장음표시 사용
421쪽
335. Intor incromenta splendidissima. mathesi per rcccntiorum labores adiecta. theoria sunctionum a circulo pondontium procul dubio locum imprimis insignem tonot. Cui mirabili quantitatum generi. ad quod in disquisitionibus maxime he-t rogeneis sn pissimo deserimur. cuiusque subsidio nulla universae matheseos Pars carere Potest. Summi geometrae recentiores industrium sagacitatemque suam tam assidu imponderunt. disciplinumque tam vastam inde efformaverunt, ut Parum exspectari potuissct, ullam huius theoriae partem, nedum esumentarem atque in limino quasi positam. gravium adhuc incrumentorum capacem esse. Loquor de theoria functionum trigonometricaruin. arcubus cum puri Pheria commensurabilibus respondentium . sive do th oria Polymnorum regularium, cuius quam Parva Pars hucusque enucleata sit, Sectio pracscus patefaciot. Mirari Possent lectores talem disquisition in in hocce potissimum opore. disciplinae primo aspectu In ximo heterogenoac imprimis dicato. institui; sed tractatio ipsa abunde declarabit quam intimo nexu hoc argumentum cum arithmetica sublimiori coniunctum sit. Ceterum principia incoriae. quam exponere aggredimur, multo latius patent quam hic extenduntur. Namque non solum ad iunctiones circularcs. Sod pari suc-
422쪽
cessu ad multas alias stinctioncs transscondontes applicari Possunt. e.y. ad eas, quae ab integrali pendent. praetereaque etiam ad vina congruentiarum genera: sed quoniam do illis functionibus transscondentibus amplum opus linculiare paramus, de congruentiis autem in continuatione disquisitionum arithmeticarum hopioso tractabitur. hoc loco solas stinctiones circulares considerare risum est. Imo has quoque. quas summu generalitate amplecti liceret. PPr subsidia in uri. sq. xponenda ad casum simplicissimum reducomus . tum brevitati consulentes . tum ut principia plane nova huius theoriae eo tacilius intolligantur.
Designando circuli periphoriam sive quatuor angulos rectos per P. SuPlκ nendoque m. n esse integros . nique n Productum e factoribus inter se primis a. b. c etc. : angulus Λ - - per art. 310 sub hanc sermum roduci potest A 2 a H- etc. P. sunctionesque trigonometricae ipsi resimndentes o sun tionibus ad partos otc. pertinentibus per methodos notas deducentur. Quoniam itaque pro a. b. e etc. numeros primos aut numerorum Primorum P testates accipere licet: manifesto sufficit. sectionem circuli in partes, quartini multitudo est numerus primus aut primi potestas. ConSiderare. Polygonumque n laterum e polygonis a. b. e etc. laterum Protinus habebitur. Attamen lioc loco disquisitionem ad Eum casui' rostringemus . ubi circulus in partes dividendus est. quarum multitudo est numerus Primus impar . sequenti praesortim istione inducti. Constat, lanctiones circulares angulo respondentes e lanctionibus ad pertinentibus per solutionem aequationis p gradus derivari. et perindo millis por nequationem aeque altam sunctiones ad pertinentes etc.. ita ut . Ki polygonum p laterum iam habeatur, ad determinationem Polygoni ρ latorum n cessario solutio λ- l aequationum p gradus requiratur. Etiamsi vom tho riam sequentem ad hunc quoquc casum extend re liceret, tamen hac via non minus ad totidem aequationes pμ gradus delaberemur, quae. siquidem p est numerus primus, ad inferiores deprimi nullo modo possunt. Ita e. s. inseu ostendPtur. polygonum tr. laterum geometrice construi posse: sed ad determinationcm polygoni 289 laterum aequationem IT ' gradus nullo modo evitare licet.
423쪽
14 I, E AEQUATIONIBUR CIRCUM SECTIONES DEFINI TIBUS.
Aequialion a pro fianetioni a trigonomotriria areutim, qui aiant para avi retea totitia par Mercia :reduetio funes num im onometri rum ad radices a quationia P - I in s.
337. Satis constat. functiones trigonometricas omnium angularum - . denotando per k indefinite omnes numeros 0, 1. 2 ... n-l, Per radices aequationum n
Ηae aequationes squae generaliter pro quovis valore impari ipsius n valoni. IIVero Pro pari quoque), ponendo n sacile ad gradum m ' deprimuntur: scilicet I ct ΙΙΙ. dividendo partem a laeva per X et substitu udO y pro aeae. Aequatio II autem manifesto radicem X - l cos 0 implicat. et e reliquis
cuius radices erunt COsinus angulorum . - . - . Ulteriores reductiones harum aequationum . pro eo quidem casu, ubi n est numerus primus, hactenus non habebantur. - . Attamen nulla harum aequationum tam tractabilis ci ad institutum nostrum tam idonea est, quam haec Σ' - 1 - 0, cuius radices cum radicibus illarum arctissime connexas osso constat. Scilicet, scribendo brevitatis caussa i Pro quantitate imaginaria V- l. radices aequationis -l-0 exhibentur Per
424쪽
ubi pro k accipiendi sunt omnes numeri 0. 1, 2. . . n-1. Quocirca quum sit - - COS 1 Sin --, radices aequatiOIus I exhibebuntur Per r--ὶ sive peri : radices a quationis II per Z r- - denique radices qu tionis III por Hanc ob caussam disquisitionem considerationi aequati
nis P-l-0 superstruomus. ipsum n esse numerum Primum imparem Supponendo. Ne vero investigationum ordinem interrumpere oporteat. sequens lemma hic praemittimus.. 338. I ROBLEM. Datia aequatione
II J . . . e - - Ar -- etc. - 0 invenire aequationem IV . euius radices sint potestates λ μ' radisum aequationis in . deStynante λ exponentem inteyrum positivum datum. Sol. Designatis radicibus aequationis IV per a. b. e etc., radices uinu. Η ' osso debebunt a ' b etc. Per theorema notum Newtonianum e coemcientibus aeqv. IV invenire licet aggregata quarumlibet potestatum radicum a. b. eost. Quaerantur itaque summaebh-l- - - etc.. otc. etc. usque ad hic. unde via inversa psr idem theorema messici tes aeqv. IV deduci micrunt. Q. E. F. Simul hinc liquet, si omnes coeffcientes in IV sint rationales. om- nos quoque in W' rationales evadere. Alia quidem via probari potest. si illi omnes integri sint. etiam hos omnes integros fieri: huic autem thooremati. ad institutum nostrum non adeo necessario, hic non immoramur.339.
Aequatio P-l - 0 in suppositione semper abhinc subintelligenda. nesse numerum Primum imparem) unicam radicom realem implicat. X - 1: n - l liquae. quas nequati
425쪽
denotabimus. Si itaque r ost radix quaecunque ex u. orit 1 - ν' - r ' etc..et generaliter r ' - 1 pro quovis valore integro ipsius e. POSitivo seu negativo: hinc perspicuum est. si λ. μ sint intcgri secundum n congrui. sore Si vero λ. μ Sec. mod. n incongrui sunt. π' et inaequales crunt; in hoc enim casu integor v ita accipi potest. ut fiat λ - μὶ v l smod.n . unde r. ademus ' coris non se 1. Porro patot, quamvis Potostatem ipsius r etiam radicom aequ. .H- 1 - 0 esse; quocirca quum quantitates t H). r. re . . Q omnes sint diversae. lino exhibebunt omnes radices aeqv. P- l - 0, et proinhao r. rr. P ... ' cum 2 mincident. Facile hinc generaliues colligitur . saconvenire cum H, H . in . . . r Si e sit integer quicunque per n non divisibilis. Positivus seu negativus. Erit itaque X - ae e- - ὶ . . . sae - undor ε ' - . . . - -r ' - - l. et 1 ε ... inr0 Duas radices tales ut r et - r aut generaliter r' et V recipraetis voc bimus: manifestum ost. Productum oX duobus factoribus simplicibus ae - r ciae fieri male XX - 2 ae cos io -- 1, ita ut angulus ut vel angulo vel alicui multiplo eiu sit aequalis. 340. Quoniam itaque, una radico ex u Per r eXPressa, Omnes radices aeqv. .r - 1 - 0 Per Potestates ipsius r DXPrimuntur. Productum, e pluribus radicibus huius a qu. quomodocunque conflatum, Per cxhiberi Potorii. ita ut λ sit vel 0.uci positivus ct ς n. Designando itaque per P t. v. v ...ὶ sunctionem ut gehraicam rationalem inlogram indutorminatarum t. v. v etc.. qualem per Summam talium partium fici se . . . exprimere licet: mani&Stum est , si Pro t. u. v otc. qu-dam e radicibus aeqv. P- 1 - 0 Substituantur, Puin ι - a. u - b. v c etc..3 9. b. e ...) sub se am
roduci posse. ita ut o mcientos A. A etc. e quibus etiam aliqu cesse adeoque - 0 fieri possunt sint quantitates determinatae, insuperque omnes hos co5ffcientes integros fieri. si omnes coufficientes determinati in t. u. τ . . . . i. e. Omnes
426쪽
h sint intcgri. Quod si vero postea pro SubStituuntur nia. bb. cc. . . rosi'. quaeVis Pars ut Λ ει ut .... quae antea reducebatur ad ' H. nunc fici P . unde facile concluditur. fieri ρ ua. bb. cc... A A rr- μή - - A -- . . . - Perinde erit generaliter, pro valore quocunque integro ipsius λ.
quae propositio maximi est momenti. fundamentumque disquisitionum sequentium constituit. Hinc sequitur etiam
ρ a. b. e. ..ὶ - - ρ aa. bb. cc . . .ὶ Φῆ a', Mec ...ὶ ε . . M'. b'. c' . . .ὶ - n Aquac itaque Summa Semper fit integra Per n divisibilis. quando omnes cosim ieii tes doterminati tu *st. h. v . . .ὶ sunt intcgri.
ext diri si lis. eo latentes Ar B . . . L omnes inteyri esse nequeunt. Dem. Sit X PQ. utque I complexus radicum aequatio uin P - 0. D complexus radicum uoquationis Q - 0. ita ut Q constet ex 's et C simul sumtis. Porro sit θὶ complexus radicum ipsis reciprocarum. E complexus radicum ipsis C reciprocarum. sintque radices, quae continentur in N. radices aequationis N - Ο quam fieri PH- Α-Ρ etc. - - ae - Ε o facile Perspicitur , eaeque Sune continentur in. Q radices aequationis S 0. Manifesto etiam radices N et E iunctae complexum v essicient. ae erit RS - X. Iam quatuor casus distinguimus. 53
427쪽
DE AEQUATIONIBUA CIRCULI SECTIONEA DEFIXI TIBUR.
I. Quando convenit cum se adsoquo P - R. In hoc ea n manifesto binae semper radicos in reciprocae erunt. adeoque P productum Ox ὲ λ suci ribus talibus duplicibus XX - 2ae costi Η- l : quum talis sector sit P - coso, H-Si o . iacito perspicietur, P pro valoro quocunque ronti ipsius X. nec SSariovalorem realem positivum obtinere. Sint nequationes. quarum indices sunt qua
quantitus positiva et prorsus simili ratione etiam p. p otc. positivae erunt. Quum itaque p sit valor iunctionis ti- l-ul 1-H etc., quom obtinoi lionendo Pro
tacito perspicietur, productum PPῬ . . . fieri M. ad 'oque PPp . . . m Q. Iam si omnes c iliciuntos in P rationatos os ent . omnes quoque tu. Γ'. P PtC. Per Rrt. 3 a S rationales evadorent; per uri. 42 autosti cuncti hi coossicientesii ossurio forent integri. Illuc etiam p. p. p etc. omnos intcgri serent, quorum Productum quum sit n . multitudo vero n-1 λ. nocessurio quidam ex ipsissultona n- 1 - λ osse debebunt l. reliqui sero ipsi v vel potostati ipsiusn a quales. Quodsi itaque s ex ipsis sunt l. Summa p -- p utc. mani festo crit -ysmod. nin ad quo corio Por n non divisibilis. Quam suppositio consistere Ii quit. II. Quando I et non quidem coincidunt. attamen quasdam radices communes continent, sit T harum complexus utque u aequatio. cuius radices sunt. Tunc T crit divisor communis niuximus suillationum P. R ut e theoria nequationum ConStat . .Manifesto aurum binae Semper radicos in T reciprocaceruiit, unde Por uiato demonstruist omnes co cientes in P rationales esse nequcunt. Hoc vero certo eveniret, si Omnos in P ad Oquo etiam omnes in Ie rati natos esSeut . ut e natura operationis. divisiorem comm . min. investigandi spontosoquitur. Quare suPPositio Ost ubSurda. . . III. Quando C et ξ vel coincidunt, vel saltem radicos communes impli-Cant. ProrSus eodem modo omnes cosissicient 4 in Q rationales es e nequeunt: fic-rent vero rationesus, si omnes in P rationales essciit: hoc itaque est impossibile IV. Si vero nequo cum N, neque T cum P ullam radicum domini
428쪽
Iam si omnes cocificiuntos in P rationatos, adeoque per .nrt. 42 Otium integri o sent. L qui codnicientem ultimum in X i. e. unitatem metiri .deberet. no Ossario foret se in I. undo in n esset numerus quadratus. Quod quum hypothesi repugnet. Suppo8itio consistere nequit. Ex hoc itaque theoremato liquet. quomodocunque A in suctores r solvatur. horum copificionios partim saltem irrationales fieri, adeoque alitor . quam per nequationem elevatam, determinari non posse.
Propositum disquisitionum sequentium, quod paucis. declaravis o haud inutile erit. Eo tendit. 'ut X in factores continuo plures GRADATIM resolvatur. Di quidum itu. ut horum coufficientes per aequutiones ordinis quam infimi determinentur, iis lus dum hoc modo ad Rotores simplicos sive ad radicos si ipsas porveniatur. Scilicet ostendemus. si numerus n-1 quomodocunque in suctores integros α. 6. I ctc. resolvatur Pro quibus singulis numeros primos accipere liceq. X in α factores dimensionum resolvi posse, quorum codificioutos Por sequati nem αμ gradus determinentur ; singulos hos factores iterum in si alios 'a' dimensionum adiumento amitationis ς' gradus etc.. ita ut designanto v multitudinum factorum α. 6. γ etc. inventio radicum v ad roolutionum v aequationum α 3. 6μ, γ' etc. gradus roducatur. E. y. pro n me i7. ubi n 1 - 2 2.2.2. quatuor nequationes quadraticas solvere Oportebit: Pro n - 73 tres quadraticas
Quum in sequentibus porsaepe talos potestates radicis r cousideranduo sint, quarum EXPonentes rursus sunt dignitatos . huiust nodi expressiones autem non sine molestia typis describantur: ad sacilitandam impressionem sequenti in po- 53
429쪽
DE AEQUATIONIBUR CIRCULI RECTIONES DEFINIENTIΗΕΝ.
sterum abbreviatione utemur. Pro r rr. H etc. Scribemus ti J 2J. 3J etc. . neraliterque pro Wdenotante k integrum quemcunque. M. Tales itaque ex- Pressiones penitus determinatae nondum sunt. sed fiunt, simulac pro r sive liradix determinata ex u accipitur. Erunt itaque generaliter sq. M aequales vel inaequales. prout λ. μ secundum modulum n congrui sunt vel incongrui: porro
vel o vel n. prout λ Ρcr n non divisibilis ost vol divisibilis
omnes radio a u in eortua et Ma periodoaὶ dis rati iantiar. . . ad 3.
Si. Pro modulo n. 9 est numPrus talis. qualem in Soci. III radicem primitivum diximus n- 1 nurneri l. s. yy ... 9 his l. 2, 3 . . o n - 1 EPCundum m . n oongrui erunt, etsi titio ordine. Puta quivis numerus unius Acri ei congruum habebit in altera. Ilinc sponte sequitur, radices l . . D . . . Η cum v coincidere: et prorsus simili modo generalius
coinciderit. designante λ intcgrum quemcunque per n non divisibilem. Porro quum sit y l mod. n), nulla negotio perspiciotur. duas radicost lxy'. λω idonticas vel diversas esse. I rout μ. v secuti dum n - congrui sint Vol incongrui. Si itaque G est alia radix primitiva. radices fi J. . . . tiain cumbis, i .' G ... convenient. si ad Ordinem non respicitur. Sed praetorea facile probatur, si e sit divisor ipsius n -- l. atque ponatur n-1 - ef 9 h, 6 τ . II. etiam i numeros l. h. hh ... his I. D. N . . . Π recundum n Congruos esse sine respectu ordinis . Nupyonamus enirn G - y mod. n)Sitque μ numerus arbitrarius positivus et Q f atque u residuum minimum ipsius amo iij. Tunc erit ue - μ ue mod .n - IJ. hinc y - νη- - Ο mod .n .sivo II h i. e. quivis numerus posterioris serici l. ' Η' etc. congruum habebit in serie l. h. hh .... ot perinde rice versa. - llinc manifestum est.
generaliusque eodem inodo facile Perspicietur.
430쪽
non mutetur aceipiendo pro s aliam radicem serimitivum. tamquam indepondensn y considerandum est, per in λὶ de ignabimus: earundem radicum compleaevm vocabimus periodum j. M. ubi ad radicum ordinem non respicitur 'in In exhibolida tali periodo e re erit. singulas radices. e quibus constat. ud expressionem simplicissimam reducere, puta pro immeris λ, kh. λ44 etc. residua minima sec.m . n subStituere. R undum quorum magnitudinem. Hi Placet. etinin Periodi partes ordinari poterunt. E. s. Pro . n- 19, ubi 2 cst radix Primitiva. periodus 6 i in tonstat e
Voria Moorema a d par dia radiatim v. .
a 44. Circa huiusmodi periodos statim se offerunt Observationes sequentes:
I. Quum sit λhf - λ. λh '' - λ otc. mod. n), manifestum est, ex iisdem radicibus, e quibus constet j. λ), ctiam constare γ. λ h . yt λ Λ otu.; generaliter itaque designante ivl radicem quamcunquis ex j. q. haec licri diis cum F. VJ omnino identica crit. Si itaque duae periodi ex aequo multis radicibus constantes squales similes dicem usi ullam radicem communem hiubent manifesto idonticae crunt. Quare fieri nequit. ut duac radicos in aliqua periodo simul contineantur. in alia simili vero una earum tantum reperiatur; Porro patCt. si duae radices .. Et ad eandem periodum f. terminorum pertineant. Valorem expr. r smod. nὶ relicui potestati ipsius h congruum esse . sive supponi posse
V - modi n). II. Si f- n - l. e m l . periodus manifesto cum 2 coincidit: in reliquis vero casibus 2 ex e periodis in. . ij. f. m. in sy . . . in s Jcompositus serit. Hae periodi itaque omnino i iter se diversae erunt. Patetque. quamvis aliam similem periodum in. cum harum aliqua coincidere. . si quidem u pertineat. i. e. si λ per n non divisibilis sit. Periodus f. 0ὶ autem aut j. kri munifesto ex f unitatibus est composita. Aeque lacile perspicitur.
J Aggregatum in sequentibus etiam periodi valorem numerisum vorare lictat, aut simpliciter periodum. ubi ambiguitas noti metuenda .