장음표시 사용
681쪽
portionὰ reperiri in proportisne minoris inaqualitatis . Locus clarissmus es, it alios omittam, inpropos ra. lib. 1 a. ubi δε- mon at miles conos, ct Iindros in triplicata ratione esse diametrorum , qtiae in bas 5m . Nam conferatur maior conus , vel cylindrus ad minorem s necusaris in secranda parte eitis demon atronis, stimis Eiaclides demons=atum esse o-
p .δ. eiusde lib. 12. Wramides miles etiamsi minor ad maiorem refera γ,in triplicata esse homo goram Iateram rarisiane s vr es in ioco annotauimtis . Huc accedit, 'opstiones illas quitas figura aliqua demonstranetidi Lab e rationem latὰrtim homo gorum utiplicatam, mes triplicatam, cui modi est'. ν ao.tib. c. π II. XI. a J. Isib. g. ct 33ib. 1 I. I 12.1 8.hb. ra. non fore τnitiematis, s solum de proponione mas oris inu alitatis essene inultigenda. Explieanda rego F gae δε nitio, mi nos expostiimus. ITAQUE AOe Deo Esesides ex Dat tantum, quidnam intectigenia si nomine proponionis dtiplicata, triplicatae, c. - demonserationes se tieisti Ii orti percipiatur, refusi possint maliniatistis accommodari No atitem determinat, quanam proportisse alteritis dula, Mel tripti, MeI quadrupla e.
Exempli gratia, quoniam ex propositione as. lib. c. cosat, 'oportionem quadrati ad quadrartim duphcatam esse proponio nis. quam sabee Iatus prioris qMadrati ad Iartis posteriori est Iigenutim erit, comi estir proportio lateram in tribus terminis reportionem quadrati ad quadratum , esse eam, qua esprimi termini ad tertiumsita vesi prioris quadrari latus seerit tritim palmo oos ioris autem mnius palmi, prius q-dratum adpineritis, sabeat proportionem quam s. ad a. ita mi iltad nstites oc complectatur. Nam proportio s. ad a. qua
es non pia, dicitur iuxta hane de nitionem, dolicata pro-j penisvis tripti, Datis es s. ad s. mel 3.ad a. mi in sis nummiss 3. I .persictium es. Non amem inferendum erit, proporti nem quadriati ad quadratum, duplo esse maiorem proporsi ne lateris ad fatus. Sic etiam quadratum poseritis ad prius proportionem Lahebit, Dam s. ad s. t a me it,dsii Mitis nona par propterea quodproportis r. ad s. dicistir duplicataproportionis r .ads .ut in ei em his numeris a. R. s.manifestim s. Simili ratione, Oniam lis. ra propinetltima, demon a GJ saeras inter se Orionem habere sua m diametrorti tripli
682쪽
ca am, collagendam erit,i*ker amissam, ius diam ter eonti . net tres primos , ad Jharam, mitis diametep es Cnius primit eum, proportionem habere,quam 2 . ad i. Hac enim triplicata dieittir tripla proponionis, m hic apsta est. et s. I. I. N. Sit enam propositis duabus , Eris, artim drametra sic
raonem hasone implam habes ne sphaera ipse proponsonem misisti iam , tram hae sit decupla triplicata ; me hic patet,
cupia, is non potitis mist cupiam δε- a esse duplam pC AE T E RV M ppoposita quacunque proportione rarionali , si eius denominatost in fis ipsum multiplicertir, exurget denominator proportionis, a d I cata dicimν proposita pro- partionis. Vt Dia ex multiphorione o. denominatores licet proportionis quadrupti, in se,pro uti cunein rc. ideo pro orato sedet Ia, ducetur desplicata qtiadrupla proportionis, Gi hic cer
plicatione -. nominatore mi elicet proportionis sibquadrupla , in se pro casur dicetur Roponiosus decupla, δε- plicata proponi is fiab ad 'IA . Quodsi denominatoν rur stis in iliud prodiat tam mvis fico γ, procreastriar denominator proportionis triplicata a me in priori exempti, ex multipli- catione . in Ic producunttir c . denominator proportionis , qua quadrupti dicitur triplicata, ut hic vides, . 1 c. U. I. Item hic Isu. I. ra. . Rursm si in posterim Ase productam 'multiplicerm irim donominator, inueniettir denomrnator oportionis qnadruplicata, arg ita de caeteris. itaque Roportionis P l cata denominator pro citur ex ust nomisatori propo sta proponionis bis posito, atque ita multiplicato. Ut ntimerem denominans proportion Iicatam proportionis et pla, pro ducistiκ ρχ 3. denominae ore triples propretionis , sis posito , in rans modum ρ 3. aesie multiplicato Nam t/γ tria facitines. denominator m non pia proporrionis, quae Euphora dici t ιν triplacor hic o ipsis s.3.Iatem sit II, c. a. At mero λnominator proportionis triplicata gignitur ex propositά pro-'psinonis denominatore treposito, c sic mtiltiplicato p f in daro exemplo, denominaeον triplicate proportionis, fi mpe 2 pracreattir ex s. t posito c. 3. . tqtie ita mulsiphonti, dic mi uer Ina ter set. Ita proportio qua implicaria ex bestir
683쪽
eχ denominatore quater posito ; tantus cara eae eodem quinquies posito, atque ita multiplicato, c. Ita e dupli catio, triptitatio, quadruplicatio c. proponionis mitis Ebet , in L .agitu=onihil ahad es, am multiplicatio denominatorum propontontim intermediarum inteν se. Eae hac enim multiphtatione procreatur denominaror proportionis,quam extremi termini intis se habent, quapropterea iLIitis proponionis, mitis denominator Iri Fortis es, dupliacata dicitur, Gel tri ita a, vel quadruplicata, c. prout eti-dὰlirie d/nominatoν bis positus es , vel ter, etes quater, e c. atques e multiplitastis fuit, ut exposuimus. Versi gratia, o positis fisea Dasnodi numeris contanae proportionatibus in 'oportione Dadrupla, pesi' s 1sa. ad Darium
I. proportionem subis. denominata δε ς . quae proportis dicitin ιν strita proportionis quas piar quia di ominator ση. 'Opsprionis extremortim asu. π 3 re citur ex denominatore .proportionis quadru a terposito, os tres proportiones quadruptis infer extremos interiecta atqtis ira multipliento, dicendo quater quatuorsint Ic. is quater ac ne c.. Sic etiam i essi Eem ntimeris , mi sint continua proponionales in proportiones bquadrupla primus 3. a. quartum a s a. oportionem saόμ
qua proportio dici rtriplicara . proponionis tib ari plar sa
nominatore proportionis stis quadrupla ter psro,
multiplicaro, ob tres proportiones sesquadrupla, intre eae, mos inrevssi γ.Nam M'. in fit 9 ex . iust . Nihil obsat ergo, qtis minias proportio 3, ad is a. δετε. denominata dira possit triplicata proportionis stibquaa pia s. ad ia. anquam ilia minor Gquam Lace qtita vide-tiere denominator spoductus es ex denom natore terposito. Θμ m&θιpti ars, Ur dixi m. Non famens ros oriso I. ad asu. a denominara dici potes Diplo maior proportic-
684쪽
nesubquadrupla s. ad I a. quia denominator triplicatus non facit denominat em - .sed -. atque ita proponio sib-
sesquitertia dicetis Di Ia proportionis subquadrupla osculetram non proportis is c . denominata, sed proportio duo de cus es proportionis quadrupla tripla s propterea quod dens minator . tripliciatras non pro cis denominiatorem c . sedis. Porro continuatis qtisretin e ntimeris proportionatiόtis, siue mal es tiam minopibus, e minores cum maioribtis com feratur, denominatorem proportionis primi ad mltimum gigni eae denominatoribus intremediartim proportiontim inter se multiplicatis, demonis bimtis addon. ς lib. c. proportionem aritem aliquam tum demum esse alterius diaplam , mel triapum, cte cum illitis denominatis stilus denominatoris dultis
lib. X. tracta mέ es hociar metiam copiose is Rota ho Vo-Lmnis in Dissutatione de P=oportione pγoportio m. Nunc fatis sitisse ipsum communi Asminiam itidisio ex sensebilibias resus confirmare. Si igitur Agens aliqviod ad Patiens propo flanem sabeiae Crebi gratia demptam, ita mi Agenose a o. ΘPatiens I qtiis tam more captus erit, qtii no satim intectigat, si idem Agens augeatin, si fae as. Patiens amem maneas I. Agens tunc dupla maiore labera solentiam resectu ei dem Patientis, quamprimp euare proportio mige pia, tuitis denominator a s. pitis es denominatoris 1 o. pia es proportionis dempti , non atitem proportio centupla, ut anctores contraria sententia molant sed tamen hae proponio tentusta dicestir Nicata proponionis decupla propter mtiltiplicationem denominatoris i o .in si se propter dum proportiones de pias, qua inter numeros centulia proportiones habentes interjctamur,te hic apparet, Ioo.is.1.Sic etia se contrario, ess ali od ad Patiens heae proportionem versi raria sius cupiam, irrimi Agenssit r. se Patrens s o. quis tam seges fuerit, ac rudis, qtii non intestigat, Agens, qtio isset o esse pstentius re secta et is Patientis i o.quam Agens I. p Ctim ergo Agens a. ad Patiens ro. habeat proportionem sibqti mplam, mitis δε- nominator .mel co tin ex denominatore sissim
685쪽
ωolant, tum Lec longe minor si quam subdecupla . Dicet rramen o serio silcet Iaproportionis Abdecupla duplicata, propter erit iam seditis explicatam, ut sic patet, T. Io. I so. Ex his,etie diximes non os ture est gipotest, oportiones
cipitine inicia medium in rentinua proportionatirate, hahere conssitionem stipersciri quadrata, Donia gignitin ex duabus proportionibus aquatistis Dema ora θ adrasti ex utia-όtis lineis a ratistis eoscitur. D enissi proportiones, critus qua- eis aer s duo media in continua preportionalitiate interjeiuntur, obtinere natura solidi, at se adeo cubi,ctim oriat tir ex Iγibus aqtialistis proportionibus, quemadmodiam etiam cultis eaenistis lineis aqualibus consurgit Vertim de sis plura inuenies a d Arithmetico qui A eseae regulam exposuerant.
tione magnitudines , dicuntur antec dentes quidem antecedentibus, consequentes vero consequentibus.
DEFINIVIT Dpra proportionalitatem, proportionia esse similitudinem. Dolet iam no solum in proportionalirate qua-tiis proportiones dici mitis; Verum eriam ferminos ipsis , fetiquantitates, mitis dici, homologasve i, dicens, antecedentes magni dines appellari homolum, sti similes proportione inter se,nec non consequentes lire se,ut intestigeremtis in quam plurimis demon attonistis, quanam late=a fguraram inter se comparata , antecedentia debeant esse proportionum. Θquanam consequetia, mi ih c tis e spictium fer.Si igitαγ estproponio A, ad B, qua C, ad D ; dicetur quanti
proportionum, necesse est,mirami ma/BCD E F G mi dis/m antecedentem mer ἀγώ-lem esse utrist cosequent vel eodes modo maiore, arat minorer
686쪽
Alias non faberet tiras antecedes ad tirantis consequente proportionem e d .Exempla sabo in magnistidinastis propositis δε qtiibus antὰcedentes maiores fiant eodem modo cons-quentibus f see dimidio maiores. Aliud aYempiam miris in magniminastis E, F, G, continue proportionalistis, ubi ta E, I F,somologesen quam F, G, ut consat. Aip sanc ob causam Euclides in Eo n. c., δ. iussi aeripi aque m tripti tia prima O tersia magni, intim , hoc es, antocedentitim ritem alia aque muti licia secunda , ct quarta magnit dinum,nsmirum consequentium. Ha enim Hessunt in magnitudini s proportionatibus, De ex hac definitione consist sm magnitudinibus mero non oportionalibus dissmitis. ORCNTI S , ct nonnialii alij ne frates, Iove aliter definitionem sane exponunt. ptitans enim Etittidem do- cere, in magni dinutis rapo tonalibus Garie inter se eo erri posse se antecedentes magni κdines, conseqtientes ve-
Ititi insequentibus definitionibus patebit . Vertim si mersa δε- Dionis diligentius ponderenim , ct et ius eiusdem in c. Lb.
consideretur, no ram expositonem huic anteferendam esse , nemo Δόitabit.
XII. ALTERNA ratio, est sumptio an-l te cedentis ad antecedentem ,& consequentis ad consequentem.
i EXPLICAT hic quo EXPLICAT Aio qnos m modos argumentanda in sortionibus, mortim frequensissimus eri istis apud Geometras. Hi atitem sint numero sex. PFiretis dici tir proponio a t/rna epremtitata Secundus, inuero ,seu proportio e contrario e Tertius, compositis rationis , seu con, tincta proponionalis Λ Cunnus, disso rationis, mel disiuncta proportiona-titas; Ctiineus, contiosio rationis, siue medio proporrionatitas Sexti donique Cocatur proportio e Σ κγahor es a tia proporato. Aberna igitur u prem fata proponio, iotiis, es, cum propositis Diartior magnitudinitas proportionaditas, smf mr eandem es e pratonionem antecessimis tra is prepo rionis ad Needentem poserioris, quam gaset conte sensigitis ad confitientem huius. Vt Sponamus proportionem A,
687쪽
iad B, quam C,ad D, is optaria rencludamus, eandem esse proportionem Α, ad C, qua es E, ad D , dicemur argumentia i aper mutara 'sportione. Graci scriptores in fac aettimentatione uranti hoc fere modo Io GH Vi es A,ad B, ita C, ad D ; Igitur premtitando, seu vicissim, erit quoque A,ad C, ut B, ad D. Firmam amem esse huius qmodi illationem, demon strabitur propos Ic. ΓλHim. Catorum in loe Modo argumenrandi, 41 3snecesse es,omnes quamor magnistidines esse eius I Laodem genisis, me inter sinaου ut ui assumptas pro- Jportio essepossit . Non enim reccte infertur. Vs Ita ineri A. ad tineam B ea numerus C, ad nume- . ι ό hrum D; ergo permutando, ut linea A, ad numerum C, ta linea E, ad numero D s cum mira si proportio tinea ad namertim, aut contra,miperspicuum es ex don. s. In aliis aurem modis argumentandi, qui seqtiuntur spoeunt esse priores magniscidines in υno genere magnaturinis ἀ θ serioris in alio genere magni uinis , ve ex demonstrationi- hi sultis tib. s. consabit.
XIII. INVERSA ratio, est sumptio consequentis, ceu antecedentis, ad antecedentem, velut ad consequentem.
VT sex eo, quod es A,ad B, mi C,ad D, ipi eramus, ita esse Β, ad A, ut D , ad C, foc I ses , consequentes ad antecedentes referamus ; I cdicemuriar menta i ab inti O pro nione. In fac aetumensatione sic fere ADtinetir am sc res. Vt es A, ad B, ita C, ad D, ut in con- 111 Neriendo, meIe contrario, erit quoque Β, ad A, ABCD ut D,ad C , Quam quidem modum argumentandi certum esse, osen fur in torta.propos . itis lys. Poγνο duae priores magnitudines possum esse unius generis, ct seriores alterius , Recte nam s litebit inferiei sistineri A. ad lineam B, ita δε sabee triangultim, siti nume- s C, ad trian tam , seu numerum D 3 Igitur inuissendo vi tinea B, ad tineam A , ita triangulum, seu n merus D, au
688쪽
X I I I I. COMPOSITIO rationis, est sumptio antecedentis cum cosequente, ceu unius, ad ipsam consequentem.
SIT proponio AB, ad BC,θtiae DF, ad EF s Si igitin edihoc colligatur, eam qmqtie sise proponionem totius AC, nempe ansecedentis cum consequente, ad
o D F, antecedens nimirum ctim cons quente, ad E F, consequentem; dicet tir iuscemodi aettim ratio composito rationis, eo ood ex ian- recedεnte, εν consequente componarer aliud notium antecedens. Nunc amem motam dicendi apud Graecos scriptores pe- perses in lac aettimoratione io AB, ad T C, ita D E. ad EF, componendo ergo erit o AC,ad BC, I DF,ad EF.D
mons hi is sic modus argumentandi hoc tis ro f. Iδ. Η VI C modo argumentandi per compsystionem rationis
addipos itini alii deso. Primi dici poses , Compositio farionis
conuersa;quando nimirtim mittir antecedens, ct conseques, zeluti una, quἡ ctim antecedente confisatur . Vt s es, ut A B, ad BC, ita DE,ad EF ινλω Ergo ut AC, ex antecedente O conseqtiente conifatis, ad antecedentem A R , ita es DF eae antecedente is consequente composita, ad antecedentem DE.Luam aet mentationem esse mesidamdemons bimtis ad propc s. I 8. suis tib ID qtin Didem foe modo dicendi Gitorarimus Etas per compositione rationis couersam. ALTER modus diei pores Compositio rationis contraria Dando nimirem res stir eadem magnisuri antecedens ad antecedcnrem, Θ Gnsequentem, ceti ad unam . Vt s est, ut AB, ad T C, ita D E, ad E F, infisimus 1 per compostionem rasionis confra iam ue ui Ar tris G A B, antecedens ad tora AC, ex antecedense, fν conse ciente compositam, ita DE, ami recedens ad DF, ex anote me, equens ram. Atque sanc aettimsmandi formalam etalere, a rum I S, stitas Al. Uredemtas.
689쪽
X V. DIVISIO rationis, est sumptio e X-
cessus, quo consequentem superat antecedens, ad ipsam consequentem.
sequentem superat,ad CB,co c Equentem, ut D F, excessus, quo consequentem excedit antecedens, ad Frito 'equentem. In dissone atitem fac rationis ita Isqtiuntur auctores; ergo disidendo,cte Hae porro illatio Mendetur pγνο fi .huius lib. P O S S V N T etiam stile aettimentandi modo adiungiatij duo. Primum Diuisionem rationis conuersam dicere psis sumtis, quando nimiram consequens ad excessiam, quo consequentem superat antecedens, refertur. Vis e mAB, ad CR, ita D E, ad , concludi Aper diuisionem Orionis contiis Iamue Ergo erit,ut CP consequens ad AC,excessum, quo an recedens consequentem stiperat, ita FE, conse res ad D F, excessum,quo antecedens superat consequentem. Valere atis e hanc argumentationem, Vendemus ad X γνω. stilus lib. E R S PIC V V M autem es. t miraque sartim argumentarionum per Diuisionem rationis Ioctim Laseat, nimidium is ilia Euclidis, ct nos , antecedentem deboe esse maiorem consequente. Alias Diuiso feri nonpossis. ALTER Modias a pectari potes Diuiso Orionis contraria; quando etidelicet consentir antecedens cum excessu , quo consequens antecedentemsuperat. Vt ctim diei s. Irassabee AC, ad AB, me DF, ad DE. Igitur eris quoque per diuisionem rationis contrariam is AC, antecedens ad C R, excessum, quo consequens recedentemsperat, ita D F, ante cederis ad F E, Meessum, quo antecedentem superat consequens . Letii modus aettimentani demonstrabitin etiam a nobis ad popos, .stitas tib P O R R O manifestim scin hae Diuisis re Orionis contraria consequentem debere esse maiorem ansecedente, in sem
690쪽
CONVERSIO rationis, est sumptio antecedentis ad eXcessum, quo superat antecedens ipsam consequentem.
con sequentem stiperat antecedens, G DE. ad DF; Dicemur per conuersionem rationis a sumentari . Vnde sic fere loqtiuntur scriptores Igitur per conuersonem rarionis, ΘαConfirmaόitur autem hic a timen tandi motas jn corsu pro fis huius tis. L I . I D O etiam consas, in hoc mori argumentam dipseranti sinem Orionis antecedentem diaere consequentem superare, ut excessus, quo antecedens consequentem sup
E X aequalitate ratio plures duabus sint magnitudines,&h1s aliae multitudine pares, quae binae sumantur, & in eadem ratione: cum Ut in primiS magnitudinibus prima ad ultimam, sic &in secundis magnitudinibus prima ad ultimam sc se habuerit. VEL aliter. Sumptio extremorum, per subductionem mediorum.