장음표시 사용
721쪽
THEOR. 17. PROPOS. 17. SI compositae magnitudines propo tionales fuerint, hae quoque diutis proportionales erunt.
HOC loeo demonstrat Euclides Diuia
sonem rationis, qua defin. 1s explicauit. Sint enim compositae magnitudines A B .l CB,&DE, FE,Proportionales, hoc est, sit AB, ad C B,ut D s, ad FE. Dico& diuisas easdem proportionales esse,hoc est, ut est AC, ad C B,ita esse D F, ad F E, in eo sensu, quem definitio ne 6. exposuimus . Ipsarum enim AC,CB, DF, FE, aeque multiplices capiantur eodem ordine GH, HI, KL, LM; a eritque GI, ita multiplex ipsius A B, ut est G H. ipsius AC, hoc est, vi K L, ipsus D F . Sed ut est multiplex Κ L, ipsus D F, b ita quoque multiplex est Κ Μ , ipsius D E. Aeque multipliees ergo sunt G1, Κ M , ipsarum A B, D E. Capiantur rursus I N, M O, aeque multipli ces ipsarum C B, F E. Quoniam igitur sic est multiplex H I, prima secundae CB, ut LM, tertia quartae FE:Item tam est multiplex I N, quinta secundae C B , quam multiplex est M O, sexta quartae F E; E erit & H N, sic mul tiplex secundae C B, ut L O , multiplex est quartae F E . Itaque cum sit A B, prima ad C B , secundam , ut DE, tertia ad FE, quartam ; sumptaeque sint aeque multiplices GI, KM, primae ac tertiae, AB, DE; Item se cundae & quartae CB,FE, quemultiplices HN,LO,ὴ fit, ut si GI, multiplex primae AB, deficit ab HN,multiplice secundς CB, etiam ΚM, multiplex tertie DE desciat ab
LO,multiplice quartae F E, & si aequalis, aequalis ; & si
722쪽
suerit ipsi H N, & Κ M, ipsi L O ; ablatis communibus H I, L M, erit & GH, aequalis ipsi IN. & KL, ips 1 O. Et si denique G I, excesserit ipsam H N, & Κ M, ipsam L O; ablatis communibus HI, LM, excedet quo que G H, ipsam Ι N, & Κ L, ipsam Μ O Quam ob rem cum G H, KL , sumptae sint aeque multiplices primae AC.&tertiae DF; Item I N, M O, aeque multiplices secundae C B.& quartae F E ; ostensumque sit, i in qua
cunque multiplicatione illet aequemultiplices fuerint ac cepi ) aeque multiplices primae & tertiae ab aeque multiplicibus secundae & quartae, vel una descere , vel una aequales esse, Vci una excedere; Erit AC, prima ad CB, secundam , ut D F, tertia ad F F,quartam.quod est propositum . Si compositae igitur magmitudines proportio nates fuerint, Sc. Quod ostendendum erat. E X Lia Deil. demonstraόλω modum illum argumentandi donisione I s. Diuisionem Orionis conuersam durmus : Hoc es, ου es,ut A L,ad C R, ita D E, ad FEi esse A sa quoque ut C ad AC.Da F E,
- - - - - ad D F.quod ita paret uoniam
N V L L G eriam negos o domons abitur modus icte argumentandi, Da ad eande dest. ν S. Dicit imo rationis eorra m appelDHimus, rn qtio antecedens magni do minores qtiam consequens, non atiram maior, me in Ditii sone rat . ius,quam Luctares de itiit, o ea, quam Iroxime demom
723쪽
,bati tis. Sit enim me AC, isdA E , ita DF ad DE. Di co eqse quoque per Diuisonem rationis eontrariam, ut A C, ad C B, ita D F. ad F Ε . Stioniam enim est , mi AC , ad A B, ita D F, ad D E ; erit eo, uertendo , mi A B,adAC, ira D E. ad D F. Ergo diuidendo, mi C B , ad A C , ira 3 7. Disti. E, ad D F : Ae proinde conuertendo ditiius, ut AC, ad
C R ira D F, ad F E. Suod est spositum .
THEOR. 18. PROPOS. 18. 18. SI diuisae magnitudines sint proportionales,liae quoque compositae propor-nales erunt.
DEMONSTRAT hoc loco Euclides compos tionem rationis , quam desnitione I . descripsit. Sint enim diuisse magnitudines AB, BC, & DE , EF, proportionales hoc est, A B, ad B C, ut D L , ad Ε F . Dico &compositas proportionales es se, hoe est,ut est A C , ad B C, A --. . Cita esse D F, ad E F . Si enim non est,ut AC, ad BC, ita DF, i i Fad E F, habebit D F, ad aliqua H Gmagnitudinem minorem ipsa E F, vel maiorem, eanflem proportionem , quam AC ad BC. Habeat primum D F, ad G F, minorem ipsa E F, si seri potest, eandem proportionem,quam A C,ad B C. Quoniam igitur est, ut A C, ad B C, ita D F . ad G F ; h Erit diuidendo quoque, ut dis . quinti. A B,ad BC, ita DG,ad GF : Sed vi A B, ad BC, ita posita quoque est D F, ad EF ς Igitur erit etiam, ut D G, Ei 1.quinti. prima ad GF, secundam,ita DE,tertia ad EF, quartam. Cum ergo D G, prima maior sit, quam DF, tertia, 4 erit as . Ainti. quoque GF, secunda maior quam EF, quarta,pars quam totum .Quod est absurdum.
HABEAT deinde, si seri potest , D F , ad H F,
maiorem ipsa E F , eandem proportionem , quam A C , ad B C. Quoniam igitur est, ut AC, ad BC, ita D F , ad
724쪽
. quinti. HF; erit diuidedo quoq; ut AB,ad BC, ita DΗ,adHE. ι 11. quinti. Sed ut AB,ad BC, ita posita etia est DF, ad EF. h 1gitur erit quoque, ut DFI,prima ad H F, secundam ta DE, tertia ad EF,quarta. Cum ergo DH,prima minor sit quam 1 - 2mmi PD E , tertia , ς erit quoque H E , secunda minor quam E F, quarta, totum quam pars.quod est absurdum. Non igitur habebit D F. ad minorem ipsa E F, aut ad maiorem , eandem proportionem,quam A C, habet ad B C. Ergo D F, ad ipsam E F. erit, ut A C, ad B C. quod est propositum . Itaque si diuisae magnitudines sint proportionales, . Quod demonstrandum erat. SCHOLIUM. HANC propos ionem demon an nonnusti erum Campano eadem ferme ratione, qua ansecedentemproposistonem Etielides demonstratiis, hoe et idelicet mori. Sine ditiis magnitudines AC,CB, DF, FE, oportionalis, hoe es, AC, ad C L, Ct D F, ad F E. G H I N Dico eas etiam comps
, - - - -r 's' - recedente propositione,
ipsarum AC, CB, DF, FE, aeque multiplices GH, HI, KL,LM; Item ipsartim CB, 4 r. init. FE, alia aeque multiplices IN, MO; 4 emnique rursus G I, a. quanήK M, ipsarum A R , D E, aque multiplices. ertem H N, L O, ipsarum C R, F E,ut m pracedenti TAeoremate υε stim est. Quoniam mera poni γ esse A C, prima ad C B, ciandam , ut D F, tertia ad F E, qtiariam s Ampsaque sens GH, T L, aque multiplices prima ac terita A C, D F sItem secundae ετ quarta CB, ,κDemtiiriptico IN, MO,
725쪽
nales , cte. Quia erat osenden m. V A RV M Lae demon alio non recae colligit propositum ex de .c propterea quod H N, L G, non sunt ita mαθθh-ces ipsarum CB, F E, eti multiplices accepta sint IN, MO, ea ndem C R, F E. Vnde merito dubitare Dis posset, an secundum quamcunqtie multiplicationem a e m Diptiis se Mens eam conditionem defeesus, aequalitatis, iasque excessus , quam Euesides in s. de . postititiis,quandoqtiidem in hac demonstratione liberum non es a umere ipsartim C B, FE , quascunqi aque Diplices,sedriales duntaxat, quatis considigunt ex HI,IN, ct ex LM, MO. mtihiptici s acceptis . Id quod in antecedentis p=o sitionis demonseratione oἔθei non potes: quippe cum IN, M O, Ure sint ipsarum CR,FE, aque- multiplices qualescuns , ipsa eadem remanent aqtiemultiplices earundem CB, , in diuisa proporti alitate . Etiam ob stem praferenda es Euelitiis demon atio huic demons
fioni Campani. Libuir atitem eam qtisi explicare, ne eam
Hostis Lector, reticia ilia Euclidis, arriperes , At bonam rpraesertim cum sensuasi, ita uero Euclidis ducat nos ad id,
HINC Deiti eriam confirmabimus
duos illos modos aettimentandi,quos ad pisdef. r . descripsimul. Priorem diximus compositionem rationis eo resam. Sisenim ut AZ, ad TC, ita DE,ad FADico pis compositionem rationis c uersam,esse quot ut AC,a B, ita DF,ad DE. Quoniam enim es, me AT,ad BC, ita DE, ad E F; erit rem Motendo, mi AC,ad AL ta EF,ad DF. b Isis ν se tompo VIJ.quinti.
726쪽
POsT ER IO RE M modum vocavimus compositio nem Orionis contrariam. Sit ergo rursus, vs AR,ad BC, ira DE,ad EF. Dies per compositionem rationis contrariam,esse quoque ete AB, ad AC, ita DE,ad DF. Qtioniam enim es, mi AB, ad AC, ita DE, ad E Fr eris eo errando, ut AC, ad AB, ita EF,ad DE. - uirin ct componendo erit, ut AC, ad AB, ira DF,adDE ae proinde conuersendo rursus erit,
me AB, ad AC, ita DE, ad DF. Quod es prustum .
PROPOS. THEORSI quemadmodum totum ad totum, ita ablatum se habuerit ad ablatum: &reliquum ad reliquum, ut totum ad totum, se habebit.
Q. V o D in proposue .demonstratum est de multipli ci proportiones)oc loco de omni proportione, etiam irrationali demonstratur . Sit enim tota A B, ad totam C D, ut ablata A E, ad alitatam C F . Dico & reliquam E B, esse ad reliquam FD,ut est tota A B, ad totam CD Cum enim sit AB, ad C D,ut A E, ad CF erit S per- mutando A B, ad A E, ut C D, . . D i β' ad C F .ς Diuidendo ergo erit C F D LB, ad AE, ut FD, ad CF.4 Quare permutando rursus erit E B,ad F D , ut A E , ad C F hoc est, ut tota A B , ad totam C D; cum posita sit A B. ad C D,ut A F ad C F. Si igitur quemadmodum totum ad totum,&c. Quod de
mentandi in proportionibus, qui sumitur a contier sone rationis iuxta I s.de .
727쪽
SIT enim, ut ad C BC B, ita DE, ad F E. Di- - -
nis esse quoque , ut AB, ad A C , ita D Α , ad D F. Cum enim sit , ut A B, ad C B, ira D E, iad F R, erit quoque diuidendo, Dinii. st AC , a d C B , ita D F , ad F E. Igitur 9 conuenerari , it C B, ad A C, ita F Α, ad D Fr b acri a J.θhiati. propterea componendo quoque , ut AB,ad A C, ita
D L, adD F. Quod es propositum .
s C NOLIUM. OMNES Euelidis interprites conti sonem rationis demonstrant Lacratione. Qtioniam es , ut A B , ad C B , ita D E, FE i e erit permutando, mi rota AB, Λd totam DF, o c. γ mi. ita CR , ablata ad ablatam FE . 4 Igistir ve tota A B , ad difffciint . totam DE, sta erit quoque Veliqua A C, ad reliquam DF rEt proinde permutando rursus , me A Z, ad A C, ita DE ,
SED Dis non iidet, hane rimon ationem eonnenire solum magnitudinistis eiusdem generis, cum in ea ustirpertiralterna, sue permutata proportio, qua mim tanttim habet in eiusdem generis magni dinistis, me θ in de . ra. O in pro f. Is .monuimus Z Luare cum Etittides, is alb Geomerea motam hunc argumentandi a co resone rationis ad Lbeant in omnibus magnitudinibus, etiam non eiusdem generis , reiecta hac communi interpretum demonstratione, nospam aliam excogitauimus, qua omnibus magni dinibus cons it. Ea enim locum habet , etiamsi priorra dua quantitares A B , C E, t mnius generis, nimirum linea , posI riores mero dua DE, F E, alterius generis, nimirum mel superficies, mel an fi , mes corpora , mal denique numini: propterea quod in ea n)n visum a Die alterna , sue permutata proportio.
728쪽
THEOR. ao. PROPOS. 2 o. S I sint tres magnitudines, & aliae ipsis aequales numero, quae binae & in e
dem ratione sumantur; ex aequo autem
prima, quam tertia maior fuerit, erit&quarta, quam sexta,maior. Quod si prima tertiae fuerit aequalis, erit & quarta aequalis sextae : sin illa minor, haec quoque minor erit.
SINT tres magnitudines A . B , C . Stotidem D,E, F, sitque A,ad B, ut D, ad F;& B, ad C, ut E, ad F sit autem primum A, T prima maior quam C. tertia . Dico & D,l quartam esse maiore F, sexta . Cum enim ABC D. A. maior si quam C, erit maior proportio A,ad B, quam C , ad B . Est autem ut A , ad B, ita D , ad E. b Maior igitur proportio quoque erit D,ad E. quam C,ad B.At ut C, ad B, ita est F, ad E. Cum enim sit B ad C,ut E,ad F,erit conuertendo ut C, ad B. ita F, ad E . J Μaior igitur quoque proportio erit D. ad H, quam F, ad E. ς Quare D , maior erit , quam F Quod est propostum. SIT deinde A, aequalis ipsi C. Dico &D, aequalem esse ipsi F. Cum enim A, sit ipsi C, aequalis, 3 erit A ad B, ut C, ad B Est autem vi Α, ad B, ita D, ad E. e Igitur erit &D, ad L, ut G ad B At ut C. ad B, ita est F, ad E, per inuersam rationem , uti 4EC DEE prius.mare erit quoque D, ad F. ut F, ad E. f Ideoque aequales crunt D,& F. Scindest propositum .
730쪽
SINT tres magnitudines A, B, C, & totidem D. F, F; quae binae . &in eadem ratione sumantur; sitque ea rum proportio perturbata,hoc est,st ut A, ad B , ita E, ad F,8evt B,ad C,ita D, ad E: Sit autem primum A.pri ma maior quam C, tertia. Dico & D, quar tam esse maiorem sexta F. Cum enim A. t I maior si quam C , , erit maior proportio
I I, A, ad B,quam C,ad B: Est autem ut A , ad 1 4 I H B.ita E, ad F .h Maior ergo quoque pro ABC DEE postio est E, ad F,quam C. ad B.Quoniam
vero vi B,ad C,ita est D,ad F, erit conuertendo ut C, ad B. ita E,ad D. Quare maior quoque erit proportio Ε,ad F quam E. ad D: s Ideoque maior erit D, quam F. Quod est propositum. SI T deinde Α, ipsi C, aequalis. Dico D, quoque ipsi F,esse aequalem . Cum enim A, si aequalisl . t , ipsi C,' erit A, ad B,ut C, ad B: Sed ut A ,1 iii I ad B,ita est E, ad F.ς Igitur erit ut C, ad B. ill l l ita E,ad F:Est autem, ex inversa ratione,
F ut C ad B, ita E, ad D, velu ti prius. Igitur erit quoque ut Ε, ad F,ita Ε,ad D ; atque idcirco D,ipsi F,aequalis erit. Quod est propositum .
SIT tertio A,minor quam C. Dico & D . minorem esse quam F. Cu enim A, sit minor quam C, g erit minor proportio A, ad B, quam I C, ad B:Ut autem A,ad B, ita est E, ad F. s Minor est ergo proportio E ad F, quam ΛΕC DEF C, ad B. Quoniam vero, ut ante, e X in uersa ratione, est ut C ad B, ita E, ad D; erit quoque minor proportio E, ad F, quam Ε, ad D; ac propterea D,minor erit quam F, quod est propositum. Si igitur sint tres magnitudines,& aliae ipsis quales numero c. Quod ostendendum erat.