장음표시 사용
832쪽
SINT triangula similia ABC.DEF . habentia angulos aequales B. R E; Item C.& F, nc. Et sit ut AB, ad BC, ita DE ad EF, &c. Dico tria gula inter se ratione habere duplicata eius, qua habeni latera homo toga BC, D EF;vel AB;& DE, uel AC,& Ds: Hoc est . si homologis lateribus BC. EF inueniatur tertia proportionalis BG;itae se trianguiu ABC, ad triangulu DEF, ut rectam BC, ad rectam BG ac proinde cum ex des. 1 obliti s proportio BC, ad BG dicatur duplicata proportionis B C, ad E F ; proportionem trianguli ad triangulum dici quoque duplicatam proportionis laterum homo logo rum BC EF Ita ut nihil aliud sit. triangula duo vel duas quaslibct figuras similes, similiterque positas, habere proportionem duoru laterum homologorum duplicatam , quam ita esse triangulum ad triangulum, vel figuram ad fguram . ut est prima linea ad tertiam , cum tres lineae fuerint continue proportionales in proportione duorulaterum homologorum : quales hic sunt tres lineae rect BC, EF, BG, continue proportion ales in proportione homologorum laterum BC, EF sint ergo primum latera BC, Es, aequalia, ac proinde & tertia proportionalis
BGcillis aequalis ita vi proportio BC, ad BG, quae dupli cata dicitur proportionis lateris BC, ad latus EF, sit proportici aequalitatis . Quoniam igitur triangula ABC, DEF. habent quoque proportionem aequalitatis , a quod ip1a inter se aequalia sint ob angulos B, C, angulis E, F. aequales.& aequalitatem laterum B C , EF, quibus adia
centierit triangulum ad triangulum, ut recta BC, ad re
ctam B G. Cum ergo haec proportio dicatur duplicata proportionis laterum homologorum BC, EF; dicetur quoque proportio trianguli ABC ad triangulum DEF. proportionis, quam latus BC, ad latus EF, habet, dupli cata Quod etiam hinc constare potest. Quoniam, vidi ctum est, triangula ABC DEF, qualia 1 unt, hoc est,proportionem aequalitatis habent, sicut & latera homologa BC, EF : Proportio autem aequalitatis duplicata solumes licit proportionem X qualitatis : l Politis enim tribus
833쪽
magnitudinibus aequalibus dicetur prima ad tertiam habere propor tionem duplicatam proportiCnis, quam ha bet prima ad secundam, ut constat ex definitione Io J4b s. Cum tamen prima ad tertiam habeat proportionem
aequalitatis,sicuta es prima ad secundam, b habebit triangulum A B C, ad triangulum D E F, proportionem clu- plicatam eius, quam habet latus B C, ad latus EF. Otiodest propositum a S 11 deinde BC, latus latere E F. maius;& ex B C , , abscindatur rectis B C . E F. tertia proportionalis B G ducaturqne recta AG. Quia igitur est vi AB. ad BC,ita DE, ad EF; erit permutando ut AB,ad DF,ita BC,ad BF: Ut autem B C, ad EF, ita est per constructionem EF,ad B G . Ut ergo AB .
ad DE.b ita erit EF, ad BG. Quare cum triangula ABG, DEF. habeant latera circa angulos B , E , aequales reciproca,h ipsa inter se aequalia erunt;& propterea ut triangulum ABC ad triangulum DEF. . ita erit triangulum AB C, ad triangulum ABG: Vt autem triangulum ABC, ad triangulum ABG. eiusdem altitudinis , . ita est basis BC ad basin BG. Igitur ut trianeulum A B C . ad triangulum D EF ita est BC, ad B G . Atqui cum tres lineae BC EF. BG,sint cotinue proportionales, proportio primae BC, ad tertia BG, duplicata dicitur proportionis BC,primae ad EF,secudam Igitur es triangulu ABC, ad triangulum DEF,proportio em habet duplicatam proportionis lateris BC,ad latus E F . Similia igitur triangula inter se sunt,&c Quod erat demonstrandum.
HINC manismum est ,s tres recti linea pro pretionatis fuerint; is inprima ad tertiam, ita esse triangulum super primam aescriptum ad triangulu- supra secrandam simile simitaterque descri
834쪽
Ia A B, similia, ilitem δε- scripta. Dico,M es recta A,prima a. rectam C, tensam,isa esse trian tum A , ad tria Altim B. Nam nonnio recta A,ad rectam C, es, per definitionem, duphcara proponionis reccta A,ad rectam B. Cum igitur trian lum Α, ad trian-gialam B,habeat γsqtie proportionem duplicatam Vec Ea A , ad rectam merit mi recta A, ad res Tam C, ira trian Iam Α, ad triangviam s.
Ε o D T M modo UΤὸndes, ita esse triangulum supra β-ciandam ad trian Itim supra Iertiam simitis militerque δε- seripetim , i es prima tinea ad tertiam . Sint enim proporri ago tres C, B, A, Osuper B ecundam, O A,teptiam consistiantast irrangulas sti militer epos a B, ct A. Dico , ω est recta C, ad rectam A , ita tise triantitam B , ad tria titam A. NAmppoportio C, ad A, duplicata es 'γογ-tionis C, ad Eciboc es, recta A, adreepam A.s Cum igitur ιθ triautilum B , ad Irian sim A , habeat 'sonionem -- plieatam die Fa B, ad rectam A, tioniam L, Θ A, sint Iare- omologa s Erit is C,recta ad rectam A, ita triangulam' ad triar lum A.
o rata Quia enim proportio 3 1. ad aue. est duplicata proportionas 3 c. ad 3 osue c. ad s. qtiam fatera somologa pontimur habere Habent arietem ct mran in proportionem lateram homologorum duphcatam, ut hoc Iheoremateri ostensum est erit tr:angustim ad triangu&,vt s Q ad as. Eandem proportionis
835쪽
triangulorum cognoscemu3,si denominatorem D'portionis Ia-rsrtim homologorum,nimirum s an se multiplicemin. pro ditas enim seminus id est, r- erit densminator proportionis, qua taphcata es oportionis lateram, ac proinda Θdenominator proportionis trianosorum, Dod haec etiam δε- iratast ei tam proportionis Iatoum . SIC etiam latera somologa haberent proportionem, ναro. ad I .saherent Iriangula proponionem , quam Io o. ad a. tiam hise illitis sit duphcara, me sic apparet, Iso. Io. I. Vel etiam qtita denominator decupla proportionis, ides, io. in se mutiipticarus gignis ros. denominatorem proponionis, qua
SIMILI A polygona in similia trian
gula diuiduntur, & numero aequalia: &homologa totist Et polygona duplicatam habent eam inter se rationem, quam latus homolosum ad homologum latus.
tera proportionalia cir- Cca angulos aequales ; ut quidem AB ad B C . ita F G. ad GH;& ut BC, ad CD,ita GH,ad HI Sc.Dico primum, hac polygona diuidi in triangula similia. quae sint numero aequalia. Ab angulis enim BAF GFΚ. rectar educantur ad singulos angulos oppositos . quae sint AC, AD, FH, FI, ciuisaque erunt polygona in triangula numero aequalia. Quoniam vero angulus B, aequalis est angulo G, ex hypothes . & circa ipssis latera proportionalia 38 aequiangula erunt triangula A BC, FGH, habentia cinari
836쪽
- sexti. V V , --- hunt circa aequos annu- D los proportionalia ; ac propterea inter se similia erunt: Eade ratione erunt similia triangula AED, FKI, habentia angulos EAD. KFI,& angulos ADE,FIΚ,aequales Deinde quia est ut AC,
ad CB,ita FH. ad H G. ob similitudinem triangulorum ABC,FGH;vt autem CB,ad CD, ita est, ex livpothesi, H G, ad ΗΙ, ob similitudinem polygonorum :ς erit ex. c. seni. aequo ut AC, ad CD, ita FH,ad H I. Et quoniam angulus BCD,χqualis ponitur angulo GHI;est autem & ablatus ACB. ostensus aequalis ablato FHG; erit & reliquus ACD, reliquo F ΗΙ, aequalis. 4 Quare triangula' iρ.sexti. ACD FHI, aequiangula erunt, ideoq; similia. Eademq; ratio est de alijs omnibus triangulis, si plura fuerint. DICO praeterea,triangula haec esse homologa totis polygonis , hoc est, ita esse quodlibet triangulum in uno polygono ad suum correi pondens triangulum in altero polygono , ut polygonum ad polygonum . Quoniam enim similia sunt triangula ABC, FGH;ς erit eo-t ais viii. rum proportio duplicata proportionis homologorum laterum A C. F H. Atque eodem argumento Proportio triangulorum ACD , FHI. duplicata erit proportionis eorundem latorum homologorum A C , F H . Quare ut triangulum ABC. ad triangulum FGH, ita erit triangulum ACD. ad triangulum F H I, cum utraque haec pro portio triangulorum sit duplicata eiusdem proporti nis lateri; AC ad latus FH. Neque dissimili ratione concludetur quoque esse triangulum ADE, ad triangulum
FIE,ut A CD. ad FHI Atque ita deinceps, si plura suerint triagula. Sunt igitur proportionalia triagula unius polygoni cum triangulas alterius,ita ut triangula unius sint antecedentia,& triangula alterius cosequentia proportionum . Ut autem virum antecedens ad unum con-1equens, ita sunt omnia antecedentia ad omnia conse-
837쪽
quentia . Igitur ut quodlibet triangulum unius polygo ni ad sbi re1pondens triangulum alterius, ita erit totum polygonum ad totum polygonum ideoque trian gula homologa erunt totis polygonis. DICO postremo . solygona inter se proportionem habere duplicatam eius,quam habent latera homologa: hoe est si homologis lateribus, verbi gratia, AB, FG, in ueniatur tertia litica proporticinalis, ita esse polygonum AB CD E ad polygonum F GHI Κ, ut est prima linea AB,ad tertia inuesita ac proinde, cum proportio AB,ad illa tertia,dicatur duplicata proportionis AB,ad FG;dici quoq: proportionem polygoni ad polygonum duplicatam proportionis laterum homologorum A B . F G . Cum enim sit, ut triangulumABC, ad triangulum FGH,
Triangulum vero ABC, ad triangulum FGH . . habeates Is.sexti. proportionem duplicatam eius, quam habent latera homologa AB, FG. hoc est, eandem, quam habet AB, ad illam tertia inuenta; habebunt quoque polygona inter se proportionem duplicatam proportionis eorundem late rum homologorum AB, FG hoc est. eandem , qua habet AB, ad illa tertia inuentam. Itaque similia polygona in smilia triangula diuiduntur, Sc. Quod demonstran
COROLLARIVM HINC manifestum es, si se rint tres refctae lineae proportionales , Ut es prima ad tertiam, ita esse polygonum super primam descriptum, ad postgonum super secundamsimile similiterque descriptum: Vel ita esse postgonum super fecundam descriptum ad putrio num super tertiam similes uterque descriptam.
HOC non alisis demonstrabitur ex hoc Meorema' qua
ostensum fuit corollarium pracedensis Meorematis ex scio eoremate : Viperspicuum es in hac figura at s a.
838쪽
QVA N D o pol Nna similia sunt pentagona, ut in sti
ex angulis BCD GHI,Di aquales etiam iunci obfimillim dinem polygons m e aDatis erunt i, reliqui anguli ACD, FHI.Eademque Orione aqtiales ostendentis an K ADC, FIN acpropterea. - ρο reliqui CAD, HEI, quales erunt. Igitur cum aequiangulasint triansura A CD, FHI, b Labe- ut latera circa angatis Aquales proportionalia, ac proinde simitia erunt. A T vera quando pol g a sagens plures angulos, Amsχ
Mandum est trian la media similia esse, ex aequalitate, pro η ς.huitiae lib. vi inpropositione factam es: qtita non possunt probari anguli aquales refer τntim, qtii maritiere prope pracedens Diangultim simile exsit, qualis es angulas A CD ct FHf Nam angultis ADC, Uend nsu potes aquatis an-PIO FIA; quod tune alia a tic triangula super i usque ad iangula mitia AED, FKI; c. Noe rues dixerim, nequis exis et rasra in propos nos dixisse ea esse A C , ad
A CD, FHI. Hὰe enam demonseratio es omnino necessaria , conuen- , ο sitis podigonis quotmnque angulorum S cum omnra tria uti medra eo modo osendantur esse similia, me
839쪽
recctorum. Nam utramque rigarium N,θ G. quartior rectis aequitialens, ex corosi. a. pro f. 11. II. s. dtaidum in angulos mero magnitudine aequales. minim antili in cynero Nansi me a viatibus aretihm, interse a ales eriperendὰmέ rarione anguli in centro C, aeqtiales istini J SNnt autem se latria Arctim ipsos spoportionalia , ctim utrobique sit proportio aequatitatis,' Similea re t trianguti NC D, O IX. Eadem est raris de cateris. At mero hac dilautita esse ho-mHosa totis pes Ionis, nullo negotio demonstrabistir. Cum enim tota piaraona sint ipseram triangulorum aeque mutilptilia , que parat s habebunt urique eandem cum ipsis pro
SI linea recta aupla puerit lineae rectae, quadratum illius quadruplum erit quadrati huius: Et contra, sit quadratum quadruplum fuerit quadrati, latus illius duplum erit lateris huius.
840쪽
eisnom haleant duplam; erit' pomtio quadratorem quadrupla. Qua d pia enim proponis duplicara . s
st in numeris, nimiram mi s. ad . cognosemus quoque exsae propo fas in semeris,quamproportionem sabeas pol η-ntim ABCDE, ad pshgonum F G H I K. Si en proportio
s. ad . continue in in ullus numeris, sc modo , a s.cis. Ic.
eris postgonum ad pH gonum, ut a s. ad 1 c. hoe es, habebis proportionem, cuim denominator es rq;. Quia enim propo eio a , . ad sc .s d plicat nortionis aue. ada s. e s. ad quam somolaga Intrea AB,FG, pontiim Lahere demons tremi est Loc theoremate , postgona quo e sabera riplicatam proportionem eius, qua lasera Lomstoga Aasent, erit postgonum ad pol ν - , ut a s. ad 16. Idem denominator Roportionis pes onorum cognoscetur, se denominator propo tionis lateram homelagornm, ni mixtim in se muti liee
tur. Producitis enim numeras - id es, a erit denominia
tor proportionis, qua duplicia a dici r eius, quam latera A molosa Lasent, ex ijs, qtie in don. s o tis , fores mira sacpro inde is demominai, proportionis pos gono timos rem fac se etiam duplicata ei rem proortioni, lasartim Aoreologorem . SIC Hiam, stitis a somologa habreret proportionem det lam,haberent podigona profersionem centus ; ramsae illiti sit duplicata in hic apparet, Io o. I s. I. VH etiam Dia denominator 1 o. opistianis dem a in s mtili Acarmgignit denomina Vem Is o. proportionis cenisti , qtie deinpia daplicata dicitur.