장음표시 사용
41쪽
quod est et .omissa prorsus secunda figura i .Pro
ducuntW ergo 2. ex multiplicatione 7. per Guel 6.per 7. Eadem ratio in Gieris eri,dummodo
due Murs proposits inter se addits superent I Q. Alias distantie illarum 2 i o .maiores essent ipsis figuris, ac proinde facilius multiplicarentur figam , quam distantis. Rectius tame feceris si URO
exercitatione memoriter ediscas huiusmodi multipllicationes figurarum inter se, quam ut νel ad tabulam Pythagoricam,vel ad hanc regulam confugias. Qua ratio I AM vero propositis duobus numeris inter
οἱ sitii hu ' multiplicandis,scribedus est minor sub maiore, 'xi. nxς ita vi prima figura respondeat prims Mars, se ista s. ''y'' cunda secundς , oec. H in additione, ct subtractione diximus. Quod tamen necessarium nou est, cum etiam maior sub minore scribi possit, dicto tamen ordine figurarum seruato. Vt si multiplicam sint Asoo 678. per 6oo 39q. collocandi erunt numeri altero horum modorum, quamuis primus m magis Vitatus. 3oo678. Via Go39 . 6OO394. q3QQ678. SED doceamus prius, quo pacto numerus aliquis per νnam solam figuram multiplicandus sit.
Ita enim facilius intelligetur, qua ratione num rus per numerum debeat multiplicari. a V .E 2 D O ergo numerus aliquis per una
42쪽
figura hac multiplicans subseribi prima numeri
numeri multiplicandi . Ut si numerus 6oo 394. multiplicandus proponatur per8scsta o 3 9 4. guro numeri 6oo3 9 . incipiendo a dextra, ct*nistram versus progrediendosingulosque numeros productos sub linea, quae infra numeros multipli candos ducitur Ocribendo ita tamen ,ut se productus aliquis numerus duabus figuris scribedus sit, prima earum ponatur, siecunda vero feruetur si quenti producto adiicienda, hoc videlicet modo. Primum multiplico 8.per dicendo,octies A. 'ciunt 3 2.pono a sub ψ. feruo s. Item octies 9. faciunt 7 a. ct additis 3.heruatis, fiunt 71. pono 1.sub 9. feruo I. Item octies 3 daciunt x q. Oadditis 7.seruatis, ut 3 I.pono i sub s.feruoqμe 3. Deinde octies o facito. additis 3. seruatis, sunt 3. quae pono sub o. nihilque reseruo . Drsus octies o. facit o. cui, quia nihil seruaui in praece denti producto nihil addendum est. Pono ergo C. sub o. nihilque reseruo . Denique octies 6. faciunt 48. quibus, quia in proximo producto nihil se ruaui, nihil addo. Pono igitur totum hunc numerum sub linea, quia multiplicatio ad finem perducta est, cum nulla alia figura superioris numeri restet multiplicanda per 8. Itaque si totum numerum 6Qο3 sq.multiplicemus per 8. procreabimus huc
bit exemplum. Mul- 8tiplicatio autem fiet i ii--
43쪽
hus figuris seriptum multiplicetur.
numerum q8o 3II 2. Atque hoc modo quemcumque numerum per quamuis figura multiplicabis. SI vero numerus per numerum sit multipliacandus, ducatur sub ipsis dispositis, ut dictum est, linea recta. Deinde singula figurae inferioris numeri per se utita figuras numeri superioris murutipsiiceratur , ut proxime docuimus ; hoc solum diligenter obseruato, vi numerus productus ex quacunque figura inferioris numeri per primam figuram numeri stuperioris mutiplicata collocetur sub illa figura inferioris numeri, per quasuperior numerus multiplicatur , reliqui autem numeri ex multiplicatione eiusdem figura numeri inferioris per alias figuras superioris numeri producti statuantur suo ordine deinceps versus sinistram. Ut in hoc exemplo factum eise vides, in quo P tuor ordines numerorum sub linea constitutisunt ex num eris productis. per P. 63Oo6786oo39q
44쪽
. eatione q. in omnes figuras superioris numeri h bet primam suam figuram sub η. Ita quoque nu-imerus productus ex multiplicatione 9. in omnes
figuras numeri superioris primam suam figuram habet sub 9. Eadem ratione prima figura numeri producti ex multiplicatione 3 . in omncs figuras numeri stuperioris collocata essub 3 . Denique prima figura numeri producti ex multiplicatione 6.
in omnes figuras superioris numeri posita est sub 6. Reliqua autem figura ordine suo progredi theversura simistram. O N Io M vero cifra siue multiplicas
siue multiplicata producit o. propterea omisimus in numero inferiori duas cistas ta ut eas no muttiplicauerimus in numerum superiorcm, quia semper produxissent o. Idem faciendum es, quotiesi cunque in numero inferiori fuerint aliquot libra. Eas enim semper omittemus , ct ad proxime se quentem guram significativam nos confersmus.cifra tamen superioris numeri, si quae mi, negli genda no n sunt. Nam licet multiplicata per Mu- 3ras inserioris numeri significativas producant O. saepenumero tamen producto illi o. addendum essaliquid stud nimirum, quod in praecedenti multi' plicatione aliquando reseruatum est, idque loco producti reponendum sub linea. Immo etiam si ni hil reseruatum sit aliquando , ponenda tamen est Agura o. sub linea loco producti. Quae omnia in sti' perioribus ea lis obseruata sunt. In priori enim
cum multiplicauimus S. per C. produxamvs O ed
quia in praecedenti multiplicatione reseruata erat
45쪽
3.posuimκs 3. loco producti o. Rursus cum multia
plicauimus iterum 8. per o. produximus etiam O.
O quonia nihil reseruatu 'it, posuimus O. loco producti. Idemquefactum est in posteriori erepto. T O S T haec infra omnes num ros productos alia linea ducatur, ut sub ea ponatur summa ex omnibus illis productis collecta. Quae quidem summa colligenda est, νt in additione traditum est; dummodo prima figura cuiustiber producti eum intelligatur locum occupare, quem figura primi producti, sub qua illa collocatur, occupat: Hoc
est,ut figura et . quae prima est secundi numeri producti in proposito exemplo, cogitetur esse posita subsecundo loco primi producti; figura autem η. quae prima est in tertio productoriintelligatur esse locata sub tertio loco primi producti; Denique mura 8. quae prima etiam est in quarto producto , concipiatur occupare sextum locu sub primo pr ducto. In his enim locis omnes has figuras vides esse positas. Itaque ut exemplo rem monstremus, hae ratione summa colligetur. In numeris productis sola figura a. occupat primum locum ; Ea igi- cur sola ponenda est in primo loco sub linea. Deinde in siccundo loco sunt i .ct r. quae faciunt 3. sublinea in secundo loco ponenda. orbus in tertio loco sunt 7.O. q. qlia es iussi II. Collocata ergo erit r. 'b linea in tertio loco, seruanda I.νt figuris
quarti loci ai ciatur, e. Hae ratione suma co lecta erit 218 2Ioi 267 1 31. atque hic numerus
producitur ex multiplicatione 4soo678. in
46쪽
v T autem videas esndem numerum gigni, etiam si musiorem numera sub minore statuamus, apposuim hoc alterum exemplum sequens, in quoi dem dilonum ri 43Oo678. 9 6OO394.μ- tersese multiplicatur,sed maior numerus sub G nore positus es factique sunt quinque ordines numerorum produltor n, quot nimirum sunt figura significatiuae in numero inse rior . Idem tamen numerus productus est, qui prius. HIC modus multiplicandi, quem hactenus exposuimus, apud omnes magis usitatus est: alias tamen multiplicandi rationes non iniucundas in pleniore nostra Arithmetica explicabimus.
tur primu 9. ex primo numero multiplicato, quo- RN P s.
ties fieri potest,ut in additione diximus,residuumque insin rapam c is ponatur. Deinde rete
47쪽
ctis'. eodem modo ex altero numero multiplica,to ocetur resduum in dextra parte crucis. Post
haec, multiplicatis his duobus residuis inter se, ex producto reiectis '. statuatur residuum infimperiori parte crucis. Postremo ex summa omniuprodμctorum reiectis quoque '. scribatur residuuin parte crucis inferiore. fecesse enim est, residuuhoc aequale esse re siduo superiori, se erratu in mutitiplicatione non est. Exempla positasunt insuperitoribus multiplicationibus. sam in primo exemplo, eiectis 9. ex 6oo 39 . residuum est 4. Rem div autem huius numeri 8. est 8. quia v. abjci. non possunt. Multiplicatis autem his residuis q.
O 8. inter se, sunt 3 r. a quibus si rejciantur 9.
remanent s. Ac tantunde relinquitur, si reiiciantur 9. ex producto q8Osis 1. Insecundo autem
exemplo, re siduum primi numeri es 1 . secundi auri rem A. Multiplicatisi inter se bis residuis i. oeq. funici in suprema parte crucis locanda, quia'. abjci non possunt. Reiectis autem s. ex tota summasupersunt etiam 4. ecoda pxu LT E RU M examen fit per reiectionem r. se nimirum ex eisdem numeris abi ciantur T. ες γ, νt in additione diximus , ex quibus insuperiori examine praecepimus reiicienda esse 9. Exemplubabes in ponremis duabus pultiplicationibus . Sed duo haec ea amina sunt etiam fallaci propter caulas supra adducto.
iplicatio , per diui Ionem. Si enim tota summa producta αι-
48쪽
torum,prodibit necessario in quotiente alter numerus. Quae quidem diuisio facillima erit, cu opus non sit, Quotientes figuras inquirere, cum ea ordine omnes contineantur in altero numero multiplicato. Sed hoc examen planius intelligetur, cum
Diuiso explicata fuerit. Alia duo exempla cum probatione per '. . o 68 3o69I N priori borum exemplorum primum resia duum est o. unde licet secundum residuum t s.
tamen residuorum multiplicatio facit o. In posteriori autem utrumque residuum numerorum multiplicatorum est o. Unde eorum multiplicatio dabit etiam O.atque ita in utroque exemplo residuunumeri producti etiam necessario erit o. QUOD se uterque numerus multiplicandus, vel alter tantum,habuerit in principio aliquot ci- tionis,cumfras, multiplicatio admodum facilis erit. Abim ex
ctis enim omnibus cistis illas,multiplicandi erunt habent ci
reliqui numeri inter se, producto numero appo f ''nenda ordine omnes ills cis irae abiectae. Visi mutitiplicandus sit η πω θF 6. per quo reiectis
49쪽
efris oco. multiplicetur datus numerra per q. o numero producto 1 361 . apponantur eadem cifra,hoc modo. 13 62Moo. Sic etiam, si multuplicanda sint 3 oqoooo. per χosooo. reiectis .cifris ad dextram horum numerorum positis,multipli retur reliqui numeri so . ct et os . inter se, ct producto numero 6I I a. ponantur resecta illae se te cistae,hoc modo. 6ITI 2 COOOO O. HI 2 C sit, si numerus aliquis multiplicam a sit pio. vel 1 oo. vel Ioo o. vel IOOOO. c. . addendas esse isti numero ad dextram tot cisto, quot continentur in ntimero multiplicant me ulla alia multiplicatione: quia ,reiectis rifris , sup rest sola νnitas,quae numerum datum multiplicas eundem numerum producit. Vt so 67.multiplica,ta per Io acimt so67o. Multiplicata aut e per Iooooo. faciunt so67ooooo. Ita q qκes OOO. Multiplicata per ioo. faciunx 3OOOOO.c rc.
Diuisio sid V I s Io est distributio propositi numeril ν in partes ab altero numero dato deno i natas. Vt diuisio numeri 3 6.per 9. en distributio
eluta in nono partes rempe a 9. denominato;quarum quidem singula quaternas unitates contin buntrita vi q. sit numerus ex hac diuisione produquotiens ritus,qui Quotiens dici sole propterea quod indincat, quoties numerus 9. qui diuidens, siue diuisor appellatur,in diuidendo numero 3 6. contineatur. 4 Im.
50쪽
Indicat Gessiim contineri quater, toties nimirum, iquoties numerus Quotiens A. Nnitatem continet.
Ex quo fit, Diuisionem ita quoque describi posse.
Diuisio en inuentio numeri, qui toties unitatem , contineat,quoties numerus diuidendin diuisorem .a. icontinet. Ut in proposito exemplo perspicuom est.
IN diuisone scribitur diuisor sub numero di- Qgo pacto uidendo,non quidem ponendo primam figuram sub Pprima, secundam subsecunda, cte. ut in addi sint coli tionesubtractione,ct multiplicatiouefactum est, 'μ''' , sed contrario ordiue. Ponenda enim hic est ultima
figura distoris sub ultima figura diuidendi num ri, oe penultima sub penultima, oeci Vt se diuidendus sit numerus 7 8o9. 7 8os
per q7 .collocandi erunt numeri,νt in q7 apposito exemplo apparet.
QUOD si xltima dura diuisoris maior fuerit ultima figura numeri diuidendi, collocata erit vltima figura diuisoris sub penultima figura numeri diuideri, penultima sub antepe .
nultima, erc. H in hoc exemplo est 37 8oo manifestum. Idem faciendum est, si q7 . ivltima figura diuisoris aqualis fuerit ultimae figurae numeri diuidendi,sed penultima malo quam penultima: Uelsi ct vltima ultimae, O penultima penultimae fuerit aequalis, sed ante penultima diuisoris maior, quam antepenultima numeri diuidendi: Vel denique, quoti cunque di- uisor maior fuerit eo numero,quem tor figura vitimae numeri diuidendi exprimunt, quot figuris diuisor scribitur. Qua omnia in his tribus exemplis