장음표시 사용
801쪽
DATA recta linea,aliam rectam, quae minor no ri sit, quam dupla illius ita secare, ut data recta sit media proportionalis .inter segmenta huius
SIT data prata AC, ct diuidenda proponatur recta AB, Aua --πον non sit quam dupla ipsius A C,
sed mel a,melmaior ita τι in-sὰρ Mitis segmenta, media propo rionalissis A C. Dissonantur rectae AB, AC, ad angulum retatim BAC, o ditiis AB, bifariam in D, ex D , centro , inter alio a tem D A , vel D R , semicircuitis describatarA E E. Deinde pre C, δεο ν ipsi A B, paraliela C E, δε- cans, mel tangens circumferentiam tu E, puncto Secabita tem necessario C E, circumferentiam, mel tanget. Nam si minor sis quam dimissium recta A B, hoc est, minor, quam semissiameter ad iangulos rectos erecta ex D, secabit cis m- ferentiam stanget amem eandem circumferentiam , squalis sit dimidio stecta AB, hoe ol, aequalis semidiametro ex D, ad angtilos rectos e cya . Ctimi ergo positum sit, A C, non esse maiorem rimidis Nectae A R , secabit necessario A C, circumfreentiam, aut tanget. 9 a quo demittatur ad A A, trapendictitaris E F . Dico AC , esse mediam proportionalem diametri AC,ducatis ad circumferentiam recta DB,perpendi Iisis ipse AC. Dico DB, esse proportionatim mediam in- ὰν AD , Θ D C: Id quod BDias consae ex demons arione Mitis pristimatis. Si enim durantur recta AB,CB a se angultis A B C, rectus mare per corost. propos R. confias propositum. Eadem ratione erit perpendi laris EF, media prvistionalis inter A E , δ' E C . Item G Η, inter A G ioe G C , atque eodem modo G alijs Di scian e iucendum
est, qua ex quibusvis punctis diametri ad ipsam diame rumperpendiculares diacentur.
802쪽
stilus lib. EF, media proportionalis inm
lem habetium angulum, parallelogrammorum, reciproca sunt latera , quae circum aequales angulos. Et quorum parallelogrammorum unum angulum Vni angulo aequalem habetium reciproca sunt latera , quae circum aequales angulos; illa sunt aequalia.
tha δ. nimi D C S IN T duo parallelogramma aequai VP lia ABCD. BEFG, habentia angulos U ABC EBG,aequales . Dico latera cir-A A ctim hoste angulos esse reciproca, hoc est esse Ut AB. ad BG , ita EB, ad BC. I Coniungantur enim parallelogram-
ma ad angulos aequales, ita ut A B, &T' F BG. unam efficiant lineam rectam. Quo facto cum anstuli ABC, EBG, sint aequales, erunt& E B , B C , una recta linea, ut ad propos. I s. lib. I. e X Proclo demonstrauimus . Producantur iam DC, & FG, donec coeant in H. Quoniam igitur aequalia sunt parat
804쪽
H, lib. I .ex Proeto. Ducta igi tui recta CE; quoniam aequalia sunt triangula ABC, DB E;- erit ut C E A B C, ad BCE. ita DBE, ad idem BCF. sed ut triangulum A B C, ad triangulum BCE., ita est basis AB ad basin BE, quod haec triangula ciusdem sint altitudinis; & similiter ut DBE,ad BCE. ita est basis DB. ad B C. Quare ut A B , ad B E , ita est DB, ad BC. Quod est propositum .
I A M vero contra , sint latera circa angulos aequales,qui ad B, reciproca, hoc est, ut A B ad BE, ita DB, ad B C. Dico triangula A B C, D B E, ese aequalia. Facta enim constructione eadem , cum sit ut A B, ad B E , ita DB,ad BC; ut autem AB ad BE, e ita triangulum ABC, ad triangulum BCE;& ut D B . ad B C . ita triangulum DBE; ad triangulum idem BCE: Erit ut ABC ad BCE, ita D B E, ad idem BCE ; d proptereaque aequalia erunt triangula A B C, D B E. Aequalium igitur,& unum uni aequalem habentium angulum , &c. Quod Ostenden
S I quatuor rectae lineae proportion les fuerint: quod sub CXtremi S comprehenditur rectangulum , aequale est ei, quod sub medijs comprehenditur , rectangulo . Et si sub eYtremis comprehensum rectangulum aequale fuerit ei, quod sub medijs continetur, rectangulo: illae quatuor rectae lineae proportionales Crunt.
805쪽
BC, ut quidem AB, ad FG, ita EF. ad BC:Sitque rectangulum ABCD, comprehensum sub extremis AB, BC; rectangulum vero E F G H , comprehensum sub medijs EF, FG . Dico rectan- A B
gulos B,& F, reciproca. a Quare parallelogramma A C, E G, aequalia erunt. Quod est propositum . CONTRA vero , sint iam aequalia rectangula A C, E G. Dico quatuor rectas lineas AB,FG, EF, BC, esse proportionales, hoc est, esse ut AB. ad FG,ita EF, ad BC, Cum enim aequalia sint rectangula AC, E G, habeantque angulos aequales, nempe rectos B, & F;h erunt latera circa hosce angulos reciproca; sicut quidem AB, ad F G, ita E F, ad B C . Itaque s quatuor rectae lineae
proportionales fuerint, &C. Quod erat ostendendum . IDEM vertim est, etiam- iE A B
sint aquatis . Veluti manista H flum est in hac figura. Eadem enim prorsus es demon aris.
THEOR. 12. PROPOS. IT. SI tres redis lineae sint proportiona-Ies: quod sub extremis comprehenditur rectangulum,aequale esst ei, quod a Ine dia describitur, quadrato. Et si subeXD dd a tremis
806쪽
88 EVCLID. GEOM. Motremis comprehensum rectangulum ae
quale sit ei, quod a media describitur, quadrato: illae tres rectae lineae proportionales erunt.
ctangulum ABCD, contentum sub extremis A B, BC;& quadratum mediae EF,sit E F G H. Dico aequalia esse rectangulum AC , & quadratum E G. Sumpta enim recta F G, quae tequalis sit ipsi E F , erunt quatuor lineae AB, EF, FG, B C; proportionales ; ut quidem A B , ad Ε ta FG,ad BC;eritque quadratum EG, comprehensum sub medijs E F, FG, propter aequalitatem rectarum EF, F G. Quare rectangulum A C , comprehensum sub extremis AB, BC, aequale est quadrato E G, hoc est, rectangulo sub medijs E F, F G, comprehenso t Quod est propositum. SED snt iam aequalia rectangulum AC, & quadratum E G Dico esse ut A B, ad Es,ita E F, ad B C. Cum enim aequalia sint rectangula AC, & EG , b erit ut A B , ad Es,ita FG, ad BC t ς Vt autem FG ad BC, ita est EF, ipsi F G, aequalis , ad eandem BC. Quare ut AB, ad EF,
ita est E F ad BC. Si tres igitur rectae lineae sint propor tionales Sc.Quod erat demonstrandum .
E aposFeriori hcitus theorematis parte efficitur, auri libet rectam lineam ese mediam proportiona- Iem inter qti uis alias duas rectas, quae comprehem dum rectangulum quadrato illitis equiale. Ex eo eκim quod recta A B , B C, comprehendunt rectan dum aquati
807쪽
aequale quadrato recte EF, ostensum fuit, esse GAB, ad EF, ita EF,ad N C. Quare EF, media esproportionalis inter AS , ct B C.
SECTA linea recta in duas partes utcunque, alterutram earum ita rursus partiri in duas partes, ut omnes tres partes sint coni,nue proportionales.
utcunque, oporteatqtie partem C B, Da secare in Δαι aliati partes, ut omnes tres partes conti e proponio tis sint. Se - . F
tur AC, bifariam in F; ct A. I AF C,isertim bifariam in I , ut o C I, quarta pars sit prima pari Hris A G ex R, I, erigantur a perpendieuiares AE, IK , o prprima parti AC, aquales , cartiris recta EN,ita me recta tiliam I E, et resensum sit sub AC, prima parte, ct Noctis Ι Ε, composita ex altera parte AC, is ex CI, quarta parte prima partas.Et quoniam AC,
Hissa es bifariam in F, eiquis addita in rectum C As init l, secundi. D dd . rectam l
808쪽
qtiadrato ex B F r Esatirem rectangulum TF, minus rectan
et 2 gulosus A B, B C , ina eum A I B quadrato ex CF. Dticta enim G CD, B, perpendi lari, H erit recta ultim CE, conten-itim sub A C , C R, minus re N -- ri ci angulo stib AE , EC : As rectan tam C X, quadrato ex , - . CRequale,cum virum e quana pars sit Dadrari ex AC; ' rectangulam quidem GK, A s rectans tam GK, ad quadratum M AC, Loe es, ad recran tam sub A C, C D, Ur CI, ad C A s ac proinde cum C t, si quarta pari reo FaAC,erii ct C K, quarta pars quasati ex AC At uero quadratum ex CF, quarta pars es etassem quadrari ex AC, ems scholio propos . lib. a. 9 Histir minus quoque erit Disdrato' ' .ae BF. Si igitis bsat quadrarum rectan DIE, aquati, erit eis, Ditis minus rostya FB . Sit ergo Etad F L . Dico partem CB,ira sectam esse in L, M tres parses AC, CL, LE sint con-ri e propoγtionales. DescriIatur enim ex FL , quadrartim FM,recta e DC, extendamr ad D, O latus M L, ad Prsu risi duabus F G,L U CF, aqualitus, duearin recFaGge, scans CO, in B. Erit1 CG, quadratum recta C F, ob aquatitatem re Fartim CF, F G. Et Dia asiatis aqualigus . . FC, F G, ex aequalibus M,VN,retiquae C L , GN, aquales 3 orimi, sit - res CL, si HRO GN,'si HO, aqualis aquales
quoque erunt EO; ideol H M , quadratum eris recta C L. Rursus qtita tam rectangultim C co risenditur
809쪽
tis tribus rectis AC, CL, LB, rees angultim LE ,stis eae remis comprehensum g aIesse quaarato HM,media CL 3 a eranti δε tres lineae AC, CL, LR , continae proportionales. Quods propositum. IN mepis irim nostima se a per seierar. Puti ori parti numeri spolii adbriatis prioris partis pars quarta, ct
con fatus numedius in priorem panem diaearm. mitis deinde producti numeri quadrata radix ertiarur . Nam s ex radice inuenta domatur semieps prioris partis,=Hiqua siet secanda pars propor lanatis,quam si eae miseriori parte dati ntimeri stibi has ,ret tia erit tertia pars. Vel si linea AB, ponatur 7 .pars aurem AC,36. OCE, o. adjei tis C I. hoces,s.quartam partem prioris partis 3 .ad CB, id es, ad Oo. posteriorem partem, is con satum ntimerem os . tineam fit cet TA, in priorem partem 3ς. sitie in lineam A C , tacemus,
atque ex producto numero I Q . hoc es, ex re cyangula I E , radicem quadratam ememus . a. o Iinea FL, ex quas derit hemtis CFiem,ssem pia tis AC, nimistim a R. reliqtia erit pars CL, a. . Hac ablata ex Iota poserrori parte CE, o .remanebit tertia pars LL,rc. Stint e=go Ires partes A C , C Lε LB, numeri AB, ς.sae tres,3 c. a Ic. conti e proponionalea. Ex quo constat, quiando radix quadrara extrahi nequit ex eo pro ecto, oblema effici non posse in nummis. Atq; sine inteliigentur ea, quae tib s. in tractatrone proportionum p; spe finem scrip simus, cum ue oriti φνoportionalitatis Geometracaeae Ariumetica spontonalitate ageremus .s L D quando hactentis eum Etithri de tineis proserio naribus dijutatiimus, non alienum erit a nosero instituto, seisdem qtisDe eum Pappo Alexandrino di sierere , Di datis obus terminos ex tritas mitis nq; Medietati sitie AritHmerica . sue Geomet=ica, sitie Harmonicae, renium ametiirit : Et in Geometrica proponimalitate alia ter, quam ab Euclide factum es . Hoeautem exequemtir sequentibus pro-1stionibus , quarum
810쪽
DATIS duabus rectis lineis, mediam proportionalem in Arithmetica proportionalitate
B sINT data due recta AB, or C, qua. per mitates in longum di Jo sit m hic νυγa-E G sentantur mer quas media inproportiona . . Atate Arit orica se inuenienda. Minoriri ta Coonatur aquatis FH , ct ex maiore AB ab eisdamγ alia aqtialis A D: Divise atit δ' segmenti BD, bifariam in g, sumatur ipsi
Dra alis N G. Dico FG, esse mediam . . . Arit merice proportionale inter AB, ct C.
ergo duo excessus ERDE, in aquatis, eae eon timone, L- Dido consae rectas A B, FG, O C, Ariumetices oportionales esse .
summa ex extremis consala. Cum enim tam AD, quam C,
DAT Is duabus rectis lineis,minorem eX- tremitatem in Arithmetica proportionalitate
SINT in eadem ina, data dua rectae A B. Θ FGHuiastis inuenienda sit tineia minoγ in Medietate Ariumetica . Ex minore FG,detrahatur recta GH,Metistii AE,quo AB,