장음표시 사용
771쪽
diculares a verticibus ad bases demissae aequales erui, &ex BL, sumantur quotcunq; rectae BI, IK. Κ L, ipsi B C, aequales;Item ex FN, abscindatur quotcunq; rectae FN, MN aequales rectae EF. Deinde ex A,S D,deducatur recta, AI,AΚ,A L;DM,DN. Erut igitur triangula ABC, asstrimi AIB. ΑΚΙ,ALΚ, super aequales bases,& inter easdem parallelas costituta, inter se aequalia. Fade ratione aequalia erunt triangula DEF,DFM, DMN. Quam multiplex est ergo recta CL, rectae B C . tam multiplex quoque erit
triangulum A C L, trianguli A B C; & quam multiplex
est recta E N, rectae E F, tam quoq; multiplex erit triangulum D EN, trianguli D EF, quia in tot triangula aequalia sunt diuisa tota triangula A CL,D E in quot rectas aequales sectae fuerunt totae rectae C L, E N Quoniam vero si basis C L. aequalis fuerit basi EN. b necessa υδ. r mi. rio triangulum A C L, aequale est triangulo D E N , ac proinde si C L. maior fuerit qua E N,necessario A C L. maius est qua D EN, & si minor, minus ; descient propterea una CL. recta, & triangulum A CL, mque- multiplicia primae magnitudinis BC, & tertiae AB C. ab E N, recta, & triangulo DEN, aeque multiplicibus secundae E F, & quartae D E F , vel una aequalia erunt,
vel una excedent, si ea sumantur, quae inter se rcspo
dent. Quare quae proportio est primae B C , ad secunda ' c. de ne E F, basis ab basin, ea est tertiae A B C, ad quarta DEF, Dinti. trianguli ad triangulum. Sicut igitur basis ad basn , ita est triangulum ad tri angulum . quod est propositum . QV ONIAM autem avt triangulum A B C . ad drs.quinti. rriangulum D E F, ita est parallelogrammu CG quod 's . primi. duplum est trianguli ABC. ad parallelogrammu EH; i quod est duplum triangula DEF perspicuum est.. ita primi,
quoque esse parallelogrammum ad parallelogrammum, I.quinti. ut est basis ad hasn . Quod tamen eodem argumcnto c5firmari potest, quo usi sumus in triangulis , si prius expunctis I, K, L. educantur rectae parallelae ips B G; nec non ex punctis M, N, parallelae ipsi F H, &c. Triangula igitur & parallelogramma , quorum eadem fuerit at titudo ; ita se habent inter se , ut bases Quod erat de
772쪽
S E D 9 eo resim huius demonstrabimus. Videlicet.
TRIANGULA, & parallelogramma, quae ita se habent inter se, ut bases, aequales habent altitudines,vel eandem.
-- --: E F. Dico eorum ahatudines, nimi
quorum aequales sunt bases, vel eadem, ita se habent inter se, ut altitudines
773쪽
HOC vero conuerremus etiam, ad stinc modum .
TRIANGULA , & parallelogramma,
quae ita se habent inter se, ut altitudines,aequales habent bases, si unam & eandem non ha
774쪽
as indum. Non euo in aquatis sint bases A C. E F , sed aquatis. R demi est ratio de paracteti grammis Simili εnim argumenso,ducta L M, Us G B,parauela, ostendemin, ρaractetigramma MGBL. AGBC, aqualia esse, si bases A C,
E F. dicanetiν in qu rict BL,EF, aquales. I N omnium autem his non mariabitur demonstratio. Hiamsi triantila, ct pa Ielogramma sint pectangula, ita me altitudines e ipsisum latera , vel mnum fuerit recrangulum,aherem mero non . Nos assumpsimus eastim difficiliorem, quando scilices neutrum es re Eangulum . Ita enim demonstratio maiore indiget nonnunquam conseruesione.
- THEOR. a. PROPOS. a. S I ad unum trianguli latus parallela ducta fuerit recta quaedam linea , haec proportionaliter secabit ipsius trianguli latera . Et si trianguli latera proportionaliter secta fuerint, quae ad se ctiones adiuncta fuerit recta linea, erit ad reliquum ipsius trianguli latus p
1 N triangulo A B C, ducatur primum recta D Ε,pa talle a lateri B C. Dico latera AB, A C, secta esse pro portionalitor in D, & E, hoc est, esse ut A D , ad D B. t orimi. ita A E, ad E C. Ductis enim re his C D,B E ς erut triangula D E B, D E C, super eancle basin D E, & inter eas de n parallelas D E. B C, constituta, inter se aequalia. I. iuri L. Quato ut triagulam ADE, id triangulum D , ita est
775쪽
triangulum idem A D E, ad triangulum DEC: Atqui
ut triangulum ADE, ad triangu- .
lum D E B, ita est bass A D, ad ba sm DB; cum haec triangula snt eiusdem altitudinis, ut constat, si lper E , agatur parallela recta ipsi A BO & eadem ratione , ut triangulum A D E ad triangulu DEC, ita est basis A Ε, ad basin E C. b Vt igitur A D,ad D B. ita est AE,ad EC cum hae duae proportiones eaedem sint proportioni trianguli ADE, ad triangulum D EB,& eiusdem trianguli ADE.ad triangulum DEC. quod est propositum. S E C E T deinde recta D E . latera A B, A C, proportionali ter . Dico D Ε, parallelam eii e reliquo lateri B C. Ductis enim rursum rectis C D. B E, ς erit ut basis A D, ad hasn D B . ita triangulum A D E , ad triangulum D E B , cum sint eiusdem altitudinis: Ponitur au- te ut AD ad D B, ita A E. ad E C. 4 Igitur erit ut triangulum A D E, ad triangulum D E B , ita A F, ad E C , Sed rursus ut bass A E , ad basti E C . ita est triangu-gulum A D E . ad triangulum DEC, cum sint altitudinis eiusdem. Igitur vi triangultim A D E , ad triangulum D E B . ita est triangulum idem A D F, ad triangulum D E C. , Aequalia ergo sunt triangula D E B , &D E C Ac propterea, eum eandem habeant basin D F, s inter easdem erunt collocata parallelas Igitur parallela est D E, ipsi B C . quod est propositum . Si itaque aduraum trianguli latus parallela ducta fuerit, &c. Quod
THEOR. 3. PROPOS. 3. SI trianguli angulus bifariam sectius
sit , secans autem angulum recta linea secuerit & basin:basis segmenta eandem
776쪽
habebunt rationem, quam reliqua i p. si ustrianguli latera. Et si1 basis segmen
ta eandem habeant rationem, quam reliqua ipsius trianguli latera ; recta linea. quae a vertice ad lectionem producitur. bifariam secat trianguli ipsius angulum.
IN triagulo A B C,recta AD, sedet primo angulum B AC, bi fariam. Dico esse ut B A, ad A C, ita B D, ad D C: Agatur enim per
i B, recta B E, parallela ipsi. A D ,
bus rectis. Cum enim C, & CDA, , minores duobus rectis sint; . st autem angulus CD A angulo C B E . externus interno , aequalis : erunt quoq, C & C B E , duobus rectis minores. Jς eritque angulus E B A . aequalis alterno BAD; & angulus E , externo
D A C: Cum igitur duo anguli B A D. D A C, aequales ponantur ; erunt & anguli E B A, & E , inter se aequa les ; d Ideoque& rect e B A, E A, inter se aequales ς Vt igitur E A. ad A C, ita B A ad eandem A C: Atqui ut E A. ad A C, ita est B D, ad D C; cu in triangulo BCE. recta AD. st parallela lateri B E. . Igitur ut BA ad AC. ita est B D. ad D C. quod est propositum. SIT deinde vi B A, ad A C, ita B D. ad C D. Dico rectam A D . bifariam secare anstulum B A C . Agatur enim rursus per B , recta BE . ipsi A D . parallela coiens cum C A, protracta in F. Quoniam igitur ut B A . ad A C. ita ponitur B D. ad D C. i, Ut autem B D ad D C,
ita est E A , ad A C ; quod in triangulo BCE, recta A D. sit lateri B E, parallela. Erit ut B A. ad A C , ita E A, ad eandem A C. A Ac satis igitur sunt B A, &
777쪽
p A, ter se ,' ac propterea anguli ABE. & Ε, aequales quoque erunt. h Cum iotist angulus A B E, aequalis stat terno B A D ; de angulus E; externo D A C , erunt &duo anguli B A D , D AC, inter se aequales , quod est propositum . Itaque si trianguli angulus bifariam sectus sit, &c. Quod erat demonstrandum.
THEOR. q. PROPOS. q. AEQVI ANGULORVM triangulorum proportionalia sunt latera, quς circum aequales angulos, & homologa sunt latera, quae aequalibus angulis subtenduntur.
DC ad DF: Ita enim latera circa aequales angulos sunt proportionalia , homologaque sunt ea latera, quae aequalibus angulis subtenduntur, hoc est, & antecedentia omnia aequales respiciunt angulos, S consequentia similiter . Constituantur latera B C. CE, secundum lineam rectam , ita ut angulus D CE , externus sit aequalis interno A B C spariterque externus A C B , interno D F C . Et quia duci anguli ABC, ACB, minores sunt duobus rectis rest autem cingulo ACB, aequalis angulus D EC; erunt& anguli E, duobus rectis minores. a Quare rectae B A . & E D, productae ad partes A. D. Coibunt.Produ
cantur ergo,& conueniant in F.Quoniam vero angulus
externus D C E , aequalis es interno opposto ABC; B bb o parallelae
778쪽
Rag. imi. a parallelae erunt CD.& B F. Ea-F dem ratione,parallelae erut C A,
IN & E F; quod angulus lexternus, ACB, si aequalis interno DEC. - o Parallelogrammum est igitur υ .primi. ι sc A C D F ; b proptereaque recta ι A F, aequalis rectae C D ; & recta CA, rectae DF. Cuoniam igitur. C E in triangulo BEF, recta A C, ainexti. parallela est lateri E F,ς erit A B, ad A F, hoc est, ad D C, quae I qisolis est ipsi AF,9 ut BC, ad C E. Permu- a tando a igitur erit A B, ad B C, ut D C ad C E. Rur1us quia in eodem triangulo BEF, recta C D. parallela est' a. sevit. lateri BF , eerit BC. ad CV, ut FDstoc est, ut C A, quar Ic.quinte. oequalis est ipsi F D, b ad F D. Permutando i igitur erit BC ad CA, ut CF, ad ED Cum igitur sit AB, ad BC, ut sua.quisti. DC,ad CE;& BC, ad C A, ut C E . ad E D : κ erit & exaequali AB,ad C A, ut D C, ad E D. Quod est propostum . Aequiangulorum ergo triangulorum proportionalia sunt latera,&c. Quod erat demonstrandum .
c O RO LLA RIVM., HINC sit, lineam rectam, quae pa-
A Olielia ducitur uni lateri in Iriangulo, aufeVre triangulum toti iriangulo simiN'--le. Duciatur enim in trian lo ABC, B C lateri B C, parallela DE. Dico trian- . . Aulum ADE,toti triangulo ABC, ej as sesimile . Aequiangula namqtie stim, h cum anguli
externi internis; rivulus A, commtinis . Guare ineae i. st demon arum est, Τ Bas et Interia circa aequatis an
gulosproportionalia; Ac proinde , ex definitione, μmilia sunt.
779쪽
stremm duo egeoremata , quorum primum Federictis Commandinus Lmonsae in fisello Archimedis de iis, qtia vestintur in aqua Secundum vero in commentariis in ApostonjConica. Hortim primum es.
SI ex duobus punctis cuiusuis rectar, quo
rum alterum sit extremum, alterum vero intra
lineam, duae parallelce inter se ad easdem par
tes educantur , ita ut proportionem habeant eandem,quam rectae inter ipsas,& alterum extremum punctum inclusae: Recta coniungens extremum unius earum cum extremo prioris lineae,transibit per extremum alterius lineae.
stitatim. Transit ora recta B E, per punctum D. Luod es
780쪽
SI in triangulo quouis uni lateri parallela
recta agatur , & ex quocunque puncto illius lateris ad angulum oppositum recta educatur linea: diuidentur linea parallela,& latus illud,
in easdem rationes. Is friangulo ABC, AEa sit D F,
SI duo triangula latera proportionalia habeant; requiangula erunt triangula, & aequales habebunt eos angulos, sub quibus & homologa latera subtenduntur. HABEANT