Nicolai Copernici... De reuolutionus orbium coelestium, libri VI

51쪽

tam ded

53쪽

De lateribus ae angulis triangulorum planoarum rectilineorum. Cap. XIII. Rianguli datorum angulorum dantur latera. Sit inquam,triangulum Aa o , cui per quintum probles ma quarti Euclidis circumscribatur circulus. Erunt igitur ec Ag, ac, o A circumferentiae datae, eo modo, quo ccc Lxi partes sunt duobus rectis aequales. Datis autem circumferenti s

j dantur etiam latera trianguli inscripti circue

lotanquam subtensae, per expositum Cano nem, in partibus, quibus dimetiens assumis CI uero cum aliquo angulorum duo trianguli latera fuerint da ta, d reliquum Iatus cu reliquis angulis cognoscetur. Aut enim latera data aequalia sunt aut iniquasta. Sed angulus datus aut rectus est,aut acutus,uel obtusus. Ac rursus latera data datuangulum uel copraehendunt,uel non compraeheni dunt. Sint ergo primum in triangulo A p c duo I latera.a a & A c,data aequalia, quae angulum A daal tum rempraehendulit. Caeteri igitur, qui ad bas sim n o cum sint aequales, etiam dantur,uti dimi, dia residui ipsius A, e duobus rectis. Et si qui circa basim angulus primitus fuerit datus, datur mox ipsi costar,at ex his duorum rectorum reliquus. Sed datorum angulorum trianguli dantur latera, datur de ipsa a obasis, ex Canone in parti, bus quibus Aa uesa et latam ex centro fuerit lo oo oo. partium satae

dimetiens et o oo oo .partium.

'Uodsi angulus, qui suba no rectus sue trit datis compraehensus lateribus, idem eueniet. Quoniam liquidissimu est, quod i e quae ex a d A c fiunt quadrata, aequalia sunt

54쪽

ei, quod a basi a et, datur ergo logitudine u c, de ipsa latera inuiteratione.Sed segmentum circuli quod orthogonum suscipit tri

.anguIum,semicirculus est, cuius ac basis dimetiens fuerit. Qui inbus igitur A et partibus fuerit roo ooo.dabutur An dc A C , tanquilubtendentes reliquos angulos a c. Quos idcirco ratio Canonis patefaciet in partibus, quibus ccc LX.sulat duobus rectis aequam les. Idem eueniet, si a c fuerit datun, cum altero rectum angulum

compraehendentium,quod iam liquide constare arbitror. IIII SItiam datus, qui sub A a o angulus acutus,datis etiam myrtea hensus lateribus A u oc a o, de ex A ligno descendat perpeia dicalaris ad a o produc iam si oportuerit, prout intra uel extra triarim ulum cadat,quae sit A o, per quam discernunis tur duo orthogonii a B D dc A o et, de quoniam in A A D dantur anguli, nam D reetus dc a per hypothesim . Oantur ergo a o dc g o tanquam subteridentes angulos A fi a in partibus,quibus AB estro oo oo. dimetisens circuli per canonem. Et eadem ratione, qua an dabatur Ionisgitudine, dantur A D dc is o similiter datur etiam C o,qua B C dc u ose inuicem excedunt. Igiturae in triangulo rectangulo AD O daaetis lateribus Ao dc co, datur latus quaesitum Ao dc angulus Acoder praecedentem demonstrationem.U NEc aliter eueniet,sia angulus fuerit obtusus, quoniam ex Asigno in a o extensam rectam lineam perpendicuIaris acta a D, efficit triangulum a s o datorum anguloo .rum. Nam A B D angulus exterior ipsi A si c datur,oc D rectus,dantur eruo u D de An in partibus quibus a B suerit et o ooco. Et quoniam B Adc u o rationem habent inuicem datam, datur ergo dc An earundem partium, quibus no ac tota cala. Idcirco de in triangulo re stangulo 'A oo,cum data sint duo latera Aodeco, datur etiam Ac quaesitu, d angulus a Ao cum reliquo Aou,qui quaerebatur.

SItiam alterutrum datorum laterum subtendens angulum , datum

55쪽

datum, quod sit A et cum An, datur ergo per Canonem AC in partibus,quibus est dimetiens circuli circunascribentis triangulum Aac partium a oo oo o. & pro ratione data ipsius A C, ad A B, datur in s milibus partibus A n, atq per canone, qui sub A c R angulus cum reliquo AAcangulo, per quem etiam os sublesia daatur, qua ratione data dantur quomodolibet magnitudine.

DAtis omnibus trianguli lateribus datur anguli. De Isopleuro notius est,quam ut indicetur, quod singuli eius anaguli trientem obtineant duorum reictorum. In Isoscelibus quo, que perspicuum est. Nam aequalia latera ad tertium sunt, sicut

dimidia diametri ad subtendentem circumferentiam per quem datur angulus aequalibus compraehensus lateribus ex Canone, quibus circa centrum ccc LX. sunt quatuor rectis aequales, deinde caeteri anguli qui ad basim etiam dantur e duobus rediis taciquam dimidia. Super est ergo nunc ec in Scalenis triangulis id demonstrari,quos similiter in orthogonios partiemur. Sit ergo trianguIum scalenum datorum laterum A A c, dc ad latus, quae longissimum suerit, ut puta Eo,descendat perpendicuIaris A D. Admonet autem nos XIli. se

eundi Euclidis, quod Asilatus, quod acum sub Z tendit anquIum,minus sit potestate caeteris da obus Iateribus in eo quod fit sub no&co bis.

Nam acutum angulum C esse oportet . eueniet

alioquitia a longissimum es Ie latus contra hypothesim, quod ex xvi I. primi Euclidis d duabus sequentibus laeet animaduertere. Dantur ergo ED&D c, dc erunt orthogonia anno Aoc datorum laeterum de angulorum ut iam saepius est repetitum, quiae hus etiam constant anguli trianguli an o quaesiti. Aliter. Itidem comodius forsitan penultima tertia Euclidis nobis exishibebit,si per breuius latus, quod fit a c, sae o C centro,interualIo autem Ao,descripserimus circulum qiuambo latera quae suis persunt,uel alterum eorum secabit. Secet modo utrumcu A u iriae signo, dc A c in D, porrecta etiam linea A o o in s signum ad complendum diametrum Dor. His ita praestritistis inanifestum est ex illo Eliclideo praecepto: Quoniam quod sub rao sequale est ei,

56쪽

ei, quod sub EAn,cum sit utrunq aequale quadrato lineae, quae ex A circulum contingit. Sed tota Ar data est, cum sint omnia ipsius segmenta data , nempe CF, c d aequalia ipsi a c,qus sunt ex centro ad circumcurrentem, An quac a ipsam et D excedit. Quapropter&quod subnax datum est,ee ipsa 'A E longitudine cureliqua a a subi tendete circumferentiam a g. Connexa n c, habebimus triangulum P n et g Isosceles datoru laterum. Da, tur ergo angulus ti A c, hinc de iniriangulo A g o, reliqui anguli

Aper praecedetia cognoscetur. Nosecet aute circulus ipsam An, ut in altera figura, ubi an in conuexam circumferentiam cadit, erit nihilominus a n data, dc in triangulo a c u Isos cele,angulus o si si datus, de exterior, qui sub A A et . ac eodem pror

sus argumento demonstratiois quo prius datur anguli reliqui. Et haec de triangulis ref ilineis di ista sufficiant, in quibus masgna pars Geodestae consistit. Nunc ad Sphaerica conuertamur. De triangulis Sphaericis. Cap. x III I.

Rian usum couexum hoc Ioco accipimus eum,qui tribus maximorum circuIorii circumferent f in supscie Sphaerica continetur. Angularii uero ditarens tiam di magnitudine penes circumferentia maximi

circuli,qui in puncto sectionis tanqua polo describitur,qua

circumferentiam circulorum quadrantes angulum compraehendentes interceperunt. Nam qualis est circumserentia sie intercepta ad tota circumcurrentem,talis est angulus laetionis ad qua

57쪽

NIco LAIC OPERNICII

CI fuerint tres circumferentiae maximorum circulorum sphaere rae,quarum duae quaelibet simul iunctae, tertia fuerint longiores, ex his triangulum componi posse sphaericum perspicuum est. Nam quod hic de circuserenti rus proponitur, XXIII. undecimi libri Euclidis demonstrat de angulis, cum sit eadem ratio angulorum dc circumferetiarum, de circuli maximi sunt qui per centrum sphaerg,patet quod tres illi circulorum feetores, quorusent circumserentiae,apud centrum sphaerae angulum constiturum untiolidum.Manifestum est ergo quod proponitur.

oeamlibet circumserentiam trianguli hemicyclio minore

esse oportet. Hemicyclium enim nullum angulum circa centrum est cit,sed in lineam rectam procumbit. At reliqui duo anguli, quorum sunt circumserentiae,sbsidum in centro concita.dere nequeunt. proinde ne i triangulum sphaericum. Et hane suisse causiam arbitror,cur Ptolemaeus in huiusce generis triangulorum explanatione,praesertim circa figuram sectoris sphar,rici pro testetur,ne assumptae circumferentiae semicirculo malo, res existant.

In IN triangulis sphaericis rectum habentibus angusum subten

dens dupulateris,quod recto opponitur angulo, ad subten, sam dupIo alterius rectum angulum compraeliendentium,est sicut dimetiens sphaerae,adeam,quae dupsu anguli sub reliquo S primo lateribus copraehesi in maximo sphaers circulo sub edit. Esto natam triangulum sphaeriis

cum A R C,cuius et angulus rectus ex

istat. Dico quod subtensa dupli a nad subtensain dupli si obest sicut diis

naeties Sphaerae, ad eam quae In maximo circulo duplum anguli u A et subtendit. Facto in apolo,describatur circumferentia maximi circuli compleantur quadran intes circulorum ABDNALE. Et excentro Sphaerg Fagantur communes circuloriim sectiones 3 Aipsorum Avod Acu, ipsorum autem

58쪽

Quoniam igitur si circulus circulum per polos secat,ad angulos rectos ipsum secat,erit angulus qui sub A n o compraehendiatur rectus.& A et a per hypothesim,& utruncp planum a D 3,& a d F rectum ad ipsum a s s. Quapropter si ex signo ipsi F g si comam uni segmento ad rectos angulos in subiecto plano recta linea

excitaretur,compraehedet quom cum g D angulum re quin, peerectorum ad inuicem planorum definitionem. Quapropter etiam ipsa st D per ii ii. undecimi Euclidis ad A n F recta est. Ac eatisdem ratione a i ad idem planum erigitur, & idcirco adinvicem sunt o L ec Er per vi. eiusdem. Verum etiam o g,ad F o, eo quod F C. B, de G r D anguli sunt recti,erit per x undecimi Euclidis, anis gulus rum D n ipsi o si aequalis. At qui sub r g o rectus o 1 u stdefinitionem erector Iliaeae. similium igitur triangulorum prora portionalia simi latera, de ut D rum ad n G, sic o Lad a i. Ata i est diuem idia subtendentis duplum os circumferentiam,quoniam ad

angulum rectum est,ad eam,quae ex centro 3, de eadem rationea c dimidia subtendentis duplum latus a A dc d x semissis subtendentis duplam o n, siue angulum dupli A, atmo s dimidia diametri sphaerae. Patet igitur,quod subtes a dupli ipsius Aa ad subtensam dupli si et, est sicut dimetiens ad eam quae duplum anguli A,

siue interceptor circumferentiae o v subtendit,quod demonstrasse fuerit oportunum.

N quocuno triangulo rectum angulum habente, alius insua per angulus suerit datus, cum quolibet latere, reliquus etiam angulus cureliquis lateribus dabitue. Suenim trian usum a g c haberis angulum , rectum, de cum ipso etiam alterutrum ut putandatum. De latere uero dato trifariam ponimus divisione,aut enim fuerit, qui datis adisiacet angulis,ut A n,aut recto tantum, ut A et, raut qui opponitur recto,ut a C. Sit ergo priamum A a latus datum,ec facto in e polo describatur circumsu era

59쪽

Nico LAI co PER Nicet circulio A,& completis quadrantibus o Ande ollu, producantura Ad D u, donec se inuicem secent in F signo. Em ergo uicissim in rum polus ipsius o A D, eo quod circa a &o sunt anguli reis i. Et quoniamst in sphaera maximi orbes ad rectos sese inuicem secuerint angulos,bifariam&per polos se inuicem se,

cant. Sunt ergo dc Asir d ons quadrarietes circulorum, cum data sit a n,datur 3 reliqua quadrantis A v, dc angulus u 2 v ad ueris tuem ipsi a a o dato aequalis. Sed per praece edentem demonstrationem si ibi ensia dupli u ad subtendetem dupli us .est: sicut dimeti ens sphaerae ad subtendetem duplum angulix g r. Sed tres earum datae sunt, dimetiens sphaerae, dii plete n P, at* anguli dupli nn 3, faue semisses ipsoru . Datur ergo Per X U isexti Euclidis etiam dimidia subtendentis duplam n 3 per canonem ipsa E 3 circumferentia ,dc reliqua quadrantis Da site anguIus C qtiaesitus. Eodem modo ac uicissim sunt subtens, dupliciistimonadas,& nno ad os. Sed tres iam datae sunto R, A B, S unc quadrantis circuli, datur ergo de quarta subtendens duplum case ipsum latus o a quaesitum Et quoniam subtense duplicium sunt ipsorum Caad c A, d ns ad grum: quoniam utrorum i stant rationes sicuti dimetientis sphaerae ad subtensa in duplo C A A ancluulo,ae quae uni eaedem suntiationes, sibi inuicem sunt eaedem. Tribus iam igitur datis arum, Erum,ocen, datur quarta QA, Nipsum c Ateri iuni satus trianguli AE C. Sitiam ac latus asi impium in datis, propositum gi sit inuenire a 3 & R Clatera, cuivi reliquo an, gulo os habebit rursum permutatim subtensa dupli o ad subtensam dupli c a eandem rationem,qua in subtendens dupliam A n et angulum ad dimetientem,qiuibus in latus datur, & reliqua Anecu Rex quadrantibus circulorum. Ita rursus habebimus ut si ibtensam dupli Adad subtensam dupli na, sic subtensam dupli Aurum, Nes: dimetiens ad subtensam dupli a P. Datur ergo BF circu retia,qd 3 superest a platus. Simili ratiocinatioe ut in precedetibus ex subtendentibus dupla n o, A n,& p n A, datur subtensa dii pii V a, satae angulus creliquus. Porro filio fuerit in assumpto dabatur rursus ut antea Ac, reliquae AD & u n,quibus per subtesagrectas

60쪽

reelas lineas,& diametro ut sippe dictu datur a p circum retia,& reliquum A a latus,ac subinde iuxta praecedes Theorema, pern C, A B,& c B u datas proditur x D circumferentia,angulus uideliacet C reliquus, quem quaerebamus. Siccue rursus in triangulo A uo duobus angulis A&R,datis, quorum A rectus existit cum alta quo trium laterum datus est angulus tertius cum reliquis duobus lateribus,quod erat demonstrandum. V TR ianguli datorum angulorum,quorum aliquis redhus sue, rit, dantur latera. Manente adhuc praecedente figura, ubi propter angulum o datum, datur D A circumferentia, retiae qua E 3 ex quadrate circuli. Et quoniam E E 3 est: angulus re stus, eo quodn ndes cedit apolo ipsius o EF, e qui suba Ap angu Ius, est aduerticem dato. Triangulum igitur An preistum an usumn habens,d insuper si datum cum latere A P, satorum est angu Iorum ae la terum per Theorema praecedens datur ergo B F, dc reliqua ex quadrante An, ac itidem in triangulo a ac reliqua latera A c de a o dari per Praecedentia demonstratur.

CI in eadem sphaera bina triangula rectum angulum, ae insib per alium aequalem habuerint, alterum alteri, tinum latus uni lateri aequale: sive quod sequalibus adiacet an ulis: siue quod alterutro aequalium angulorum opponitur, reliqua quo, que latera, reliquis lateribus, aequalia alterum alteri, acangui tum angulum angulo,reliquum reliquo aequalem habebunt Sit hemis laterium ago , in quo suscipiantur bina trianis Eula ABD dcc u g, quorum anguli A dcc sint redii, d praeterea angulus A on aequalis ipsi CE 3, unum latus uni sateri, de primum quod aequalibus ipsis adiacet angulis hoc est. A d ipsi c g. Aio latus qua n lateri C p, dc u D ipsi g γ , ac reliquum anguluAllo reliquo C F E, esse aequalia. Sumptis enim in si ae s polis,describantur maximorum circulorum quadrantes G H I dc 1 Κ L,compleantur. ADI dccni , quos se inuicem secare necesse est

in polo hemisphern,qui sititii signo,eo quod

i iii anguli