장음표시 사용
861쪽
s in rectangulo IL, quod sit a villa- E
ta pisahelogramma ID, EX, per ea, qua ad propos. a . suius lib. oriendamus. Κνα- νε erit ut BD, ad D A, ita FK, a. ΕΗ. V --i saa Habet autem C D, ad D A, maiorem Iu se ia
rea paralieti amma BD. EG, i- Λώasimilite se posita sunt coneusa. Igitur Θ F G, ad G C, hoe es , ad sibi aqualem K Η, maiorem habebis proponaonem, quam F X, ad KΗ; l, ideoque FG, maior erit, quam FK; pars quam totum e Luod es ab stir m . os TENSIVE tuis hac diatione ostendetur. Quoniam propter militudinem parallelogrammorum BD, EG, anguli B, E, sunt aquatis, estque in AB, ad B C, ira C E. ad Ε F; sab/όui triangura A B C, C E F, circa angulos aquales B, Θ E, Iatera pro urtionalia ς Arg idcirco aPLangula eriant, habe nis angulos BCA, Ε .EFG, aquatis. Addito ergo communi ρ obiangulo B C F, erunt o anguli B C A. 6
aquatis sunt citiobus rectis . Hirtist ΘEC A. R C F, duobus erunt rectis a ales s . Ac propterea C F C, unam component rectam tineam . Ωuod es pra-ρ tum Ra TX uti Euclides ta Meoremare voluit, paraLlelogrammiam a tota allatum non stam esse tori D, --m etiam similiter positum , O osen rapi Arca eandem cum toto diametrum. Nam sex aetera parte Ionatori ED, asscindatur altera parte longius EG, circa eandem cum to-
862쪽
D I L sed taman quia non es imitiere positiam, non con suor
e,ca eandem cum toto IL, diametram.
THEOR. 2 o. PROPOS. 27. OM NIVM paralles ogrammor ulnsec undum eandem rectam lineam applicatorum, deficientiumq ; figurissigr Ilelogramis similibus similiterq;, positis ei, quod a dimidia describitur ue maximii id est, quod ad dimidiam applicatur, parallelograminum simi Ie existens defectui.
DE T VR ida A I, diuisa talariam in C iuperq eius dimidiam BC, constituatur quodcunquo parallelo grammum C D E B, cuius diamet vir B D. Siquur comi 3 P α pleatur totum parallelog rianum
pI A D, 1uper dimidiam A C, cons-f stens, applicatum secundum A B, A C KD deficiens parallelogrammo C E, R
863쪽
existenς smile desectui C E. Dico parallelogrammum A D, ad dimidiam A C, applicatum desciensque parat
telogrammo C E, maximum esse omnium , Quae secun dum AB, rectam applicantur, desciuntq; parallelogrammis smilibus similiterq; positis ipsi CE. Sumpto enim puncto G, utcunque in diametro B D, & ductis per G. rectis F G I, Κ G, quae sint parallelae rectis AB, BE; it parallelogrammum F K. secundum rectam A B, et Ii catum, deficiens parallelogrammo Κ Ι, quod ipsi C E; simile est , similiterque postum, cum si circa eandem cum C E, diametrum Quoniam vero complementa CG, GE, aequalia sunt si addatur commune Κ I, erunt quoque aequalia C L Κ Ε: E Est autem CI, aequale ipsi
C F. propter bases aequales AC, CK Igitur S C F,ΚE.
aequalia crunt; additoque communi CG, aequalia erunt parallelogxammum Ain & gnomon L auare cum CE maius sit gnomone LM, continet enim CE, praeter gnomonem , parallelogrammum adhuc D G, ' erit quoque AD, i aequale existens ipsi CE, propter bases aequales AC, CB, maius quam parallelogram una AG, eodem parallelogrammo D G. Eodemque modo osten, detur A D, maius esse omnibus parallelogrammis, . quae ita secundum rectam A B, applicantur , ut punctum G, sit inter puncta B, & D. hoc est, quae ciccupant maiorem lineam semisse AC, habentque minorem altitudinem,
quam A D ; dummodo desectu similes sint ipsi C E ALITER demonstrabitur A D; maius esse parallelogrammo A Q, hoc modo. ἡ Parallel gramma F D, Du, sunt aequalia, cum bases H D, D Es sint Aqualas: Est autem D I, maius quam G Ε, hoc est, quam complementum C G. i quod ipsi G E, aequale est, i parallelogrammo ἈG. Igitur & h D, maius erit, quam C G, par allelogradinso eodem D G. Atque idcirco addito communi CF; maius erit A D, quam A G, parallelogrammo eodem D G. QV O Dis punctum G, sumatur in diametro B D, producta extra parallelogrammum CE. Tunc ducta per G, recta H M, quae sit paralliola ipsi A B, occurratq; rectis AK, B L, protractis in H,&M,Item ducta G F. ρο- tallela
864쪽
tallela ips A H ; erit parallelogrammum A G, applicatum secundum rectam A B, defieiens parallelogrammo FM. , quod ipsi CE,est simile similiterq; postu . eum sit
H G1 circa eandem diametrum cum C E.
ω Dieo adhuc maius esse A D. ipso
λ A G. Protracta enim CD, ad L, erunt aequales rectae H L, L M,
L - ideoque aequalia parallelogram- ma H D. D M. . Cum igitur D M. st aequale complemento DF; erit& ΗD, aequale ipsD F. Es autem H D. maius quam H I, parallelogrammo I L. Quare & D F, maius erit quam HI, eodem parallelogrammo IL; Ac propterea communi addito AI, maius erit A D, quam A G, eodem parallelogrammo I L. Iisdem argumentis concludes A D, maius ese quo cunque parallelogrammo ita applicato secundum re ctam A B, ut punctum G, sit ultra D, in diametro B D, producta ; hoc est, quod occupat minorem lineam semisse A C, habetque maiorem altitudinem, quam A D; dummodo desectus similis existat parallelogramo C E.
Itaque omnium parallelogrammorum secundum eanderecta lineam applicatoru,&e Quod erat demonstrandu.r primi. I .prami.
PROBL. . 8 PROPOS. 28. A D datam lineam rectam, dato rectilineo aequale parallelogrammum applicare deficies sagura parallelograma, quae similis sit alteri parallelogrammo dato.
865쪽
Oportet autem datu rectilineu, cui aequale applicandum est, non maius esse eo,
quod ad dimidiam applicatur, cu similes fuerint defectus& eius, quod ad dimidia applicatur,& ei',cui simile deesse debet.
A D datam rectam lineam A B. dato rectilineci C,applicandum si parallelogrammum equale, deficiens parallelogrammo. quod hi simile dato alteri parallelo grammo D Secta A B, bifariam in E, super medietatem E B. describatur parallelogrammum EFG B, similei D. similiterque positum ; &compleatur totum parallelogrammum AH GB. Si igitur A F, aequale est ipsi C; cum sit applicatum ad AB, deficiens parallelogrammo E G. simili ipsi D; factum erit, quod iubetur
Si autem A F. maius est quam C. CNςque enim minus esse debet. Nam cum per propos praecedentem, ipsum sit omnium applicatorum maximum . dummodo desectus sint similes,non posset applicari ullum ad A B,quod esset ipsi C, quale, sed omni
essent minorat Propterea adiunxit Euclides ; Oportet autem
datum rectilineum, &c. ) erit quoque sibi aequale E G, maiusquam C. Sit igitur maius re inlineo I. Qua vero ratione excessus duorum rectilineorumst inquirendus , docuimus ad propos. η . lib. I. h& constituatur. parallelogrammum
KL MN, simile quidem similiterq; positum ipsi D. seu
ips E G. aequale vero excessui inueto ut sit EG,aequale rectilineo C, & parallelogrammo ΚN, smul; & ob id maius quam ΚΜ. Cum igitur ob similitudinem sit ut Ε F. ad F G, ita N X, ad X L ; erunt quoque latera E F, FG, maiora lateribus N K, K L. Si enim his illa forent aequalia, et minora, esset etiam EG, aequale ipsi N L. vel minus, ut constat. Quare abscissis rectis F O, F Q. quaur. ri. . os. t
866쪽
rectam A B. applicatum des ciens parallelogrammo P B, b quod sinite est ips L G smiliterque positum, & propterea ipsi D . Dico igitur A P, aequale esse ipsi C. rectilineo. ς Nam cum Ρ G. aequale sit codiplomonto P E ; si addatur commune P B, erit & B O , aequale ipsi ER. hoc est,ipsi Es.' quod squale est ipsi E R, propter bases aquales E A, EB. Quare saequalibus A O. B commune addatur E P, erit A P, aequale gnomoni T V. Sed gnomon T V, xqualis est rectilinoo C, Nam cum E G. parallelogrammum aequale eidem C. oequale erit. Ad rectam ergo AB. applicatum est parallelogrammum A s, desciens parallelogrammo P B. quod simile est dato parallelogrammo D,& aequale existens rectilineo dato C . Quod faciendum erat. SCHOLIV M. MOVENT Ase Ioco dubium quoddam Iaeoltis Peti
pinalielogrammtim non sitim simile ipsi D, mreum etiam Amiliter positum ; qtiod ipse minime fecerunt. Qua de re ,s
placet, constite eorum commentarios.
867쪽
CA, eris AC,ri scatum, rectangulum contentumsub A D. Θ DC. Ctim ergo DC Dalissis ipsi D B, Rapter g d tumLCE continebitur quoque AC Ab segmentis AD, DB, per apphicationem factis.
A D datam rectam lineam, dato rectilineo aequale parallelogrammum applicare,excedens figura parallelogramma,
quae similis sit parallelogrammo alteri
alteri parallelogrammo κ ἈνD. Divisa A B, bifariam G oin E ; a super dimidiam
EB, construatur parallelogrammum E F G B, simile ipsi D, similiterq; positum. L Deinde rectilineo C, & parallelogrammo EG. constituatur quadratum H, aquale; η cui qui deae fiat parallelogrammum IKLM, aequale, simile vero ipsi E G. similiterque positum s eritque propterea I Κ L M, maius quam EFG B, quandoquidem aequale est quadrato H. quod constructum est rectilineo C , una cuparallelogrammo EG,aequale.Cum igitur ob similitudinem ΜΚ,EG. st ut MI, ad ΙΚ, ita EF. ad FG, erunt quoque latera MI,IΚ, lateribus EF,FG. maiora. Si enim illa his forent aequalia, vel minora, esset quoque M K . vel aeuuale ipsi E G , vel minus . vi perspicuum est . Pro ductis igitur FE , FG. vi rectar FO, FN. aequales snt rectis I M. ,1 Κ & completo parallelogrammo ON; erit
868쪽
in diametrum consissent, ly qum sit FP. Producti, liam AB. G B, ad in R; IS P O. donec cum A S, ipsi F O, parallela conueniat iri S erit parallelogrammum A P, applicatum ad remm A B , excedens parallelogrammo QR , ' quod simile est ipsi E G, ac propterea ipsi D. Dico igitur A P, aequale esse rectilineo C . h Nam cum A O , E R. sint aequalia , ς&ER, aequale complemento BN;erit & AO,ips , sequale . Addito ergo communio inset A Ρ , aequale gnomoni E P G. Atqui gnomon EPG aequalis est rectilineo C. Nam cum Μ Κ, hoc est, O N, uale sit rectilineo C,una cum E G ue si auferatur commune EG, remanebunt aequalia gnomon E P G, &rectilineum C. Igitur & A P, aequale erit rectilineo C. Ad datam ergo rectam AB , dato recti itineo C , quale parallelogrammum applicatum est A P, excedens parallelogrammo R O . quod simile est alteri dato D. Quod faciendum erat.
PROBL. 1 o. PROPOS. SO. PROPOSITAM rectam lineam
terminatam extrema, ac media ratione secare.
SIT recta A B , secanda extrema ac media ratione Descripto super eam quadrato ABCD ;d ad latus DA, applicetur rectangulum D F, aequale quadrato AC,&excedens parallelogrammo A F, simili ipsi quadrato, itavi sit AF,quoque quadratum. cum quadrato solum quadratum si simile . Secet autem recta E F, rectam AB , in H. Dico A B, in H. sectam ese extrema ac media ratione. Cum enim aequalia sint DF, & A C; si dematur com
869쪽
mune AE . remanebunt aequalia GH , ΗC; D E Cquae cum habeant angulos aequales AH F, BHE. utpote rectos; - erunt latera circa il- a I .sexti. hos reciproca ;hoc est, erit ut FH, hoc est,ut A LI
re cum sit, ut tota AB,ad segmentum AH. ut segmen tum ΑΗ, ad segmentum H Bis secta est AB, extrema aemedia ratione, per desnitionem Propositam ergo rectam lineam terminatam , &c.Quod erat faciendum . ALITER quoque Ostendemus A B, esse sectam in H, extrema ac media ratione Cum tres lineae denturA B, AH. HB, sique rectangulum H C , comprehensum sub prima A B , & tertia H B , aequale quadrato mediae AH ih erunt ipsae proportionales di ut A B , quidem pri ma ad A H, secundam, ita AH, secunda ad HB, tertiam. Quare per definitionem secta est A B, in H , extrema ac
ALITER totum problema Cconsciemus .e Diuidatur A B, in a raris ia. vidi. C . ita ut rectangulum sub tota A
menti AC Dico AB.in C. esse sectam extrema ac media ratione . u Erunt enim rursus, ut prius , tres lineae AB, I Ioaeri. AC, CB, continue proportionales . Constat ergo propositum. s CHOLIUM. I R A X.IS diui Anti linea reepa extrema ae media ratione instimenda es, mi ad propos. II. I s. a. tradidimus. HABET autem admiranda hae e festo tinea extrema ac media νatione insignes uti irates,proprietatesque τt in δε-hris Suresmetria manifestim erit, is non sne causa a plerisque Marsematteis tinea ita diu sa diurnam qnodammodo , ob admirabidem eius mim , ne nartiram , dicamr salere proponionem Ab alijs vero si tititer mocetur Huba Irsper
870쪽
IN rectangulis triangulis, figura que- uis a latere rectum angulum subtendente descripta qualis est figuris, quae priori illi similes, & similiter positae a lateri
bus rectum angulum continentibus describuntur.
TRIANGULVbi rectangu- tum si ABC. habens anguluBAC, I is rectum; describaturque super B C; F Z l quaecunq; fgura rectilinea BCDE. ιδ δε ξ. Ei h cui similes similitetq; posite super i A B. A C, constituantur A B F G. CIH.Dieo sguram BD, aequalemese duabus fguris AF, AI. Demissa enim ex Α, ad B C. perpendiculari AK ; erit per corollarium propos. 8 huius lib.ut BC. ad CA. ita CA,ad C Κ . Quare vi BC ad CK prima linea ad tertiam , ita figura BD,super prima, ad figuram CH. super secundam,similem similiterq; positam,per coroll.propos. 19. vel ro. huius lib &conuertendo ut CK. ad BC ita figura CFq. ad fguram BD. Nosecus cistendetur,esse quoque ut ΒΚ, ad B C . ita figuram BG, ad figuram B D peum tres linea B C, BA, ΒΚ, sint quoque proportionales ζ &c.Quoniam igitur est ut CK,
prima quantitas ad BC, secundam ita CH,tettia ad BD, quartam;Item ut ΒΚ, quinta quantitas ad BC, secunda, ba .ilianti Pita BG, sexta ad BD. quartam; b erit ut prima CK, cum quinta ΒΚ, ad BC,secundam, ita tertia C H, cum sexta
BG. ad BD, quartam di Sunt autem prima C Κ, & quinta ΒΚ,simul aequales secundae BC Igitur tertia CH.&sex ta B G, simul aequales quoque erunt quartae B D. Quod est proposia i m .