장음표시 사용
821쪽
rortim summam , ac denique Qtiotiens minori ad Veiatiar, consabir γ med in terminias Harmonica proportionalitatis.
DATIS duobus numeris, minorem extremum in proportionalitate Harmonica in
uenisse. SINT duo numeri dati AB, I s. Θ AC, a a quibus intimiendus est minor Harmonice proportionalis. Audatur BD, A E . . C ... B ... Daqualis ipse B C, Meessui inter datos numinos. Per gant summam AD, IJ, collectam ex maiore numera, O differentia datorum semerorum , di Martir numeras 3 cfactus ex minore dato AC,m B C. disserentiam datorum numeroram; Quotiens CE, ex minore diato AC, detra artir. Dies reis- quum AE, I rerminum territim minorem quaesitum, hoc molis, I s. r a. Io. Quoniam enim numero, qui ex AC, n BC,
si, diuijse per AD, Duotiens es CE , pro cetur idem ntime-ptis divistis ex C E, Cusilenta in divisorem AD,mtihiplicato,it ex Drusonas de n.manifestam es. Duia stiriar idem numerus gignitur ex A D, premo, in CE, quartum , qui ex Α . E . . C ... B ... DB Ciecundo in A C, enitim s , reis A D, Rimus ad B C .semn m, hoc est, ad B D,etu AC, renitis ad C ,quartum. Et ditiiLndo, AB, ad BD, hoe es, ad BC,M AE ad CE Et permutando, B,primm datus ad AF, territim inueneram De BC, excessus inter primum AB, se medium AC, ad CE,e: cessiam inter medium AC, lenitio A E . SNnt ei tir tres numeri AB, AC, AE,ia es, a S.Ia .ro. Harmonice proportionales. Luod es propositum. ITA OS E si pedi summam ex maiore Mumero,'ex
822쪽
ex minore numero in disserentiam eandem da opum numero. rum procreatus, Quotiens se ex minore daro detrahatur, re.
ITA E si per summam ex malo e numero, O Mdi reensia datorem meroram eollectam ditii stir numerus eae m triplica ione datorum numediorum inter seprocreatus, GIt Quotiens minor termentis ex emtis Harmonita Medietatis .
DATIS duobus numeris,maiorem extrema in Harmonica proportionalitate inuenire.
823쪽
SINT datι duo numeri AB, t o. 9 AC, ra. quibus in Menoenatis si territis in Medietate Harmonica. Ex minore AB,άetrahasuae BD qualis disserentia BC, i. datorum numeroriam . Et per reli quum numerum AD, δ. ditii tur merus a Jactus ex maiora n ero A C, 12. in disserentiam fortim niamerorum BC, et via BD. Quotiens autem CF,3. maiori numero AC, 1 a. adjriarur . Diios mam AE, i,. esse terminum maiorem in propytronatitare, Me Medietate Harmonica, hoc intres numeros AE , AC, AB, nimistimis. 1 a. r o .esse Harmonice proportionatis.Umniam enim nu
mera, qui ex AC, in BD r diuiso per AD, aetiorians' CE;
producetur irim numeras dissus M CE , aeuotientesin diui- Ibem AD, multiplitare a Quia igiων idem numerus 10nittirex AC, imo in BD,quaritim, i ex CE, seundo in A D, terrium . , erit AC, imus ad CH, secundum, ut AD, tertius ad BD, quartum e Et componendo AE, ad CE , τt AB, ad BD, hoe est,ad BC, Et pedi eando AE, primus ad A B, te tium,ett C E, exe tis inter primtim AE, o m/dium A C . ad excessiam BC, intra medium A C , ct territim A B. Stine
ergo tres numeri AE, AC, A B, nimirum I s. II. ro. Harmonice propinionales.Quod es propositum . ITA QV E datis duobus me=is, s eortim disserentia
ex minore auferatur . Oper retistitim semerum diti datur numerus ex maiore nummo in differentiam datorum numerorum procreatus , aeuotiensque maiori numero adj clara' , costibistir maior terminus extremus Medietatis Harm nica.
SINT initim duo dati numeri AB, ro. 9 A C , ra. Distis inueniendisit maioν in Hadimonicia Medietate . Ex minore AB, dematur B D , aqualis extu i B C , dato mnumerorram: Et per reliquum num ram A D , δ. druidia innumeras ruo acras ex multi icaraone datorum numeroram
A B, Io. 9 AC, ra. procreatus , Quotiensque sit AE, 1 s. Dira AE. esse rerminum maiorem in proportionalitate Har-
824쪽
mmica. Ωtioniam enim numero, qui si ex AB. in AC, di uiso per AD,Ltiotiens es AE . prodiaerem idem numeras di uisias ex A E, Lustiente in diti sorem AD. ex de . Dii semnis.xtita igitών iis numeras gignitur ex A B. primo in AC. quartum, qui ex ADGecundo in AE,tertium; erit Alsori mras ad AC serandum, ut AE territis ad AC, quartum s ac proinde tiam AB, maiorsit quam AD, eris ct AE, malis qua AC. Et e sit, mi AR ad AC ta AB,ad AD; erit per renue ora Milonis ΑΕ, ad CE, mi AB,ad BD, se es, ad BC Eepemurari AE primus incientus ad A B, territim, ut CE, te in interprimum AE,Θ medium AC, ad BC, excessum inter me iram AC, ' tertium A B . uitiar tres ntimeri AE, Is . AC, Io. AB, so. Harmonite proportionales stine.
ex minore auferamr , per reli vim ntimerum diuidatur numerus ex multiplicatione datoriam numerorum inter se genitus, dabit Rufriens maiorem terminum extremiam Medie- talis Harmonice .
m minare, qui s ad em tractationas proportionti ex aequalitatasproportione omnes portiones rationales, vicissim ex magiantitatisproportione qsahses e ali arem, ae deniqtie ex quatiis proportionalitate Geometrica Geometricam Adiit melicam, o Harmonicam , oriri doctiamtis . Sic ergo ex proportionalitate Geometrica tiam aqua tram terminorum, Dam in equatitim, gignitur proportionatum alia Geome ι- ci qua iam terminorum.
PROpOSITIS tribus terminis Geom trice proportionalibus siue aequalibus,siue in aequalibus ; Summa ex primo semel, secundo bis,& tertio semel collecta : ac summa conflata ex secundo & tertio semel: ac tertius semel , sunt Geometrice proportionaleS.
826쪽
A. B. C. erit ipsius Caertia pars. Igiturβmma ex T C. r. I. s. conflata d est, Ε, continebit me F emel, Θ insepis eius partem se Iiam o ac propterea, D. E. F. D, E, F, habesunt contintiam proponionem sesI Ia. s. qnitertiam. Pari ratione ex adruptis istier-
s nascen infessiquarti, se ex inversis quin- tu isse ui tali, atque ira in infinittim Nan aliter mon-srahimu aliaram proponio m generationes ex aliis propor. nonnis recti esse praescripem intractatione proportionum . Item re Fe quamcunque proportionem inaequalitatis ad aqualitatem reuocari r quippe ram in ea is mone retexamus quodammodo operationem, qua inaDatiraris proponionem ex aqualitate gigni tradidimi.
qualibus, siue inaequalibus , Geometrice proportionalibus ; Summa ex primo bis, secundo bis, & tertio seria et collecta: ac summa ex prii mo, secumdo, & tertio semel consata: ac denset que tertius semel, int Arithmetice propor I tionaleS.
fiamma ton lata ex A, B, C ssime Ae denis seps C, aqua sis. Dico D, E, F,esse Arithmisice proportionales. Quoniam Mim si a M A, bis, ct B, sis, is CG H. e est,terminus. 'superat summam ex B,C, semel, hoe es,termistim E, aggregato ex A, B -A co rector Item simma eae A, B, C, Ase est, remini Ei uperat terminum Cortie F, dem aggre gruo ex A ,semia tocte uos erit idem excessin iter D, Θ E,
827쪽
qui inter Ε, Θ F; ac propterea D, E,F, Arith- A. F. C. metieam oportionalitatem, e Medietatem I. avi. I.
scunque, etiamsi non At proportionatis : ut en hoc exemplo per θicuum es.
XVI. PROpOSITIS tribus terminis sue aequalibus , siue inaequalibus , Geometrice proportionalibus ; Summa colteista ex primo bis, ex secundo ter, & tertio semel: ac summa co flata ex secundo bis,& tertio semel: & denique
summa ex secundo semel,& tertio semel coace uata, Harmonice proportionales sunt.
828쪽
terminum, is medium E: Ar B,excessu quo R. bis, O C seme superanesimmam ex B,C, hoc es excessus mire E,me Elum, o F,tertium . utetur erit me D, imus ad F teretum,ifa excessus in reprimiam is medium,ad excessum inro me iuum ac senium i ideoque D. E, F, Harmonice proporrionales eram. Luod es proposseum .s E M P E R minimi termini procreantur D, EJ, quando dati fremini A, B, C, sunt unitates i ve in exempti. ρpotitis manifestim est. Quando autem A, B,C,nonsent unita es,etiamsi in suapropor sone minimi δε non semper crean γ minimi termini D, E, F Id quod Iiquido eonfiat in suexemplis. In primo enim exemplo, ex minimis terminis pro A, 6.B, 6. C, 4. t r. B. t A. s.B,Τa.αrc. D, s.E,IU F. I o. i D, 3 o. E, et . Rao. l D, O.E, s. F, ast portionis seri Hahera, inset do ex minimis terminis μό- quadrapta proportunis, o, in tertio ex minimis terminis stib- qui tertia proportionia , gignuntur tres in proponionalitate Harminio non minimi. Quodsi termini inuerrantiar , ramdemum quod mj m est ) minimi termini Medietatis Harmonicae procreabuntur, MLac exempla demon ant . A, . B, c .C, s. t A c. B, C, I. l A,Is.B, Iz-C, s. D,II.E, M. RII. s D, s .E,I. F, F. t D, .E,33. F, a I.
PROBL. 6. PROPOS. I 8. A DATA recta linea dato rectilineo simile similiterque positum rectili
l SIT data recta AB, perquam describendum siti rectilineum rectilineo CDEFG. simile similiterque positum. Ducantur ex quolibet angulo, ut ex F,ad singulosi angulos oppositos, retiar lineae,quae rectilineum resoluat
829쪽
in triangula CDF , DEF, FGC . Deinde angulo DCs,m qualis fiat angulus BAI;&angulo CDF,angulus ABI,
coeantque rectae AI, BI. in puncto Ι- coibunt enim omnino, propterea quod duo anguli IAB, IBA, duobus rectis minores sunt, tu equales sint duobus angulis FCD , FDC, , qui duobus rectis sunt minores . ueritque reliquo angulo CFD, reliquus angulus AsB , aequalis ; totumque triangulum AIB. toti trianetulo CFD. aequi angulum.Rursus angulo FDE aequalis fat angulus I B H;
erunt quoq; duo anguli HBΙ. f V VH I B. duobus rectis minore, G C D
ac proinde rectoe B H. IIJ, coi bunt . Coeant ergo in puncto H;eritque eadem ratione triangulum BHI triangulo DEF,aequiangulum Praeterea angulo CFG. sat aequalis angulus A I K ; & angulo FCG, angulus IA K: in Et quia duo anguli GCF, G FC minores sunt duobus rectis;eruntes duo anguli K AI, KIA.
duobus rectis minorestatque idcirco rectae AK,IX. conuenient in aliquo puncto.Conueniant ergo an Κ:eritque triangulum quoq; AKI, triangulo CGF, aequi angulum . Atque ita procedatur, donec absoluantur omnia triangula rectilinei pr cpositi,si plura extiterint. Dico igitur rectilineum ABHIs ,rectilineo CDEFG. simile esse. si militerque positum . Cum enim angulus I AB, constitu
tuq sit aequalis angulo FCD ; & angulus I A angulo
FCG;erit totus angulus B AK,toti angulo DCG aequalis : Eademque ratione angulus A B H . angulo C D E, aequalis erit; & reliqui reliquis, ut collat eY constructio ne;cum singulae partes unius singulis partibus alterius factae sint aequales . Quare aequiangulum erit rectili neu ABHIK. rectilineo CDEFG. Quoniam vero re ita est
ierit ex aequo ita AB,ad BH. vi CD ad DF. Quare lat ra circa aequales angulos ABH , CDE, proportio alia sunt, et quemadmodum Sr latera circa aequales anculos II. R E proportionalia sunt, ob triangula aquia pula I primi II primi.
830쪽
- 4 caeri. BHI,DEF. Rursus ita est HI, ad IB. vi EF. ad FD;& it, 1 B ad IA; ut FD, ad F.&ita IA,ad IK, ut FG, ad FG. hau quinti. b Igitur ex aequo erit ita HI, ad IK, ut EF,ad FG; &ideo latera quoquo circa angulos HIΚ, EFG proportionalia trunt,& sic de caeteris. Quamobrem rectilinea, cum sinta quiangula, habeantque latera circa aequales angulos proportionalia smilia sunt,similiterq; descripta. A da ta ergo recta linea d aio rectilineo smile similiterq; positum rectilineum descripsimus. Quod faciendum erat. S C N. O L T V M . D ICV NT VR auris ret Filineas is lineas rectaue de se pia, esse jimitia θ sit reposta, Dando anguli Aquatis conserimuntur super ipsas re fas tinem, ct tam steliqui aquales languli Dam latera proportionalia semper o dine sese cons