Werke Carl Friedrich Gauss 1

61쪽

DE R IDUIS POTERTATUM.

t congruentino satisfaciet, id quod quaerobatur. Totum hoc artificium in eo versatur. ut numerus eruatur qui ipsius L quem ignoramus, vice iungi possit. A tamen P he meminisse oportet. nos quando e- ' ad n DOIi cst primus. AuPP suisse conditionem uri. praec. locum habere. qudo si dOficit omnes conclusiones e roneae erunt; utque si regulas datas temere Soquendo Pro a valor invenitur. cuius potestas n ' ipsi A non sit congrua. indicio hoc Ost, conditionem deficoro ndo quo methodum hanc omnino udhiberi II Ori Posse. 68. Sed in hocce etiam cusu gnope prodosse Potest. hunc luborem suscepisse; operaeque Protium est, quomodo hic valor salsus ad veros sese haboni invostigare. Supponamus itaque numeros k. a vite esse determinatos sed non Osso E A

mOd. p . Tum si modo valoros expressionis v I in . 1 ὶ determinari possint. hos singulos per a multiplicando valoros ipsius val obtinebimus. Si enim vest valor aliquis ipsius , ': crit re A . Sed exprossio v calonus hac UA simplicior, quod mod. p) ad expononium minorem Plorumque Portinet quam A. Scilicet si numerorum t. q divisor communis maXimus Pst a. mod.pὶ ad exponentem d pertinebit. id quod ita domonstretitur. Substituto Pror valore. fit El - - . mod .p . At kn-i por - divisibilis lari. Practa. .

deducitur. nd potestatum l curetum unitati congruum fieri. Quod v ro

ad exponentem minorem quam d pertinere non possit facile quidem domonstruri Potest. sod quoniam ad finem nostrum non ri'quiritur. huic rei non immoramur. Certi igitur esse Possumus mod. p sculper ad minorem exponentem pertinere. quam A, unico excepto casu. scilicet quando i ii Sum V metitur. adomuo d - t. Sed quid iuvat, quod a ad minor in Oxpononium poriinet quam A' I'lures numeri dantur qui possunt osse A quam qui possunt esse . et quando b cundum eundem modulum plures huiusmodi expressiones v A evolvore occasio est. id lucramur ut plureR ex codem muto haurire possimus. . Ita eae. r. SemPorunicum snitem valorem expressionis V 1 in . 29ὶ doterminare in. ΡοωState erit.

62쪽

RADI A PRIMITIVAE, INDICES.

Haec sum sunt. quae hic de talium expressionum evolutione tradere licuit. Palam ost methodos directas satis prolixas saepe evasuras: ut hoc incommodum tantum non omnibus mothodis directis innum rorum theoria incumbit: neque ideo negligendum censuimus, quantum hic praestare valeant ostendere. Etiam hic observare convenit. artificia particularia quae exercitato haud raro se offerunt sigillatim explicaro, non osse instituti nostri.

Revortimur nunc ad radices quas diximus primitivas. ostendimus. radico primitiva quacunque pro basi assumtu omnes numeros, quorum indicos ad p- IPrimi, etiam lare radices primitivas, nullosque praeter hos: unde simul radicum primitivarum multitudo sponte innotescit. V. art. 53. Quamnam autem radiComprimitivam pro basi adoptaro volimus, in genor urbitrio nostro relinquitur: unde intelligitur, etiam hic, ut in calculo I arithmico. plura quasi systemata dari posse ' ,

' In eo autem differunt, quod in logarithmis systematum numerus est infinitu . hie vero tantus, quantu numerus radieum primitiv rum. Manifesto enim hassa eongruae idem gyatema generant.

63쪽

quae quo vinculo connexa sint videamus. Sint a, b dum radices primitivae.' Hi usque numerus m. atque . quando a pro basi assumitur. index numeri h 6. num ri m vero index mod .p-l ; quando autem b pro basi a Numitur. index numeri a m a. num ri m v ro - v m .p-i . Tum erit ,

αε - l m .p- l); namque ιι - b. quare a '' ι' -u mod p hyp. . hinc aliis I mod.p-i . Por simile ratiocinium inueuitur v-α μ. atque μ 6v mod.13 - 1 . Si igitur tabclla indicum pro hasi a constructa habotur. lacilo innitum convorti potest, ubi b basis. Si enim pro basi a ipsius b index ost 6.pm basi b ipsius a index crit m .p-i . multiplicundo luc per hunc num rum omnos tabollae indices. habebuntur omnes indicos pro baisi b.

Quamvis nut in plures indicos numero dato contingere possint. aliis aliisque.radicibus primitivis pro basi acceptis. Omnos tanton in .so convcnient, quod omnOR eundona divisorona maximum cum ρ- l commvnom habebunt. Si enim pro basi a. index numeri dati ost m. pro basi b voro n. atque divisores mu-ximi his cum p-l communes μ. v supponuntur esse inaequales. nitor orit maior . 'τ. yr. μ v. OPoque μ ipsum n non melictur. At designato indice ipsius a. quando b pro basi assumitur. Por α, erit artu Pra C. in n - am ui .

p - i) tamque otiam ipsum n mollatur. Q. E. A. Hunc divisorem maximum indicibus numeri dati. ipsiquo p - l commu-ΠEm. n basi non Pondoro. otiam inde twrspicuum. quod a qualis est ipsi e -. d signante i eXponcntoni ad quom numerus. do cuius indicibus ligitur. Perti not. Nienim index pro basi quacunquo ost k. orii t minimus numerus Per quom k multiplicatus ipsius p-i multiplum evadit cxcopia cilia' vid. nrti. 48. 58, sivo minimus valor expressionis ' in . ,- l) practor ciliam: hunc nutem nequalom esse divisori maximo communi num rorum k ct p-l ox art. 29 nullo neuotio derivatur.

Porro facito domonstratur. basin ita semper nocipere licPro. ut num rus ad exponentcni t portitions indiconi quomlibet datum nansis a tur, cuius qui dona uinximus divisor cum ρ-l communiκ - α . Desimcinus hunc brevitatis gratia Per d. sitque indox prolΜ,qitus -dm. numorique propositi. quando quaelibet

64쪽

uri. 31. 2..erunt que omnos olus valoros nil t primi: si Onim aliquis valor e divi-wNm cum t communem haberct. hic divisor otiam ipsum me in 'tiri deborret, adpoque otium ipsum n, cui me secundium t congruus. contra hypoth. . DX qua N O t primus. Quando igitur omnes divisoros Primi Τpsius p-l etiam ipsum tmetiuntur. Omno DXPr. -lmod. t valores ad p - 1 primi erunt multitudoque eorum d. quando autem p - 1 ullos udhuc divisores primos. Ly. h etc. implicat. ipsum t non metientes. Ponatur valor quicunquo EXPT. - mod. 6 - e. Tum nutum quia&mnus cf. s. h otc. inter sc primi, inveniri potest numerus ε. qui S cundum t iPsi e. secundum L q. h otc. vero tinnioris quihi solinquo nd hos roΝPective primis fiat congruus iuri. 32 . Talis itaque numorns per nullum factorem Primum ipsius p - 1 divisibilis ad oque nil γ l primus serit, uti desiderabutur. Tandoni haud dissicile ex combinationum thooria deducitur. talium vulorum multitudin in foro - V L' - '' . sed ne diurossio haec in nimiam molem e crescat.

demonstration m. quum nil institutum nostrum non sit adeo nec SKaria, omittimuR.

a a Matia poeu iuratia ae mmodia oe. 72. . . '

Quamvis in genero prorsus arbitrarium sit. quilonum radix primitiva Pro ha- si adoptetur. interdum tamen baκcs ahuc pra 'uliis commodα quaedam poculiaria Praebcro Possunt. In tabula I semper numorum i 0 Pro brusi ussumSimus. qunudosuit radix primitiva: alioquin basin ita sempor determinavimus ut numeri l 0 indeX Durus it quam minimus. i. e. di notanto t Oxi,onentem nil quom l0Pertinuit. Quid voxo hinc lucremur. in Ν t. VI Ostendemus ubi cadem tabulanil alios adhuc usus inhibebitur. Sed quoniam otium hic illi quid urbitrarii romauere Potust, ut DX art. Praec. apparet: ut aliquid corti statueremus. OX omnibus radicibuη primitivis qua itum pracstantibos minimiam sonipor Pro basi Plegimus. Itu Pro P-73. ubi atquc d- 9. a habit i. e. 6 vni OPUN. qui Sunt S. D. 20. 2S. 39. 40. Assumsimus ita tuo minimum 5 Pro ba,i.,

65쪽

Mothini radicos primitivas inveniendi maximam partem tontando innituntur. Si quis Pa quae art. 55 docuimus chim iis quac infra do solutione cori gruontiao a tradomus consori, Omnia fore. quae lior mlainodos directas effici ims' sunt. hnbehi L ld. Eulor confit tur, O se. Analyt. P. I. p. 152. maximo difficile videri. hos numeros assignare. corumqpe indolom nil prosundissima numerorumn Ssteria osse roserendam. At tontando satis caelvidito soquenti modo doterminari P si t. Exorcitatus Oporationis prolixitati l3or multifaria artificia particularia succurrere sciet: haoc vero Per usum multo Citius quam Per Pra Opta edis Iuntur. . l'. Assumntur ad libitum num rus nil p sita semper modulum dosignamus primus. a, plorumque ad calculi brevitatoni conducit, si quam ni inimum accipimus. G. gr. numerum 2 dot minoturque esus periodus nrt. 46J, i. e. residuamininia ipsius Potestatum . donoc ad potostatom a Pervcnititur, .cuius rosiduum minimum sit i j. Iam si fuerit i p- l. a ost radix primitiva. 2'. Sivom tς p - l, nccipiatur Mius numerus b in Poriodo ipsius a non contonius, investigoti quo simili modo liuius periodus. Dςsignato inponente ad quom b P tinoi per u. lacilo perspicitur u neque ipsi t uc iustioni nequo ipsius partem aliquoium csso Posso, in utroquo enim casu flaret M. i. quod Osso no quit, quum Perii diis ipsi uri a Omuos numeros umPlectatur. quorum Pot Stas DK-imnoniis t unitati congrua suri. 53J. Quodsi u suo it -p-I. orit b radix

Primitiva; si vom u non qui dom p l. Aod tamen multiplum ipsius t, id lucrati sumus. ut numerus ConΝtot nd ex Duontem maiorem Iinrtinous, nil quo SC po nostro, qui Ost invenire numerum ad exponentem maimum P rtinentem. Prinpiores iam simus. Si vero u nequo p - l. uoque ipsiu- t multiplum. tamen numerum inventro Possumus nil cxponcntona ipsis t. v mniorum Portinenlom nenilvi ad exponentona minimo dividuo communi numerorum t. v ncqualem. Sithit -y. resolvaturquo y ita in duos sectoros inter so primos. m. n, ut nitvr i I sum t. alter ipsum v metiatur l. Tum fiat potestas '' ipsius a, A, Pote-'ὶ Quisquis sponte perspiciet, tum opus esse has poteΑtatea ipsan novi se, quum mitis is reaiduum minimum facito sex residuo minimo pote isti praecedentiΑ obtineri possit. J Quomodo hoe fleri poseit ox art. 1 haud disseulier dorixatur. Resoliatur 9 in laetores tale.. qu int aut numeri primi divorsi aut numerorum pAmorum divomorum pol iratoη.. Ilorum qui uν altero rum nu

66쪽

stas ilinius b. - B sm .p . eritque productum AB numeruη - ΘxponEu-wm n pertinens: sacito enim intelligitur. A ad Oxponentoni m. B ad exponentemn portinere; adeoque productum AB ad vin Pertinobit, quia m. n inter so sunt primi. id quod Prorsus mdem modo uti in uri. 55. II Prodessimus probari Potorii 3'. 'Iuni si ν-p-l. Ah orit radix primitiva: sin minus. simili modo ut antea alius numerus Adhibendus orit, in periodo ipsius AB non occurrens: eritque hic Qui radix primitiva, aut pertinebit ad inponentcm ipso ν maiorem. aut coris ipsius nuxilio tuti nnto numerus ad exponentem ipso y maiorem Pertinens inveniri imierit. Quum igitur numeri qui por repetitionem huius operationis Prodo-unt . nil exponontes continuo cro ccntos portiueunt. manifestum cst tandem numerum inventum iri. qui nil EXPOnontem maximum pertinent. i. e. miliconi Prim m. q. e. f. ' . '

Per exemplum praecopia haec clariora fient. Sit 1, 73, pro quo rudix primitiva quaeratur. Tontomus primo numerum 2, cuius Poriodus prodit haec:

l. 2. 4. S. 16.32.64. 55. 37. l Cic. 0. 1.2.3. 4. 5. b. 7. S. 9 Ere.

Quum igitur tum potςstas expononiis 9 unitati congrua fiat. 2 non os. radix primitiva. Tontetur alius Numorus in periodo i Psius 2 non OccurrCns Q. fr. a. Cuius periodus ost linoc:

i. a. 9. 27. S. 24.7 2. 70. 64. 46. 65. 49. l Ot . s. l. 2. 3. 4. 5. 6. T. S. s. 10. M. t 2 ore.

Quare nequc 3 ost rudix primitiva. Exponentium autoni nil quos 2. 3 Pertinent. ι. e. numerorum s. 1η dividuus communis minimus cst 36. qui in factor 9 et 4nd Praecepta uri. Pruoc. resolvitur. Evotiendus itaquo 2 ad potestatem expon n-tis ς, i. e. numerus 2 iPςe retinendus; I autem ad Pot stat ni Oxponentis 3.: Pr ductum ex liis ost 54. quod itaqus ad sexponPntom ad pertinebit. Si deniquo itinStus 54 periodus computatur num rusque in buc non coninnius M. yr. 5 donno tentatur, hunc osso rudi cui primitivam. 'reperietur.

merorum ι. v metietur ive etiam utrumque . Adscribantur singuli aut numero t aut numero ui prout illum Rut hune metiuntur: quando aliqui utrumque metitur, arbitrarium est, eui adscribaturi productum ex iiη qui ipsi t adscripti sunt, sit m n . produetum e reliquis πι n. saeaeque per pici tur m ipsum t. n ipsum M metiri, atque Ose m n m ν.

67쪽

Antoqunm hoc argum utum dosoramus,4 PropositiOnos quasdam trademuru iuue ob simplicitatem suam attontione haud indignite videntur. Productum eae omnibus terminis periodi numeri euissa is est . - l. quando ipSorum multitudo. Aire exponens ad quem. inmerus pertinet. est imPar. et- l. quando ille ea ponens est par. Ei. I ro modulo 13 Pori us numori 5 constat in his torminis l. 9. 12 8 quorum Productum 480--i min. la . . Socundum eundem modulum Doriodus numeri. 3 Constat e torminis l. 3. 9

quorum Productum 27 - i mod. la . DemonStr. Sit exponens, ad quem numerus pertinot. t. atque indCX numeri. e . id quod si basis rito doterminatur semper fiori Potost 'uri. Tl . Tum index producti cx omnibus lacriodi torminis erit .

Q. E. D. ' .

Si numerus isto in theoc praecedente ost radix Primitiva, eius periodus Om-n 'ri numerori l. 2.3.......p-l comprehcndot. quorum Productum itaque s 'mi r l numque ρ - 1 wmPor Par. unico casu ιν - 2 Oxcopis in quo -l otini a mutvaloni . Theorema hoc clomiis quint ita Pliniiciari solor: productum omnibuX vvmeris numero primo dato minoribus. unitate auctum per hunc primum intdivisibise, Priuium a col. Waring est prolatum armigeroquo Wilsuu Udserit tuin Meditt. ut br. M. a. p. a Su. Sod neuter domonstrare potuit. Ot col. M uring sntetur demonstrationem oci difficiliorem ridori. quod nulla notatio fingi Possit, . quaeriumerum Primum inprimat. - Λt nostro quidem iudicio hiriusinodi votitulos ox notionibus lotius quum ex notationibus hauriri debebunt. I 'ostea ill. LR Graii domonstrationcm dedit. Mur. Mem de P Ae. de Bertis, i 77l. Innititur on consi-

69쪽

rum liriniuria n 2 divorsum. insu inuo quando A 4; Positivo nutom in omnibus insibus rotiquis. Theorema. quale a col. Wibson ost prolatum sub casu Priori continotur. - ψ.yri pro A l 5 Productum o numoris 1.2.4, 7. 8,ll. 13.14 est l in . 15 . I emonstrationum brevitatis gratia non adiungi irrus: Obsconinus tantum. Dum simili modo Perfici posse ut in art. Praco. . cx Opto quod Congruontia inae l plures quam duas radices habere potust, quac considerati an s. quasdami, culturos Postulant Posset otiam ' lomonstratio ux considorations indicum puti. similiter ut in nrt. 75. si cu quis mox do modulis non Primis trad 'mus conseruntur

I vertimur ad enumeration m nliarum propositionum art. 7 57. Summa omnium terminorum periodi numeri cuiusvis est seu . uti in ex. nrt. 75.

torminum periodum vocare volimus. ' .ssi. Productum eae omnibus rudicibis Inmitivis est l, . x opto unico casu. .

p - 3 : tum enim una tantum datur radix primitiva. 2. Demonstr. Si radix primitiva quaecunque pro basi ussumitur. indicos rudicum omnium primitivurum erunt numeri ad p- 1 primi simul illo ipso minores At horum numerorum summa. t. e. iudex producti Ox omnibus rudisibus primitivis. Ost - 0 in . p-l' nil que productum 1 mOd. μ; facile enim Perspicitur. si k suerit numerus ad p - 1 Primus. etiam p - 1 - k ud p - l primum soru ndeoque binos numcros ud p - l primos summam conκtituom Porp -F divisibilem: autem ipsi p - l-k numquam uoqualis esse Pot St. Pru ter Curium. ρ - 4 - 2. Sive . P -3. quem excepimus: manisosto pnim e - in omnibus reliquis ensibus ud p - l non ost Primus .

70쪽

quicunque ad Exponentos a'. etc. respectiVO Pertinentes, omnia producta. 1 BCotc. Exhibore raedices primitivas. Facile vom otiam demonstrari potest quam is radicem primitivam por huiusmodi productum exhiberi ivisse ot quidem unico tantum modo ' . 'Unde sequitur liquc Produeta loco ipsarum Indicum primitivarum accipi Posse. At quoniam in his proditetis omnos valores ipsius A cum omnibus ipsius

Botc. combinari oporist, omnium horum Productorum summa acquillis Est Pr ducto ex summa omnium valorum ipsius A, in summam omnium vulorum ipsius A. in summam omnium valorum. ipsius Cetc. uti ex doctrina combinationum ni tum ust. Designentur Omnes Vesores ipsorum A; Botc.. Per A, A . A otc.: B, Η, Η otc. et C. , ori quo summa omnium radicum Primitivarum H-21 H-Dυοῦ )-ε et . EtC. Iam dico. si Oxi notis a suisit -i, summam A -Α - - Α - - etc. so l. mod. P . Si VCTO tr fuerit l. summam hanc soro -0, similiturquo do reliquis 6, 7 etc. Simulac haec omni domonstrata, tho Orematis nostri veritus mani