장음표시 사용
702쪽
Dico reliquam E B, ita esse multiplicem reliquae FD , v t est tota AB,totius CD. Ponatur enim E B, ita multiplex cuiuspiam magnitudinis , videlicet ipsius G C, uti est AE multipleY ipsus C f. vel tota AB, tot4us C D. Quoniam igitur AE EB,aeque sunt multiplices ipsarum
B CR GC; ' erit tota A B, totius
-----i . . GF,ita multiple x,ut AE, ipsius GD CF,hoc est, omnes omnium , ut
i a Vna unius: Sed tam multiplex -- etiam ponitur A B, ipsius C D , - quam est multiplex A E, ipsus CF. Igitur AB, tam est multiplex ipsius GF , quam multiplex est ipsius CD ;h atque idcirco aequales sunt G F , C D. Ablata igitur communi C s , aequales erunt G C, FD Tam multiplex igitur erit EB. ipsus FD,quam multiplex est ipsius GC. Sed ita multiplex posita suit EB,4psius GC, ut A F, ipsus CF, hoc est, ut tota A B , totius CD Ouare tam multiplex est reliqua E B, reliquae F D, quam cst tota AB, toti us CD:quod est propos tum A L I T E R. Sit ita multiplex tota AB, totius C D, ut ablata AE ablatae C F . Dico reliquam E B. reliquaec' Α . 4 1 FD, esse sic multiplacera, ut
T - est tota totius. Posita enim
s C FD GA . ita multiplici ipsius j c, Λ D F D, ut est A E, ipsius C F,
quoniam A E, G A, aeque multiplices iunt ipsarum C s , F D ;ς erit tota G Ε, scmultiplex totius CD,ut AE ipsius C F 1 Sed ita quoque multiplex est AB. eiusdem CD, ut A E, ipsus CF. ex hypothesi Aequo multiplices sunt igitur G F , A B, ipsius
CD; atque adco inter se aequales Ouare, dempta com muni AE. aequales crunt GA, EBSIdeoque teque multi
plices ipsius FD;cum GA, si multiplex posita ipsuς FD: Atqui ita est multiplex posita G A,ipsus FD, ut AB ipiastis C D . Igitur 3 Ε Β , reliqua sic erit multiplex ipsius FD reliquae vi AB, t ta totius C D ; quod est propos
703쪽
sCHOLIV M. VNIVERSE idipsiam demons situr propos. Is. in magni dinistis cuius nqueproportionis, ct non tanttim mniti iris , me hic es factam .
SI duae magnitudines duarum magnitudinum sint aeque multiplices,& detractae quaedam sint earundem aeque multiplices: ω reliquae eisdem aut aequales sunt, aut aeque ipsarum multiplices.
SINT magnitudines AB, CD, aeque multiplices ipsarum F, F;& detractae A G, C H, earundem E, F, aeque multiplices. Dico reliquas G B, P, GHD, aut esse aequales eisdem E,F, '
aut certe earundem aeque multi
plices. Cu enim AB, sit multiplex s- GDipsius E, & ablata quoq; AG, ciuia idem E,multiplex ; erit reliqua G B , vel aequalis ipsi E .
vel eius multiplex ; alias inaequalis , vel non multiplex magnitudo addita multiplici componeret multiplicem, quod est absurdum. Sit igitur primum G B , aequalis ipsi E. Dico etiam IID. ipsi F, esse aequalem . Ponatur enim CI, aequalis ipsi F. Et quia prima A G, tam est multiplex secundae E quam CH , tertia multiplex est quartae F ; &quinta GB aequalis est secudae Ε, sicut& CI, sexta aequali; est quartae F;ρ erit AB,prima cum quint a , ita multi plex secundae E, ut HI , tertia cum sexta, multiplex est quartae F: Atqui CD, ipsius F,erat quoq; tam multiplex, quam AB. multiplex est ipsius E. Aeque multiplices igitur sunt HI,CD, ipsius F. Ideoq; aequales inter se.Qua re dempta CH communi,remanebul CI, H D, aequales.
Cum igitur CI posita sit aequalis ipsi F, erit quoq; H D, eidem F, aequalis. Quod est propositum .
704쪽
A G I, SIT deinde GB, multiplex ip
,- - - - i sus E. Dico ita quoque esse mul
i ' tiplice H D, ipsus F. Posita nam -*--. que C I, ita multiplici ipsus F, ut F est multiplex GB. ipsius Ε; erit, ut prius, A B, ita multiplex ipsius E, ut HI, multiplex est ipsius sc b Quare iterum aequales erunt HI, C D; atq; adeo dempta communi CH, & reliquae CI, IID,aequales erunt: Sed C I, est ita multiplex ipsus F, ut G B, ipsusE,multiplex est, ex hypothesi. Igitur & H D, tam multiplex erit ipsius F, quam GB, ipsius Ε, multiplex est. quod est propositum. si duae itaque magnitudines duarum magnitudinum snt aeque multiplices , &c. rodostendendum erat. S C H G L T V M .HOC quoque ostendemus uniuersepis sa 4. in omni ge
THEOR. 7. PROPOS. 7.AE QV ALES ad eandem, eandem
j habent rationem: Et eadem ad aequaleS.
705쪽
SINT duae magnitudines A,B, aequales inter se, & a tertia queuis C.Dico A,& B,habere eandem proportio nem ad C.Item C. vicissim ad A, & B, eandem quoque proportionem habere. Sumantur D, E, aeque multiplices ipsarum aequalium A B; eruntque D , E, aequales inter c pris. se. Capiatur rursus F, utcunq; multiplex ipsius C. Quo niam igitur D, E, aequa- D---- Ε - iles sunt, si ut utraq; Vel i-ι minor sit, quam F, volaequalis, vel maior,iuY- E
plicationem ea multiplicia sumantur . Quare cum D, E, aeque multiplices primae A,& B,tertiae, minores sint ipsa F. multiplice secundae & quartae C, c est enim C , instar duarum magnitudinum,&c 9vel aequales, vel maioresb erit in proportio primae A, ad C, secundam, quae ter h Crisntf. tiae B,ad C,quartam. quinii. EODEΜ pacto ostendemus F, vel minorem esse utraque D,E,vel utrique aequalem , vel maiorem. Igitur cum P,multiplex primae & tertiae C. una desciat a D.&E aeque multiplicibus secundae A, & quartae B ; vel una aequalis sit, vel maior; ς frit quoque ea proportio primae ς ς.A D.
propositum. Posset breuius secunda haec pars ostendi per coroll. 4. propos ex inversa ratione . Cum enim Osen sum iam sit octo A, ad C,ut B,ad C, erit conuertendo C, ad A, vi C, ad B. Aequales ergo ad eandem,eandem habent rationem: Et eadem ad aequales. quod erat demon strandum. SCHOLIUM
eae c. de . Haeta expositionem Campani ac Cronti . Neque enim per demonstrationem consat, mrramque multi acem
sium cum iEa snt aquatis, Ῥtramque esse mel minorem , vel aqtialem, vel maiorem mtiltiplici , F. Idemque cernitur in
omnibus fere propositioniόtis, qua pis c. definitionem proposirtim coctigunt: Vs merito ista expositio reiecta sit ri nosos. EO DE D
706쪽
THEOR. 8. PROPOS. 8.1NAE QV A LIVM magnitudinum aior ad eandem, maiorem rationem habet, quam minor: Et eadem ad minorem, maiorem rationem habet, quam ad
- Des inaequales , A B, maior, & C, minor ;Tertia autem quelibet D. Dico proportione AB, ad D,maiorem es se proporticine C, ad D . At e conuerso, maiorem ei1 e proportionem D ad C qua D ad A B. Intelligatur enim in AB, magnitudine maiore , m agnitudo A E , aequalis minori
707쪽
minori C,ut sit reliqua E B. Vtraque dei de ΕΒ. Ap, aqualiter multiplicetur , hac lege , ut GF, multiplex ipsius E B. maior quidem si, quam D ; At HG, multi plex ipsius A Ε, non sit minor eadem D, sed vel maior, vel aequalis. In priori figura tinecesse fuit sumere GF, HG, - - ι-.
iuissent accipi quaecunq; alie 1 ν--- - -1- aque multiplices maiores. In
posteriori autem figura satis est, sumere ipsarum FB, AE, duplas GF, HG; quia utra que GF, HG,maior est,quam D. Possent tamen pro duplis fiami quaecunq; aliae maiores sequemultiplices Quoniam igitur duce FG,GΗ.teque multiplices sunt duarum BF, EAs erit& tota F H, ita multiplex totius A B, ut H G, ipsius A E, hoc est, ipsus C. cum aequales sint postae C,& A L. Capiatur quoque ipsius D, multiplex I Κ, quae proxime maior sit, quam H G, nempe dupla, ut in priori figura. Quod s dupla maior non fuerit quam H G,sumatur tripla,vel quadrupla,&c. In posteriori si gura accepta est I Κ,ipsus D , quadrupla , quia tam dupla,quam tripla minor est,quam HG, at quadrupla iam maior est . Abscissa ergo L Κ, quae aequalis sit ipsi D, noerit I L,maior,quam H G, calias IX , non esset multia plex ipsus D, proxime maior quam HG; sed &I L,ma
ior quoque esset quam H G. Quod si IK, dupla sit ipsius
D, peripicuum es,IL, non esse maiorem, quam HG,cum
HG,posita sit non minor quam D, hoc est, quam IL, & id circo H G, eri t vel aequalis ipsi I L , vel maior . Et quia F G , maior est posita quam D ; L K. vero aequalis
eidem D; erit quoque F G, maior quam L K. Cum ergo H G, non minor si quam I L, ut demonstratum est , sed vel aequalis, vel maior; erit tota F H, maior quam I K . Itaque cum F H, H G, sint aque multiplices primae AB,& tertiae C ; atque I Κ, multiplex ipsius D, quae instar estseeundae & quartae: si autem FH, multiplex primae, aior quam 1 Κ, multiplex secundae; At HG. multistex
708쪽
tertiae non si maior, quam I Κ, multiplex quartae, immo minor, ex hypothesi ; sumpta enim est IK. multipleripsus D,maior quam HG, ) erit maior proportio AB,
primaead D,secundam,quam C ,tertiae ad D, quartam
ια' rio Ι Κ, multiplex primae D.
V E ponatur enim num D, Pri- ma ac tertia; At C,secunda, ω & A B, quarta maior est quaa r. ii - -.4...-ι HG, multiplex fecundς C; At 1 Κ, multiplex tertiae D, maior non est, qua FH ,multiplex quotae AB, immo minor,cum FH, maior sit, quam Ι Κ, ut ostensum est; h erit maior proportici D , primae ad C , secundam . quam D, tertiae ad A B, quartam e quod est propositum . Inaequalium igitur magnitudinum maior ad eandem,&c. QAod erat ostendendum. s C M o I I V M. RECTE autem Mima retis Perrus Nonius in sua
Algebra de Proponione agens, per hanc propos. δ rosari non posse, angulum rectum maiorem hahere proportione ad Dem-tiis alium angialum, quam angulum semicis ii ad eandis utam angulum , quanquam reiam antitas maior se an Asemicirrati quia excusias autiti reeti se a angulum semicareuli, qui es angulus confingensia, qtiatam is multi ic russeuperare neqtiis tertium ilium angialam, quod tamen in huitis σάdemonseratione requiritur.Nam FG, Diplex excessus EB, Gerare deset temtiam magnittidinem D, rus paruis. Neque Loc serum cuipiam iideatur Nam an dias rectas ad antitam semicirexti non dicietur propria hasere proportionem, cum eram excedat angulo contaris , qui non ei dem natinaes cum utroque angulo, quod ita mtihuplieari nonposis, vitaisertit m ad rum tandem excedat memadmotam enim,s ad lineam vitas palmi addi posset in optinctam, ΣΦ erestin/a ins puncto lineam Cnitis pasei excedens,non diceretur
'oprie tinea illa remposita maiori quam linea unius palmi, propterea quod excessus es indiri itis, er alteritis natura;
709쪽
I tem Demadmodum sad figuram planam quamcunq; apponeretur linea mnim palmi, non diceretur fac magnittido ex
diuersi magnitudinibi consata ad fodiam iliam planam habere proprie proportionem maioris inaqualitatis'. quod ex cessus non D eiusdem narura etim plana illa marita quolnon haset angultis dieAmpνoprie ad an tam semisistias proportionem maioris in quatitatis; quippe ctim Λn Asemicimoli adiectussit antitas contactvi , mi osciatiar antita r citis ; atqtie adeo Vecym angvius anguiam sematis ti excedat quantitate diuerse natura, mi dictam es.Itaque non δε- tam ea magnitudines pνoportionem proprie non sent, quartim alle tria mulsipticata alteram stiperare nequis, mi addon. s. itis Itb.diximm sed neqtie ea p=oprie ditentur Amsere proportionem mi idom Petrus Nonius annotauit,quarum
excessuου diuersam ab eis nastidiam Mher, is odistini amotus rectas , o a uius semiciretiti . Adeo me tune sotam proprie magnitudines dicamur sabere proponionem inter se, quando is alte rea multiplicata afferam superarepotes, ct exesisus eartim multipticarmsuperare quoquepotes ut m-que. Fateor rem hane esse peros tiram , ct Da vix recre iniectigi possit: Verum hoc pratiente eae inditiis ilitate austi contactus per tineam Vectam.Huitis generis sunt alia nonnulla in rebus Geometricis, qua ieris a quidem sunt propter demonserationem midentem ,sed alia ex parte talem in-- ei ne dissetitialem, me ab ea non Deiti intestic ου se expediae. Verbi gratia, Verusmum esto aram tangere anum inpuncto,ete a TLeodoso demonstratur pro f. s.tib. I. Sed qua rationesar, ut sine non sequatur, se globuta continue miti trars est plantima eam rectam desci ibi compositam expuntiis , nemo ad ne usis diem se exsicauit, it omni ex parte dif
THEOR. s. PROPOS. 9.QV AE ad eandem , eandem habent
rationem , aequales sunt inter se: Et ad quas eadem eandem habet rationem, eae quoque sunt inter se aequales.
710쪽
HABEANT primum A , S B , eandem rationem ad C Dico A,& B,esse inter se aequales . Sit enim, si seri potest, altera, nempe A,maior,& B, minor. R Erit igitur maior proportio A, maioris ad C, quam B , minoris . ad eandem C; quod est contra hyδε - 1 M pothesin. Non ergo inaequales C iunt A, B,sed aequales. Habeat deinde C,eandem proportionem ad A,& B. Dico rursus A,& B,esse aequales . Nam s alia tera, empe A, esset maior,& B,minor si h haberet C , ad B,minorem, maiorem proportionem , quam ad A, maiorem : quod est contra livpothesin . Non igitur maior erit A , quam B, sed aequalis. Quae igitur ad eandem, eandem habent rationem , &c . Quod .demonstrandum
SCHOLIUM. CONVERTIT Lae propositio s. miramque panemiaeorematis .vi manifestum est .
THEOR. Io. PROPOS. Io. A D eandem magnitudinem rationem habentium , quae maiorem rationem habet, illa maior est: Ad quam autem eadem maiorem rationem habet, ibia minor est.
HABEAT primum A. ad C, maiorem proporti nem,quam B, ad eandem C.Dico A,maiorem esu, quam B. Si enim A,foret ipsi B, aequalis, s haberent A, 3e B, D eandem proportionem ad C , Si D ' autem A, minor esset , quam B, C,---- d haberet B,maior ad C, maiore proportionem, quam A , minor