장음표시 사용
841쪽
QV AE eidem rectilineo sunt smilia,& inter se sunt similia.
SINT rectilinea ABC, D DEF, rectilineo GΗΙ. si in milia . Dico S ipsa intes ri ν
se esse similia . Cum enim g - .a Δ propter similitudine, an GHIE Fguli rectilinei ABC, quales snt angulis rectilinei GHI,
1tem eadem de causa anguli rectilinei DEF, aequales angulis eiusdem rectilinei G HI; erunt anguli rectilinei ABC, aequales angulis rectilinei DEF. Rursus cum ob eandem ij militudinem, latera rectilinei ABC, propor tionalia sint lateribus rectilinei G H I, ea videlicet i s, quae circum aequales sunt angulos: Item eandem ob causam, latera rectilinei DF F. proportionalia laterib' eius dem rectilinei G H I; b erunt quoque latera rectilinei ABC, lateribus rectilinei DEF,proportionalia ea nimirum ijs, quae angulos ambiunt aequales. Atque adeo perdesnitionem . similia exi stent rectilinea A B C , D E F Quae igitur eidem rectilineo sunt similia,& inter se sunt similia. Quod erat ostendendum .
THEOR. 16. PROPOS. 22. SI quatuor rectae lineae proportionales fuerint: Et ab eis rectilinea similia similiterque descripta , proportionalia erunt. Et si a rectis lineis similia similiterque descripta rectilinea,proportionalia fuerint: ipsis etiam rectae lineae proportionales erunt.
842쪽
L H T luanturque super AB , CD,
t lR A similia similiterque destri x, L GH pta ABI, CDΚ 3 Item suphrEF, GH,alia duo quaecum, roctilinea smilia similiterq; descripta,EFMI, GHON.
Dico, & haec rectilinea esse proportionalia , ut quidem ABI. ad CDK,ita ΕΜ, ad GO laueniatur enim rectis AB,CD,tertia proportionalis P;& rectis EF, GH,tertia proportionalis in ' eritque ex aequo , ut A B , ad P, ita EF ad in Ut autem A B,ad P, ita est rectilineum ABΙ, adrectilineum CDΚ, smile similiterque descriptum,excorollario propositionis ac huius lib. vel si fuerint tr4 angula,ex coroll propos I s. t eadem ratione, ut E F , ad
Qtata rectilineum E M , ad rectilineum G C. ς Igitur ut ABI. ad CDΚ ita erit FM. ad GO Ouod est propositu . DEINDE sitit ABI, CDΚ,EM GO, rectilinea proportionalia.Dico quatuor rectas AB, CD, EF,GH, esse quoque proportionales, ut quidem AB, ad C D, ita EF . ad GH. d Inueniatur enim tribus rectis A B. C D , E F, quarta proportionalis RS, super quam describatur re ctilineum RSVT, smile rectilineo EM. similiterq; positum; ς & ob id rectilineo G O . Quoniam igitur est , ut AB ad CD. ita EF ad RS;erit quoque, ut iam est os cn-sum,ut ABI ad CDΚ,ita EM ad RV Vt autem ABI, ad CDKhita quoque ponitur E Μ , ad G O Igitur erit vi EM, ad RV, ita ΕΜ , ad G O , et Atque idcirco tequalia erunt RV. GO. Quae cum sint simili a similiterque posiata. cdsistent ne eessario ut mox ostendemus , super rectas RS, GH, aequales in inare erit ut E F , ad R S, ita EF, ad GH .Ponitur auteni EF, ad RS vi AB, ad CD. Igitur erit quoque ut AB,ad CD, ita EF ad G H. Quamobrems quatuor rectae lineae proportionales fuerint,&c.Quod
843쪽
L E M M A . QV O D autem aqua lia rectilinea milia semili terque desicripta, qualia furit GO, RV, consi iant
seuper rectas aequales ta ostendetur. Si enim inaequalessunt GH, vst GH,maior. Cum igitur, obse ilitudinem rectilineorum, stri G Η, ad H O, ita I S, ad S V; Ponatur autem GH, maior quam RS erit quoque H O , maior quam S V; propterea rectilineum G 0, maius rectilineo I U , cum hoc intra ipsum possit constitui; quod es absurdu , cum sit contra hypothesm . Nyn ergo inaequales sunt recta G H, I S. Quod estpropostum .
liasii iliterque posita. Dico latera homologa, cuiusmodi trectae A B, D si, e si aequalia . Si enim non
credamtur aquali sit A B, malua, quam D E ; inueniatnrque restis A B , D Ε, tertia proportionalis G. Quoniam ergo es,ut A B , ad D E, ita D E, ad G; Est autem A B , maior, quam DE : Erit quoque DE,
maior, quam inacpro terea multo maior AB, qasam
G. Vt vero A B, ad G, ita est recti Enelim ABC, adrectilineum DE F, per corosi propos. I 9. vel 2P.hu ius lib. Igitur cum AB, maior sit, quaU G; Crit qπο- qtie rectilineum BC, maius rectilineo DEF: quodes absurdum, cum positumst aequale. 9u ergo -ior est A B, recta, quam recta D E. Sed ncque minor erit eadem Milone; quia O rectili eum ADC, mima
844쪽
vi re rectilineo DEFrnuod es contra potae . aquales sunt rectae AB, D E.
A BC DC DEF seri a ab eis, vorsionalia, Θc. Si emim suma V linea media ei que rectilinetim bis, fabribunttir quatuor νeeta proporrisnatis. Igitur oe quatuor rectilinea proportionalia, me Lie Euclides demonstratiis, Cum igitur id quod a feranda est descriptum, aquale sit et,quod a re tia, immo diem; manifestam es, quod proponitur. BREU T V S rota hac pro serio demonstrabitur, soc modo. Ponatur primum esse me AB, ad C D,ita EF,ad G H. Dico esse quoque Ut ARI, ad CDK,ita EM, ad Go. Ctim enim sit proportio retriginei AB r, ad C D X, duplicata oportionis AB,ad C D; Irem proponio rectilinei EM,adrectilineram GO, duplicasa proportionis ΕΑ, ad GH; erum preporri es A A L, ad C D X; ΘEM, ad Go, aquatis; qtiandoquidem duphcata sint propo Ironum e Datium AB, ad CD, EI E F , ad GH . Ltiod is s
845쪽
AE QUIA N G V L A parallelograma inter se rationem habent eam, quae ex lateribus componitur.
SINT parallelogramma aequiangula AC,CF, habentia angulos
BCD, ECG, aequales. Dico pro portionem eorum esse composita ex duahuς proportionibus, quas habent duo latera unius circa angulum aequalem, ad duo latera alterius circa angulum aequalem,itavi antecedetia proportionum sint in uno parallelogrammo, & coniequentra in altero; hoc
est, proportionem A C , paralleloeram mi ad parallelo grammum CF compositam eiie ex proportionibus rectae B C, ad C G, rectam, & rectie D C , ad rectam C E Vel etiam ex proportionibus rectae B C, ad rectam CE,& rectae D C, a rectam C. G. Id cst . si s stantur tres lineae I, .L,ita ut ad ,st, sicut BC,latus ad latus CG;& Κ,ad L,ut latus D C, ad latiis C E ; ita esse parallelograminum AC, ad parallelogrammum C F, ut est recta I. ad rectamΙ:ac proinde cum ex desin. s. huius lib. pro portio Lad L, componi dicatur ex proportionibus I. ad Κ,& K, ad L ; proportiorem quoque parallelogrammi AC; ad parallelogrammum CF, dici compositam esse ex eisdem proportionibus. hoc est, ex proportionibus BC, ad C G.& DC, ad C E . Coniungantur enim parallel . gramma ad angulos. uales ita ut B C. C G , es sciantvnam lineam rectam i Quo post , cum anguli B C D , ECGόstit aequales erunt D DC, CE,una recta linea, ut ad propos is lib. L. ex proclo demonstrauimus.Producatur deinde AD, FG donee conueniant in H ;Sumptaq; ut diximus, recta I, quacunq:, , inueniatur tribus BC. CG,& I,quarta proportionalis Κ:Item tribus DC,CE, R X quarta
846쪽
quarta proportionalis L. Quonia. M igitur est,a ut BC, ad CG ita AC.
h. I i . ad CH Ut autem BC, ad CG, ita posita est I. ad Κ ; erit quoque Via Z - et AC,ad CH, ita I ad K. Eodemque I I argumento ostendes eae, vi H C , ad CF. ita Κ ad L. Nam ut DC ad CE,ς ita est HC, ad CF . Cum er x x posita sit Κ, ad L , ut D C, ad
CR. erit quoque HC. ad C F, vi K. ad L. d Ex aequo igi tur erit, Vt AC, ad CF,ita I,ad L . Sed proportio I. ad
BC ad CG;R DC,ad C E. Ex his eisdem ergo proporticinibus componetur quoq; proportio parallelogrammi
mus proporcionem AC, ad CF,componi ex proportionibus BC ad C E & DC ad C G; dummodo parallel gramina ita coniungantur ad angulos equales, ut B C, CE , cinctast unam rectam lineam , &C Aequi angula itaque parallelogramma inter 1e rationem habent, &c. Quod erat ostendendum.
847쪽
C E, eadem , que 7. adri. atque La Da proportiones condi-ntientur in trahm numeris'. 3 s. sue. ita ut sit '. ad 33. Intit a I. ad s. 9 3 s. adsue. G ad 1 a. Es quia proporet ora. ad sue. componitis ex proportionrbus . ad 3 5 . oes s .ad , s. hoc est, ex proportionum Iasera, erit ut '. ad 33. ita parallelogrammtim AC, adparasielogrammti CF quod proportio Drahelogrammortim se etiam composita ex eisdem proponionibus Iateram di Loees, proponio paraitiis ammorum denominabitur.α I Contin buritur amem diae δε- se proportiones in tribtis semeris vel ex iis, se propos Ab 3. demonstrantiar, med e te soc modo. Posita priore 'oportione II .ad s.fat mr ad I i. setia eis poserior proportio) ita , . ad ahiau, intimetur numerus - . Ita ergo sabunt tres nameri habentes dum signae poponiones, II. s. v. Luo si terrius ν uocetur ad sane inicam fractionem -. EN alty duo numeri per denominatorem 7. mtiti Acen r, erunt diao prodiae tintimeri '. I s. Θ nti erator sa. dies numeri integra in eisdem proportionum
ms AC, ad CG,proportionem Laheat duplam, at DC adCE, oportionem aqualitatis , ut positum Uyr dueamur aut mpis puncta dissonum laterisus parasseia . eonfinebit paraLLA ammiam AC, Ia.rhombos aequales, at C F ,sium c. atque rideo parali ura tim A C , adparagelogrammtim CF, Nam 'oponionem habebit, ut dictum est. P ER S P ICV V M autem est, Hieram proportion m componentium posse esse maiorem p=oponione es osta, A aqualem. In priori exim ι xempti nosonio lateris BC , a s
maior es proponione para leti ammoram, cum Mitis drae
848쪽
moniην ' I - . In posteriori vero exemplo proportis lateri, BC,ad Cines dupla, quemadmodum 9 proponis parasseti grammoriam. Ut mei hinc etiam constare possit, sanc ργοφον rioniam rempositionem non ese ad itionem, αρ nonnulli interi ρνetes etestini: Item 'sportionem maioris in Dalitatis posse componi iam ax proportione minoris Inaquatigaris, tum eae quatitatis propeγtione s quod Udem inter stes negant. In exemplo namqtie priori proportio lateris DC, ad CE, V minoris inaequatitatis, in poseriora tero quatitaris. Sed hae de raptara scrobemns in propos. s. lib. S. DEMONSTRAT hse loto Federicm Commaniu-mtis nonniata alia , que mel ad compsssionem proportionum
pertinent, ter ex ea demonserantiar, non inutilia,qua nos quoque agore decrerimus, mutaris tamen nonna id demons eronibus i Sunt astem e qua sequuntur.
TRIANGUL A,que unum angulum uni
angulo aequalem habent, proportionem habent ex lateribus aequalem angulum comprehendentibus compositam.
2 aqualem. Dico proportionem trianti ' e guri ABC, ad triangulum DEF,
compositam esse ex Iaterastis , hoc es,ex t=oportions BC,ad EF,mex proportione AC,ad D F. I eae proponione BC,ad DF, ct ex proponione AC, ad EF.
Comptitis en m parastelogrammis CG, FH,erunt ea aequian-' , .sexti. guia s atque adeo eorum proportio ex titeri ου componetur.
850쪽
uni angillo aequalem habent, eandem proportionem habent, quam rectangula, quae siub lateribus aequalem angulum comprehendetibus continentur.