima ad Utitii ex fetidae, quam multiplex tertia ad muhi eae gnara Sed quis non iidet ita inredigatur defessio, Tullidem idem pis idem definire 2Ωuod ne absiodum es. Prarer ea si Euclides vult, eas magnitudines in eadem esse proportione , quartim aeqtie muh05eta si sumamur , is inter se conferantiar eo ordine, qtio ictum ob in eadem proportione existini s cur obse o in o. Thoodiomate huius libri demonstrat, s fuerint quamor magnitudines in eadem proportione, earum aqtie multiplica eo Θῶne, quam diximus, sumpta, eandem Iusque habere props tionem p Immo cum thud Theorema per sane definitiorum
ostendatur, perspicuum es, idem per idem demon ari , quod
ridiciatum es, metari eo loco admonebimus. Accedis eriam,
si ita internere ν definitionem, plurima Theoremara quinti hiatus lib. non posse demonsori, me propriis Iotis monesiamus . Intectigenda eLF igitur definitio, mi exposui s s nimirum propositis quatuor magnitudinistis, s quotiescunque triplex prima descit a multiptici secunda, vera ala es,mia excedit; necessario etiam mviri ex tertia tune destias a multiplici quarta, via aequale si, vel excedat, quicunqtie sit ille defectus, exesistisiae,non considerando, an proportionatis sit, an non 3 ira me ntinquam contingat, multiplicem priama a multipliei secunda descere , muhiptitem vero tertia nodeseere a multiplici quarta e atit multiplicem prima squatim esse multiplici se da,mtiltiplicem mero toria multiplia ei quana non sqtiatim: atii denis multiplicem Irima maiorem ese multiplice se da, at mrahisticem tertia mi Gice quarta non maiorem . Propositis inquam quatuor magni-
rudin bus, quarum aque multi icia sumpta, vs dictum os, perpetuo eam conditionem in defectu, aqualitate, Θ Geosis seruanta dictinrtir quartior ilia magni ines eandem Labere proportionem i quicquid se de Ortim aque miari istam proportione , qua ntinc non consideratur e sed quarto posea Tleoremare demens bior, eum defectum, excessumte esse proportionatim .i PORRO Campanus conatur Uendoe, d nition/m
A ne in ethai d/5ore de proponi assi defectu, is excesses. Nas de quocunque inrelligeretur, essent ait, quatuor Aa numeri
658쪽
s. c. s.in eadem proportione . Si erum prima ct terti=, utpote . o,
que . . se ro . excedet tam fi . mtilliplex primi,6 multiplitem secundi,quam Ia. multiplex tertis I o. multipticem Darii. Idemque cernitur primi, ct terti, sumantur quadrupli 16. θ' secundi vero,ac stiani capiamin triplis. Θ as. Si igi ursissis, ut a e multiplicia accepta una excedant sese quomodociarique, o non requiritur, ete proportionaliter se muttio perent, erit eadem pνoponio o. ad s. qua es c. ad 3. quod falsum est, cum proportio M. ad 3st sesquitertia, proportio υero c.ad si quiquinta . Intestigendus igitis es des
caus , aut excusias aque mutit ictum, proponionalis r Ita enim fiet, non esse eandem proportionem M. ad 3. qua es c. ad s. quod eorum aeque mtihiptites non se se excedant proportio naliter, ut constat. Vediuntamen dicendum es, Campanummi m in mo m haliticinaetim 'i se . Luamtiis enim numeri aque multiplices ab eo prout e se mna excedant tamen quamplurimi alij reperientiari Dorum multiplix primi ext dee quidem ltiplicemfecundi,mel aequalis erit at mtiles plo i iij dociet a multiplice quarti . Si enim in eius exemplo primi is terri=sumamur quadruplices 1 s.cti . At fecun di ct quarti, quincuplices stimani tur, I s. s. excedet quidem
659쪽
ripli tibin ira esse eontingat ; non ditentur uxta Lane definitionem c.dicti xtimeri eandem Aribere proportionem , - αὐ-c clarim consabit ex δ .d nitione. G IET E RV M donisis sa complectisur etiam tres magnitudines, eandem Lasentes proponionem , modo ferandabis ponatur , ut quatuor hase mr . Exsm i causa Tadem dicetur proportis s.ad s. qtia c.ad 4 quoniam aeque multiplicia qtiamnque sumpta ad s. Θ 6. mia tna doctam ab aque mulsipheisusAmplis ad s. o . τώ aequatia sunt, mel
EANDEM autem habentes rationem magnitudines, Proportionales vo
centur. VT si magnistidinum A, B, C, D, eadem sit proportio A,
ad A qua C,ad D: dicentur ea magnitudines proponiones . Eadem ratione, si eadem sit 'vortio E, ad F, qua F, ad Galeretur magnitudines E, F, G, ρ' A i i l in portionales. Sunt autem quadam ni qmagnitudines proportionales eantia r a ' Unue, inter qui reperitur proportiona laetitas continua, quales ne magni- α 4 4 fudines E, F, Gs Quadam vero poritoniatis sunt non conflatis . sed discreto, euiusmodi sine magnitudines/B, C, D. In sis enim interruptis se proportionum s in illis vero nequaquam , ut dictam es in q. definitione vi
C VM vero aeque multiplicium multipI ex primae magnitudinis excesserit multiplice secundae; At multiplex tertiae
660쪽
non excesserit multiplicem qnartae; tunc prima ad secundam maiorem rationem habere dicetur, quam tertia ad quartam.
D A C L A R AT hie Ttiesides quamnam condit nemga5ere deleant Datuor magnitudines, O maiorem dicatur habeνὰ proportionem prima ad secundam , quam tertia ad quapiam, dicens. Sisti rasiat aqtie muti Aria 'ima isteriis Item alia aeque multiplicia secunda sequariaued rehensumque fuerit aliquando titet non se rect multiplex primae maius esse messe lice fonda , m triplex atitem rer-ria non esse maius multiplice quarta, sed mei minm,vel aqua- Iridicetur maior esse proportis prima magni dinis
l l I 1 maius quirim eiZ quam G, mulli ex secunda ;1 At F, miari ex tertia maius non es quam H, ψ mtitii ex quartae mmo mistis uicetur maior ef se Roponio A, ima magnitudinis , ad B, secumdam,quam C,tertra, ad D. quartam. N O N es istitem nescesse, it quatuor munis dinum rima adserendam dita γ maiorem Lasere proportionem,qua
tertia ad quanam, aque mtiltiplicia sis tim quamuis multiplitationem sic Labori, mi messe lex qtiidem prima excedat multi ex seunda, at m Diplex tertia non excedat multiplex quarta fusatis es , ut secundum aliquam multipheationem iras Aabeam. Potes namque interdum feri, me tam retilii eae prima matas si multi iee secunda, quammtitii ex' lenia selis ira quaretae e Leem - Iliptiae prima minus sit multiplice serenda, ct muti Ieae tertia mag-tiplice quarta e Tamen γia hoc non contingit in omni mul Lptitatione , sd ahquando multiplex prima superat Didem multiplex fecunda , ne retitis ex renia mes minis est , vegaequale multiplici quarta opterea maiorim dicetis /abere proportionem prima maenitudo ad secundam,qtiam tertia ad