장음표시 사용
671쪽
ipsi D, E,multiplicansferais L, M N, quippe cum L, MN, sumpti l ipsorum D, E, aquemultiplices Et eadem de causa, mi C, ad Fara es Lad K. Igitur ex Iemmate propos a M.tis. . erit quoque,ut L, ad MN, ita I, ad K, o permutando, ve L,ad Lita MN, ad K. I A ergo es,me tortis L,ad Lita ratus M N. ad K:
exempIo,mel aquatis, ut in poseriori s propterea quod reuequm ex L, m D. facie ipsum L , Multiplicem ipsius D , να me maiorem ipse I, ex conseructione.litin se reliquias ex MN, maior non erit quam X; atque id isto si ex MN, detrahat pN,'si E, qualis, erit reliquus M, mel minor ipso K. t inprimri exemplo,ves aqualis,me in potiri l. Ctim ergo es, multiplex ipsus G, i maior quam F,melN,ex constructione 3 existortis K ει, toto M N, maior.
rum FG, A,primi ae tenis kque Itiplices AH, ο id ipsorum Ε, Θ B, ecundi ae quani, a emtitisplices M N, ct Fiequitur ex antecedente νυ si AH, maior es qua MN, ipsum quoque o, maiorem esse quam P. Ciam ergo Amosensus t maior quam MN, erit quogo, maior quam P. Ω - circa eu O, I, ni aquemialtiplices ipsorum A, C rimi ac te tθ'P,L, aquemultiplices ipsorum R, D, secundi aequarii, domonistratumhsit,maiorem esse O, quam Pst autem I, minor qtiam L, ex confractione fieri potes, it exsente maiore proportione primi Α, adsecundum B,quam eonis G, ad D, quartum, umptist Rquemviri tribus,me aetatim o, hi plex primi nimimm O,maior sit quam P, miari ea secunt,
multiplex atitem seriij, nimistim L maior non si quam L , multiplex Darii. Luod demonstrandum erat.
RV O D sminor si proportio ni adsecundum, Damt iij ad quartum, sumansuris aquemultiplices, primi ae tori iij rem aquemultiplices fecundi ac quarti, seri quos potes , veri
672쪽
ur nunqtiam retiit Ieae primi sit minor multiptites αδε, vitiseiplex mare per j non sis hiphte arti minor. I N eodem enim exemplo, minoν est proportio C , primi ad D ettingvim,stiam Α, terti3 ad B,qua tum,demonseratumsest, I, m hiplicem primi C, minorem esse, quam L, multipli cem sectinui D, at O , multiplacem seriij A , maiorem essὰ quism P,multipheem quarti P. III.
ΡROPOSITIS quatuor numeriS, in ptisqtae aequemultiplicibus primi ac terti j iuxta quamuis multiplicationem, item aequemultiplicibus secundi ac quarti iuxta quamuis etiamultiplicationem, si multiplice primi e&istente maiore, quam multiplex secundi, multiplex tertia maior quoque sit necessario, quam multiplex quarti: & si illo existente aequali, hic quoque semper sit aequalis; illo denique existente
minore,hic quoque perpetuo minor sit: Erit ea
dem proportio primi ad secundum, quae terti ad quartum
turque primi A , I ter- iij C , aquemuli Utices qualesctin' E, F Item sectini B, o quarti D, kqtiemtilliptices G, H , qualiscunque erram hac sit ratio sicario. Dico, si E, F, multiplices primi ac ter ij semper sint mel maiores, quam G , Η, dicit iplices sectandi ' Darii, vel quales, mes minores, ita esse A, nimti ad A, o nutim, ie C,tertrum ad D,qtianum. Si nam e foret mai proportio A, ad A, vel minor, quam
673쪽
C ad D. fieri sis,metati in antecedente propos demons-- tum es, it E, in ex primi esset aliquando maior,atie minor, quam G, Itiplex secundi, at F, multiphae tertist non imaior aus minor quam es,mul splex quarti.Ωuod GF cont=a
PROPOSITIS quatuor numeris, semptisque primi ac terti j aequemultiplicibus,item secvudi & quarti aequemultiplicibus; si quandocolingat,multiplicem primi maiorem esse multiplice secundi, multiplicem vero tertii non maiorem multiplice quarti: Maior erit proportio primi ad secundum,quam tertij ad quartum
reriij C, non maior quam H,mtio Iex qtiaret D. Dico maiorem esse proportionem primi A,ad Eiecundum, rem C, er- est ad D, quartum. Cuoniam enim maior es E, quam G, at F, non mai quam Hierit maior propistis E, ad G, quam F, ad 'cum ista sit proportio maioris iraqualitatis, hac vero meI aqualitatis, mel minoris in qualitatis Igitur ex thedr. I s .pro fa a. lib.7. erit quoq; permutando maior proportio Ead F. Dam G, ad A. rem, mi E,ad F, ita A, ad C squod idem ntim in ipsos A, C, miah Iicans procreaverit E, EN F, quippe cum E, F, Equemultiplices livorum A, C; Eademque de causa est me G, ad H, ita B, ad D. Maior igitur erit quoque proportio A,ad C, quam B, ad D : Et ps muta do, ex theor. I o propos au tib . maior erit etiam proponio A, ad B, quam C,ad D.Luod osendentam erat.
674쪽
sd hiplex tist j non si minor multiplice quani minis erit proportio primi ad secundum , quam terri' ad quartum.
ι . t maiore proportione vica γ
G,9 o. l lay, . tD, a. l l H, a o Chique minorproportio, til la Hia re mmata . Vt in hoc exempti apparet, ubi qua αν numeri r A, B, C, D, ATD Eemon sumtissam, in magma minabus ancommen- sinabitib s, gna ex de n. c. sponsonatissunt, eam plerunt, eriri proportionem, qua in κumeris e theri possite adeo etim res priportiona es t magnittidines, sitis donitio c. eοntient , ando irim ex Magni dirutas proponio Astis in eo sensti sim tu uertim conse irar, o nihil absurdi inde inferi potest. Hoc enim paulo ante demonstrasuros nos etiam recepimus. Sit ergo recta AB, morbi gratia, racia C D, δε-
P et pla, Osuper ipsas rectas defra
CD, r.erit qtiariatum AB EF,rc. Θ quadra m diam/friR F,eius duplam,3 2.ae oinde diameter ipsa BF, erit Od s qtiadrata utimeri ga. quae κtimeris exprimi nequis, ctim ea maior si quam s. minox atitem quam c. nia, Me ntime sinter s.ct c meditis, se est, composistis ex s.ctst actione aliqua miraris,in se ducitis posse numerum integram 3 a. producere,ut eae Lemmate se tiensi persimum sis. Quadratumantem CD GH.erit quadrarum diamuri DN, eius δε- iam, J. 'nepro Me diameter ipsa D Η eris radix Dadratantimeri g.qtie numeris etiam exprimi nequit eum ea male
675쪽
st quam a. minor autem , qtiam 3 . oec. ita tpropor o tam
AS, ad EF, quam C D, ad D H, sis irrationaeis, diameter propterea BF, lateri AR Aor Hameter D H , tigni C D, in commensi rabilis. Vides Sosin, id qtiod Etit des propos. υhima Lb. I o. demo Ira it ex iis, quae lib. c. de magnatu nibtis proportionalistis per de . c. huius s. IV. rimoni ara smi, Diametram nimirum quadrati lat i eis em quadrari esse incommmorabitim,esse re ipsa meri statim, quippe cum idem nos Atia Uia me propontonsitis hoc Isto semis mus . R VRS V S Doniam diametri BF, D Η, distatim ansutis rectis quadratoriam hi Fiam, me in soloseo opes. 3 .
uni ιν angula A BF ID H. Otiare e=ie, mi A I, ad AF, ita C D, ad D B; Eepermurando,ut AB, ad C D, ita B F, ad DH. autem posita recta A R,recta CD, d Ia.ulim BF pseus DB, pia erit. Itaque ccim ex de . c. Mitis Db eo de tinti tis me credamus diamerrtim B F, Hametri Des esse duplam,quamuis miriaque diameter aut tim talio Labeat oportionem irrationalem , Nam propos. . Iib. c.em quassenssimus, ita esse AB, ad AF,me C D,ad D H, penderex propo f. a. aec ex a. eiusdem tib. . PFima atirem propos. Ab c mim stiam accipit ex de .c huius s. tis. Item te citata proportis, qua hic etiam His m,sine eadem desu. c. δε- mon an nonpotos in magnit dinosin incommens rabiti bus, t ex propos. 1ς. Lb. 3. consat madeamus, an aliunde cognoscere possimi, diametriam BF, ametri D H, vere du-piam ess mi ex de . c. cones iam es, Loc ipse , quod Iarus AB ateris CD, d tam ponisuri etiam proponio ram lareris AR, ad diametrum BF, quam latriis C D , ad diametrum D mirrationalis sit. Hoc autem sine proponionibus faciJὰ ita cogno emtis. Q oniam Iartis AB, Iar/ris CD, duplam est, erat ex scholio pro f. . lib. a quadratum AE,Dadrati CG, adruplum.Posto ergo quadrato A F, . erat quadraptim CG, T. Et qGra ram quadratiam diametri E F, qtiariati A E, etiam
676쪽
erit. Quocirca exscholio propos . lib.2.diecta BF,recta Des, dupla erit. Vides ergo rursu siprocedamtis per ea,Da ex δε- . c. huius lib. de magnitudinum proportionalibus demsn-srata sunt nos peruenisse ad cones onem moram, nimirum diametros duorum quadratorum fabere proportionem inter se duplam, siatus unius se lateris alteritis durum e me dabiti non sit, quin magnitudines mere proportionatis sint, quartimaquemulti itia eam conditionem sabene , quam de tria Cpraescriόit. Porro ex regiatis quoq; numerorum irrationalium, qua in Algebra era mur, consae diametrum B F, hoc es, R. 32.habere duplam prosortionὰ ad diametrum Des, id est, ad R. F. m e R.3 a.ditii stirpis R.δ. 'riemst R. . hoc es, numerus 2.qui proportionem diametri BR ad diametrum Des, denominat; me R.δ. mutit icemr per a. produci-
ων R,II.Atque soc modo omnia, qtia de magnitudinum imcommenso rasilatim proportionastis demon ant- ex de . c. Mitis Itb.explicari pote ne per regulas numera iam irrationatium. Lua res argiamento rursum est , magnitudines, Dibtis de illo c. Mitis I b. eo enit, mere esse proportionatis quandoquidem ratistas numerorum irrationalium cum demon- Marionibus, qua ex ea don pendent, perpetuo consentire comperitur, ut idis,qui in Algebra prae iis versati sunt, notummum es.1 E M M .A. QV O D autem nullus numeri s compositra ex s. stactione aliqua unitatis, quamuis unitas inmisitumsecetur , gignere possit integrum numerum 32. hoc modo facile demonstrabimm . Sit enim numerus S. cum quacunque sta tione -ν. hoc modo P. reuocem; que, ut in Arithmetica tradidimus, ad hanc unicam stactionem 'P. Certum autem est, deno minatorem 7.no metiri numeratorem 38. Alio
quin diuisis 3 8 per 7. fieret Quotiens nκmem s inte-gor me sira tione, quod es contra Dpothesin. Multiplicetur
677쪽
metica diximus, demonstrabimusque ad finem lib.s.se tam numerator 38. in se, quam denominator T. in se ducatum.) gignaturque fractio Ul' . ita ut numerator huius I q. set quadratra numeratoris iulius 38. denominator . quadratus deno mat0- ου 7. Et quia latus 7.non metitur latus 38. ut ostendimus,se non metietur quoque quadratuS t. quadra 'aect tum 1 q. Quare disi so quadrato I l. per quadra- m. tum D. Quotiens non erit numerus integer, sed ei adhaerebit stactio aliqua. Alio quadratin D. metiretur quadratum Issqq. ius connarium demonstrauim . Atque eadem ratione demonstirabitur, quem
que numerum integrum cum factione qualibet in seipsum ductum gignere numerum integrum clim sta Mone . Quod stactis,cuius numerator denominatore minor sit, infle ducatur, producetur semper stactio,
cuiuN numerator etiam minor est denominatore.Nam cum numerator stactionis productae sit numerus qua dratua numeratoris datae stactionis, denominator autem quadratus numerus denominatoras , t autem data stactionis numerator minor denominatore ς erit quoque illius quadratin numeru quadrato huius minor.Ita ex ἰ .in Regignitur MN numeruU .curus numerator denominatore minor es. Itaque quae h
678쪽
1 X. PROPORTIO autem in tribus terminis paucissimis consistit.
Dam interpres, ut d ctum estor Ertionem nomonae; miti ludo es artim.tes Iurium proportio m omnis autem pro portio habet se antecta rem treminum , ct conseqtientem necesse es , in omni proportionalitate repeditri, te mini tim , di os terminos antecedentes, ac duos consequentes. Luare spropora onalita fierit non continua, re iarem Uahem amor tremini, siue magni itidines ; Ae mero factis continua , e nicum minimtim tres semini quoniam te mini misius sis stimitur, cum sit con e qtiens terminus initis proportionis, se anIecse ins Hieritis e Atque hic es monimias -- merus termanorum 'oportionahiaris Nam in duobus rarminis quilusiunque fotam p oportio , non autem proportiona- Iira, reperitur
CVM autem tres magnitudines prΟ- portionales fuerint; Prima ad tertiam duplicatam ratione habere dicitur eius, quam habet ad secundam: At cum quatuor magnitudines proportionales fuerint; prima ad quartam triplicatam rationem habere dicitur eius, quam habet ad secundam: Et semper deincepS, Vno amplius, quamdiu proportio eXtiterit.
679쪽
EL UT I si , magnistidines A, B, C, D, E, continue
proportionatis, ira me east 'sponto A, ad B, a Rad ΟC. ad D D, rati E Proportio A, magnitudi- grnis prima ad C, magniscidinem tertia, dicitur duplicata eicis proportionis, Dam habes A, magnitudo prima ad T. magnitudinem sectindam Doniam inter A, ct C, duaproportiones repo-ntitur, quae ae ales suntproportioni Α, ad R; nimisti proponio A, ad Ε, Θ E, ad C, ut proptereappoportio A, ad C, intre ipiat quodammodo pro- ABC portiones Α, ad S, da leatam, id est, bis o=uine positam. At proportio A. magnitudinis prima ad D, magni itidinem Dartam scit γ triplicata eius proponianis, quam Laber A, magnitudo ima ad B, magni dia feriandam: qtii in re Α, Θ D, reperiuntur tres proportiones, Da aequales sunt prvortioni Α, ad B, nimiotimproponio A, nd EB, ad C, Θ C, ad D, atque idcirco proportis A,Λd D, incta te quodammodo proportionem Α, ad S, triplicaram, id es, ter oγῶ- nepositam. Sic quoque proportio A, ad E, dicitur qua ἐν δε- eata propoditionis A , ad E: Iropere ea qtiod quatuor proponiones idterj iuntur inter Α, Θ Ε, qtia aequales sunt proportioni
cata proportionis E, ad Di Al mero p=oportio E, ad T, dicemrtriplicata 'oportionis F, ad D ,sse Doque proportio E, ad A, dicetur quadrapti cata proportionis E, ad D, c. INTERPRETES non ut eodigunt ex sae de Ltione , proponantur plures qtiantitates conti e proportionatis, oportionem prima quantitatis ad fretiam, ese dviam prooritonis prima quantitatis ad fecundam, eo quod Tnesidesiliam moeet duplicatam proportionem Mitis. Eodem modo vo-IAn proportionem prima qualitatis ad quartam, esse tripla proportionis, am saget prima quantit m ad secundam , cte.
Quod tamen ntilla est diatione concedendam.Neque enim Eu- elides hoesignificine totait,sed docuit tantummodo,'vcrsionem prima quant ratis ad tertiam, appectari duphcaram eius proportionis, quam haset prima quantitas adsecundam; propterea quod inter primam quantatem, ac tertiam reperitur T r s s o m-
680쪽
quodammodo proportis prima quantitatis ad secundam duplicatas quippe cu inter prima quantitate ac tertia interponan- ων dua proportiones artiales ei proportioni, quam habet prima quantiti adsecundam, sc de ceteris, te diae m. Non nutem ineest at tum duplam esse huius , ne Theorema proponeret,qtiod merito quasiam concedere retus,et . Litiis enim assismabit, in his numeris conti e prosonionalibras a s. s. I. sevortionem aue . ad et duplam esse proportionis aue. ad s. cum
potius eam quis dixerit esse Dinc lam ρ Ae etero, iliam dici iam δε icaram adsenseum repo stam, nemo infriabitur; eo quod bis sit posita, se continue propertio a s. ad s. Deinde
qtis modo erit proporris I .ad aue. tapia proportionis i. ad 1. calidi minor tu ae autem maior P Nampis prepos. I. itis lib. quantitas I. ad quantitatem f. maiorem proportionem habes, quam ad quantitates aue propterea qtiod a s. maior es, quam s. Dicetur tamen illa Mim δε itata. os causam iam explicatam , Iicelsit eius quinta pars. Duare etsi proportio 21. ad 1. diei ν duplicata proportionis quancti e , tamen decupla proporito es eiusdem dupla . Luemadmodum etiam pro- popeio se pia dupla es proponionis quadrupla, ctim tamen quad pia duplicata, si Mempla, ete sic pater I . . I . Deniq; in tribus magni donibus aequalibus, via in tribus aqtiatibus nEmeris, . . . atque adeo continue proportionatibtis,
qui feri potes, τι proportio primi ad tertium plassi propo
tionis primi adsecundiam, eum sit omnino eadem p Duplicata tamen dicetin illa huius, propterea Dod fac ordine bis pos ra V eontinue inser primm numerum se fertium . SED auctores, qui proportionem prima quantitatis ad tertiam et tine esse duplam proportionis , quam prima quans tm Labet ad secundam, inter quos aractores es etiam Fe-deriem Commandratis hoc loco quo alde miror , cum alio
Dis Mathematicus se proantisse O di ni in Liae des re tibi terminos inaequales , primami debere esse maiorem sitate definitio hae intelistenda sit necessario de proportione
continua maioris inaqualitatis . Ω re mirum non es, etiatant, neque proportionem 1 ad as . oportionis r. ad s. neque proportionem . ad . oportionis . ad . duplam esse. V um
hac expositis non solum mera non es,sed Euclidi oesus es contraria: quippe qui assumar plerisitie in Acis, iri Datam pro