장음표시 사용
751쪽
steriores, relicta quoque primat minorem autem, quam prima priorum ad pri- imam posteriorum ; maiorem denique etiam,quam Vltima priorum ad vitiniam posteriorum.
SINT primum tres magnitudines A , B, C , aliae l
ires, D, E,F;Sit autem maior pro
maior B, ad Ε,quam C, d F. Di- 'co proportione ipsarum A, B,C. C - - F-- simul, ad ipsas D, E, F, simul maiorem esse proportione ipsarum B, C,simul ad ipsas E, F, simul; minorem vero , proportione A , ad D ; maiorem denique etiam proportione C,ad F. Cum enim maior sit proportio A , ad D, quam B,ad E, erit permutando maior A, ad B,quam D, ad F. h Igitur componendo , maior erit proportio ipsa rum A, B, simul ad B , quam ipsarum D, E, simul ad E ς Permutando ergo rursus, maior erit proportio A, B, simul ad D, E, simul, quam B,ad E. Itaque cum tota A,B, ad totam D, E, maiorem habeat proportionem, quam i ablata B, ad ablatam E; 4 habebit quoque reliqua A, ad reliquam D,maiorem proportionem, quam tota A, B, ad totam D,E.Eadem ratione, maior erit proportio B . ad E,quam totius B, C, ad totam E, F . Multo ergo maior erit proportio A ad D,quam B, C,totius ad totam E, 1 . e sermutando igitur,maior erit proportio A, ad B , C, quam D,ad Ε, F; & componendo ergo maior est pro portio totius A, B, C, ad B, C, quam totius D. Ε, H ad E,F. g Et rursus pcrmutando, maior proportio omnium A,B,C,simul ad omnes D, E,F, simul,quam B, C, ad E,F. ouod est primum. ITA QV E cum sit maior proportio ictius A B, C, ad totam D, E,F,qua ablatae B,C, ad ablatam E,F; crit& maior proportio reliquae A,ad reliquam D. quam co-tius A, B,C, ad totam D, E, F quod est secundum .
752쪽
QU C NI A M vero maior est proportio B , ad E.
quam C, ad F; erit permutando maior quoque Β, ad C, quam E, ad F;b & componendo, maior totius BC, ad C, quam totius E, F, ad F;ς & rurius permutando , maior B C. ad E,F, quam C, ad F. Est autem maior proportio A, B,C, ad D, E,F, ut ostendimus, quam B, C, ad E, F. Multo ergo maior erit proportio omnium A, B, C , ad Omnes D, E, F, quam ultimae C, ad ultimam Ρ ; ouod est
DEINDE sint quatuor magnitudines utrobique cum eadem livpothesi,hoc cst,sit quoque maior propor tio tortiae C, ad F,tertiam, quam G, quartae ad H, qua tam . Dico eadem eonsequi. Ut enim iam in tribus est ostensum, maior est proportio B,ad E, quam B, C,G, ad B E, F , H. Multo ergo maior erit A ad D, quam B, C, G,
go,maior erit A,ad B,C, G, quam D, ad E,F,Hi s&componendo maior A,B,C, G, ad B, C, G, quam D, E, F, H, ad E,F, H;'permutando A, B, C, G, ad D,E,F, Hima ior qusm B, C, G, ad Ε, F, Η. quod est primum. ITAQUE cum sit maior proportio totius A,J C,G, ad totam D, E, F, H, quam ablatae B, C,G, ad ablatam E, F H. g erit & reliquae A , ad reliquam D , maior proportio,quam totius A, B, C,G, ad totam D, E, F,Hόquod est secundum . QV O N I A M v ro vi in tribus est demonstratum, maior est proportio B, C,G, ad E, F,H, quam O , ad Hr& maior A, B, C, G, ad D,E,F, H, qua B, C, G, gdE, F, H, t suit ostensum;multo maior erit proportio A, B,C, G,
ad D , E, F , H , quam ultimae G , ad ultimam H ; quod
EADEM arte concludes,cadem consequi in quinq, magnitudinibus per quatuor; & in sex por quinq; , & ins Ptem , Ser stΣ,Sc. quemadmodum ostendimus in quatuor, per trcs. Constat ergo totum Theorema, &c.
753쪽
SIMILES figurae rectilineae sunt, quae & angulos singulos singulis aequa
les haben atque etiam latera, quae cim cum angulOS aequales, proportionalia. π V m η lo ABC, DEF,fimitia diten
qualis sit a Item latera circa aequales angulos proporrionatia, hoc es, me A B, ad AC,ita DE,adDFSctit A R, ad R C, ita DE, adEF , ct M A C, ad CB,ita DF, ad F F. Ω V o D sanguli Cnius aquatis fuerint angulis alterius, sintili x singulis,artifera eirca aquatis an a gulas non proportionatia, aut con- tra non dicensin talis figura simi- CE Iese erui modo ne quadrarum, Gy GANO altera parie longior. Hae ele- γ
nim Atira fatent quidem angui i
754쪽
.tinius Iar ribus alteritis proportionalia non sunt i, quippe cum lasera quadrari circa Demuis angulam Vetitim haῶ ne pro rasone aquatitatus latera ueros γε altera parte Ioniο-ris circa quemvis avtita rectu , poportionem inaequatita 1s.
anqnam inter se maxime Ato in aquales . Ctiiusmodi sint triam
ptis latὰ m enim squalitatem, erit U I Q - Μ GH,ad GI,υt KL,ad KM; Item GH,adHI, xt KL, LM; Θ GI, ad ΙΗ, ut KM, ad ML, cum semper sit proportio a qualitatis . Idem distendum est de etiariaris pentagonis aequititeris iis aDinutilis, nee non de hexagonas,heptagonis , octogonis, se δε alijs id genus Atiris recta meis aequian iis , arque aequilaseris .
RECIPROCAE autem figurae sunt,
cum in utraque figura antecedentes &consequentes rationum termini fuerint.
V T si in para D ammis ABCD, EFGH, a ora AB,
C; miro se enim modo AB, os antecedens inius propo tionis O AC, conisqures alterim, in gura AB C D; ρο- a satim is primo modo E F, est consequens unitis, o F G,
755쪽
antecedens alteritis s mes fecundo modo FG, conse ens , E F, antecedens. Hura EFGH, dicentur huiusmod parasielogramma reciproca, tiam is similia non t. Simili εν erunt triangula TR L,MNO; reciproca, sistieris etr I K . ad M N, ita M O,ad I L s telit IK,ad Mo,ita MN, ad LL. Neque memini me intim e a d Geomerras Vtim Fecipro carum Aurarum in a*s figuris , quam in paralielogrammis, triangulis .
SECUNDUM extremam, & mediam rationem recta linea secta esse dicitur cum ut tota ad maius segmentum ,
ita maius ad minus se habuerit
S I Iinea recta quavis A R, ita ditii fur in C. a qualiter,misit, quemadmodum tota A R , ad maius segmentiam A C, i a AC. maius segmentum ad G B,miumsegmentum; dicetur diatissat esse secundum extremam , i- -i-i-εBmeiam rationem. Suam quidem diuisionem docuis Itiesides propos o. Mitis lis. eamque sub alijs verbis iam doctile lib. 2 rvos o .miser perspicuum propol. 3 o.huius. Itb.Sunt autem pene innumerae digntiates, vitimilli aras tinea hae modo diuisa τρ ex libris Stereometria conflabit,prasertim lib. 13. me non immerito a quibusdam die fasia diuinaproponio in quam linea eo modo es d uisa.
linea perpendicularis a vertice ad basin deducta
756쪽
ladiis durariar A G; dicetur hae perpendi laris , altitudo Diautili ABC ita me tantam dicatur habere altitudinem triangulam, quanta es perpendi lapis A G. Sic etiam pe pendicularis DN, ducta a D, motice triangiali D E F , ad basin EF, ad panes Ε, stractam, spectabitur altitudo trian B D E F. Itaque si dua- m Aurarum perpendiculares a mediticibus ad lases eha protracti moue non ) demus fuerint aquales, eandem
dicentiar Miusmodi gura habere aeritudinem. Tunc autem iusmodi perpendi lares eram aquales, cum bases figurarum , ac vertices in eisdem consituri fuerine parallelis , etiis odistina perpendiculares A G, D triangulortim ABC, DEF, in ei em parassetis consistitoram. Cum enim anguli A G H , D H G, interni ex eadem parte sine duobus rectis aquatis .immo utio recti a retine recta AG, D H, parallela ;Sunt autem A D, GH, parasseti, eo quod ponantur trian- stila in eisdem esse paralietis constituta. Iomγparallelogrammum eris ADH G Sb ae propterea Iasera opposita AG DN, aquatia erunt. Eandem lastin dicentur ea Diangula salere alii vidis/m. Ωtisds in eisdem triangviis venieraponantur C,-F, bases τοO A B, Θ D E ; non habebunt ea eandem altitudinem. Perpendi lapis enim tacta ex F,adba DE, protractam a alis no es perpendiculari ex Cod basin A E, deducta, cum nee triantita ipsa in eisdem parauetis pos rconsti tii , it manifestim est . RECTE medio as Etielide altitudo, figura mitistiis donita est per lineam perpendi lapem, quae a mertice ad basin deducitur: quoniam , miseriste Ptolemam in libelgo des Analemmare. se res en e Simplicio,in libro de dimenson mensura cui scian ne rei debet esse sata, determinataque, 9 non
inde ara: Inter o nes atitem rectas Me moenes quas merito Geometra ,sictit 9 vulgus, omnia metiunmμ , sola linea perpendicularis cena es, determinarat Iovi dinis, alia autem omnes interrk indeterminataque. Sua de re plara seripsimus ad inierum commentariorum , quos ia s haram
757쪽
RATIO ex rationibus componi dicitur, cum rationum quantitates inter se multiplicatae, aliquam effecerint rationem.
RV NI AM denomisator mimissis proportionis exprimit quan/a sit ma trado anteeedens ad consequentem ;fit denominator quadrupla proportionis, nempe δ.osendit, inquauis pVoportione quadrepta antecedentem magnitudinem quater continere consequentem; denominaror vero proponionis Dbquadrupla,τidelicet indieaeanee erilem esse partem quartam consequentis, IAI diei sitie propterea denomia nator a Geometris, quantitas proponionis ι me idem signiferi quantitas alicuim proportionis,quod denominator is igitur hae donitio proportionem aliquam abin , vel plinthin oportionibtis componi, quando sartim denominatores , seu quantitates inter se mutiiptitara effecerint illam ver ione , seu mi vertis Zambenuo essecerint issim spontonis Dantitarem , sitie denominatorem. Vt Roportio duodecupla componi diei in ex dupla, ct sex ptis quoniam denominator proportionis duodecupla, nimisum ra. produci ν ex multi Lotione denominatoris dupla proponionis, nempe ex 2. in δε- nominatorem sextupla,hoc est, in c. Sic eadem proportis duodeta a dicitur componi ex tripla Θ quadrapta. Nam ex multi reationes.in M. producitis idem denominator ra. duode- pla proportionis. Eadem ratione proportis trigempta componi dieitu ex dupla ripia, inrupti . Nam Lartim denominatores a.3.s .inrer se multaphcati gignunt 3 o. denominatorem illitis. Sie etiam oportio dula dicetur componi ex sesquialtera, sesquisistia r quia sesquialtera denominatora duectus in Ia- denominatorems quitertia gignit a.denominatorem dupia . Russ eadem cponio dupla componetis ex si qui prima, s stipertriparti me etianas . Nam La
rtim proponaonum denominatores I . I inter se multi
758쪽
oportio componi dacetur ex subsesquiqua naue dupla, fes
s mtibi irati producunt quoque eundem denominatorema. proportionis diam. Atque ita ex in nitis agi proportionibus tomponi dicetur dupla preportio : quad etiam de quavis
aha spontone dici poto vi paulo post parebis.
FGRRG qtiemadmodtim in muniitidissius continue proponionalibus, proponis prima ad vhimam componi dicitur ex proportione prima adfectidam, secunda ad leniam, tertia ad quartam, cte. cum illa eae his intermediis constet, es issitis denominaris ex haram denominas oribus interse multiplicatis producatur, ut Dimo libro des. Is .exposuimus sta etis 'int dua prosortiones aquales intermediae, ex quibus dicitur coponi, dicastir proportio prima magni,dinis ad υltimad Icatanoportionis μὰ adfecti , sit re triplicata, etc. Sic etiam in magni rinitas Dusj mnque ordinepossis,pro portio prima ad mltimam dicetur componi ex proponione prima ad fetunda fecunda ad tertiam, tertia ad qua tam, πc.donec extiterispreponios quoniam denominator proportionis prima magni dinis ad Chimam consurgit ex de nominatoriόtisproportio m intermediaram inter se mnitiplicatis , Luod quidem primum inductione Dadam Theonis Atiaeandrina, quam hoc Ioco adducit, confirmabimus Deinde mero idem duabus demonstrationibus, quarum mnarraditur ab M scio Ascalonita lib. 2. Archimedis de θέε Andro, eoremare in 1.L5. Apossiniν Pergaei de conicis etimensis, propos. ra. Altera ausem a Vitiatione lib. i. pro Ui E perjectitia, comprobabimtis THEON 6iruγ rempropositiam ita conatur assoluere. Habeat A B, ad C D , rationem datam, veluti plam, aut triplam, acie quamlaset aliam s Θ, e C D, ad EF, eandem quoque datam Dico quod C- ipsius AB. ad EF,riario consat ex A B,ad C D;
EF rationis quantitatem.Sit enim prim- AE,
759쪽
CD, ipsius E F, tripla est,'sitis utilem C D, dupla est A E. Φdiit AB, ipsus E F ,sextupia. Hemmam si triplum alicuius duplicamus, 'sextuplum ; hoc enim est proprie compositio. Asiciaetioniam A B , despia est 'sitis C D. diis stirA B, in sis C D, aqualia, Oe es, A G, Θ GR Θ quoniam CD, ipsius EF,tripla es; aqualis autem es A G UC D;9 AG, i fur ipsus E F, tripta eis r Idpropterea ct G Ε, ipsius E Rr pia est. Tota igitur A R , ipsusE F. Isin Ia es. Ipsius
igitur AB, Θ TF,ratio connectistirper CD, medium limis composita ex ipsitis AB, adCD; ct CD,Λd EF, ratione.
SIMIL IT TR istium , ct minor 'eris CD, - - qua 'fartim A B, Θ E R idipsum eo Egi ψ.Sit enim re stis A I. ipsim C D, tripla ; At CD,ipsius EF, si dimidia. Et quoniam C D, 'sitis E F, dimidia est; Ipsius anum C D, eripia eri A P. Rerit A B, sesquialtera ipsi s E F. Si enim alia I T
mel, ct dimidium. At quoniam AB, 'stis CD, - ρrripia esse CD, sitis EF, dimidia j quartam A B, aequalium ipse C D , trium, testam es L F, omm . Setiare es tali eram es A B, ipsius E F. uisur ratio ipsus
SED iam rarsissi C D, iraque ipsarum AB EF, maior;sest qtiidem AP, sitis C D, dimidium. CD, ipsius EF, siquitertium. Luoniam igitur, qualium est AB, reum, talium es C D, qua- τ
A B , ad E F, per C D, medium limitem , Da ΣΩFdtiorum es ad tria. Stailiteγ qtioque in pluribus. Θ in reliquis ea vis. Et manifestam est, quod sa composta ν
rione quatiis una compose a m auferasur, uno sim cium eiecto, reliqua compositartim asstime r. Hae ad medistim desti fimus eae Theone, ἐ-ra interpretationem Zamherii .E VT OCII vera domon alio ira se gasis. SINT tres magnis,dines A, B, C . Dico proportionem A a a 3 A, ad
760쪽
A, ad C,componi ex pro nimitas A, B ct l, ad C.Duod quidem facile demonstrabistir, assumpto prius hoc principio
Luantitatem, denominatorem cui uis prusrtionis multiplicaram in conseqtientem magni dinem proportionis eiusdem,producere antecedentem. menim denominaris indiras salitia inem antecedentis ad consequentem, necesse es, consequentemsti ram secundum denominat, em, soc es, Iripli iam in denominarsrem, resistiere antecedentem. VI quia ru.ad s. kalene 'oportionem quadrapiam, idcircos .multi iosa in Moroducunt aa. Item quia 4. aduo./arine
proponionem ADtiin piam, mitis denominator es q-.Ν ,etr in consequentem 2 s.ficiat . oec. Sit igiων proporo 'a tionis A,ad B,denominator D; proportionis mera E, ad C, denominatoesia EictD, multiplicans E , predulae F . Dico F, esse quantitatem , sue denominatorem
c proportionis A , ad C, hoc es, si multip5
' ' η--γη G , ex mulisplicatione F, in C. et I a Dira G,iUA, aqualem eqse, ac proindet i A , fieri ex F, in C. Ctim enim Dolan BCDEFG denominator proportionis Α, ad Bys L
titas erat proportionis A,ad C. Quod es prosium. SIMILIS Orio es in plinium magnistidiniόtis. Sem per exim proportio prima ad etItimam componetur ex propo rionibus prima adsectidam, o secunda ad tertiam, is tertia ad