장음표시 사용
711쪽
A,aequalis vel minor quam B,sed maior. Habeat secundo C ad B, maiorem proportionem, quam ad A. Dico B, minorem esse quam AbNon enim aequalis erit B , ipsi A; alioqui haberet C. eandem proportionem ad A , &B; quod est contra hypothesin . Neque vero B, maior erit quam A; h ahas haberet C ad minorem A, maiorem proportionem quam ad B,maiorem: quod magis est contra hypothesin. Minor igitur est B,qua A ; quod est propositum. Ad eandem igitur magnitudinem rationem habentium,&c.Quod erat demonstrandum . . 7, quinti. , rutari. N AEC quoque opositio conuertit Iramque partem Meoremaris S ut peragacuum es.
THEOR. II. PROPOS. OQVAE eidem sunt eaedem rationes & inter se sunt eaedem.
SINT proportiones Α,ad B C,ad D, eaedem proportioni E. ad F Dico 8c proportiones A,ad B, & C, ad
inter se secun- . C- dum definitio- πι
multiplicibus ipsarum A, C SItem equemlaltiplicibus ipsarum B,D; semper contingere , ut multiplices ipsarum A C, a multiplicibus ipsarum B,D, vel una desciant, vel una aequales 1int, vel una e xcedant . Sumantur enim ad antecedentes A, C,E, aeque multiplices quaecun- Omnes antecedentes A, C,E, aeque multiplices quaecunque G, H,I;& ad omnes consequentes B,D,F, aliae quaecunqu8 aeque multipliees Κ,L,M. Quoniam ig tur ponitur esse A, prima ad B; secundam,ut E,tertia ad F, quartam;ς fit,ut si G, multiplex primae deficit a Κ. multiplice x x et secun-
712쪽
tiae ab M , mulIci tiplice quarte; Et si G, aequalis est ipsi Κ,vel maior. aequalis quoque sita O .d nit. I, ipsi M , vel maior : , Sed ut eodem modo ostend quinti. tur 9 s I. minor est, quam M , vel aequalis , vel maior , est quoque Η,minor,quam L, vel a qualis , vel maior:propterea quod ponitur esse E,prima ad F, secunda, ut C,tertia ad D, quartam . Quare si G,multiplex prim qh c.definis. A, deficit a x,multiplice secundae B, deficici quoque Η, quintia multiplex tertiae C,ab L, multiplice quartae D; Et si G,
aequalis est, vel maior quam Κ,etiam H, aequalis erit, vel maior quam L. Idemque ostendetur accidere in quibuscunque aliis aeque multiplicibus Quapropter erit A , prima ad B secundam, ut C,tertia ad D, quartam. Quae igitur eidem sunt eaedem rationes , & inter se sunt eae dem.Quod erat Ostendendum. SCHOLIV M. EADEM ratione. Qua eisdem sine eadem rationes,
ct intra festini eadem.V Usidis A , ad B, ita C, ad D ;ssi
C,ad D, ea Ι, ad G E,ad F ta L, ad M: erunt Do- e proportiones G,ad Hs ad K;o , ad M, eadem inter se. Nam me proxime in quartior proportioni s o senstim eis, τί G ad H, ira es Lad K ropterea quod oportiones simitis sint proportionibus Α, ad Ε, Θ C, ad D Eodem modo eris, GI, ad
713쪽
I ad K,ita L, ad M.Luare eum proportiones G, ad Η, Θ T, ad M. Mae inproponioni Lad K erunt Θ ipse eadem' o.quinti. interses ac praenue omnes inere se eadem erunt. Eadem ratio es de ptari s proportionibus .
THEOR. 12. PROPO S. 11. 12. SI sint magnitudines quotcunq; proportionales: quemadmodum se habuerit una antecedentium ad unam consequentium, ita se habebunt omnes antecedentes ad omnes consequenteS.
QV OD in propos r. de proporticine multiplici demonstrauit , ostendit hic de omni genere proportionis,
Dico ut est una antecedentium ad unam cosequentium , nimirum A,ad B,ita esse Omnes antecedentes smul A , C, E, ad Cmnes consequentes smul B, D, F Sumptis enim G, H, I, aeque multiplicibus antecedentium s & Κ, L, M. seque multiplicibus consequentium , b erunt omnes G. I. quanti. H, I simul omnium A,C, E,simul ita multiplices vi una unius, nempe ut G, ipsus A;& omnes Κ, L,M, simul omnium B;D, F, simul ita multiplices, ut una unius , nimiruut Κ, ipsus B Quoniam vero ponitur esse A, prima ad B, secundam, ut C, tertia ad D, quartam,& vi alia E, tertia
ad aliam F,quartam ; E fit ut si G , multiplex primae defi- . cdes r. cit a K multiplice secundar,deficiat quoq; H,multiplex quinti tertie ab L, multiplice quartae,&I,ab M; Et s G. equalis iest ipsi Κ,vel maior, aequalis quoq; sit H, ipsi L, & I, ipsi lM,vel maior. Quare si minor est, vel aequali vel maia lior qua Κ,erut Se omnes G, H,I,simul omnibus Κ, L,ν, η c Ofinis simul minores,vel equales, vel maiores.η Quocirca ut ost Dinti x x - Α,prima l
714쪽
A,prima ad B,secunda ita erit A, C,E,tertia ad B, D. F, quartam. Si sint itaque magnitudines quotcunque proportionales , &c. Quod demonstrandum erat.
THEOR. 13. PROPOS. I 3. SI prima ad secundam eandem ha
buerit rationem, quam tertia ad quartam; tertia vero ad quartam maiorem rationem habuerit, quam quinta ad sextam : Prima quoque ad secundam maio
rem rationem habebit, quam quinta ad
ut C, tertia ad C,quartam:st autem proportio C; tertiae ad D . quartam maior,quam E, quintae ad F, sextam . Dico &proportionem A prima' ad B , secundam esse maiorem quam Ε,quintae ad F, sextam. secundum desciitionem p. hoc est,sumptis sequemultiplicibus ipsarum A . F t Item aequemultiplicibus ipsarum B. F, cotingere posse,ut multiplex ipsius A,excedat multiplicem ipsus B , at multi plex ipsius E,multiplicem ipsus F,non excedat. Sumptis enim G, H,Ι. teque multiplicibus antecedentium ; Et Κ, L, 1, aeque multiplicibus consequentium,cum sit A,pri ma ad B. secundam,ut C, tertia ad D, quartam si vis G, multiplex primae excesserit Κ, multiplicem secundae ,
excedat quoque H,multiplex tertiae ipsam L, multipli cem quartae,&c. At quando H, excedit ipsam L . b non necessario I, excedit ipsam M , sed aequalis aliquando eri vel minor,quod maior ponatur Droportio C,primae ad D,
715쪽
ad D, secundam, quam Ε, tertiae ad F,quartem . Igitur si lG, excedit R. non necessario I, excedit M. a Maior est er- a δ.do nit. go proportio A, primae ad B, secundam, quam E , tertiae 'quin i. ad F quartam. Quam ob rem s prima ad secundam eandem habuerit rationem, quam tertia ad quartam, &c. Quod ostendendum erat. s CHOLIVM QV o D si proportio C. tertia ad D, quartam misor se rit, quam E, quinta ad F, si xtam erit quoque proportio A , primae ad R. eccindam minor quam Α, quinta ad F, foram. Si mem proportio C, ad D , minor es quam E, ad F, hoc est , propertio Eorima ad F, cundam ma re Dam C, renia ad D, quartam; hs vis I, excedis ipsam M, non necessatis H, 5λῶ h. eaecedat ipsam L, sed auequando desciat, mel ei a natis se . inst. e S/d si es, is cie ab L,ies ei aquatis es, etiam G . dese es a ς ς.doni'. A. et ei erit aquare es γod ponatur C, ima ad D , Mn- angi. idam,m A, tertia ad L, quartam. Cuare si I, excedit ipsam M, non necessario G, excedes ipsam Ks atque idcirco misibe 4 I d suis, erit proponio F rima ad F secundam, quam Α, tertiae ad L, qtiinta. quartam, Loc es, oportio Abad B, mrnor erit qtiam E, ad F Ωtiod es propos um . EODEM MOE . si 'ima adsecundam, maiorem Labuerit rationem,quam terr a ad artam; tertia autem ad qMariam,maiorem sagueris, quam quinta ad oram ma quoque mutio magis adserendam, malarem rarienem Labebis, qtiam qtiinta adsextam .
nem , quam tertia cd quartam tertia orem ad DaγIam, minorem habxerit, Ea- ineta ad sextam e prima quoquemtitio magis adfecidam,mmorem rara nem kalegit, Pamquinta ad sextam.
THEOR. 1 . PROPO s. I . 1 . SI prima ad' secundam eandem habuerit rationem, quam tertia ad quar
716쪽
: 8 EVCLIT . GEOM.tam; Prima vero quam tertia maior fuerit, erit & secunda maior quam quarta.
Quod si prima fuerit aequalis tertiae, erit & secunda aequalis quartae: Si vero mi-
SIT enim A, prima ad riseeundam, ut C , tertia ad D,quartam. Dico si A,maior fuerit quam C , fore quoque B, maiorem quam D. Quod si A. aequalis fuerit ipsi C, aequalem quoque esse B,ipsi D Si denique A. minor fuerit quam ,min rem quoque esse B , ipsi D. Sit primum
A,maior quam C, a eritque propterea proportio A, m M toris ad B, maior quam C , minoris ad ean-- dem B.Quonia igitur est C, prima ad D, Ω- cundam, Vt A, tertia ad B , quartam; Pro- , portio autem A, tertiae ad B, quartam, maior est, ut ostendimus,quam C, quintae ad B, sextam: b Maior quoque erit proportio C, primae ad D, secundam,quam C,quintae ad B, sextam. ς Ninor est e
go D,quam B; Ideoque Β, maior erit quam D. Quod est
SIT deinde A, aequali ipsi Cd eritque id
in circo A,ad B, ut C, ad B. Quoniam igitur pro 3 portiones C, ad D,& C ad B,eaedem sunt pro C - portioni A , ad B, ς erunt quoqu inter se eae Di i dem proportiones C, ad D, & C,ad B; Ideoqi aequales erunt B; & D. Quod est propositum .s, i SIT tertio A, minor quam C eritque I ob hoc maior proportio C , maioris ad B . C . quam A, minoris ad B, eandem. Quoniam G. agitur est C,prima ad D, secundam,vt A. terila ad B, quartam est autem proportio A,l tertiae ad B, quartam minor,quam C, quintae ad B, sex-l tam ; b Minor quoque erit proportio C, primae ad D,secundam , quam C, quintae ad B , sextam Ideoque Β, minor crit, quam D. quod est propositum . Si prima igitur
717쪽
tur ad secundam eandem habuerit rationem , &c. Quod erat demonstrandum.
quam quarta: erit Pritie eadem ratione prima maior, mela alis, vel minor, quam terria. Sit enim primtim R, maior,
quam D,ut in prima Aura. Dico is A. maiorem esse, quam C Cum enim B, maior sit quam D;- erit maior proportio C, η δ. quinti. ad D, quam C,ad B.Quia stietur es,Ge prima A, ad secundam B, ita teptia C, ad quartam D Froponis aurem C, ter tia ad D, quartam ostensa est maror, quam C , quinta ad E, sextam ' eris quoque proportis A rimae ad Binemn m mmclh I3.quinti. isr, qtiam C, quinta ad BGextam V ac proinde A,maior erit, φάο Diari.
quam C. quod es propositum . DE INDE A B qualis ipsi D,me in somnia nura. Dico cta, ipsi C, esse aquaiam. m enim B,i, D, t aqtialis , d erit C, ad A, ut C,ad D: Eri autem ove A, ad B - ἡ .quisti. C, ad D. ς uistir erit qMODe ita A, ad A, mi C. au A; Uro- er I quinti. ptereas A. ipsi C. aquatis erit.quod es propositum . s qtiisti. T E RT I Ost R. min. quam D , my in tertia figura .. Dire 9 A, minorem esse, quam C. Ctim enim B , mansν siequam D; g erit minor proponis C, ad D, qtiam C, ad B .aetita g δ .quinti. gior es, mi A prima ad B, fccindam, ita C , tertia ad D , quartam e proportio autem C. ,tertia ad D, qMariam Uensa es minor, quam C quinta ad B,sextam , b erit quoque pro M. I 3. quinti. ponto A,prima ad B, secundam minori quam C , Danta ad B, sextam. luitur maior erit C,quam Asac prornde A, mi- I o. quinti. nor erit, quam C.quod es propositum . NON demonstrarit aurem Euelides, si ima maior est . mel aequalis mel minor,quam fecunda terteia qtios maiore esse vel squale, vel minore, quam quartam, quo tamen argumentandi modoptiris Geometrarti tu meterum, tum recen
num. Hinc enim si mreas es proportio maioras r quatit iis, utraml antecedente magnitu inem, id es, primo ac ter-rimmaiore esse mirat magnitudine conssequere, hoc es e - ac quana: Si vero miraq; proportio es aquatietatis, utralmagnitudine antecedentem utrissi consequenti a tiarem esse.
718쪽
Si denique vreaq; proportio es minoris i qualitatis, utram- lque antecedentem magni udinem visaque consequenta esso minorem
VERBI spatia , si es mi A , ad A, ita C . ad D ι erit
Utraque Roportio vel maioris i quatitatis, mel quatitatis,meI minoris i qualitatis. Cus
H. . . c-r circas A, trima maior est qua
ior qua D,quartar Et si aD lis, aquatilis ; Et sminor, minor. Quod υρνυ rum Quod tamen Geometrice Vendemus eum Vederi Commandino, licet id non se necessarium , ad propos. I 6. Mius lib.
II. THEOR. 1 f. pROPOS. I s. p ARTES eum pariter multiplicibus in eadem sunt ratione, si prout sibi
mutuo respondent, ita sumantur. o G M D E R F sINT partium
in partes CG,GΗόHD. aequales ipsi A;& E F. in partes, . quiis . ELIX,KF quales ipsi B eritqueCG. ad EI, vi A. ad
padem ratione erit GH,ad LX;& H D, ad Κ F, ut A, additi. qtiines. B; bideoque CG, GH, H D,ad E1, IK, KF, eandem habebunt proportionem Quo circa vi CG,ad EI, hoc est,ea 2. inti. vi A,ad B, e ita erit C D , ad F F , nempe omnes C G GH, HD. simul, ad omnes EI. I X. K F, simul. quod est propositum Partes itaq; cum pariter multiplicibus, &c. Quod erat demonstrandum.
719쪽
THEOR. 15. PROPOS. 16. SI quatuor magnitudines proportionales fuerint, & vicissim proportionales erunt.
HIC demonstratur Alterna, sue Permutata pro portio, seu ratio, ae desn. 12. explicata est. Sit enim
quoque Α, ad C, ut B, ad D. Sumantur enim ipsarum A,
rum C,D,tertiae & quarte, que multiplices G, Η; erit que Ε, ad F, vi Α, ad B;cum Ε,&F, sint pariter multiplices partium A,& B. Eadem ratione erit G, ad H, vi C, ad D. Cum igitur pro- , - - G-i- portiones Ε, ad F, & C, A-- -- ad D, sint eaedem pro Di portioni Α, ad B ; b erut F - - & ipsae inter se eaedem . Rursus quia proportiones E, ad F,& G, ad H, eaedem sunt proportioni C, ad D ; - erunt& ipsae eaedem inter se hoc est, ut est E , prima ad F . 1 e cundam,ita erit G,tertia ad H, quartam. 4 Quare si E . prima maior est quam G,tertia, vel aequalis, vel minor, erit quoque F,secunda maior quam H, quarta, Vel aequa lis, vel minor, in quacunq; multiplicatione accepta sint
aeque multiplicia E, F,& sequemultiplicia G. H. ς Est igitur A,prima ad C, secundam, ut B,tertia ad D, quartam cum E , & F, sint aeque multiplices primae A , tertiae B; At G,& H,seque multiplices C,secundae, & D, quartae, illae ab his una deficiant, vel una aequales sint , vel na excedant,&c quod est propostum . Si quatuor igntur magnitudines proportionales suerint, & vicissim proportionales erunt Quod ostendendum erat. 3CHOZIVM. PORRO demon tio fuius propos Poetista faber suando quaru)r magni ines sunt ei iam generis. Nam si I
720쪽
que multiplises E, F, unius generis, in quo mirificet sunt A, B, ltiplices G, H, ahisitis, in qtio nimiram existini C, D.Ltiare non posset dici E maior quam G , via aquatis, mel minor; ac proinde nihil coctigeretur eae de .ς Mitis lib. Vstidi panda igitur eritpermutataproportis in sotis quamor magni- rudinitas eiusdem gene is . Luod non sit ilosophi non aduertentes ingraues errares incidunt , cum eam adhibeant in restis diueGortim generum.
propin s .ex ipsa similitudineproportionum ostendimus, res pirami nos demons raros hoc Ioco, missilicet.
SI prima ad secundam,eandem habuerit rationem , quam tertia ad quartam; prima vero, quam secunda, maior fuerit: Erit & tertia maior , quam quarta ; Et si aequalis, aequalis; & si
minor, minor. LVA N QP A M id, qtiod sit 'ra est , 'er se notust,eti adpropi. I . diximuri demons himm ramen istud cti Federico Commandius, oe modo . Sit M A,prima ad B,fecundam, ita C lenia ad D, quar Hi t iam. Dico, A,prima maior est,a---a 1 quam Biscunda, O C, tersiam maiorem esse quarta D , ct si aquatis, aequalem ιθ s minor, arc. qtilali. minorem. Erit enim permutando,M A ad C, ita B, ad D. 's .Dis i. b Quare si A,prima maior es,quam B, tertia, erit is C. maior, quam D; π si aquatis, aqtialisi mi minoriminor Quodo propositum. SED ct Me demon stratio Deum duntaxat sabst, ramqtiastior magnittidines sunt eiusdem generis. Quare saritis esi d ex naura proportionum monstrare, a nobis a repos. r. factam es.Irri enim verti erissemper id, quod proponistir, etiamsi magnitudines A, B,in etna genere, C, D, in alio continean νr immo vero Acu A, B, At quantitates contimae se C, D, meri oc.