장음표시 사용
871쪽
Nam est ut BC, ad A,in triangulo ABC. ita CA, ad CK in triangulo X AC, habebit triangulum X AC, ad ' as.sexrLltrianguIum ABC duplicatam proportionem eius, quam habet CA,ad BCi, Habet autem & figura CH, ad Mu- hrs.mel ao. tam B proportionem duplicatam proportionis C A , sexti. ad BC ς Quare erit ut triangulum X AC, ad triangulum o.quinti. ABC. ita figura C H . ad figuram B D . Eadem ratione Ostendetur esse,ut triangulum ΚBA,ad triangu lii ABC, ita figuram BG, ad figuram B D. Quoniam ergo rursus est ut KAC,prima quantitas ad ABC, secudam, ita CH, tertia ad BD,quartam;Item vi K BA, quinta ad ABC,secundam , ita BG. sexta ad B D, quartam; erit & prima da . nimia KAC, composita cum quinta KBA, ad secundum ABC, ita composita tertia C H . cuin sexta B G, ad quartam BD:Sunt autem K AC, ΚΒ Α,prima es quinta simul, quales secundae ABC. Igitur CH, BG . tertia S sexta smul, aequales quoq; erunt quartae BD. Quod cst propostum.
ALITER. Ut quadratum rectae AC, prima qUantitas. ad quadratum rectae BC, secundam quantitatem, ita est figura CH,tertia quantitas,ad figuram BI , quartam quantitatem; cum utraque proportio si duplicata pro- 'is. malao. portionis AC, ad B C. Similiter erit ut quadratum rectae sexti. AB,quinta quantitas, ad quadratum rectae B C, secunda quantitatem. ita figura BG, sexta quantitas , ad figuram B D, quartam quantitatem Quocirca erit, ut prima ra . Pumi. quantitas cum quinta , nimirum quadratum rectae AC, cum qua/rato rectae AB, ad secundam , hoc est, ad quadratum rectae BC, ita tertia quantitas cum sexta , nimirum figura CH. cum figura BG,ad quartam,videlicet ad figuram BD: g Sunt autem quadrata rectarum AC, AB, e .nimi. simul aequalia quadrato rectae BC Igitur & figurae CH, B G. figurae B D, aequales erunt. Quod est propostum. In rectangulis igitur triangulis, figura quaevis;&c.quod
gueluia, quod se se ad omnes Audias similis smititem ed eripias extendat, quam illis Drέagore inuentum , quod sola qtiadrata includis, ut vos. - . Drma tis. monuimus .
872쪽
. Videtur tamen o theorema illud. quod ibi ex Pappo demonstrauimm . aliqua ex parte adhuc esse imue alius quam ho tum illud de omni trianguis, parasselogrammisse etiam non similibus , me mero de triangulo rannummodo retpan suti, furtissimilibus,sesimiliter postris, proponatur . C GN V E RT'E M E S etiam eseorema hoc ex Cam pano non aluo , quam . propositionem imi lib. in itine
SI figura, quae ab uno laterum trianguli do scribitur,aequalis sit eis, quae a reliquis trianguli lateribus describuntur, figuris similibus similiterque positis: Angulus comprehensus sub reliquis duobus trianguli lateribu , rectus est .
AB C, κνatis ponatur, uni tira seuper CD, AC, inser se aequales, ac propterea rectae C BC a 'salsis erant, ut con sex Iemmate propos a. inus lib. . niam Uilis latera AD, AC, triantiti A DC aD alia sunt lateribus AR,AC, trian
873쪽
cU L IB ER V I. SssTHEOR. 22. PROPOS. 32. Si duo triangula, quae duo latera duo
bus lateribus proportionalia habeant, secuθum unum angulum composita fuerint, ita ut homo toga eorum latera sint et am parallela : tum reliqua illorum triangulorum latera in rectam lineam
HABEANT triangula ABC DCE, latera AB ,.AC. lateribus D C , DEJroportionaelia. ut quidem A B ἀ ad AC, ita DC. ad DE;componanturque ad angulum ACD, ita ut latera homologa AB, DC;Item AC. DE inter se snt parallela. Dico duo latera reliqua BC , CE
pomere lineam . Cum enim parallelae sint AB; DC, ierit angulus A. alterno A CD, aequalis : Eademque ratione angulus D, eidem A CD , aequalis erit; ac propterea A , es D, inter se quoque existent aequales. . Quoniam igitur triangula ABC, DCE. habent latera circa aequales angulos Α,& D proportionalia; ipsa di orunt inter se qui angula,habebuntque aequales angulos B.&DCE. Additis ergo squalibus A,& AC D. erunt duo anguli B.& A, duobus angulis DCE, AC D, hoc est,angulo A C E, aequales. Rursus addito communi ACB,fent tres anguli trianguli A B C duobus angulis ACE, ACB. aequales rς Sed illi tres aequale sunt duobus rectis . Ergo & duo ACE, ACB. duobus eruhi rectis aequales id Atque idcirco B C, C E, unam rectam lineam constituent. Itaque si duo triangula,quae duo latera duobus lateribus proportionalia habeant,&c.Quod erat demonstrandum. s C N,C L I V M. DEBENTS rem adicta duo reianola Ira seunda B L έ - ωnAm
874쪽
mnum an tam esse composita, ut uterque avtilorum a late risus propo=ridnishbm com ese m alteram sit EN avsti , secundum quem triangula componuntur; veluti in figuWalsis νematisfactum esse vides. Nan, audita AGD,fecundum Dd trian Iasim compose alternus es tam a citas Α, qtiam anguias D, quorum uterque laseristis proponionalibus doneinem .Hisc enim estim an los A ct D , esse aquatis. θpropterea triangula esse a. quiangulas atque adeo ex BC PCE, unam νectam lineam componi, e eae demonstratione liquet. QVOD se murque anguIorum Iarresim proponio Iibus eomprehensus nsn fueris a tinnis an Io , sec- m quem triangula A E componuntiaritiere re 'tia Noe Ues rhurematis semen ur, non colligitur neeessario rancisso. Nam siriangula A BC, D BRhabent duo IMME AB, AC, Aosmiaterisus DE, DE,proportionalia,me quadem AE N ad A C ita DE, DB; compositaquestini ad ungultim CBD, ira meam somstiga latera AB, D E,quam AC, DB. sint parast Ia Nisilominus reliqua duo larem CB, BE, non tonsis ne am lineam rectam 3 propterea quo angvita CR D , non sit
alteram utemiae angulorum A, cti, immonetiris eorum ut pers*isuam es Quamobrem demonstrario Mesrimatis Io- cum non sabee.
IN aequalibus circu Iis, anguli eandehabent rationem cum peripherijs, quibus ins stunt, siue ad centra, siue ad peripherias constituti insistant: Insuper vero §ores, quippe qui ad centra con
sIN Tiduo ei retili aequales ABC, EFG, quorum centra D,H;sumanturque ex circulis duo arctis quicunque BC FG, quibus ad centra quidem insistant angulis DC,
876쪽
BDC, tertiae magnitudinis, ad angulum F H G , qua
QUONIAM vero, ut adigulus BDC, ad anget arue. qtilari.slum FHG. ita est angulus BA C . ad angulum F EG ;
uo. orij b cum illi horum snt dupli;perspicuum est,s ita esse quo- a. quinti. qtae tinguJum BAC, ad ligulum FEG, ut est arcus BC, ad arcum F G. Quod tamen eisdem argumentis demonstrari potest, quibus usi sumus in angulis ad cetiis Leoti stitutis, si prius ducantur rectar IA, ΚΕ LR&c. L
u .ferri'. 4 1 F M . atque ad O iciter se aequalia , propterea quod sunt super rectas BC, CI. aequales . Additis agitur Nimi. triangulis BDC CDI, 3 quae aequalia quoque sunt fient: sectores BDC, CDI, aequales . Quapropter tam multi plex erit sector BDI, sectoris B D C, quam est muItiplex arcus BCΙ,ipsus arcus BC. Similiter ostendemus, secto rem FH L. tam multiplicem esse sectoria FHG, quam ultiplex est arcus FGKL , ipsus arcus F G . Quoniam vero si arcus BCI, aequalis sterit arcui F G: L . sector: quoque BDI, sectori FHL aequalis est; ut in sectoribus BD C. CDI ostensum fuit , & si maior. maior a & s md
nor, minor:Descient propterea una circus B C I, & se ctor BDI, aeque multiplicia primae magnitudinis BC. Stεrtiae BDC,ab arcu FGXL,&fectore FAL. aeque multiplicibus secundae magnitudinis F G , & quartae F H G; vel una aequalia erunt ; vel una excedent;6, a sumantur, g c. desinit. quae inter se respondent. S Quamobrem quae proportioetii ui. est arcus B C, primae magnitudinis . ad arcum s G . secundam magnitudinem , ea erit sectoris B D C tertim magnitudinis . ad sectorem F H G , quartam magnitudinem . In aequalibus ergo circulis , anguli candem ha- bent
877쪽
bent rationem cum peripherijs. &c. Quod demonstran
COROLLARIVM. I. HINC manifestum est, sic esse sectorem ad
sectorem, ut est angulus ad amulum. Vtraque enim proportio eadem est proportioni arcus ad arcum. M Quare inter se eadem erunt .
CORO LLARI M . II. P E RSPIC VV M quoque est, ut est angulus
in centro a quatuor rectos , ita esse arcum subtensum illi an do ad totam circumferentiam . Et Comtra , ut sunt quatuor reta ad angulam in centro, ita esse totam circumferentiam ad arcum illi angulo
878쪽
CAETERUM ex Hesmemare hoc Le8 Harim GlGIL tur, anxiam. qui cara sinentia alicui in is, rispendiam Use ad arram, i basis est ipsius anguli, non autem ad areum in ραο existit.Non emim eadsm est 'vonis an si ad angu
- fὸm E. Quo posito, erit arctis AC, maior arere DF, ex sic homu ac tib 3. ac propterea rati xtis arcus ABC, minor reliquo arm D E F. Ωtiare pro- pretio anguli B, ad an Evium E, es maioris in Distatis,
roportio vero arctis ABC,ad arcum D EF , minoris inaeqtia litatis. Νon ergo eadem es proportio anguli ad angulam, quaareus ad arciam. Quod sumamus arcus ,supeν quos angulia tenderun , quales sine arcus AC, DF, tum demum erit' angultis B, ad anguium E. tr arcus AC, ad aptum D F, mirerie demon ratiis Etielia .Qtio eis a cum die in angulum
esse in segmen o , ahadintelligere debemus, quam cum dici-mtis , an tum insi reo segmenro,seu arctit. Id quod in expo-
irrone desin Horis 3 Isb. . monuim s. NON O cure quoque ex soc theoremape rimoni ari ies, ilistidinem figmeneo m in circulis similati, qtia Euclides definitione 1 o.tib. s . donauitper angulos ΛΡales in ipsis Amentis extentes, tonsidore in eso, quo tamenta, feti circiam fissile miles, ad integras circumferentias cis Iorum eandem sabeant proportionem , is p opterea quando segmenea rotis circulis commenta bilia fiunt, qualia pars est mna circum pontia torius fue rircumfoρ emia, talis quoq; sit alia eis modient a similis to tis si a cirra prensia; υeoti in exposi bono pγὰδρὰ nisi is doluistis. Sint enim primῖ duo
eirtuti a salis A AC, DEF, in quiῖtis an ii ad cis ren im tonssi ruamur aquatis RAC EDF mo posito, segmera BAC. ED V, HYria Eticlidis definiti- ργὰ tam dicentarsimilia . Manifestim autem eis, eorum circumferentias abere
879쪽
aquatigatem , u arcus BC. EF, - ' -- F uc feri. quibus anguli quales in Niant, sint aquatisi esseitur reliquas Areti eremias BAC , E DF. esse quoq; aquatis.Quare ad totaου circumferentias, qua quales etiam ponuntur , p eiandem proportionem hiabesunt: Atq; b oin i litiises,qua para es artus BA C, totius circ erenti. AECA, eadem paνs erit arcus E DF, totius circia eremia. DEF D.
eet Iegmenta AAC, EDR ox Etielidis feneretia, milia. Dico rursus arcus B AC, EDF, eandem habere propoisionem ad integrassam circumferentiaου Ducan ur enim ad centra
880쪽
proportionibus os di ου, midelicet .
SI duo aut plures circuli ex eodem centro describantur, atque ex centro duae aut plures rectae lineae ducantur; erunt arcus inter quas