장음표시 사용
731쪽
eandem sabere proportionem ex aequalitate et quia quiarim e auaeitio huitis theorematis demonstrare non poterat, ut ex proposilia a I .patebit.
THEOR. 22. PROPOS. 22.S I sint quotcunque magnitudines,& aliae ipsis aequales numero , quae binae
in eadem ratione sumantur:Et e X aequa- Iitate in eadem ratione erunt.
I A M hic demonstrat Euclides modum argumentandi in proportionibus ex aequalitate , quando proportio est ordinata . Sint enim primum tres magnitudines A, B, C,& aliae tres D,E, F :stque A,ad B, ut D, ad E ; & B, ad C, ut E ad F.Dico quoque ex aequalitate esse Α, ad C, ut D, ad F. Sumptis enim ipsarum A, D, s quemultiplici bus G, H Ilcm ipsarum B, E, aeque multiplicibus I, K; Item ipsarum C, F, aequemultiplicibus L, M; cum sit A. prima ad B, secundam, ut D, ter tia ad E, quartam , erit quoque I r b
tiplicem secundae B, ut H. mul- AB CN DEFOtiplex tertiae D ad K,multiplice GT L HKM
quartae E. Eadem ratione , cum
sit B,prima ad C, secudam, ut E. - Itertia ad F, quartam ; h erit I. Imultiplex primae Β, ad L, mul- ..tiplicem secundae C, ut K, multi- .plex tertiae E ad M,multiplicem quartae I. Quoniam igitur 1unt tres magnitudines G. I, L, & aliae tres H, X,M, quae binae in eadem proportione sumuntur ;ς si vis G,prima superat tertiam L, superet
necessario quoque H , quarta sextam M; Et sarqualis , aequalis; Et si descit , desciat. Itaque cum G,H, aequemultiplices primae A & tertiae D, vel deficiant una ab L,M,aequemultiplicibus secundae C, & quartae F, vel
732쪽
llvna aequales sint, vel una excedant:in quacunque multiplicatione sumpta sint ea multiplicia ; erit A , prima ad C, secundam, ut D , tertia ad F, quari am. Quod est propositum.
D p INDE snt plures ma-I gnitudines tribus, ita ut sat etia
in E CN DEFO esse ut A ad N. ita D,ad O. Cum G 1 L HKM. enim iam sit ostensum in tribus a magnitudinibus,esse A,ad C, vii D, ad F;ponatur autem C,ad N, I ut F, ad O ; erunt tres magnitudines A. C,N, & aliae tres D, F,
G , quae binae in eadem ratione sumuntur. Ergo ex aequalitate in tribus magnitudinibus ostensa, rursus erit, ut A, ad N, ita D , ad O . Eodemque modo idem ostendetur in quinque magnitudinibus, per quatuor s sicut id in quatuor demonstratum suit, per tres ue Et sic de pluribus . Itaque si sint quotcunque magnitudines,&c.Quod erat ostendendum . SCHOLIV M. C ET E R V M non iidoris Loe Deo dusimiaiandum T rerema qtio iam antiquis Mars alitis maiae familia re, quanquam a nemine,quod sciam, se ad e demons rum. Id atitem eiusmodi es.
S I prima ad secundam eandem habuerit
ratIonem , quam tertia ad quartam ; Hab bunt etiam aeque multiplices primae ac tertiae, ad secundam & quartam, eandem rationem: Item aeque multiplices secundae, & quartae ad primam & teritam, eandem rationem habebunt. Et contra, eandem rationem habebunt
secunda & quarta ad aequemultiplices primae &
734쪽
'i6 6 3 EVCLID. GEOM. M THEOR. 23. PROPOS. 23. SI sint tres magnitudines,aliaeque ipsis aequales numero, quae binae in eadem
ratione fumantur, fuerit autem perturbata earum proportio . Etiam ex aequalitate in eadem ratione erunt.
DEMONSTRATVR hic ratio ex aequalitate,
quando proportio es perturbata . sint enim tres m gnitudines A,B, C.& aliae tres D,E,F, sique perturbatat T earum proportio, hoc est,st ut A, ad
i J a J r Dico quoque ex aequalitate esse ut A,
ABCN Dppo ad . ita ad Sumptis enim ipsa-GHκ 1LΜ rum A, B,D, aequemultiplicibus G, H, j I; Item ipsarum C,E,F, aequemultiplicibus Κ,L,M; Erit ut A. ad B, ita G,
i i l ad H, cum G, H, sint ipsarum A , B ,
aequemultiplices 1 At ut A , ad B, ita est B, ad F. Igitur vi ad H, ita quo .' que est Ε,ad F;ς Sed vi E, ad F, ita est quoque L,ad M;quod L, M, sint ipsa: rum E,F,aequemultiplices . 4 Igitur erit quoque ut inad H. ita L. ad M.Rursus quoniam est B,prima ad C, secundam, ut D,tertia ad F,quartam, ς erit quoque vi H, multiplex primae B. ad K, multiplicem secundae C,ita 1,multiplex tertiae D, ad L , multiplicem quartae E. Quia igitatur sunt tres magnitudines G,H,K,& aliae tres I, L, M. quae bin; in eadem ratione sumuntur estque earum proia
portio perturbata ;cu ostensum sit esse ut G,ad H,ita L, ad M Et ut H ad Κ ita I, ad L;i fit ut si G, prima superat tortia Κ. superet quoq; quarta I,sexta M,& s aequa lix. aequalis ; & si descit,desciat. Itaq; cu G,&I, aeque multiplices primae A,& tortim D, a Κ,& M, aenuemulti plicibus secundae C, & quartae F, vel una desciant , vel
735쪽
una aequales sint, vel una excedant ; erit Ut A, prima , c H ij ad C,secundam, ita D,tertia ad F,quartam. quod est pro mi si positum. Itaque s sint tres magnitudines,&c.Quod de
earum proportio pertiarbata,nimisti fueritis, ad B,ut F, ad O ΘΣ,ad C,- Ε,ad F;OC, ad N, ut D. ad E. Dico ad e esse me A,ad N, ita D , ad O. quanquampro nis exaequalitate, quando proportio es penurbata, apud Geomefraue in isti m e in piarum magni,dinistis , quam in truus. a causa fuit, cur Euclides antecedentem propositionem de quotquot magnitudinibus , hanc atitem de trisus maxat proposuerit, quamuis vera etiamst de pluribus. quod ita 'obatiar . Cum iam si ostensim in tribus magnis divistis, esse A,ad C,me E, ad O Ponatur autem esse ira C, ad N, me D, ad E, erunt tres magnitudines A,C,N, Θ atia tres D, E, O, qtia bina in eadem sumuntur proportione, is ea m proponis es perturbata. Ergo rursis ex aquatitate in tribus magnia itidinibus sens, erit τι A,ad N, ita D, ad O. Eodemqtie modo idem os detur in quinque magnitudinibui, per quastiori fictis id inquatuor fuit demonstratum ,per tres , Et sc
THEOR. a . PROPOS. 2 q. SI prima ad secundam eandem ha
buerit rationem, quam tertia ad quam tam ; habuerit autem & quinta ad secundam eandem rationem, quam sexta ad quartam: Etiam composta prima cum quinta, ad secundam eandem habebitrationem , quam tertia cum sexta, ad
736쪽
OV OD propositione a. demonstrauit Euclides de . . sola proportione multiplici,demonstrat hoc loco de omni proportione , etiam irrationali. Sit enim AB, prima ad C,secundam, ut DF, H G D Ε H tertia' ad F , quartam ;. . - Item BG, quinta ad C, C, F--i secundam,ut EH. sexta ad F. quartam.Dico ita esse A G , compositam ex prima ac quinta,ad secundam C,ut est D II, composita ex tertia & sexta,ad quartam F. Cum enim sit ut BG,ad C, ita EH ad Fierit conuertendo ut C ad B G, ita F . ad E H. Quoniam igitur est AB, ad C,ut D ad Fi& C, ad BG,δaa. quisti, ut F,ad E H ; 4 erit ex a quali AB,ad BG,ut DL, ad EH. J.quinti, s Componendo igitur erit ut tota AG , ad BG, ita tota IIII ad EH. Itaque cum rursus sit AG,ad BG, ut D H, ta a quintii ad EHi& BG,ad C. ut E H, ad F; . erit ex aequali A G , ad C, ut DR ad F.quod est propositum . si prima igitur
ad secundam eandem habuerit rationem,&c.Quod erat demonstrandum.
C nt aiusdem generis eum magnitudinibus DE, FH,Θ F, e non, mi ex demonstratione constat. EODEM 1sdie modo ostendetur in omni genere proportionis id, quod Theoνemate sexto hesius tib. demonstrarum es in multiplicibus magnit dinibus d laxat. Videlicet.
SI duce magnitudines ad duas magnitudianes eandem habeant proportionem, & detractae quaedam habeant ad easdem eandem proportionem: & reliqua ad easdem eandem proportionem habebunt.
cta AB, DE, ad easdsm C, F,tandem habeant prosortione si a
737쪽
THEOR. et s. PROPOS. 2 . SI quatuor magnitudines proportionales fuerint: maxima & minima reliquis duabus maioreS erunt.
co duas A B, & F, simul esse maiores duabus CD,& E,simul. Auseratur enim ex AB, magnitudo AG,aequalis ipsi E;& ex CD,alia CH, qua lis ipsi F. Erit igitur A G,ad CH, ut E,ad F, hoc est, ut AB, ad CD . Quare cum sit tota A B, ad totam C D, ut ablata AG. ad ablatam CH; 4 erit quoque ut tota A B, ad totam CD,ita reliqua GB, ad reliquam H D: Est autem AB, cum sit omnium maxima maior, quam C D . Igitur & G B, maior erit quam H D.: Quoniam vero AG & E,aequales sunt ; si ipsis addantur aequales F, 8eC H, nimirum F, ipsi AG,& CH, ipsi E; sent A G, S F, simul aequales ipses E,&CH, simul. Additis igitur inaequalibus G B,& H D,sent A B, & F, simul maiores qua E,& CD,simul,cum GB,st maior quam H D. Quod est
738쪽
fCHOLIUM. NECESSARIO autem sequitur s antecedens magnitudo vnim propcirrionis Dent omnium maχima, confe-quentem alteritis esse omnitim minimam s etl in proposito exempla cernere licet. Cum enim sit mi A B, ad C D, ita Ε, ad F; tu AB, rima maior quam tertia Es erit quoque CD, secunda maior quam F, quarta . Item quia maior es A B, quam CD,erit quoque Ε, maior quam F, ob eandem propor-rionem AB, au C D,a E,ad F, ut infustio propos Io. --dimus. Duod se eon raris antecedens mnius 'oportionis Derit omnium minima, erit conseqtiens adrisius omnium maxima , ut consat , si dicatur esse F, ad Ε, M C D , ad A R.
Debent qtioque omnes quartior maanitudines esse eiusdem generis , alias non postes una magnitudo componi ex maximais minimas immo neque ex reliquis duabis . Addit sue in Deo Fed ictis Commandinus theorema artad Hic as. non
SI tres magnitudines fuerint proportion tes : Maxima & minima maiores erunt quam dupla reliquae.
HIC sinem Euclides imponit quinto Abro . Vertim quia Campantis, nonntilli a b adseciunt alias quasdam 'diopositiones,quibus I e numero graui miscriptores, mi Archimedes, Apogonitis, Ioannes Regiamontanus, π alij mruntur, easque qtias essent Euclidis cerant placuis eas Luie Disto Iibro Mnnectere, maxima, qua seri potest νeuitate demon- Mare, necnon in ntimerem, aeseriem propositonum Euclidis referre.
739쪽
referre. Omnes autem gradiantiar de magnitudinistis impro
portionatistis,quartim prima haec es.
THEOR. 26. PROPOS. 26. SI prima ad secundam habuerit ma
iorem proportionem , quam tertia ad quartam: habebit conuertendo secunda ad primam minorem proportionem , quam quarta ad tertiam.
HABEAT enim A. ad B, maiorem proportionem, quam C, ad D.Dico proportionem B,ad A,minorem e1- se proportione D, ad C.1ntelligatur enim esse Ε, ad B, ut C. ad D;eritque proportio A , C . . ad B, maior quoque quam E, ad di i B; ac propterea A , maior erit Mquam E.h Quare minor erit proia E --- portici B,ad A,maiorem, quam B, ad E, minorem : Sed
ut est B,ad Ε, ita est conuertendo D , ad C . Igitur pro portio B,ad A, minor est quoque , quam D, ad C. Quod est propositum. s CB LIV M. EODEM fere modo demons alimus. si prima ad sectindam sataeris mi
norem proportionem, quam tertia ad quanam, conti tendo maiorem esse proportionem fecunda ad primam, quam quana ad tertiam; δε--λ -- cem maioris mutemus in zotem minoris, O coneris . SIT enim minor proponio A, ad 'quam C. ad D. Dico contierrendo,B, ad A maiorem Labere proportionem , qtiam D, d C. testigatur enim esse di ad A, ut m ad D Eritque proponio A,ad Retiam minoriquam E,ad By c ac propterea Z z. A,minoν
740쪽
I. quinti. A, min3ν erit, qua E., Qtiare maior erit proportio E, ad A, mincrem, qtiam B, ad E maiorem: Sed me B,ad E, ita es con tieriendo D, C. Hi γ ct proportio B , ad A , maris es, Dam D, ad C.Quod es propositum. ALIT E R. Quonia minor es proponio A, ad B, quam has.quinii. Gad D; it maior proponis C,ad D, quam Α, ad R. ' uiatur conuertendo minor erit proportio D, au C, qtiam R, ad A, ac proinde maior erit proportio B, ad A, quam D,ad C.Quia
SI prima ad secundam habuerit ma
iorem proportionem , quam tertia ad quartam . Habebit quoque vicissim prima ad tertiam maiorem proportionem , quam secunda ad quartam.
. M C, ad D. Dico permutando ma--- iorem esse quoque proportione Α, ad C, quam B, ad D. Intolligatur namque osse E,ad B, leto misisti. Vt C, ad D; eritque proportio A, ad B, maior etiam qual a s.1kia, : Ideoque A, maior erit quam E. d Quare maior hic in serit proportio A,ad C, quam E, ad C. ς Quoniam vero spermutando est. vi E,ad C, ita B , ad D. cum posita sit E,ad B, ut C; ad DoIgitur proportio A. ad C,maior quoque erit quam B, ad D. Quod est propositum . SCHOLIVM sIMILITER Uendemus, s prima ad secundam minore
habuerit oportiones, quam tertia ad quarta, vicissim prima ad e, irim minare esse proportione, quam fecundκ ad quarta. SIT namque minor proportio A, ad B, quam C , ad D. Dico permarando, minorem quoqtie esse proportionem A , ad C, quam