장음표시 사용
691쪽
tur, opterea eam esse pro optionem A , ad riC, ama ad vitimam in primis magnistidinibus , Da eis D,ad F, prima magnitudi- onis ad ιitimam in siectissis magni dinistis; Iditetuν Miusmodi argumentandi formia . clydestim a ex aequo, e ex aqAatitate,inqua scitiore exfrimae magni rudinis, bductis me id,s, cogiγntur Labere etnam , Ondemque IJ I Iinter se se proportionem. mi in istist,ia doni AE , DEFrione exprimimr. Qtioniam vero duobtis modis ex aequalis te Iicet aettimentari in preportionibus, uno quidem , qu fida. nimtis bona, ac binas magnis ines in eadem oportione , o=dinate procedendo ahero mers , minordo inuertitur ex-pticae Euelides duabisse tientiόm de Dionibtis, qui sit Ordina aproponis, ct quid poportio Perturbata .
fuerit, quemadmodum antecedens ad consequentem, ita anteceden S ad consequentem; fuerit etiam, ut consequenSad aliud quidpiam, ita consequςns ad aliud quidpiam.
V T quando Deris Α, ad R, it D , ad E s IaRNrsus mi Α, consequens ad atitid quidpiam , me ad C, ita F, consequens ad F, Mitiis qui piam; dicetur talis proportio, ordinata qtita uidem ordo tam in primu traόus magnitudini- l. i bus,quam inserandissertiarinicum virilio. s 1 II a
692쪽
X I X. ΡERTURBAT A autem proportio est, cum tribus positis magnitudinibus. alijs, quae sint his multitudine pares,Vt in primis quidem magnitudinibus
se habet antecedens ad consequentem , ita in secundis magnitudinibus antecedens ad consequentem : Vt autem inprimis magnitudinibuς consequens ad
aliud quidpiam, sic in secundis magnitudinibus aliud quidpiam ad antece
SI atilem se, quemadmodum A, ad A ta Rad F; Deinde me in primis magni disibin B, consequens ad C , ahud quidpiam, ita in secundis magnitudinitas aliud quid iam , H H D, ad E,antecedentem magnitudinem; ntinc agitur Atiissemodi'oportio, Pen Mariae 8 quod nons uetur idem ordo in paeoportioni ac magnitudintim; Dippe cum in primis magis- uinibus conferatur prima cum secunda, ati s insectindissecmida eum renia deinde in 'L HEB mis secunda cum terris, at in se nis prima
cum sectindia. LMando i mr in modo aν mentandi ex aqualitate fertiatin Penurbata proportio , δε- moni rartiri eam argumentationem esse bonam, vosas. ius lib. oras tam perturbata proponao, qtiam ordinata, semper infert ex aequatitate eandem extremorum proportionem, etiam si pliares magnitudines ponantur, quam Ires, ut ex
propos. 22.9 2ο. itis tib persimum set. V T V N T V R Enetidis inter riles hoc iura , in alidis, ibi de proportionibus magni intim uitiar, axiomate
693쪽
quodam, quod mi hic sibi=ceremus, non inutile fore itidientii mus . THYd istisem eiusmodi os .
QVAM proportionem habet magnitudo aliqua ad aliam, eandem habebit quaevis magnitudo proposita ad aliquam aliam ; & eandem habebit quaepia alia magnitudo ad quamuis magnitudinem propositam.
V T , qtiam proportionem Lalet A,ad A, eandem Laἷosia magnitudo proposita C, ad aliquam aliam, nempe ad D. Ithm 8andem habebit quaepiam alia E, rid proposisam C. Quamuis enim ignore- ni imus interdum , quanam si quana ilia C l--. -- magnitiari , diabitandum tamen non est, iram esse posse in rerum narina, ctim ideontradiectione non implicet, ut Philosophi, loq-ntur , neque ab indi aliqtiid ex eo consequatur.
THEOR. 1. PROPOS. I. S I sint quotcunque magnitudines quotcunque magnitud1num aequalium numero, singulae singularum, aeque multiplices ; quam multiplex est unius una magnitudo, tam multiplices erunt & omnes Omnium.
SINT quotcunque magnitudines AB, CD, totidem magnitudinu E,F, eque multiplices.Dico magnitudines AB. CD,smul, tam esse multiplices magnitudinu E , F, smul,quam est multiplex AB, ipsius E,vel C D, ipsius F. Cum enim AB, CD. sint aeque multiplices ipsarum Ε, &F si A B, diuidatur in magnitudines AG, GH, HB, ipsi
694쪽
uidi autem poterit quaelibet in parte s omnino aequales, cum AB, CD,sint ipsarum E, F,aeque multiplices , atque ideo toties Ε, in AB, perfecte contineatur, quoties F, in CD, ut ex iis, quae in desn. r. huius lib. scripsimus . constat .' erunt magnitudines AG, GH, HB , tot numero ,
quot sunt magnitudines C I, Ι Κ, Κ D. Quoniam vero AG,&E,equales inter se sunt, si ipsis addantur aequales a. Don. CI,& F,' erunt A G, C I, simul aequales ipsis E, & F, samul. Eodem modo erunt G H, & 1 Κ, simul, aequales ipsis E,& F,simul; Necnon H B, & Κ D, eisdem & F. Quoties igitur Ε, in A B, vel F, in C D, continetur, toties & E,F, simul, in AB, C D, simul comprehenduntur :1deoque,quam multiplex est AB, ipsius Ε,tam sunt multiplices A B, C D. simul ipsarum E, & F, simul, ut con stat ex ijs,quae in defin. Σ. huius lib. scripsimus . Quare si
sint quotcunque magnitudines quotcunque magnitudinum,&c. Quod erat demonstrandum .s C Η O L T V M. HOC Hem demons bittiγ mniti ses vos. II. in omni genere proportionis, tam rationalis, qtiam irrationatas. Neces sarium autem it,id sim pditas Loe loes in proportione m Lisplicet demonstrare ;Dia ex eo ritia proporatones demons, da sunt, antequam pγopositio au.ptist demons νi.
THEOR. a. PROPOS. 2.S I prima secundae aeque fuerit multipleX , atque tertia quartae; fuerit autem& quinta secundae aeque multipleΣ, atque sexta quartae; erit & composita pri
ma cum quinta, secundae aeque multiple X, atque tertia cum seΣta, quartae.
695쪽
S IT magnitudo prima A B, tam multiplex secundae C,quam est multiplex DE,tertia,quartae F ; Rursus tam sit jultiplex BG, quinta ipsus C, secundae,quam multiplex est E H, 6exta ipsius F, quartae . Dico A B, primam cum B G, quinta compositam,tam mult4plicem esse se cudae C,quam multiplex est D E. tertia composta cum sexta E H. E ipsus F, quartae . Cum enim A B, ' ς Η
gnitudines ipsi C, equales,quot sunt in DF, aequales ipsi F. Eadem ratione erunt & in B G , tot aequales ipsi C , quot sunt in Ere aequales ipsi F. Si igitur equalibus multitudinibus AB, DE, addantur aequales multitudines BG,EH; erunt totae multitudines A G, D H, aequales. Quare toties comprehenditur C, in A G, quoties F, in DH; Ideoque tam multiplex est A B, prima composita cum quinta ) ipsus C , secundae, quam multiplex est D H , tertia composta cum sexta ipsius F,quartae. S. prima itaque secundae suerit multiplex, &c. Quod erat ostendendum. SCHOLIUM. RV Ds prima magnitudo, se tertia , aqualis erint secunda,Θ qtiamta ; Lamia mero sexta, Λqtiemtiltiplices sectinde , O apta . Vel prima , ct tertia aqtie mMIriplices 'erint serenda, ct quarta ; At quinta Θ sexta, aquales δε- etinua, ct quartae r Erat eadem ratione, B G tota A G, trima se quim tiam mIL ---tiplex stiandae C, quam messet ex es strea D Η , tertia ac sexta ) ip sius F, --
quarta . Semper enim A G , multitudo V
prima tertia, quam quinta, sexta quales ponantυν sectinda, se Dana,Ace Harim es, imam
696쪽
qtitiam mul, atque tertiam ρο sextam simul, aqtiamtiitiplices esse, nimirum duphces, scianda Θ Dana maia
HOC quoque ag Εticlide concludettir in omni genere prs- portionis iniuersepropos a sed opera pretium fuit, idipstim prius in proponione mestriplici demonstrare, vi ea, γε sequuntur, demonstrari possint.
THEOR. 3. PROPOS. 3. SI sit prima secundς ς que multiplex,
atq; tertia quartς; sumantur autem c quem ultiplices primae, & tertiae: Erit & ex aequo , sumptarum utraque utriusque aeque multiplex, altera quidem secun
SIT prima magnitudo A,tam multiplex secundae B, quam multiplex est C,tertia quartae Due sumanturque E, I. F, eque multiplices primae & tertiae A,s S C Dico ex aequo tam multiplicem os se Ε,ipsius B,secundae,quam est F, ipsius Ili D,quartae. Nam cum E, & F, sint aeque multiplices ipsarum A, & C ; si distri huantur E,& F,in magnitudines ipsis A, C & C, aequales,ut in EG, GH, HI,& FK, E KL, LM; erunt tot partes in E,aequalest , ipsi A , quot sunt in F , aequales ipsi C .l l Quoniam vero EG, F Κ, equales sunt ip-E ABFCD sue A,& C;sunt autem A,& C, eque multiplices ipsarum B,& D,ex hypothes;Erunt & EG, FK, earundem B,& D, aeque multiplices . Pari ratione erunt GH, KL; Item III, L M, aeque multiplices earundem B,& D. Quoniam igitur E G, prima magnitudo, tam est multiplex secundae B , quam est multiplex F Κ , tertia
697쪽
quartae D; Item GH , quinta tam multipleae est eiusdem secundae B,quam multiplex est KL,sexta eiusdem quartae D, Erit & E H , composita ex prima & quinta , tam , a. quinti. multiplex secundae B, quam est multiplex F L, composita ex tertia & sexta, quartae D. Rursus cum si ΕΗ,prima tam multiplex secundae B, quam multiplex est F L, tertia quartae D. ut proxime demonstratum est; si autem & HI, quinta,tam multiplex secundae B, quam est L M,sexta multiplex quartae D ;h Erit &EI, conposta ex prima & quinta, tam multiplex secundar B , quam , a. quinti. est F M. comp osita ex tertia ac sexta, multiplex quartae D Eademque est ratio, si plures fuerint partes in E , &F. Si sit ergo prima secundae aeque multiplex, atque tertia quartae,&c. Quod ostendendum erat.
OSTEN D ET UR Loe iseorema, propos II. non so- tam in magnitudinius agis multiplicibu ,sed etiam in omnisin , qtia hine semptae eandem habent proportionem , siue rationalem, sitie irrationalem sed necessarium stiis, ipsum prius sic inproponisne mialtiplici demonstrare, mi insequendpropos .demonsisarisoph.
SI prima ad secundam eandem ha
buerit rationem , & tertia ad quartam . Etiam aeque multiplices primae &tertiae, ad aeque multiplices secundae &quartae, iuXta quamuis multiplicationem , eandem habebunt rationem , si
prout inter se respondent, ita sumptae
698쪽
SIT ptoportio Al,lad B, quae C, ad D, sumanturque primae A,& tertiae C, aeque multiplices Ε,& F; Item, se cundae B,& quartae D,teque multiplices G , & Η , iuxta quamuis multiplicationem: sive E,F, ita multiplices sint ipsaru A, C,sicut G, H, ipsarum B, D, sue non. His positis, con stat ex deso. 6 huius lib. si E deficit a G, etiam F,descere ab H : Et si E, aequalis est ipsi G, etiam F , aequalem e se ipsi H I E Et denique si E,excedit G, etiam F ,ex- EF C D Hu LV iere Alioquin non esset, per defn.
i 1 i 6 eadem proportio A, ad B , quae C, ad
i D si earum teque multiplicia non semperita se haberent. Dico iam , multiplicia
primae ac tertiae non solum una descerea multiplicibus secundae ac quartae, aut una aequalia esse , aut una excedere , ut
diximus, sed eandem quoque inter se proportionem habere,nimirum ita esse E,multiplice primae A, ad G, mul tiplicem secundae B, ut F. multiplicem tertiae C , ad H, multiplicem quartae D. Hoc est, si rursus F, statuatur prima magnitudo; G. 1ecunda; F, tertia;& H, quarta:sumanturq; ipsarum E, F, aeque multiplicia qualiacunque;Ιtem ipsarum G, H, quaecunque etiam aeque multiplicia ; Multiplicia ipsarum E, F, a multiplicibus ipsarum G, H, vel
una descere,vel una aequalia esse . vel una excedere, ut vult definitio s. Idem namque est, quatuor magnitudines eandem habere proportionem , & earum aequemul tiplicia sumpta, ut diximus, vel una descere, vel una aequalia esse, vel una eΣcedere. Capiantur enim rursus I, Κ, ipsarum E, F, aeque multiplices; Item L,M, aeque multiplices ipsarum G, H . Quoniam igitur tam multiplex est E,prima ipsius A, secundar, quam F, tertia ipsus C ,
quartae',sumptae sunt autem & I, Κ. aeque multiplices ipsarum E, F,primae ac tertiae r Erunt quoque ex aequo I, Κ, aeque multiplices ipsarum A, C, secundae & quartae. Eadem ratione erunt L, 4, ipsarum B, D, aeque multipli ces. Et quia ponitur proportio A,prim g ad B, secundam, quae C,tertiae ad D, quartam sostensaeque sunt I, K,aeque
699쪽
multiplices primae & tertiae, A, C;Item L, M, seque multiplices secunciae & quartae, B , D ; fit ut si I, multiplex a c d ni . iprimae descit ab L,multiplici secundete, ctiam Κ,multi- quinti. plex tertiae necessario deficiat ab Μ. multiplici quartae :& si I. aequalis est ipsi L. etiam K, ipsi M , sit necessario aequalis:&denique si I, excedit ipsam L, etiam X , exce dat necessario ipsam Mi Idemque ostendetur in quibus Cunque aeque multiplicibus magnitudinum E , & F , nec non magnitudinum G,& H:quia semper haec aequemul tiplicia, quaecunque sint, b aequemultiplicia quoo; erunt i , 3.quinti. magnitudinum A. C,& B,D. Itaq; cum I,& Κ,sint aeque multiplices primae E, & tertiae F ; Item L . & M , aeque multiplices secundae G,& quartae H; ostensumque sit, si
I,multiplex primae minor fuerit, quam L, multiplex se cundae, multiplicem tortiae X, minorem quoqό eiae,quam Aa, multiplicem quartae, &c. atque hoc contingere in quacunque multiplicatione tς Erit, ut E , prima ad G c. do in secundam, ita F,tertia ad H,quartam Si prima igitur ad qtirne . isecundam eandem habuerit rationem , &c. Quod erat demonstrandum .
HINC Deiti demonstrabitur Inuersa ratio , quam Euclides des 1 3. explicaui hoc est, si quati ormagnitudines fuerim pro ortionales, e rim ct contra eti inuersia ratione roportionales esse. Sit enim A. ad B, Ct C, ad D . Dico , r r, i .
F, aeqtiemalliphorbus ipsa A, C, primae ac tertiae utem λώ,aequemultiplicistis ipsarum B, D, secandae ct qtianae : qtioniam ex eo, quod A rima ad Eiecundam se habet, it C tertianti D, artam, d necessario sequitur, si E, multi t. jptiae primae minor fuerit quam G, Itiplex fecundae, tiiij. vel aeqtialis, vel maior, etiam F, -ltiplicem tertiae L