Euclidis Elementorum lib. XV, accessit XVI de solidoru[m] regularium ... : omnes perspocuis demonstrationibus accuratisq schotris illustrati, nunc iterum editi ac nultar [um] renim accessione locupletati

792쪽

S I duae rectar lineae secentur in binis punctis proportionaliter: Erunt quoque intermediae sectiones in eadem proportione cum quibuslibet segmentis duobus.

Et diuidendo,te F B, ad Ε F, ita Η D . ad G H. Quod es l

cundum .

793쪽

SED neque omittendum iide in Loe Ioco theorema, quod sequitur.

SI linea recta sit seota in quotcunque partes Arithmetice proportionales, & alia recta secetur in totidem partes, quae easdem inter se, quasillae, proportiones habeant. erunt quoque partes huius lines Arithmetice proportionales.

est,habentes e dem excessum . Σ - ἡ---ι-ia Secetur autem re Ata E F, in

panes EG, GH, -, iliis ira presionales. Dico μου paries eundem quoqr Labere excesstim , hoe es,Arithmet te esse oportionales me enim CI, si AC Θ D K,ipsi CD, aqualis me ID, re excessitis inter C D, AC; Θ ΚΕ, exeustis inter DB, CD, atque adeo ipsiID , aequatis .

GH. Probandum est, Meessus LM, MF, a ales esse . si uomai ttir es me AC, ad CD, ira L G, ad G Hieris permutando quoqtie mi AC,ad EG,ita CD, ad GH. Item quoniam es, it C D, ad DB, ea GH, ad BF serit quoque permutando, ut CD, ad GH, ira DB,adH F. Atque ita septapostierint parto , habebuntsemper partes linea AE , ad partes linea E F, singula ad singulas, eandem proportionem, quamuis panes initis linea nonsine continue proportis Ies. Itaque rem sit, ut CD,ad GH, ita AC, ad FG,hoc eis, ita CI, ad G L; b eris quo e reliqua ID, ad reliquam LM,me rota CD, ad imam G H. Rursus quia est, in DB, ad Np, ita C D. ad G Η, hoe estia D X. . ad ΗM;ς erit quoque petiqua ΚΒ,ad reliquam

794쪽

. C T D ac is eo isti potes. Non enim sequio iuris Δὰ linea secta sint in paro G LΗ ' - Arithmetice prsponionales,

Σ- - -- P paptis initis abere easde proponiones , quas partes alteritis Lasent. a tinea EF, secunda pars martir GM, ira me excessias inter EG, Gm e LM Doinde ipsiGM os M, stimatur portio ipsi GM quatis. eiqtie adjciatis idem excessus L M, sene tres partes Arithmetico μυorrionales in linea E F, ct tamen non Labent easPemppoportiones inter se, quas habent paries linea AS quippe cum minor sit proporiis EG, ad GM, Dam EG, ad GHέoees,qtiam A ad CD . INFERTUR Lino aliud hoc theorema .

SI duae lineae inaequales ad alias duas eandem habeant proportionem, minor ad minorem, & maior ad maiorem, erit quoque C. cessias priorum ad excesstam posteriorum , ut priorum una ad unam posteriorum.

LINEAM rectam datam in quotuis partes Arithmetice proportionales secare.

SIT enim recta Ε F, canda in dies partes Arithmetiara proportionales. Stimantur tres recta AC,CD, DB, quomodoctingae Arithmetice proportionales eomponentes rectam Ii

795쪽

G, H, ut AB, in C,D,fecfa est s erunt partes EG . GH, HF, Ariumetiee proportionales,mt demonstrarum es. Η E C omnia mera etiam sunt in numeris, is in quisustiis atiis mas iamdinibus, eum mper demst demon alio Arque eae his desti simus in 1 o. rettila proporrionalitatis Arithmeticapa emam rationem disputiendi diaetim ntimarum in quotuis partes Artifimetice propen onatis. Nam peream ditiiditur datus munerues in pareo, que en dem sMontproportiones, quas assumpti numeri proportionalitatis Arit meri m semper fas mi summa assum omm numero-rtim ad datu numeγu , ira singuli numeri asstimpii ad aetari Hine enim si, numeros a sumptos cum panibus dari numeri inuentis eandem habe ennonionem. Ruie me sic osyen me partes inuentasunt Arithmetite proportionales.

PROPOS. IID V A B V S datis rectis linei S , tertiam proportionalem adinvenire.

dispostae, ut emciant angulum A,quemcumque,stque inuenien Nda illis tertia proportionalis,si- cui quidem AB ad AC, ita AC, o

ad tertiam. Producatur AB quam volumus esse antecedentem,& capiatur BD, aequalis ipsi AC,quar c seques esse debet, siue media Deinde ducta recta BC, agatur illi ex D,parallela DE, occurretis ipsi A C , productae in E. Dico C E, ese tertiam proportiCnalem , hoc est , ese ut AB. ad AC,ita AC, ad CF. Cu enim in triangulo ADE, lateri DE. parallela sit recta BC;, erit ut AB,ad BD,ita AC ad CE idi Sed ut AB ad BD, ita eadem AB, ad A C. V .qMinta. aequalem ipsi B D. Vt i itur AB, ad AC, ita AC, ad CE. quod est propositum . Duabus ergo datis rectis lineis. tertiam proportionalem adinvenimus. Quod erat fa

796쪽

INVENTA autem tertia - i ' 1 linea eontinue proportionali, sipria mam omiseris, ct anse duabus te L riam inueneris , habebis Datuor lineas continue proponionales. Vestissis Ao S. ad nueniatiar terita proponionalis G, se damus 3 , ct C , lenia proponionalia D , erunt quartior tinea A, B, C, D, continue oportionatis. Eadem arsereperietis

Destibis lineas conti- nue prusHionales in data pro I portione hoc mori. Sit primum Z l l dura priportis tineae A, maioris se D ad minorem A. Cirraret Iam

797쪽

ex coria. propos F. huius lib. DE, media proportionalis inter CD, DGr ac proinde D G, erit r/rsia proportionalis ipsis CD , DE , hoe est, datis dosin A, B. Qtio 7 ex D,per

G,arcindescribatursecans rae 3 DE, DF,in Η, I; applicatae regula ad puncta N,I, ducastir recta HKseris DK,quarta proportionalis.Nam propter angulos es DG, ID G, qui ob a a .rens. aquales arctis EC, , aquales tini P arctiu HG,IG, aeq&a- ου ac retiq.tis erunt; ac propterea, ex j chorio propina . Iis. s. recta ducta HI, Iifariam stasiitir in X;- ideo se ad angulos rectos. I. rorij. 4 Parallela ecio ne E G , H X . s Vt igitur re pa E D , ad da A rimi. D G, ita erit D H, hoc es, D G, au D K . Siant ergo quastior ς s. mes linea CD, DE, D G, DK, continue proportionales . Quodsi sati. ex D,per K, alim armis describariar secans rectas DE, DF, inuenietur eadem arte quima Iroportionalis, arqtie ita in in-

cta a C, regula, diacamr recta C R, qtia eadem ratione ad

798쪽

Ex Ati e magno labori im V κ ter duas rectas datas reperi Q mus duas medias proportiona: Ies,no quidem Geometrice om-n l. s nino, sed quasi auretando , Ο g D praxim ipsam iterum arns it

'. I rtim repetendo, donec id, quod B quaerimus, assequamur. Vt si

PROBL. q. PROPOS. 12.ΤR IBVS datis rectis lineis, quase

tam proportionalem inuenire.

SINT tres lineae rectae A B, B C,A D. quibus inue nienda sit quarta proportionalis ; sicut quidem A B, ad BC, ita AD, ad quartam. Dii ponantur primm duae AB, B C, secundum lineam rectam,quae si AC: Tertia vero A D, cum prima AB, faciat angu

tum A, luemcunque. Deinde eae B, ad D . recta ducatur BD, cui per

C.parallela ducatur CE, occurres

A A C rectae AD,productae, in Ε, puncto.

Dico

799쪽

Dico D E, esse quartam proportionalem . Cum enim in triangulo ACE, lateri C E, acta sit parallela BD; erit

ut A B, ad B C. ita A D, ad D E.Quare DE, quarta est proportionalis; ac propterea, tribus datis rectis lineis, quartam proportionalem inuenimus. Quod faciendum s CHOLIUM. HINC Deilis elicimus,quonampacto, da tis duabω ν ectis lineis, dua atia in eadem cum 'illis proportione V erisi positae. Si enim data et ni dua recta tinea A, B, in quacunqtie pro- lponione, si renia qualibet accipiatur C , 9 et 1 Il arta proportionalis inuenia γ D , me sit quemadmodtim Α, ad B,ita C, ad D sfactum eri quod proponitur . Eadem arte inuenien γ sex linea, octo, decem, duodecim , cte. quartim bina semper eandem Labeant pro

ma. Videlicet.

Τ RI B V S datis rectis lineis , quartam inuenire, quae sit ad tertiam , ut prima ad so

cundam .s I N T dies recta AB,EC,CD, ον reans inuenire quartam, qua ad C D , .m tertiam si me AE prima ad BC, seun f

m Disponantur prima dua AB, BC, c ain directum, me faciant rectam AC : Tertia vero CD,ctim sectinda EC aciat an tam C,quemcunqtie. Deinde ex B, ad D, recta ducatis B D , eui post A, parauela ducatur A ri occurrens recta C D, 'aduecta in E. Dico E D, esse quartam , sol ei esse ED, ad DC, tertiam, vi est A B, prima ad B C, secundam. Hoc autem manife

800쪽

ALITER. ΕΣ cunda C B , sat prima. θ -μima AB, at scianda, a atque inueniatur tribus CB , BA , CD, quarta I portionalis DE Vt sit secunda C B , ad primamRA , tertia CD, ad quanam DE. Erit enim ct contiem tendo AB,prima ad BC, secundam, Da DE, quarta ad C D,

PROBL. 1. PROPOS. 13. DV ABVS datis rectis lineis , mediam proportionalem adinvenire.

SINT duae rectae AB,BC, quibus media inuenienda est proportionalis, dispostae secundum lineam rectam A C. Diuisa AC. bifariam in E, ex Ε, Centro,& interuallo EA, vel E C, se reteirculus describatur A D C : Deinde ex B , ad A C, perpendicularis educatur B D, ad circumferentiam us que .Dico BD, esse mediam proportionalem inter AB, &B C. Ductis enim rectis AD, CD; b crit angulus ADC, rectus in semicirculo.Cu igitur ex angulo recto ADC, trianguli rectanguli ADC, deducta sit ad basti AC,perpendicularis D B; erit per corollarium propos 8. huius lib. B D, media proportionalis inter A B, S B C. Dua bus ergo datis rcctis lineis,mediam proportionalem aes inuenimus. Quod erat facicndum. s CHOLIUM. ERSPICUUM sines linea rectam , Da in circias a qtionis punc Fodiametri ipse diametro popendemiaris ducitis ad eis Moenriam usque, me diam e e proporrionalem inter δεο dimmetri segmenta , qtia a prependaculari facta sunt. Deris enim fmicircuitis ABC, is expuncto D, HamΘrri