장음표시 사용
21쪽
allax fit. seeuda probatio additionis P I.
ab Arithmeticis haec probatio per c .adbibeatur. Cui restondendum est, licet per calumniam haec probatio ostendatur esse vitiosa, ut in proximis exemplis patuit, non immerito tamen 2 peritis Arithmeticis eam Uurpari. Nam nemo, nisi quis dedita opera errare velit talem errore committet, ut examen istud locum habeat, sed solum una, aut altera unitate iscopo aberrabit; ita ut facile tunc examen hoc ostendat, errorem fuisse commissum, indicetque proinde, corrigendam est se additione. Quis enim ita insanus fuerit,ut vittimam illa summam exprimis duobus numeris colligat 3 Denique nisi de industria numeri ita disponantur, νt reiectis s. semper idem residuum sit, vix aut raro admodu continget, ut examen istud succedat,nisi quado in additione erratu no fuerit.
ALIO modo fit examen per abiectionem septenarii, hoc pacto. Reiiciantur 7. ex omnibus numeris addendis,quoties fieri potest, ct id,quod superest , seorsum ponatur in Nna parte crucis. Deinde ex summa collecta reiiciantur quoque T. quoties fieri potest, ac residuum in altera paste crucis collocetur. Si enim hoc illi priori re duo fuerit aequale,recte facta est additio isi vero
inaequale, non recte. Reiicienda autem sunt T. ex singulis numeris addendis seorsum, residuaque ad dexteram e regione ipsiorum locanda, ct ex his residuis in unum summam collectis etiam abjciem da 7. atque hoc νltimum residuum in νna parte
crucis psnendum. Caeterum non eodem modo rej-
cienda sunt 7 . quo abjricnda esse 9.diximus,cum
22쪽
INTEGRORUM. 2I hic numerus 7.illam proprietatem novenarii non inio pacto habeat :sed assumendasunt duae figurae primae ad ἰοῦ: snistram,ac se prior earum denas, ct posterior νm quolibet tales significare dummodo prior minor sit,quam 7 . Nam si esset .πel maior, rejcienda foret T. ex illa sola.) ct ex eo numero, quem duae illae figura referunt,abiicienda I. quoties fieri potest, ct residuum pro denis accipiendum,eique sequens si-gura addenda pro unitatibus,atque ex hoc numero,quem residuum, oesequens figura eaprimunt, iterum abiicienda . quoties feri potest, atque ita deinceps.ut ex nu ero 2379. ita reis cientur 7. Ex et 3.s ter abiiciantur 7. remanent a. Item si ex 27. Nam figura a. relicta, ct sequens figura T. constituunt hunc numerum 27. rei hiantur ter .relinquuntur 6. Si tandem ea 69. qui numerus constitnitur ex residuo 6. ct figura 9. 9 rcgcia tur 7. quoties fieri potest, remanent 6. Qui numerus etiam reliquus fuisset, si omnia 7. ex dato numero fuissent abiecta Eodem modo ex hoc num ro 783. ita abiicientur 7. Si 8. Nam 7. omittuntur,ut dictum en, ex 8 rejciuntur Ioab: ciantur T. remanet 1. RκUMs σι 3. rejciantur
7. remanent s. atque ita de caeteris.:IT A Zυ E hac ratione superius exemplu
23쪽
nent a. Item se ex 3 6. abjciantur 7. remanet Iis biectis vero 7 .ex I s. remanet I. Abiectis tan dem T. ex I .remanet o. quam figuram colloco ad dexteram primi numeri, dum prius linea,qres numeros addendos diItinguat a figuris ad dexteram collocandis. Deinde infecundo numero abie- . 'ctis T. G 8. remanet r.abiectis item T. ex I9. re manent s. oiectis quoque i. ex so. remanet I. Denique abiectis r. ex i7. remanent s. quae ad dexteram repono. Rursus in tertio numero abi ctis T. ea 1 6. remaneto. Omissa deinde figura 7. abiectis r. G 8. remanet I. Abiectis denique T. I9. remanent F.ad dexteram collocanda. In quarto denique numero, abiectis T. ea 8. remanet I. Abiectis autem .ex I8. remanent q. Et abiectis γ . ex qo remanent s. ad dexteram ponenda. susulam vero s. s. 3. o.esciunt i s. ex quibus s abjciantur 7. remanent 6. repono 6. in νna parte crucis. Sed ex hisce residuis facilius rejcientur 7 si dicatur, 1. s .essicivi Io. biectis 7. remanent 3. Additis 3. sunt s. qui madmodumsupra de abiectione 9. dicti est. Postremo insumma, omisis 7. 7. 7. si ex χ q. abjciautur 7. remanenta. Item si ex et O.abiiciantur 7. remanent s. tu aiatera parte crucis reponenda.
Luta U E RU M qHemadmodum examen per abie d mihis,' monem 9. fallax est, Ni dia imus, ita quoque hoc 'imptin per ali ctione . vitiosum esse deprehenditur: houem' & quia non consideramuo, an toties rejesantur 7.exqv kς. numeris addendis, quoties ea summa , m cve; sed
24쪽
solumam idem residuum νtrobique reperiatur, an non. Nihilominus tamen non sine ratione hiare odi examem ab Arithmeticis adhiberi solet, quemadmodum ct illud prius per abiectionem 9. insintutum, ob rationem supra dictam: quia, risi quis
per calumniam nu eros peruertat, Nix aut raro
idem residuum utrobique reperietur,nisi recte fam sit additio: Et multo quidem rarius in hoc, quam in illo examine per s. in stituto; propterea quod non ita simpliciter reηciuntur P. Ni 9. sed
maiori quodam artificior ut non tam facile quis alium post decipere,aut ab di 2 hoc apposito ea eplo additio vitiosa est,et 2o 3 loramen examen per abie a 3 lictionem 7. indicat, eam ---
rite essi institutam. 3 qql P ROP OS ITA autem hac tabella docet, ex quibusnam numeris abiecta 7. nihil relinquunt, vi examen istud per T. reddatur facilius pro iis, qui parum innumeris sunt exercitati. Cuius usius hic est. Si numerus duabus figuris script , ex quo debent rejoi 7. in hae tabella reperitur, nihil stipererit post abiectione T. νt cfra 8 regione numeroru huius tabella iudicant. Si aut no reperitur in hac tabella,accipiendus eris numerus in ea proxime minor. Nam do. ferentia inter hunc, ct numerum propositum re
25쪽
χη ADDITIO positus sit is sumendus erit numerus 63.in tabella, qui hcx visitatibus 2 69. differt. Reiectis igitur
7. 69. remanent 6. Item se propositus numerus sit 3 7.accipietas erit in tabella numerus 3 3. qui duabus νnitatibus superathr 2 3 . Reiectis igitur 7. X 37sustersunt a. Atque ita de cisteris. batio addia . TERTIO bac ratione Arithmetici addiatis is per ti0η factam examinare solent. Si additio facta q*ς es ab inferioribus figuris versus superiores, insibtuunt eaηde a superioribus figuris versus inferiores,vel contra: Et si posteriori via eadem prorsus summa colligatur, qua priori inuenta est, non dubitant, quin recte sit facta additio, propterea
quod incredibile q ιοdammodo sit, se priori in
do error aliquis esset commissas, eundem pror sus posteriori via committi, cum alio modo figura numerorum inter se addita sint posteriori via, quam priori. 239m si errauero in additione harufigurarum S. 2.9. hoc modo dicendo, 2. δε-ciunt 7 .additis s.fiunt is . non tam facile in eundem errorem incidero, si 8 contrario eas inter se addam. Dica enim s.ct r.espciunt ii .additis se fiunt i 6. quia operatio aliquo modo variatur.
P OT E S T probatio haec per additionem ita quoque institui. Diuidatur numeri addendi in duas, aut plures classes, ct singularum summa colligatur. Nam si ex hisce ρmmis νnam summa conficias, necesse est, summa hanc aequale esse summa prius collectae,si erratam no est. Ut si primum exemplum in haec duo membra distribuantur, oetarum famina colleaa in am redigantur sum.
26쪽
nrum , ut hie factum est, prodibit eadem summa,
quae pri-.βυ RT O ct ultimo examinarisolet ad- Quarta. ditio persubtractionem,hac ratione. Quando duo t.' , phi numeri sunt additi , subtrahatur uteruis eorum subtractio ex fimma: quod quo pacto ut, capite sequenti do ' ''cebimus. Si enim numerus ex hac subtractione relictus squalis fuerit alteri numero addito, argumento est,nullum peccatum in additione fui se comissum. Nam si ex I1. O xo. fiunt 32. necesse est, detractis I i. ex set. relinqui Io. vel detractis io . G 32. relinqui ret. Quando vero plures numeri sunt additi , subtrahatur unus eorum ex summa, ct reliqui omnes in unam siummam collia
gatur. Nams haec summa isti residuo fuerit aqualis, recte facta erit additio. Vel certe, subtracto
primo numerorum addendorum ex summa, RHtrabatur ex residuo fecundus, ct ex hoc residuo tertius, ita deinceps, ultimo excepto. Si enim ultimum residuum ultimo numerorum addendorum aequale fuerit,dubium non est, quin additio re
27쪽
Numerorumaior sit, quo pacto oognoscas.
subtrahetidus numerus quo pacto locan dus sit.
SudrcT IO en minoris numeri ex
maiori,vel aequalis ex aequalisubductio. FACILE autem cognosces, Her duorum numerorum maior sit, ex ultimis eorum figuris . cuius enim figura ultima maior est, isse num
rus maior etiam erit. Ut horum -----
duorum numeroru superior maior 3OOra 3q. es inferiore, quia ultima eiusfigm 2986789.ra 3. maior est, quam 2. vltima, rura inferioris. Quod si ultima figurs duorum merorum sint squales,ille maior erit, cuius penultima figura maior es. Et si penultims etiam figurasint aequales, ille maior erit numerus , in quo prius occurret maior figura,vt in his ex iis semper numerus superior, qyo78. TOGOoIOOO. inferiore maior G. 13 986. IOOoo 999. M E S siubtrahendus sub eo, a qηο fieri debet subtractio,ita collocandus est, Ni prima figura primς, fecunda fecunde, tertia tertia, oc. respondeat: adeo ut defectin figurarum innumero subtrahendo, si quis est, cernatur rapa te misera. Ut si numerus clo2I6. ex numero
28쪽
DUCTA deinde lineas duobus illis numeris, subtrabuntur singula figura inferioris numeri a singulis figuris superioris numeri nitio facto 2 primis guris; ct residua sub linea collocantur eo ordine,quo facta es subtractio. uod si insuperiori numero aliqusfigure no habeant respondentes figuras in numero inferiori, ita ut ab illis nihil subtrabatur, reponeti illa erunt sub linea.
Verbi gratia. Subductis s. ex s. remanent s. sublinea collacanda. Ite subductis 3. ex 8. relinquuntur 1. Et demptis 2. ex s. relinquuntur 3. Subtracta autem figura o. ex I. remanet I. At subductis 4. ea 7. remanent s. Quia vero ex figuris nihil subtrahitur, ponenda ea erunt eo dem ordine sub linea. O VM ID O autem figura aliqua inferior maior es superiore sibi respondente, ita Vt subtra figura infactio fieri non post, seruanda erit haec regula . A rior m*:0 proxima figura superiori νersus sinistram mutuo superior. accipiatur Niurias, qua decem viuitates significabit respectu illius figurae, a qua subtractiosieri nopotest. Deinde huic uiuitati apponatur figura illa, rimi numerus duabus figuris scribendus, a quo detrahatur illa figura inferior maior: sed tune illa
figura,ὰ qua mutuo accepta est viaitas, reputanda erit πω unitate minor. auod si proxima illa figura superior sit o. mutuabimur unitatem ab alia
figura versus siriistra, quae umitas significabit ioo. itates respectu illius figurae, d qua subtractio mopoten fieri: sed tune loco figura o. animo reponenda erit figura s. oe figurata qua mutuo acce s pra
29쪽
pta est unitas, a unitate minor erit. Ita quoques plures huiusmodi figura o. antecederent illam, a qua νmtatem mutuamur, cogit anh ess ni omnes veluti 9. O illa, qua mutuo derit νmtatem, una Nnitate minor. ua omnia hoe exemplo fient
vR IMUM subductis a. ea 7. remanerit s. Deinde quia 9. detrahi non possunt ex 2. m tuabimur Mitatem ab 8. ct ita detractis s. ex 12. quem numerum exprimunt I. quam mutuo accepimus,ct zo relinquuntur 3. Rur1us quia 8.ex 7. superior enim Hara 8. cum mutuo des rit unitatem,valet tantu 7o subtrahi nequeunt, mutuabimur νnitate ὰ q. sic subductis 8. ex IV. remanent 9. Post sec, quia γ. figura enim q. ob unitatem mutuo datam valet tantum 3.) non possunt auferri,accipiemus mutuo Nnit rem a 3. post o. Sed quoniam haec unitas valet Ioo. respectu figurae 3. aqua non potest fieri su tractio, nos indigenius tantum i o. necesse est, Nised ioo. mutuemur I o. relinquatur so. Hinc fit, ut figura 3. valeat tantum 2. ct 'pra o. r
ponenda sit animo figura 9. qua significat 9o. spectu figura, a qua subtractio fieri non poterat .
Itaque subductis 7.ex I3. remanent s. Et subductis 6. ex s. csupra o. namque diximus cogitari debere 9. re neu 3. Quoniam Nero S. ex 2.
30쪽
Nam figura superior 3. let tantum 1 .ut dixtimus.)auferri nequeunt,accipiemus mutuo I .a si
detrahemusi s. I r. νt supersimi 7. Subductis deinde . ex s. figura enim C F.-νnrt tem mutuo datam 9 remanet i. Et quia rursus 3. ex 2. non possunt detrahi,mutuabimur unitatemas. Sed cubae unitas valeat ioooo. respectu figura et . a qua subductio fieri nequit, nos Nero imdigeamus tantu i o. nec se est,ut si a Ioooo. mutuemur Io. remaneat 999o. Hinc fit,ut figura s. alearsolu .ct supra singulas cistas cogitatione reponenda sit figura 9. hoc modo, 999. Hs namque figura 999. significant 999 o. respectu Ag ra r. a qua subductio fieri non poterat. Itaque
subductis s. ex m. remanent s. Et subducta igura O. ex9. quam figuram 9.ssupra Io. diximus cogitandam σαὶ remanent s. Et subductis 9. 9. quam etiam figura s. supra o. imaginamur remanet o. Item subtractis 2. ex s. supra o. namque reponenda quoque animo est figura o. s persunt 7. At νero quoiam s. subtrahi non possunt ex A. Figura enim s. ob mutuo datam Nnitatem valet tam tum q. in mutuabimur I. aq. O deducemus s. ex Iq.νt supersint s. Postremo
subductis 3. ex 3. c Nam figura η. ob mutuo datam unitatem νalet tantum 3.ὶ rcmanet o. quae
figura o. quia ultima est in hoc exemplo, nihils propterea significat,omittenda est. H-c regula plerique Arithmetici vium tuir , quam nos multo facilius ita proponemus. Mando inferior figura maior es superiore, accipiatur