장음표시 사용
781쪽
HABEANT triangula ABC, D E F, latura pro portionalia, sitque AB,ad BC,ut DE, ad EF;&BC, ad A, ut A
angulum C , angulo F . Sic enim anguli aequales respiciunt homologa latera Fiat angulus FE G, aequalis angulo B;& angulus E F G, angulo C ; co meniantque rectis EG, FG,in G: a eritque reliquus angulus G , reliquo angulo , ιλλι lA qualis . Aequi angula igitur sunt triangula ABC, GEF. Quare b ut A B, ad BC, ita est G E, ad E F: Vt au- n, E 'tem AB ad BC, ita ponitur D si, ad E F.; Igitur Vt C E, h, i estinis Lad EF, dia est DE ad EF, eandem : d proptereaque aequar a s 'mnet. les erunt G E. D E. Rursus , o quoniam ut B C, ad C A, E cae,i ita est E F, ad F G; Ut autEm B C . ad C A , iis ponitur E F ad F D;s erit it E F, ad F G, ita eadem E F, ad F D; ij ideoque aequales erunt F G , F D . Itaque cum latera , . EG, FG, aqualia snt latet laus DE, DF υtrumque viri it que;Se basis communis EF erunt anguli G,& D,aequa I - mi. les ac propterea & teliqui an uti G E F, G F E, reli- i i , . quis anguli P E T , D F E, aequalos erunt. Quamobrem tcum angulus G a qualis sit angulo erit & angulus D, eidem angulo A, aequalis , eodemque modo angulus D EF, angulo B,& sngulus D FE. angulo C, aequalis erit.quod est propositum . Si duo igitur triangula latera proportionalia habeant, &c. Quod ostendendu crat.
SI duo triangula unum angulum Vni angulo aequalem,& circum aequales angulos latera proportionalia habuerint: aequiangula erunt triangula, aequalesq;
782쪽
habebunt angulos, sub quibus homologa latera subtenduntur.
S I T angislus B trianguli ABC. aequalis angulo P, trianguli DEF, sintque latera A B, B C, proportionalia lateribus DR EF, hoc est,sit AB, ad BC, ut DE, ad EF. A Dico reliquos a stulos reliquis
D angulis aequales esse , angulum scilicet A,angulo D,& angulum s C, angulo F ; Ita enim aequales
anguli homologa latera respi- dZ ciunt. Fiat angulo B,aequalis angulus FEG;& angulo C, angulus EFG;eritque, ut in praecedenti propos.dictum est,triangulum GEF, triangulo ABC, aequiangulum. Quare ut AB ad BC, ita est GE, ad EF Sed ut AB ad BC,ita ponitur DE ad EF. h Igitur ut DE. ad E F, ita est G E . ad eandem E F. atque idcirco D E . G E , aequales crunt. Itaque cum latera D Ε, Ε F, aequalia sint lateribus G E. E F, & anguli ipsis contenti aequales quoque , Nam angulo B, cui factus est aequalis angulus FEG , aequalis est positus angulus D E F, proptereamve aequales ad inui cem erunt anguli DEF , G E F, 9 d erunt reliqui anguli D. E F D. reliquis angulis G, E F G, aequales. Cum ergo angulus G, sit aequalis angulo A,& angulus EFG, anculo C; erunt etiam angulis A , C , aequales anguli D , EFD ; & ob id aequi angula erunt triangula ABC, DEF. quod est propositum . Si igitur duo triangula unum angulum uni angulo aequalem , Sc. Quo3 erat demou-
SI duo triangula unum angulum Vni angulo aequalem, circum autem alios angulos latera proportionalia habeant; re
783쪽
g I I E R VI. Di ' Psis liquorum vero simul utrumque aut minorem, aut non minorem redio: Aequiangula erunt triangula, & aequales habebunt eos angulos, circum quos proportionalia sunt latera.
SIT angulus A, triangu- AKli ABC, aequalis angulo D. trianguli DEF ; & late , t I A C , C B, circa angulum G
ACB,proportionalia lateri- bus DF, F E, circa angulum
F,hoc est,sit ut A C, aci C B, ita D F, ad F Ε ; hae tamen Iege, ut quilibet reliquorum angulorum B, & E . sit vel
minor recto,vel non minor.Dico aequiangula osse trian
gula,angulos scilicet ACB , & F. circa quos sunt latera proportionalia,& angulos B,& E. aequales esse.Sit enim primum tam B, quam E. recto minor : Quo posito, si an guli A C B , & F, non sunt aequales , sit A C B , maior, quam F s fiatque ipsi F, aequalis A C G. Cum igitur, &angulus A,angulo D,ponatur aequalis , erit & reliquus Da. rimi. AGC,reliquo E, qualis;ideoque triangula AGC, DEF. equi angula erunt. Quare h ut AC ad C G, ita erit o F. h inxti. ad FE Eed vi DF, ad sh, ita ponitur AC,ad CB.ς Ut igi- ra .ssumttatur AC,ad Cinita erit eadem AC,ad CB - d ac propte sq s.quiram rea aequales erunt C G, C B;ς & anguli C B G, CGB. e I. primi.
aequales . Cum igitur angulus B, ponatur recto minor . erit & CGB,minor recto deoque ei deinceps AGC. recto maior; cum A GC, CGR, sint duobus rectis aequa- les : Est autem ostensus angulus AGC,angulo E, aequalis. Maior igitur recto est quoque angulus E:Sed potitus est etiam recto minor. Quod est absurdum SIT deinde tam B, angulus, quam Ε, recto non minor;eritque ut prius, angulus B, angulo CG B, aequalis :ideoq; & CGB, recto non minor erit;ac proptereaanguli C B G. C G B, in triangulo BCG,non minoros erant duobus rectis, ted velmaiores, vel equale et duobus rectis.
784쪽
quod est absurdum . Sunt enim duobus rectis minores Non ergo inaequales sunt anguli A C B, & F, sed aequa les . b atque idcirco reliqui ctiam anguli B, & E, aequales erunt. quod est propositum . si duo itaque triangulavnum angulum uni aDgulo aequalem,&c. Quod demon strandum erat.
ADDIDIT Euclides,mediumque an Iortim res tiorum L, ' E.debere esse vel minorem recto,weImn minorem. Nam alias,manrate tota hypothos, non sequeretur,triangula esse aqu angula . Si enim in eodem t=ia Nis A L G, t CG,
tus es, maior a agnis A. Sit enim ς erit Iartis C A. lareme C R, maius. Si sti m ex C, ad inre a m C B , circulus destruastirieciait is res iam A L, Diu Nam rectam A C, qua longior es, qaam C I, secet. Secabos ritigem lue eis Itis necessario rectam A A, propterea quod ob actitum angulum B, recta A B , intra eum circulum cadite quippe cum in acontingentem tineam Encatur, quae ad A , angulum recctum
o triangula A L C, A G C , mniam ian iam uni angula aquatim , immo angtilum A, communem , ct circum alios avtitis A C R, AC G, latera proportionalia, bse es, 4 etiAC,ad CB. ita arte eadem AC, ad CG, cum aequalesponantur recta CB , CG: Dramen non sunt isti modo aequiangula tγiansiati ABC, AGC,ut consent. Qtiod ideo euenit, tita non strique an forum ABC, AGC., minor est recto , mesnsn minor. Immo A B C , es quidem recto minop ; A G C, vero recto maior. Cum enim C G, C R, Iasera aequatia sint, ideo angia a C B G, CGB, aquatis si eris vrerque eorum recto minor, i ac propterea AG C, reero mauor.
THEOR. 8. PROPOS. 8.S I in triangulo rectangulo, ab angulo recto in basin perpendicularis ducta
785쪽
LIBER VI. MU 767sit: quae ad perpendicularem triangula, tum toti triangulo , tum ipsa inter se sit milia sunt
I N triangulo ABC, an-gtilus B AC , sit rectus , a quoad basia perpendicularis agatur AD.Dico triagula ADB, ADC, similia esse& toti tria gulo ABC, R inter se. Cum enim in triangulis ABC, DBA, anguli B A C ADB, sint recti, & an ulus B, communis; erunt & reliqui anguli ACB,& DAB, equales. Aequiangulum est igitur triangulum DB A, trian gulo ABC ; h ac propterea habebunt latera circa aequa l es angulos proportionalia, &c. hoc est, erit ut C B,ad BA, ita BA, ad BD;& ut BA. ad AC, ita B D, ad DA;& vi BC, ad CA, ita BA, ad AD. Ita enim latera homologa aequalibus angulis Opponuntur , ut Vult propos..q. huius lib.Quare simile est triangulum A D B,toti triari gulo ABC. Eodem modo ostendetur triangulum ADC, limite eidem triangulo AB C. Nam anguli B A C,&ADC, sunt recti, & angulus C,communis; cac propterea reliqui anguli A B C,& CAD , aequales. Quare 4 ut
enim opponuntur quoq; homologa latera angulis qua libus , ex praescripto propos. a. huius lib. Non secus de monstrabitur, similia inter se esse triangula A D B, &AD C. cum anguli A D B, A D C. sint recti, & anguli A B DA A D, ostens aequales, nec non anguli B AD ACD; Atque idcirco sitς ut B D, ad D A. ita D A. ad
786쪽
E X hoc manifestum es , perpendicularem, qua in rectangulo triangulo ab angulo recto in basin d mittitur, esse mediam proportionalem inter duo b
sis segmenta: Item utrumlibet laterum angulum re-ntam ambientium,mediumproportionale inter totam
basin , ct tilud segmentum basis , quod ei lateri
ita D A, ad D C; ac propterea D A , esse mediam proportionalem inter BD, ct DC: Item esse ut CB, ad B ita BA,ad BD : ct idcirco B A , mediam esse proportionalem inter CB, cr BD: Denique esse ut BC, ad C A, ita CA, ad CD; ideoque C esse proporrionalem med am inter AC, st CD.Quod in propositum.
PROBL. 1. PROPOS. 9.A D AT A recta linea imperatam par
IMPERETUR, ut ex Ii- Dca AB, auseramus partem tertiam .Ex A,ducatur recta A C. tcunq; facictis angulu CAB ;81 ex AC, abscindantur tot partes aequales cuiuslibet magnitudinis, quota pars detrahenda est cx AB,ut in proposito exemplo tres AD, DE, EF Deinde ex F, ad B. recta ducatur FB, csti per D,parat lcia agatur D C. Dico A G, esse partem tertiam imperatam rectae AB. Nam cum in tr angulo ABF, lateri FB. parallela sit recta DG . a crit ut F D, ad D A, ita B G, ad G A. b Componentio igitur, ut FA, ad DA, ita BA,erit
ad GA Sed FA, ipsus A D, si tripla, ex constructione. Igitur
787쪽
Igitur & B A, ipsis A G, erit tripla, ideoque A G, tertia pars erit ipsus AB, quae imperabatur . A data ergo re cta linea imperatam partem abstulimus . Quod facien
o D si ex A B, auferenda sit pars non aliquora, sed
quaepiares aliquotas non scienses iam complectatur imiarum qua contis rit quatuor undecimas ipsetis AR, stimenda erant ex A C, panes aequatis isque ad D, punctu, ex quo ad A,
ex E, termino - , - quatuor par
tium . Nam AF , erit pari imperata. Erit enim rursus CtD A, ad A E, ira RA,aia A F aes,e , se contierrendo ut A E, ad A D, ira AF,ad AB aurem A E , pars continens quaruor ηυndecimas ipsus A D , e confractione.Igitur 9 A F, eadem pars erit recta AE. Quod es propositum.Non aliter detra estir ex A B, pars complectens quotcunque partes issius aliquotas non facientes unam .
PROBL. 2. PROPOS. Io DATAM rectam lineam insectam smiliter secare, ut data altera recta se-eta fuerit.
SIT recta AB, secanda simi- - Cliter, ut secta est recta AC, in D.& E, hoc est, in partes, quae sint -- partibus AD, DE, E C, propor tionales.Coniungatur dat e duae .A F G D lineae ad A,sacientes angulum quemcunq; BAC,& con
788쪽
C nectatur recta BC Deinde ex D, iE, agantur DF,EG parallele i 'ia si B C. Dico rectam A B, simili
ter ese sectam in F , & G , ut est
in G D secta A C, in D , ΝΕ . Nam ut AD, ad DF. ita est A ad FG. Proportionales ergo sunt partes AF, FG,partibus AD,DE . Quod si ducatur DH. ipsi FB. parallel secans EG,in I; b erit rursus , ut D E , ad E C ita DI,ad I H, hoc est,ita FG. ad G B; ς quod FG, ipsi DI,& G B, ipsi III , a qualis sit. Quare proportionales quoque erunt partes FG, GB, partibus D E , E C. Eademque ratio est de pluribus partibus , si ex E , & C,
ipsi AB,parallelae agantur , &c. Itaque datam rectam lineam inscctam similiter secuimus , ut data altera recta secta fuit. Quod faciendum erat. T x hoe oblemate collisipore se facitas admodum tia, cratis disi Mia Aneam rectam datam in partes Dor crinque ἀDatis id, desos ad Osfr o lib. I Jac ros recepimus, iis alia iam miri idem adpropos. o. tib 11. demonsFrati in . Sit enim data jecta A B, dis idenda in quinque partes kqtiales. Duc Ea recta A C, faciente ctim AB,quemcunq; angulum C AR,
789쪽
AB, inuidendis in quinque pari ,
agatur DE,parallela ipse A B, ex qua abscindantur quinque quales partes D F, F G, GH, 2 3 QR
L K, ipsi KB, aqualis s ae proinde A EJeccta erit in Dingiae partes aquales. Luod est propositim .
ALITER. Ab extremis nais A, o R , educantur dua reciα
AC, AD, inter se paraltilis; foe est, Feresiluentes angulos A, B, aequa tis e Et ex L C, abscindantur quarti, partes aequatis RE, EF, FG, GH, et lat retpartes, una minus, in quot est tinea diu dendas His aurem ex A D, is ridem aquales referamur AI, IK, KL, LM . Dtitiis uitiarrectis EM, FI, GK,HI, secantibus recta AB, in N,O,P,S, dico ipsam AB, ctam esse in quinqua partes ἀνatis. Cum enim aequatisfiat, is parastelae GH, I K, , erant HI, G K, parallela s Eademqtie ratione paradela erant GK,FL,EM. Quare cum AM, secta sit in Damor aquatis paries, erit ΘΑ, militer in quam, partes aequales disio , mi consat ex demonstratione stilus I o. opos Eadem ratione ditiis a es t
790쪽
Θ B N , in quamorpanes aquatis, eo qtiod ΕΗ, in totidem es partes aqtiales diuio . Luare cum tam AN, quam L R, aequatisses ulis partibus NO, P, I m erunt omnes quin
que partes AN, NO, OP, PR, LB, inter se aquales. Quod es propositim.
ALITE R. prvaretur prim infrumentum Atile rei ne- commodium in ktinc modum D is duabus rem, intra se, is parasielis victinque C D , H F. Mo M Oraque ab sinuantur panes inter C se agi ales quotcunque ahem tot in qtior partes diuiden proponitur In ν - nea, ct bina punecta corresondentia Z lineis rectis iungantur. Deinde ι nescio circini capiatur tingitudo re- si AB, diuidenda,eaque ex aliqtio
propos prcbatum es, erunt reo a E I, E G , similitis ditiis . Utiud se forse I E, nec cum F Ε, nee mm D C , concurras, 3-ῖν i. si mrri tib sit parasiela, h erunt singula partes recta EI, -
gutis pa=tibm recta E G, aequales, ob parallati ramma intreoarallelas incla a. Cam ergo omnes partes recta E G , siniaequales ; exunt quoqNe omnes partes recti AI equatis.Si CLων bonoseis e rcinas giala partes linea ΕΙ, Iransferanstir in