장음표시 사용
761쪽
ad quanam , cte. Vt s fuerint quatuor magnitudines A, B, C, D, componetur proportis A, ad D, ex raproporrionibus A. ad Es B, ad Cio C, ad D. Nam si intelligantiar tres magnirudines A, C, D, eomponetur proportis A, ad D , ex proportionibus Α, ad C ct C, ad D . v Uensum est At meroeauem ratione oportis A , ad C, componitin ex μου tionibus, A, ad B, ΘΕ,ad C.Igitur oportio A,ad D, componirer quoque eχ proponimiastis A, ad AsB,ad CsΘC,ad D. Quod es υ um. Idem cernes in s.c.7. vel quotcunque magni dixistis . V IT E LE IO deniD8Miuscemodi asseri demonsO
SINT dies magnitudines A, B, C Dira proportionem Α, ad C, componi ex proponioribtis A, ad B; nct B, ad C. me autem demonstrabitis , , sumpto eodem principio Eurocij. Denomina-ryem videlicet proportionis Utilii ita min magnitudinem consequentem proportionis, spoducere antecedensem magnitudinem . Sis namque D , denominator proportionis Α, ad Esct E, denominaror proponionis L, ad C ;At F, denominator proponionis A , ad C . Demon andum es stirin Foro ei ex D,
in Ε, quod itaset. Quoniam quod ex 'pri- lma quantitate in C, quartam productitir, qtiati es AEquod ex D, secunda in B,tertiam gignitur, e msemper producatur A sonam ex F, denominat, e in C , conse- A, Io s. A, as. C. s. qtientem producitiar A,antece- D, s. E, .dens ι silere ex D, denomi- E, a . natore in A, consequentem pro--cimν antecerim A, 9 3 erit me F, prima ad D, serandam,
762쪽
Hςc amem oportio R, ad F, componitu ex proportione B, adC, ct C, ad Fr Eρ haec Vortio G ad F, componatur ex proportione C, ad D, o D, ad F Arquis haetarim proportio D, ad F, eomponitin ex proponisne D, ad Ε, Θ Rad F. I mr proponio A. ad F, ex omnihus proportionisus inrismedias componit hoe es, rinominator proportionis A, ad F, gignitur ex qtiisque denominator sm qtiisque Ir postrionum intremediartim inter se multiplicatis .E X his tigestas constat id, quod addon. 1 o. lib. s. domi-mtis nimis m, Conristiaris quot per quantitatibus continuo proportisnalistis, triportionem spima ad Chimam componi ex omnibu3 pr portionistis inter me dijs a Dalistis,hoe os, de nominatorem proportionis , qtiam prima ad ml imam habet, pro ci ex denominis e proportionis, quam prima Labor ad fecundam, insit m Dipticaro ex eodem in xumerum
pro Atim, isse deinceps, donee tor messeipticariones fiant, una minus, o proportiones inter primam quantitatem , t νCltimam sine interpositae Adeo G Δ. cara proponio ni cuius proportionis cresurgat, cum Mim proponionis denomi nasor bis ponittir, propter dum aquales oportiones inferfrima otiantitarem, , tertiam pos O at e ita in se m Di Dca r striplicara mero, quando idem denominator treponitin, 'opter tres proponiones Λ ages inter primam quantitatem,
inde iterum in semer m ργoducatim . Et sic de quadreptica ra, Pintuplicata, o de alijs ditentam es in infinitum enim eadem demon ratio in m ni tiάHUtis consisti e prata portionantus, ct in magnitudinuus non proponionalisti, Sotatam in Elis inominatores aqua letis erunt. Ut si A, B, C, ponantur consi e proportionales, aequales erunt denomi foras D, E, ' F, erit dansminator pro Irtionis duplicara, ct c. ET SI atirem demon Dario tam Exsorij, quam Viragio nis μυλὰ qucisat in proportiones tantam rationales , cumirerique opositionibus fas Etiesidia nisi V - quia ramen , stita de κtimerorum proportis bis demon amur, conmmum quoque
763쪽
nisus proportices 3 consenire .
nisu i5us, denominatorem pνoportionis, quam prima ad vItimam fabri, o tiri ex retibistieatione denominatortim in fremediarum proporriretim interscius demsnstrati tis , non tamen propterea demonstrationes, in quibus rem serio pro poritontim adhiberin , minus certae e vir quSppe ctim in Eliis hae denominatoriam multiplicatio no etsi et r. Nam quem admodum , propostis pluribus magnisti ina ου centi e pro psVtionalibus, rimam ad t/rtiam daxit Eselides donis. ro. 55.1.hasere proportionem duplicatam eius, qtiam prima soget ad sectiniam , nimistim tam positam ex dualm 'roponi nibus intermediys Agantistis e primam mera ad quartam habere proportionem triplicatam eius, qtiam 'ima adsectinia ah et Loc e eompo tam ex tristis intermeri proportionum aqualibus sese drinceps . ntista Decta mentione mtilliptica rionis denomina opum e Ira Doqiae, sponantur ordine plures magnitudines eis em generis non continua proponionali bus, dicestirppima ad Ubimam hasere proportionem compos ram ex omnistis proportionibus inremediis , licet ante e non sint omnes aequaleb , vis aliqua e maioris inaequatitaris, Θ aliqua aequalitatis, di a quae minoris inaequalitatis, sitie omnes eiusdem generis i , solum eam ob ca am, Dod ista proportiones intermedia star inter retremm duas magni dines interiecta admodum don. 1 o .lib., proporteoprima ad t/rtiam dicobastir d litatis uot solo nomine , Dia duae pro portiones aquatis interposita sitim inter extremm tam magni , ines 1 Adeo me nonsi aliis diserimen inter sanc tompo sitionem proponionum, O illam doticationes, triphcatrono, Θ c. quae lib. s. ex icata est, quam quod in Etiplicarione , tγiplicatione, set ropontonse interycitin tir voptiones tmnes aequales, in compos rione mero proportis m non necesse erit, interpost proportiones aquales esse . MesItiplicatio tamen denomiianiorum utita es, ut amus, qtianam sis illa proponio, qua alterius δcistir des itatis, riptitata e mei qua ex propositis proportionitus composea esse doti V.
VERBI gratia . Vt sesamus , qtia oportis Dicta, qua
764쪽
diei αν duplicata prvistionis decupla,ponemus a staenomin tore decupla proponi vis bu Ioe Modo, ro. Io. o v m in ad
terum ducemus . Nnmerus enim genistis I σου. denominator
cata dicitur, ponemus h o. denominator tim ter hoc modo ro. ro. ro. Θ imtim insecudum ducemus, o mertim μο- ductam Io o. in tertium. Nam numeruι Akproereatus Ioas.
denominae proportionem detula trip atam. Quod de absequoque proportionum dicendum es. Sed Me etiam discemus absque denominatorum multiplicatione. Nam se timem
ttir tres meri inppoponisne data, me infractatu proportionum, cum de pro νtionatitare Geometrica agebamtis, domi-mtis , Aabebant duo miremi inmeri Deponionem data proportionis iratam dis mero conristi mr quatuor meri, has tam extremi duo tripticatam vortionem datae proportionis. Conferendus autem es maior ciam minore, qNando δε-ta vortio es maioris inaequatitatis minor vero cum mars- re stim data proportio min is inae agitaris es. Vetatisd sirire tipproponio de pia proponionis diaplicata, continua-όλtis Des mepos in proponione decupla hoc modo, I. ro. Ioo. Vel 3.so. 3 oo. Nam proportio Io O. ad 1. ves 3 os . ad 3. qua
centupla est , dicerar ricti a duplicata . Eodem modo νο- ponio T. ad 1 oo. meI 3. ad 3οo. Da suscentula est , dicitur Nicata proponionis subuecupla r. ad Io. meis. ad 3 O. EADEM Vasione me cognostamus, quanam sit proportio illa, quae trebi gratia componi dicitur eae tripla, dupla, sesquialtera , ct se Misertia, sartiemus opdine haram δε-ri minatores Asc modo, 3. a. I b. a b. eo siue inter se multiplicabimus , primum f. in a. deinde productum numerum c. in I - hunc rursus κtimerum proraealtim s. in
sic deinceps, tares essent denominatores. Vltimus enim pro- Em s a. en denominator proportionis , qtia ex datis propo fionibtis componi dicitiarita mi oportio duodecupla componi di mr eae 1ripti, Nai quialtera, ct sitiitenta. Hoc a tem inressigemm etiam sine Me multiplicatione denominaeorum . si namqtie proportiones componentes conti eno
in numeris, ira me primm adsecundum habeat primam proporrionem compsnerum,secundus ad renitim sectinia enim
766쪽
tionum, extrem frum proortiones, qua ex proportionibus i rem viatis re sni dicitiar, mepe esse maisrem Datiber intem mediarum componentium, et ore tonsatam ex additione omnitim late mediartim proportioniου inrepse, ac sinL omnes intermedim pruistiones debere esse minores exsomortim pro-
tiones datam proportionem componenses d es, qtiarum in minatores ii se retiltiplicati gignant data proporrionis δε- nominatorem, sartio di istine inter duos numeros datia propo tionu quos De , tot xtimeri medij quistingue , qtior propor tiones componentes desiderian minus τns . Vis is melis tres proportione ex gallus crempta proponio componatur,otis et quoioni, inter so o. θ r. duos semeros ponamus medios Asc modo, Io o. so. Is I. Nam extremoram proportior os . ad I componitis ex intermedi ruiίti Loc es, o dupla, qtirnrupla, is decupla.Ita stitq; si Ahos x timeros Battiras me
di s hoc modo, ro s. 1 o 3.1 .ccmpcnettir eadem proportio Iso.
ad ι . ex decupla,1ν lassiquisenia, O tripla. Sie etiam vides hic, I. I. I. ro. r. ptim proportionem copo ram esse ex quatuor, nimirum exsis fisis initora, tripla intibdempla, ct δε - Quod ρtiis pesar quortiis proportiones datam prisortionem componente qua emam tmnes datae snt praeter unam, continua Irminris et no retromo ista propcri nis omnes δε- ras D traicnps comtonentes or me. enim ctim proportione, Iam ethi, xs medius a dat reum extremm dare proponio
pla,sesquialtera, ct qaim pia sitiisertia , componentes μο-i portionem
767쪽
portionem sesquialteram inter s. 9 emtis hos artior
Ex his etenim qua uor, una cum proponione - . ad . qtia eadem es, Da r. ad 32. componiem proponio se titati eras .adc. Iim eueniet, data quamorproportiones consistiem fur a minori eae emo σ.loemodo, cra.3 1-aJI.s. ita zega. ς. Aaseam proportionem duplamos ad ra. triplas
quitertiam. Nam quinta proponio s.-aδδ. eadem es , qua prius ad s. alis es t .ad sa,
E X sis nulti negotiosatis faelemus quasioni, qua qui pia postulat sibi dari quotvis meros, qui inter se mutii Fcati
procreent datum quemcunq; numeriam. Si namque suman-rtir duo numeri labentes proportionem a dato mers denominaram, is inter eos a tirantur ut num i quicunq; , minus uno, quot numeri δε derantur , retine denommatores proportionum intermediarum, Di queruntur Nam ij inter se muta iphcati pro eum denominatorem proportionis extremorum, me demonseratum eia,soc es,numerum datum. Velios D sperat tres numeros,ex Doram mutua muItiplicatione gigna tur is a tuemus inter duos numeros so o. s. censu amproportionem habentes , duos medios semeros quoscunque , hoc modo, s os. 2s s.s o. s. umque tres quesiti numera, a. s. ro. Umisum denominatores proportiontim s Io. adaue s. Θ as o. ad 1 o. 9 s o.ad s. Nam ex a in Sciunt Io. 9 ex a s. in Io.
sunt so o.Quodsi quispostitit unum numerum, qui etna cuquo libet anse datis, inleν se multipliceim, producat ritu
quemcunque numeram: Stimendi erant rursus duo numeri proportionem sabenses a dato mero,qui oduci debet, δε- nominatam,'ab alterutro eorum continuandae proportiones a diauis asse numeris denominarae. Denominator enim proportionis inter alterum numeram, ct misimum conti aro merit numerus,quem quaerimus. Vt denem hi qua ον numeri, I,3. I b. I quaerimque Dinruae altas, qui in numerum/χ illorum mitia mutit iratione Doricum ductingignat dartim hunc numerum i accipiemus duos numeros s. G. proponisnemse Hesteram sabenses a dato numero a - cie
768쪽
nominaeam eontinuabimus quatuor proportiones
aetiinrtis enim numerus quasilus erit denominatoν proportis-nis ad c. nimiram - . Nam quinque Ai numeri , a. g. a 3- . :P. quorum priores γatuor dati sunt, qtiim rus autem inuentvi, inter se mult iplicati procreant dammnumerum I-. Idem quintus numerus inuenietuν, squamor proponiones a datis numeris denominata consinuem tur a ntimero c. oc modo,o. II. sc .s agyo. Denominator
i .sartiemus intre quo is duos semeros aquales proportionem aqualitatis as r . denominatam habentes , tres medios n- ρει γωΓ3e vehic vides , o. I. I. s. . Nam denominatores pdisponisnum .ad a. Θ a. ad 1. 9 1. ad 3. Θ 3. ad . nimiarum, a. a. . sunt qtiamo numeri,quiquar tur , qui 'e ctim inrer se multiplicati gignant I.
numeri quicunque,minus τm, quot petuntur, infe e multi plicentur, se per Ut tim mertim productam diuidatu=darus numeras qui gigni debet. Quotiens enim ct assiamprintimeri. Di multiplicare inter sunt, eruns quos quarimus. Vt in proxima quastione 7 si ires ntimeri merbi gratia. o. s. s. inter se mtihiplicensis, is per numerum productum ru o .ditii-datiar i. quo pro ei debet, siet aetioriens Quam, ergo numeri Musiti sui q. s. c. - . Nam ex M. in s. sum as. θ
769쪽
eonfieiune ras. disserentiam extremorum s.
secundum aliquam rectam lineam applicatum, deficere dicitur parallelogram
mo, quando non occupat totam lineam. Excedere vero, quando occupat maiorem lineam, quam sit ea, secundum qua applicatur: ita tamen,ut parallelogram-mum deficiens, aut excedens eandem habeat altitudinem cum parallelogrammo applicato, constituatque cum eo totum unum parallelogrammum.
770쪽
DPammum irarer A F, applica ,, tum secundum rectam AC, exce dicitur parallelogrammo DB, ira vl D B, votetur excessus.
Η I C ainem defectus DB,υH cessitan rectangulis quidem esse potes et I qtiadratum,mel altera pane cingier figurat In non rectan tis autem mel Rhombus, el Rhomboides, si possimum est.
THEOR. 1. PROPOS. I. TRIANGULA & parallelogram-m quorum eadem fuerit altitudo, ita se habent inter se,ut bases.
D H triangula ABC, D E F , eandem habentia altitu dinem, quorum
Item duo paratulelogramma C G, E H , eiusdem altitudinis , quorum eardem bases B C. E s. Dico ita esse triangulum ABC, ad triangulum D EF, & parallelogrammu C G, ad parallelogrammu E H. ut est basis B C, ad basin E F.Hoc est, si basis BC, statuatur prima magnitudo , & basis E F, secunda: At triangulum ABC, vel parallelograminum C C , tertia, & triangulum D E F , vel parallelogrammum f. H, quarta ; sequemultiplicia primae ac tertiae ab aequemultiplicibus Rcundae di quaris vel una de ficere, vel una aequalia esse, vel una excedere, ut definitatio 6.li .s exigit. Collocentur enim tam triangula qua parallelograma inter easdem parallelas G Η , L N. Navi in defia. 4. dictum est , triangula S parallelogrammatum demum eandem habebunt altitudinem , cum inter easdem suerint constituta parallelas : sic enim perpendiculares