장음표시 사용
61쪽
anguli circa AWc sunt reeit,ato quod o u idc c a r per poIos ipsius A Eo circuli sunt descripti. Quoniam igitur notion assumuntur latera aequalia,erunt igitur reliquae o tWt u aequales circumferentiae, o anguli in AdcI AR,sunt enim aduerticem positi a , sumptorum aequalium, ecqui circa A dcx sunt
's 'v'3' rumpi sunt eaedem rationes, inter
se sunt eaedem, erit par ratio subtenta dupli' id, ad subtensam dupli ni,ais subtensae duinplicis sit ad subtensam duplicis iae, cum sits utram per tertium praecedens, sicut dimetienis iis sphaerae ad subtendentem duplum an ualum in u, siue aequalem dupli, qui sub j xx . Et per x iri I. quinti Elementorum Euclidis, cum sit subtendens duplam o t circumferentiam,aequalis et,quae dura piami usubtendit,erunt quod duplicibus subtensaei cocu rae quales, de quemadmodum in circulis aequalibus aequales rectae Iineae circumserentias auferunt aequales, d partes eodem modo multiplicium in eadem sunt rationeserunt ipsae simplices i R dc 1 Rcircumferentiae aequales, ac reliquae quadrantium Gud LL, quibus constant anguli ad raequales. Quapropter eadeqtio
ratio est subtensae duplicis an ad subtensam duplicis no , at subtensiae dupli o rum ad subtensam dupli a n, quae subtensae dupli cis a et ad subtensam duplicis a s. Utracue enim est sui subtenis dentis duplam n o sue aequalem apsi R L ad subtensam duplicis
Eou,hoc est dimetientis periit.Theorema conuersam,&Ao est aequalis ipsi cu. Ergo per XIIII.quinti elementorum Euclidis no aequalis est ipsi si v per subtensas ipsis duplicibus rectas lineas
Eodem modo pern o g aequales,demonstrabimus reIiqua Iatera e angulos aequales. Ac uicissim si A amo v assumatur aequalia latera,eandem sequentur rationis identitatem.
TAm quo sinosuerit angulus rectus,dummodo satus quod s. aequalibus adiacet angulis,alterum alteri aequale fuerit, itide demonstrabitur. Quemadmodum si binorum trianguloruAgo dc cu r,duo anguli a dc D ut cunc3 fuerint aequales duobus angulis a de r,alter alteri, latus quos a o,quod adiacet aequaliabus
62쪽
bus aligulis,lateri g aequale. Dico rursus aequilatera de sequianstula esse ipsa triangula. Susceptis enim denuo polis in ahu, de scribantur maximorum circulorum circumferentiae G H d R L. Et productar Ad G u se secent in N, alga o &L ae similiter proaductae in M. Quoniam igitur bina triangula AD N d ERM, angulos MD N &x gm habet aequa Ies,qui sunt ad uerticem assumptis aequalibusta qui circa v & n sunt reisti per polos sectione, latera etiam D u dc si x aequalia . Aquiangula sunt ergo ipsa triangula se aequilatera per praecedentem demonstrationem. Ac rursus quia o u sunt aequales circumferetiae propter angulos a de s positos aequas es. Tota ergo G u M toti m T L aequalis per axioma additionis aequalium. Sunt igitur echic bina tria angula A c N de m et L habentia unum latus o M aeqnale uni M L, angulum quom A M G aequalem et M L,atd G de L rectos. Erunt ob id ipsa quod triangula aequalium laterum de angulorum. Cum igitur aequalia ab aequalibus sublata suerint,relinquentur aequalia Ao ipsi ca,Aa ipsi op at*B AD angulus reliquo Ret 3 angulo. Quod erat demonstrandum.
A Ohuc aute sibin atriangula, duo latera duobus fateribus aequalia habuerisit,alteru alteri,d angulum angulo aequa lem , siue quem latera aequalia compraehendunt,sive qui ad bais sim fuerit, basim quom basi ac reliquos angulos reliquis habeaebunt aequales. Ut in praecedenti figura, fit latus a si aequa, te lateri et rum,dex D ipii et n. Ac primum angulus A,aequalibus compraehensus Iateribus angulo o. Dico basim quom a D,basi a v, dc angulum v ipsi g,de reliquum a D a reliquo c Eu esse aequalia .Habebimus enim hina triangula A c N dc o L M, quorum anguli G de L sunt recti,at o a M aequalem ipsi iri et L,qui reliqui sunt aequais Ilum; a a D dc E et F. Equiangula igitur si int inuicem dc aequilateara ipsa triangula. Quapropter ex aequalibus A D dcc nreIinquunttur etiam os de Mn aequalia. Sed iam patuit angulum quilubo N A aequalem esse ei qui sub n m g,de qui circa n, ni sunt recti, erutquoue bina triangula o n N e n m L aequaliu inuicem angul-
63쪽
&Iaterum,e quibus etiana an relinquetur aequale ipsi EF,E GRipsi R L,quibus sunt Ad pangustaequales,ac reliqui Aoutarum noti aequales . Quod sa pro lateribus A o de E et assuis mantur bases a D dc u F aequales, aequalibus angulis obiecti residentibus caeteris eodem modo demonstrabuntur, quoniam per anguloso AN de M oi, aequales exteriores, o creetos, atqxo ipsi cL,habebimus itidem bina trianis gula A G N de M CL,quae prius,aequalium inui icem angulorum e laterum. Illa quoq particularia DNnctivi nil similiter propter u&R angulos rectos B DNn, te M E aequales,atd o u de nae latera aequalia, quae reliqua sunt quadrantium, e quibus eadem sequuntur,quae diximus. Soscelium in Sphera triangulorum,qui ad basim anguli, simi sibi inuicem aequas es. Esto triangulum Ap o, cuius duo laterana dea o sint aequalia. Ab A vertice descendat maximus orbis, qui secet basim ad angulos reis os, hoc est per polos, si ij ad. Cum igitur binorum trianguIorum A E D A D o Iatus a A est aequale lateri Ac, dc AD utri commune, ae anguli, qui circa D reis i.
patet per praecedentem demonstratione,quod ait guli qui sub A a o 6 A c a sunt aequales,quod erat de inon stranda. Porisma hinc sequitur,quod quae per uerticem trianguli Isosces is circumseretia ad angulos rectos cadit in basem basim simus S angulum aequalibus compraehens sum Iateribus bifariam secabit,&e conuerso, quod constat per hanc praecedentem demonstrationem.
UIna quaelibet trianguIa in eadem Sphaera,aequalia Iatera has bentia,alterum alteri, aequales etiam angulbs habebunt alterum alteri sigillatim. Quoniam enim trina utrobiq; maxis morum circulorum segmenta, pyramides constituunt fastigia habentes in centro sphaerae, bases autem triangula ,quae sub reactis Iineis circumferentias triantulorum conuexorum sit bima
dentibus plana continentur, sunt 3 illae pyramides similes de aequales
64쪽
aequales, per definitionem aequastum similium sosidarum hurarum. Ratio autem similitudinis est,ut angulos quocuno modo susceptos,habeant adinvicem aequalem alterum alterius,haeis hebunt ergo angulos ipsa triangula aequales inuicem, e praesertim qui generalius defini ut similitudine figuraret,eas esse uolui, quicun 3 similes habent declinationes,ac in eisdem angulos sibi inuicem aequales. E quibus manifestum esse puto, in sphaera,triangula, quae inuice aequilatera sunt, similia esse,ut in planis . .'Mne triangulum,cuius duo latera fuerint data cum aliquo langulo,datorum efficitur anguloru& Iaeterum. Nam si latera data fuerint aequalia, erunt qui ad basam anguli aequales de deducta i uertice ad basim circumferetia ad angulos rectos, facile patebunt quaesita per Porisma nonae. Sin autem suerint
data latera inaequalia ut in triangulo A a o, cuius angulus A sit datus,cu binis Iateribns, quae uel cdpraehendui datuangulu,uel no compraehendunt . Sint ergo primumpraehendetes, ipsum a si 8 et data latera, ct sacto inopolo describatur circuferetia maximi circuli ox F,ti copleatur quadrates c A o dc o A usato A B productu seceto ninr signo. Itaq* in triangulo Aordat a d latus reliquiae quadratis ex A c. Angulus etian Ad exc Aa ad duos rectos. Na ea de est ratio an,
gulorum atas dimensio,qui rectharum linearum ac planorum seo stioile ccitangunt,dc o angulus est rectus. Igitur per quartam huius erit ipsum triangulum Aor datorum angulorum de lateria. Ac rursus trianguli An 3 inuetus est angulus r,d Erectius per P Ium sectione,Iatus quom n F,quo tota A E F excedit A E. Erit ergo per idem Theorema dca a rum triangulum datorum angulorum et laterum.Unde ex D u datur a et reliquum quadratis de Iatus quaesitum, d ex si s reliquia totius o nue,quod D n,d est angulus obat per angulum qui sub A E γ,is qui ad uertice a a et quaesitus. Quod si loco A v assumatur et a quod dato opponitur angulo,idem euenieti Dantur enim reliqua quadrantiu A n den n, ati eo de assi meto duo triangula AD 3 dc u up datoru angulorum de Iateru, ut
Prius,e quibus triangulu A E c propositu datoru fit lateru ae amguloru,quod intendebatur. u Ad
65쪽
A Dhue autemst duo anguIi utcunm dati fuerint cum aIs quo
latere,eadem euenient. Manente enim praestructione figurae prioris,sint trianguli Aac, duo anguli Ac libano daticum latere A c,quod utricue adiacet angulo. Porro si alter angulorum datorum rectus fuisset, poterat caetera omnia per quartum praecedens ratiocinanis do consequi. Hoc autem disterre uolumus, quo nainus sint recla.Erit igitur Ad reliqua quadrantis exc A o,d qui sub A a D angulus residuus ipsius A A c, eduobus re stis,atio re sius igitur trianguli A soper quartam huius dantur anguli cum lateribus, Ac per cangulum datum,datur D E circumferentia,ec reliqua E sat E E F rectus,& γ angulus communis utri 3 triangulo. Danis tur itidem per quartam huius Bad 3 3,quibus caetera coiis abiit latera A E & n o quaesita. Caeterum si alter angulorum datorum Iateri dato oppositus fuerit, ut ta, si Anc angulus detur, loco ereius qui sub ac b remanentibus caeteris, constabit eadem demonstratione totum A D 3 triangulu datis angulis de lateribus, ac particulare a n v triangulum similiter,quoniam propter angulum Futri P cdmunem,& u 3 r qui ad uerticem est dato,dc a rectu cuniscia etia latera eius dari in praecedetibus demonstratur,e quibus tande sequutur ea de qus diximus Sunt enim Iisc omnia mutuo semper nexu colligata, at; perpetuo, uti formam globi decet.
XIII. Rianguli demii datis omnibus sateribus
dantur anguli. Sint trianguli An o omnia latera data, aio omnes quo angulos inoueniri. Aut enim triangulum ipsum latera habebit aequalia, uel minime. Sint ergo Primum aequalia A E,A c. Manifestum est, qiuod etiam semisses subtendentium dupla ipsoru sequales erunt. Sint ipsaea usC u,quae se inuicem secabunt in x signo, propter aequalem earum diis hantiam a centro sphaerae in sectione circulo.
xum comuiti d x, quod patet per uili definitione tertij Euclidis
66쪽
ngvoLvrio Nun LIB. I. digae esus conuersionem. Sed per i n. eiusdem libri propositionem Dua angulus reis usest in Adplatio, d hac similiter in plano A c D. Igitur angulus u g o est angulus inclinationis ipsorum plat, norum per iiii. definitionem undecimi Euclidis,quem hoc modo inueniemus. Cum ei)im subtensa fuerit recta linea h e, habeabimus triangulum re stilineum uno datoru Iaterum per datas illorum circumferetias, fiet etiam datorum angulorum ae angulum uno habebimus quaesitum, hoc est si a c sphaericum, &riliis quos per praecedentia. Quod si Scalenon fuerit triangulum , ut in secunda figura, manifestum est quod rectarum sub ipsis duis piis semisses linearum minime se tanget. Quoniam si a o circumferentia maior fuerit ipsi x a sub ipsa A c duplicaeta semissis,quaesit or, cadet inferius. Sin minor,superior erit, prout accidit tales lineas propinquiores remotiores fieri a centro per xv. tertij Euclidis. Tunc autem ipsi a u parallelus agatur F G, quae secet ipsam no communem circulorum sectio numino signo,&conne Statur et G. Manifestues mi , quod n p c angulus est rectus, nempe aequalis ipsa A RA , at 3 n s o dimidia subtensa existente O s dupli ipsius , o etiam rectus. Erit igitur crum o angulus secstionis ipsbrum A a , A et circulorum,quem idcirco etiam assequimur. Nam o v ad F O. est sicut DR ad ns, similes enim sunt ovo 8 dua trianguli. Datur igitur ro in iisdem partibus quibus etiam vo data est. Atili eadem ratione est etiam D o ad D a , dabitur etiam ipsa D o in parti bus quibus est o c. 1 oo ooo.Quinetiam qui sub O n et anguIus, datus est pera o circumferentiam. Ergo per secundam planorum datur G olatus in eisdem partibus,quibus reliqua latera trianguli G γ c plani, igitur per ultimam planorum habebimus G F et an egulum, hoc eit A A o sphaericum quaesitum ac deinde reliquos stri I. sphaericorum percipiemus,
Cldata circumferetia circuli secetur utcunq,ut utrunqsegme iatorum sit minus semicirculo, d ratio dimidiae subtendentis unius se menti ad dimidium subtendentis duplum alterius da
67쪽
NICOLAi et o P E R N i cita fuerit, dabuntur etiam ipsorum segmentorum circumserpti
Detur enim circumseremia A E et, circa D centria, quae Utcun
secetur in Esigno, ita tamen ut segmenta si sit semicirculo minois
ra, fueri cautena ratio dimidiae subduplo ali ad dimidiam subduplo a caliquo modo in Iongitudine data, aio etiam A a d n odari circumferentias. Subtendatur enim A C reeia, quam secet dimetiens in a signo, . terminis autem Ac perpendiculares cadant ad ipsam dimetiente, quae sint Ar,co,quas oportet esse semissis sub duplis hu& si c. Trianguloru igitur x R F C R G reci anguloruanguli,qui ad n uerticem sunt aequales, Nipsi propterea trianguli aequianguli ac similes,habet latera proportionalia aequales angulos respicientia. Ut A 3 adco, sic An adno. Quibus igitur numeris Ap uel co data suerint, habebimuil in 'sdem a s den o dabitur ex his tota An Cisa eis se. Sed ipsa subtendens A E c circumseretiam datur in partibus, quisbus quae ex centro D n li , quibus etiam ipsius A o dimidia A L , dereliqua A L. Coniungantur o Ad DL, quae etiam dabiuntur in eisdem partibus, quibus da, tanquam semissis subtendentis reliis quum segmetum ipsius A s o a semicirculo, compraehensum sub angulo D A R, d angulus igitur AD R datur, compraehendens diis midia si a o circuserentia. Sed de trianguli a d n duobus lateribus datis, Sc angulo n g o recto, dabitur etiam n D g, hinc totus sub n o A angulus compraehendens a s circumferentiam, qua etiam re Itaqua et B constabit, quarum expetebatur demonstratio.
XU. TR ian tili datis omnibus angulis, etiam ni illo recto, dantur
omnia latera. Esto triangulum A n C, cuius omnes angu
Ii sint dati, nullus autem eorum rectus. Aio omnia cis latera eius dari. Ab aliquo enim angulorum ut A descedat per polos ipsa iis ac circumseremia AD, quae secabit
ipsum n o ad angulos rectos, ipsa la A o cadet in triangu Ium, nisi alter angulorun uelo ad basim obtusus euet, L de alter acutus,quod sa accideret,ab ipso obtuso deduiscendus esset ad basim . Completis igitur quadraiiciis bus D A F, G A s,D A A,facti,d Polis inue o,describantur circumfere
68쪽
tiae EF, E c.Erunt igitur ae circa rum o anguli recti. Triangulo lini igitur rectum angulum habentium erit ratio dimidiae,quae subduplo A ad dimidiam sub duplo ur, quae dimidia diametrisphaerae ad dimidiam subtendentis duplum anguli u A s. Similiter in triangulo A n o angulum rectum habente O , semissis quae sub duplo A a ad semissem quae sub duplo a G, eandem habebitrationem,quam dimidia diametri sphaerae ad dimidiam, quae duplum anguli R A O subtendit. Per aequam igitur rationem di, mi dia sub duplo a s ad dimidiam sub dupIo v I rationem habebit, quam semissis sub duplo anguli u a s ad semissem subda,
plo anguli uno. Et quoniam Fg, nocircumferentiae datae sunt, iunt enim residua, quibus anguli ama disserunt a rectis. Habebimus ergo ex his rationem anguIorum E A F E A G,hoc est B AD ad c a n,qui illis ad uerticem sunt,datos.Totus autem E A c da xtus est. Per praecedens igitur Theorema etiam a A D dc CA D anguli dabuntur. Deinde per quintum atera A E,E C,AC,C D,totumo ac assequemur.
aec obiter de Triangulis, prout instituto nostro fuerint necessaria modo sufficiant. Quae si latius tractari debuissent,singulari opus erat uolumine.
69쪽
v n in praecedenti libro tres in summa telluris motus exposuerimus, quibus polliciti sumus apparentia syderum omnia deo monstrare,id deinceps per partes examia nando singula &in laedo pro posse no stro faciemus. Incipiemus autem si notissima omnium diurni noe urnid temporis reuolutione,quam 1 Graecisis diximus appellari,quam. globo terrestri maxime ac sine medio appropria tam suscepimus. quonia ab ipsa menses,anni ec alia tein
pora multis nona inibus exurgui, tanquam ab unitate numerus.
De dierum igitur de noctium inaequalitate, de ortu de occasu Solis, partium radiaci e signorum, de id genus ipsam reuolutione consequentibus,pauca quaeda dicemus: eo praesertim, q, multi de his abunde satis scripserint, quae tamen nostris astipulantur eccosentiunt. Nihili presertiast quod illi per quietam terram , de mundi uertiginem demonstrant ,hoc nos ex opposito suscipientes ad eandem concurramus metam: quonia in his quae ad inuiscem sunt,ita contingit,ut uicissim sibijpsis cossentiat. Nihil tame
eoru qus necesssaria erunt praetermittemus. Nemo uero miretur
si adhuc ortum de occasum Solis de stellarii,at 3 his similia simispliciter nominauerimus, sed nouerit nos consueto sermone Iou, qui possit recipi ab omnibus,semper tamen in mete tenetes, qd Qui terra uehimur, nobis Sol Lunad transit, Stellarumd uices redeunt, iterum c precedunt.
De circulis de eorum nominibus. Cap. I. Irculum aequinoctialem diximus maximum parallelorum globi terreni circa polos reuoIutionis suae cotidianae descriptorum. Zodiacum uero per mediusignorum
70쪽
signorum circulum; sub quo centru ipsius terrpannua reuosutione circuit. At quoniam radiacus aequinoctiali obliquus existit: pro modo inclinationis axis terrae ad illam,per cotidianam teriarae reuolutionem binos orbes utrobicue se cotingentes describit, tanquam extremos limites obliquitatis sus, quos uocant Tropacos. Sol enim in his tropas, hoc est conuersiones facere uidetur, hyemalam uidelicet & aestiuam. Unde de eam qui Boreas est sossticialem tropicum,Brumalem alterum qui ad Austrum, appel.
lare consueuerunt,prout in summaria terrestrium reuolutionia
enarratione superius est expositum, Deinde sequitur dictus Horigon,quem finientem uocant Latini: desinit enim nobis appaorentem mundi partem, ab ea quae occultatur, ad quem oriri uim dentur omnia quae occidunt, centrum habentem in superficie terrs, polum ad uerticem nostrum. At quoniam terra ad caeli immensitatem incomparabilis existit, praesertim quod etiam totin hoc, quod inter Solem & Lunam existit, iuxta hypothesim noastram, ad magnitudinem caeli concerni nequit:uidetur horigora circulus caelum bifariam secare tanquam per mundi centrum, ut a principio demonstrauimus. Quatenus autem obliquus sue,arit ad aequinoctialem horinon, contingit ae ipse geminos hine inde parallelos circulos, Boreum quidem semper apparentium Austrinum uero semper occultorum: ac illum Arcticum, hunc Antaristicum nominatos a Proclo & Graecis fere,qui pro modo obliquitatis horigontis siue eleuatio inis poli aequinoctialis,maaiores minoresue fiunt. Superest meridianus, qui per polos hora Tontis,etiam per aequinoctialis circuli polos incedit, ec idcirco erectus ad utrumcue circulum,quem cum attigerit Sol meridiem mediam* noctem ostendit. At hi duo circuli centrum in superaeficie terrae habentes, Finitorem dico de Meridianu, sequuntur
omnino motum terrae,& utcunm uisus nostros. Nam oculus uis
hid centrum sphaerae omnium circumquam uisibilium sibi a sumit . Proinde omnes etiam circuli in terra sumpti suas iii caelotimilesqcirculorum imagines referunt,ut in Cosmographia de circa terrae dimensiones apertius demonstratur. Et hi quidem
sunt circuli propria nomina habentes, cum alij posisint infinii