장음표시 사용
741쪽
propterea A,minor eris,quam E. .b Quare minor erit propor- b X. quin i tio A ad C. qua E, ad C. ς Sed premtitando, eti E, ad C, ita sic.θtiisti.
componendo, maior etiam erit s=vonio C, ad A , quam D, rid B ς ac oinde eonuertent,minor erit proportis A, ad C, eis c. qtiinti. quam B, ad D. Luodes propositum .
THEOR. 28. PROPOS. 28. 28. S I prima ad secundam habuerit maiorem proportionem, qua tertia ad quartam: Habebit quoque composita prima
cum secunda, ad se cudam maiorem proportionem , quam composita tertia cum quarta, ad quartam.
SI T maior proportio AB, ad n BC, quam D E, ad E F. Dico & - Ccomponendo maiorem esse pro- E Eportionem A C , ad B C, quam L ,----,
D E,ad F F-Intelligatur enim esse G B,ad BC, ut D E , ad E F; eritque proportio A B, ad B C , maior quoque, quam G B. ad B C; Ideoque AB, maior quam G B. Ad- o. quinti. dita ergo communi BC;set A C,maior quam GC; ma- g X. quanti. torque propterea erit proportio AC ad BC,quam G C ad B C. sed componendo, b vi est G C , ad B C , ita est brg.γinti. D F,ad EF. quod posita sit GB ad BC, ut DE,ad EF. IMaior ergo etiam erit proportio AC,ad BC, quam D F, ad Ε F. Quod est propositum.
742쪽
s C E O L IV M . - EADEM ratione ostendemus ,si h proportio prima ad secundam minoγA-- - e fuerit, quam tertia ad quartam, mi-I ,--a' norem quoque esse proportionem prima
retia qua e mul, ad quartam P . SIT enim minor proportio AB , ad B C. quam D E, ad EF. Dies Θ componendo minorem esse promionem AC, ad BC, quam DF,ad EF Intelligatur enim esse G R , ad m,me DE, ad EF reisque proportio AB, ad BC, minorauoque , quam GR, ad BC. R ideoqtie A B, minor eris,quam G B. Addita ergo communi R C; fiet AC, minor, quam GC; . h minorquepropterea erit proportio AC,ad BC, quam GC, ad BC. Sed componendo, mi G C , ad B C, ita es DF, a FF. quodposta e G B, ad B C, it D E, ad EF. Minor ergo etiam erit proportio A C , ad B C, quam DF, ad EF. Luod est positum . ALIT E R. Quoniam minor est preportio A B, ad BC, quam DF, ad EF ; erit maior proportio D E, ad EF, quam t. A B, ad BC.ς Igitur componendo, maior quoque proportio is DF,ad EF, quam AC, ad BC, acppo ero , minor erit proportis AC,ad BC, quam DF, ad EF. quod spropositum.
THEOR. 29. PROPOS. 29. SI composita prima cum secunda ad secundam maiorem habuerit proportionem , quam compossita tertia cum quar- lta ad quartam : Habebit quoque diuidendo prima ad secundam maiorem proportionem, quam tertia ad quartam.
SIT maior proportio AC, ad BC quam DF, ad EJγico de diuidendo 1Laiorem ecte oroportionem A R α an A B , ac
743쪽
BC quam D Ε, ad E F . Intelligatur enim esse GC, ad B C, ut D F. ad EF; eritque proportio AC,ad B C, stataior quoque proportione G C, ad B C : ideoque maloe erit AC quam G C. Ablata ergo communi B C ; stator erit AB quam G B tb Ac propterea maior erit proportio A B, ad B C , . quam GA ad BC. sed diuidendo, ut est GB. ad BC,ita es DFAd EF. D Posita namque est GC ad BC. ut D F, ad E F. Igitur maior quoque erit proportio AB, ad BC, quam D E , ad E F. Quod est propositum. s C Η o L I V M. RV O D si prima cum franda adsecundam, m7norem
proportionem habue=it,quam tersia crim quana, ad quartis ;
ab itis ditituendo prima ad secundam , proponsenem mi
SIT enim minor oportio A C, ad T C, quam D F. ad E F. Dies diuidendo quoque minorem
esse proponionem AE, ad Z C, qtiam
D F, ad E s. Infestigatur enim esse in. --- - GC,ad B C, vs DF, ad F Fs erisque --- - ξ proportio AC, ad A C, minor quoque, quam GC. ad A Ced ideoque minor eris AC , quam G C . Asiatia ergo eommuni R C; minor erit AB, iam G R Aepropterea minor erit proportio AE, ME C , quam G S, ad
s C, s S/d diuidendo est, Ct G E ad B C , ita D E, ad E F. NX quinti. Posita nam a s GC, ad B C , ut D F. ad E F. Inmν minor quoque proportio erit A B, ad B C, quam DE, ad
E F. Uuod es propositum. ALITER. xtioniam minodi praponis es A C, ad AC
quam DF, ad EF eris maior proportio D F, ad T F . quiam lA C, ad BC. g uisin is diuidendo maior erit proportio νas.quinei. DE, ad E F, quam AB, ad T C r atque ideirco minor erit proportio AI, ad AC, quam D E . ad E F. Quod eri propo- sium
744쪽
I THEOR. 3 o. PROPOS. 3oS I composita prima cum secunda, ad
secundam habuerit maiorem proportionem , quam composita tertia cum qua ta, ad quartam: Habebit per conuersionem rationis, prima cum secunda ad primam, minorem proportionem, quam tertia cum quarta,ad tertiam .sIT maior proportio AC,ad BC, A BC quam D F , ad E F. Dico per conue i sionem rationis,minorem esse proporD,--- - tionem A C, ad AB, qua DF,ad DE. Cum enim sit A C, ad B C, maior proportio, quam DF, ad Ε F; a erit & diuidendo,maior proportio AB, ad BC. quam D E , ad Ε F . b Quare conuertendo , minor erit proportio BC, ad A B, quam Ε F , ad D E;ς Ac propte-l a s. quinet. has. Dimi. p. quinti. NON dissimili ratisno ost Lmtis, si composita prima rem secti a minudiem hastioris proponisnem adfectindam,quam camposita tertia cum quarta ad qua eam , per comesonem rationis, maiorem esse proportionsm prima is secranda ad primam, quam tertia se quarta ad tretiam . SIT enim minor proporiis AC, adsci S . e B C, quam D F, ad E F. Dico per
T. conuersonem rationis maiorem esis
opsis onem AC, ad A B, quam D F , ad D E. Cum enim minor sit proportis AC,ad AC, quam DF, ad F ' d erit se disia dominor Doportio AB, au B C, quam D E, ad E F . Luare
745쪽
, tonuerrendo, erit maior proponis AC, ad A S, quam EF, ad aς quin ElD E fh Ac proinde Θ componendo Maior proportio erit A C, haδ.quinti. ad AB, tiam DF, ad D E. Osd es pro situm. ALITER. xtioniam minor es praporito AC. ad BC,
THEOR. 3I. PROPOS. 3I. 31. S I sint tres magnitudines, & alis p
sis aequales numero, sitq; maior propo tio primae priorum ad secundam, quam primae posteriorum ad secundam; Item secundae priorum ad tertiam maior, qua secundae posteriorum ad tertiam : Erit quoque ex aequalitate maior proportio primae priorum ad tertiam, quam primae posteriorum ad tertiam.
tres D,E,F, stq; maior Ci F,--ι proportio A,ad B, qua cai D, ad E; Item maior B. Hi- ad C,quam Ε,ad F. Dico ex aequalitate maiorem quo que esae A. ad C , quam D , ad F. Intelligatur enim esse G, ad C,vtE,ad F; eritq; δpterea proportio B,ad C, maior qua G, ad Ideoq; B maior erit qua G . Quare I s.quiari. a maior erit δportio A,ad G,minore, qua A,ad B, malo e δ.qui ri. re Ponitur aute proportio A,ad B , maior qua D, ad E. Multo ergo maior erit proportio A,ad G, qua D, ad E.
746쪽
G, ior proportio A, adH- G, quam H . ad G:, Ideoque A,maior erit,quam M. h Quare maior quanti ias A,ad C, habebit maiorem proportionem , quam m4nor quantitas H, ad eandem C: Atqui vi H , ad C , ita est , ex aequalitate, D,ad F. quoniam vi D, ad E, ita est H ad G;& ut Γ, ad F, ita G, ad C. 9 Maior ergo proportio quoque erit A,ad C , quam D, ad F . Quod est propositum. Δ i D , EADEM rationai vi . ostendemus, fuerit pro-
1 - iis quam Ε, ad F.: Via contra, si proporris A,ad B, fuerit malis quam D. ad E ; At B, ad C,eadem , cuὰ E , ad F ex aequalitate maiorem esse quoque proportionem Α, ad C, quam D, ad F. SIT enim primum A,ad B. Q D,ad E, d maior Irvonio B, ad C, tiam E, ad F. Intem rur esse G, ad C , me E , ad
747쪽
rum magni redintim minores fuerint, etiam proportionem extremartim ese mino=em. Ide ne memet so it A,ad B,
Esad Ε, MC, E ad F. Eadem namque semper erit δε- mons ratis,simodo moram,maioris, isique ps Ares in to cem inoris, s Aa ei. QV O D splinis fumis' magni Maines tristis , siue omnes proportiones in no ordino muniresdinum snt maiores,neImmeres omnistis pVoportionistis in agis ordino magnitudinia ssiue una tan tim ma ori rim una, meIdus, ctc. ostenderatis maiorem mel minorim Do tis esse 'oportionem primae prio-rtim ad mltimam, quamprima peseri se a9 etltimum, ea methodo, quam py in a a traiiamus e a Misendo propos. rautico stilus propos. r .quando tres magnitia nes inicis ordinis ρνoportioniaes sunt tristis magnittidinigras niteri m ordiniso Item Utirpando hoc scholimm, Dando Cnia tantam froportio in tribtis munisti insitis Aqualis efii Gni tantum proportioni in tribus magnis Albi aiseritis ordinis.
748쪽
proponio dei sit,sed maior sit proportio C, ad D , quam G, l
L, ad Grine pro inde ratus maior A,ad D, quae Ε,adH. Θc. IDEM con estides , s Omnes proportiones unitis ordinis
snt minores omnibus profretaonibus aeterius ordinis, Coi mna,
υὰἱ duil . Item si sint plures magnitudines , ut propositione
THEOR. 32. PROPOS. 32. SI sint tres magnitudines, & aliae ip
sis aequales numero, sitque maior proportio primae priorum ad secundam, quam secundae posteriorum ad tertiam; Item se cudae priorum ad tertiam maior, quam primae posteriorum ad secundam :Erit quoque ex aequalitate, maior proportio primae priorum ad tertiam, quam primae posteriorum ad tertiam.
SINT tres magnitudines A, B, C,&alie tres D, E,F, sitq; maior proportio A ad B,quam Ε, ad F; Item maior B ad C,quam D,ad F Dico esse quoq; maiorem proportionem ex aequalitate A ad C, quam D, ad F. Intelliga tur enim esse G, ad C, ut D, ad Eue eritque propterea prO
749쪽
proportio A, ad G, minore, iquam eiusdem Α, ad B, maiorem:Est autem proportio A,ad B, maior quam Γ, ad p. Multo ergo maior est proportio A, ad G,quam L, ad F. Intelligatur rursus esse H,ad si,ut E,ad F; Eritque pro pterea maior proportio A ad G,quam H, ad G; uideoq; ςro. int . maior erit A,quam Π.4 Quocirca A, maior ad C, maio- d g. Liner. rem habebit proportionem, quam H, minor ad eandem Ctς At ut H,ad C,ita est ex aequalitate,D, ad F. Quo- 23. uiari. niam vi D,ad F ita est G ad C;& ut E,ad F. ita est H, ad G. 9 Maior ergo etiam cst proportio A, ad C , quam D , ad F.Quod est propositum .s C H G L I V M
L. VA contra, proponis Α, ad A . B, malo quam E, ad F; AIS, ad C,eadem, qua D, ad Es ostensi ratis , ex aequaΓtate maiorem esse proponionem A,ad C, quam D,ad F, ut in propos Aura perficitur. Η A V D sectis o endemus . proportiones priorem magni stidinum minores fuerint , esiam extremaram proportionem esse minuem, sec.QVOD si scierint mos magnis dines tribus, demoni a bimus, malopem quos vel minorem esse proportionem pγima prioria ad mltima , aem prima serioria ad visima, ea arae, qua usi timus prope fas. c. Oua omnia perspicua senes diali ter domon rationes seles j a ceritis propc s.co sideretur.
SI fuerit maior proportio totius ad totum, quam ablati ad ablatum: Erit &reliqui ad reliquum maior proportio,
750쪽
SIT maior proportio totius A B. ad totam CD,quak nn ablatae A E, ad ablatam CF.
AB ag totam C D. Cum enim maior si proportio A B. ad CD,quam AE, ad CF;a erit quoque permutando, maior proportio AB,ad AF,quam CD,ad CF b ae propterea per conuersionem rationis, minor erit proportio AB ad EB,quam C D, ad F D. ς Permutando igitur,minor quoquc erit proportio A B, ad C D , quam E B, ad F D; hoc est,E B, reliqua ad reliquam F D, maiorem ha-bcbit proportionem , quam tota A B, ad totam C D . Quod est propostum .sCHOLIUM. Ων O D ofa ad thram satureis minorem proportionem,quom ablata ad astatam, has te εν νεδεγα ad γZh- quam minorem pro frisonem, quam tota ad toriam, ut ex modo aemen Τνandi liqtiet, ponendo sempo moram, minoris , pro ηυ'c , maioruήΘ mocem maioris, pro voce, minoris.
SI snt quotcunque magnitudines,&aliae ipsis aequales numero, sitque maior proportio primae priorum ad primam posteriorum, quam secundae ad secuniadam ; & haec maior, quam tertiae ad tertiam, &sic deinceps: Habebunt omnes priores simul ad omnes posteriores simul, maiorem proportionem, quam omnes priores, relicta prima, ad omnes po