장음표시 사용
851쪽
aequiangula, eandem habent proportionem, quam rectangula sub lateribus ipsorum aequalem angulum continentibus comprehensia.
SINT paValgelogramma ABCTEFGH, aequiangula inre se, quo mangati Β, Θ F, ni aquatis Dico esse , .m paralyelogrammum AD, adparaia Diogrammtim FN , ita rectangulum tib AB, AC, adfectangulum tib EF, FG. Ductis enim diametris AC . EG, que angulos aquatis B,FJustendant habebunt triantita ABC, EFG, angulums,an DF,equalem. Quare, ut sam demons usmin , erit, me frianguiam ABC, ad triangultim EFG, ita rectantitam stib AB, AC addie viatim stib EF , F G. Ctim ergopa-ptii Judiamma B D , F Η , eandem habeant 'oportionem, quam triangula ABC, EFG h quod hae ipso tim sine damia dia e Erit qtioque - paracte mammum B D, ad FH , ρ ralielogrammum, ita rectangulum Ab AB, B C, ad rectan-
stilum sub EF, FG. Stiodes propositum.
TRIAN G V LA. & parallelogramma inter se proportionem habet compositam ex proportione basium , & proportione altitudinum.
852쪽
bus os ramosita . Quod espropositiam .c SINT iam alii dino
proportione P, ad LP oc emex proportione basii BC, ad bis
853쪽
EF Ex eisdem proportionibus componetur propoditio triangula ABC,ad ιγ a stiliam DEF, Θ parallelogrammi C G Padparasse grammum ΕΗ.Quod es propositum. EODEM paeso Vendetur proponio triangiali DEF. ius altitudo minor est, ad Diangulum ABC. Θ parasse grammi EΗ,adparallelogrammam C G , composita esse ex proportione basis EF ad basin AC, Θ p=opyrione atii dinis D X,ad Miltiadinem AI. Si enim far,ut Ε'ad BC,ita in ad p. Θ υt DK , ad A I, ita P, ad O , o reliqua fiant, it prius . a erit trivin titam DEF. ad triangulam NEC, Θ p rallelogrammum Ees,adparallelogrammum CM. vi EF,ad BC, Oe es,ut Rad P. Irem triangulum NACs ad triangm tam ABC,9 parallelogrammiam CM, ad parallelogrammuCG, me LI,seu D K, ad AI,hoc eΗ,ut P,ad G ,ex θs, qua ad vos. 1. huius lib. ex Commandino demonis ui m. l, Exaequo igitur eris, ut DEF,ad AEC, Θ EH, ad C G, ita in ad O. Ωuocirca eum propoditio in ad O . componatur ex proportione L ad P, Me est, ex oportione basis E F , ad basin BC . Θ ex proportione P,ad O,ides,ex proportione arrisuu nis DK , ad altitudinem AI; componetur etiam proportio DEF. ad ABC. Θ ΕΗ,ad C G, ex eisdem propootionibus.
PROBL. 18. PROPOS. 26. IN omni parallelogrammo, quae circa diametrum sunt , parallelogramma&toti,&inter se sunt similia.
EST O parallelogrammum ABCD. Ak
in quo ducatur diameter A C. de por l l
quodlibet eius punctum I. ducantur duce Gl a M. rectae EF, G H , parallelae lateribus pa-
rallelogrammi. Dico parallelogramma E CEG, FH. circa diametrum , smilia esse & toti Fatalle logrammo . & inter se se. Quod enim aequiangula stirioti,facile ostendetur. Nam angulus GAE, idem est,qui Ggr a angulo
854쪽
ς 1, angulus B A D; a & angulus externus I AEI, aequalis interno ADC ;α angMus . A GI; externus interno ABC; mnguia lus E 1 G, externus interno B F I; S hie
externus interno BCD. Quare sequiangulum est E G, parallelograminum parallelogrammo BD: Et eadem ratione eidem BD,aequi angulum erit FH. Quod autem latera circa aequales an guttis habeant proportionalia lateribus totius, hoc modo demonstrabimus. Cum triangulum AGI, aequiangulum si iti augulo ABC;& triangulum A EI, triangulo ADC, t perspicuum est ex 29. propos lib. I. vel etiam ex coroli propos. 4.huius lib. b erit vi A B , ad B C, ita AG, ad G1 atque ita latera circa aequales angulos B, &G proportionalia sunt. Rursus herit ut BC ad C A, ita GI ad IA; Item ut CA, ad CD ta IA ad IE. OEx aequo igitur ut BC, ad CD, ita cst GI; ad I E; ac propterea&latera circa aequales angulos BCD, GIE,proportionalia existunt. Non aliter demonstrabuntur latera circa reliquos angulos aequales , esse proportionalia. . lare per definitionem . smilc erit parallelogrammum Ε G , toti parallelogrammo B D . Eadem arte ostendes parallelogrammum FH, smilc oste eidem parallelogrammo B D; . atque adeo &ipsa inter se similia erunt. In omni ergo parallelogrammo, quae circa diametrum sunt,&c.Quod erat ψstendendum. s C H G L I V M. INT E L DIG EN D A auum sine parallesogram
856쪽
ipsi C F. Si enim totum parastatigrammum KL, compisatur, divini H C , C F, eirea diametrum . Quare intres mitiae ne, me Euclides demonstratiis in hac propositione . EADEM autem arse feme aberutrum ipsorum ara i 13 3 ri poterit, ut falsimile atiori . sis, a---i enim augendum ABCD. in a
demonstratione Ausus rseoremaris Diaeia ab Euel de , is ex mobatione iseorematis a nobis propositi in hoc scholis . parallelogramma erreis e dem dia- merram non se tim esse ilia , vertim
857쪽
PROBL. 7. PROPOS. et S. DATO rectilineo simile, similiterq; positum; & alteri dato aequale idem constituere.
rectilinea Α, &B; sique constituendtialiud rectilineu, qgsimile qui8em si ipsi
B. Super CD, voim latus rectilinei , cui simile debet consti tui, bcostituatur pa-
rallelogrammum CE, in quovis angulo , aequale recti 1 -- primi. neci A;Et super rectam DE. in angulo EDG,qui aequalis ast angulo DCF, parallelogrammum DH, aequale ipsi B; eritq; tam CDG, quam FEH, linea una recta, ut demonstratum est propos. η s. lib. I. Inueniatur iam inter re- l .r 3 sexti. s CD . DG, media proporticinalis I Κ t a super quamqη 1δ sexti. constituatur rectilineum L, simile ipsi A. smiliterm postum Dico L, aequale esse alteri rectilineo B. Cum enim sint proportionales tres rectae CD, IK, DG; erit perco-roli propos as vel 1o.huius lib. ut C D, prima ad D G. tertiam ita A,rectilineum super primam C D, ad rectilineum L. super I Κ, secundam simile similiterq; descriptum e vi autem CD, ad D G, ita est parallelogramma /UM LCE, ad parallelogrammum DH . eiusdem altitudinis Ggg o Igitur
858쪽
t Igitu emaut C ad DH,ita A., ad L. s Ut autem C E, d DIRIta ost A , ad. B: propterea quod parallelogram- linum CSreor lineo A; si parallelogrammum DH,recti- . .l lineo B,constitactum est arvale. ς Quare erit ut A ad B. 'πιν η i ita A , ad Lari propter me aequalia erunt rectilinea B,& L . Est satem & L simile ipsi A per constructionem. Dato igitur rectilineo smile,& alteri dato aequale idem constitiumui Quad ρciaciendum . .
SD a parallelogiam ino parallelogramum ablatum sit, & simile totiti simit liter positum, communem cum Co habens angului loc circum eandem cum toto diametrum consistit.
π , Ci Eli parallelogrammo B D; abscin
ὰ ei a ilitetq; positum habens cum sis ilho arietulum communem EAG Di
c Gi, conspere circa diametrumi totius BDMueantur enim rectae Assis CF. quae si fuerint una linea irecta . perspicuum est cum AJ st diameter ipsusEG.& A. C, diamete psius B D . parapsti gra in mum EG,consistere circa diametru AEC tothi parallat graminit. Quod si AF, GF, non dicantur efficer ineam rectam; ducatur totius -parallelogram rat meter AC,sec la us EF in V. puncto, per quod ipsi vG parallela agatur HI; Quoniam igitur parallelog rammati BD, Ei,sint eirca eandem diametrum, AQE Gςe is ri. : ipsae tunt similia , similiterque posta Quale eri imi
859쪽
care alteru latus F G; Tunc ducta HI, I vis, parallera Ips E F; a erunt rursus smilia lparallelogramma B D,I G, similiterqS I . V
posita. b Quare erit ut D A . ad AB, ita G A, ad AI: Sed ut D A, ad A B ita quoque est GA ad A Ε, ob similitudinem parallelogrammorum B D, E G. ς Igitur erit ut G A, ad AI . ita G A, ad A E ;d ideoque aequales erunt rectae AI, AE; pars& totum .
Quod est absurdum . Constituunt ergo rectae AF , FC, Inam rectam lineam ; hoc est, ducta diameter A C , transit per puncturn F ; & ducta diameter A F. ca dii in punctum C. Itaq: si a Parallelogrammo parallelo grammum ablatum sit,&c. Quod erat demonstrandum. a a in Hs t. de te. serui.
s. quinti. A L ITE R idem aseorema demonstrahimus esse die . hoc mody. Drausis lateriitis AR, TC, si piam in stinctis Η, rotae punctum Η, cadat instinctam E assi rasue infra s cantar rectae H I, A F. Quoniam igittir. ς' - - opter similitudinem parallelogrammirum,
860쪽
nea parallela recta H I, posse duci, mi manifestam Es. consisunt ergo B D. E G, parallelogramma si ilia, si militemse posita tuea eandem diametriam AFC. finia os
se a non Labeant angultim condimunem, sed unum sis exfra ahad, hae tameis tigri te ita stat eonnexa inter se secundiam dum eorum anitius aequale , me duo latera vis Itis cum Asialus Iateribtis alterius duas recta linem eo Mimant: dem3nsrabimus i dem fere messiis, ea ei'ea eandem ponsi ree dimmetriam . Sint enim duo pariatii Vamma similia semititer quae posta B D, E G, qua ad angulos aquatis A C D, GCE. ita renitin gantur, mi linea BG, CG, in directam ια- reans, m οἷ id, per ea, qua adpropos. I s. Isb. s. osendimus, linea D C, C E, inam μὴ e lineam rectam componant. Dico parallelogramma s D, EG, circa ean- dem considere diametrum, hoe es iametrumn ii di i6 AC, cum diametro F C. unam recctam lineas ni conficere . Si enim AC, F C, non faciunti inam lineam restam . Acatur ex A. ad R