장음표시 사용
441쪽
pauciores, quam quae ad rem definitam agnoscendam Laba. lii distinguendam sufficiunt.
C et ' 6. Ggοper conisauentiam mσdiatam Quod ex notarum numero excluditur, ex definitione exulare debet. VII. coclusi 6. Quod ex notarum numero excluditur, ex definitione exulare debet. Conesos di ex notarum numero excluduntur.
Conclusio . Ergo Modi ex definitione exulare debent. VIII. Cones odi ex definitione exulare debent. C elusi 8. Ergo' consequentiam immudiatam Modi definitio
nem ingredi nequeunti Ipsis adeo oculis manifestum est,demonstrationem eonstare ex ouo ratiociniis inter se concatenatis, quatuor nimirum consequentiis imme diviso totidem syllogismis categoricis. Patet etiam ratiocinia ita uvter se eoneatenari, ut conclusiones interiores ingrediantur sequentia per modum praemissarum.Nec minus patet, cum propositio eategoricant, in qua praedicatum subjecto absolute, adeoque sub eonditione de finitionisi .etas. tribuitur,initium ratiocinandi neri a definitione atque adeo per ratiocinia continua concatenatione inter se cohaerentia prinpositionem ad demonstrandum propositam cum definitione eonea nari. Immo pate fieri posse, ut una conclusionum anteriorum ingrudiatur eundem syllogismum per modum majoris, altera vero per mindum minoris. Quod vero ratiociniis istis revera in mente loeus sit, dum demonstrationem praesentem concipimus, suo laeo in Ps Meudemonstrabimus.
. na. 'rma B Si propositio fueris repothetis si formali re talis, fimo monstratio emerarieae formam reducta g. 227. , demonstrationem condi inii utitur hypothesi, quemadmodum in casu praecedente definitiin
ne I 33ι , ut nempe inde formentur judicia intuit , quet
0pq tueantur vicein propositionum minorum in syllogismi primis Quibus datis concatenationem absolvit eodem pronus modo, quo in casu praecedente fuimus usi.
svis gr. Sit demonstranda propositio: Si recta CD extento CAM' reum AB bisecat in D, chordam auoque eo tominem bisecat. Quinniam in Cest centrum per ot v igitur primosormamus judicium intuitivum: RHECA, CD, CB ex centro circulis adper heriam dua Memoriam subit definitio Radius circuli est rem ex centra is
442쪽
ν εα iam ducta. Inde per eonsequentiam immediatam insertur Ergo omno rectae excenaerocireuliis peripheriam etaesurariaricis RSumta igitur hac conclusione pro majore anteriore pro minore syllo- ψει insertur Renae CA, CD CB sunt radii ejusdem circuli. Quoniam recordamur axiomatis, nee radii circulisum interse aequales.sumto hoc pro maiore& conclusione pro me praecedente pro minore sicli iliani inserimus: M CA, CDNCB sunt merse aequales Po ro vi hypotheseos formatur propositio: arcus ADND unitaequales. Cum ita in memoriam roocemus propositionem ante jam demonstra-ram: Si arcussunt aequale .so ae eorum aequales uni sumto his theoremale pro majore, propositione Prox a pro minore, inserimus: chordae AD N Di sunt aequales. Iam ubi inter se conserimus eos elusiones ex hypothesi deductas: CDU C ut interse aequintis atque chordae AD UDB sunt aquales formatur inde judicium imruitivum Triangula CDND sunt i mutuo aequilaura. Sumto igitur eodem pro minored theoremate, Atriatatis uero simu- tuo aequitatera, anguli AEqualibus lateribus oppositi AEqualessimi, pro majore ejusdem ivllogiumi, nisimus: In triangulis AcmNDC amguli aequalibus lateribus oppositi aequales suut quare eum intumve agnoscatur propositio: ADE EDB anguli Mauabbis lateribus Oscs oppositisunt; sumta hae propositione pro minored conclusione anteriore pro maiore concludimus Anguli AD EN ED B aequales sunt. Attendentes iam ad eones usones: Rectae ADNDUens aequistis grui ADEUEDB aequat junt denuo intuitivum formamus judietum, Triangula A DAE N Eia sunt eius conditionis, ut angulae
unus uniusfit aequaci angula uni alterius &inrera angulos acquales ram
prehendentia trigillatim aequalia Sumto eodem pro minore syllogismi & theoremate, cujus recordamur. pro majore, scilicet Trianguia istius renditionis hasnt latera aequalibus angulis opposita aequalia,con , eludimus: Ergo in triangulis ADE NED Blatera angulis aequaliburvnsita aequauasum unde per eonsequentiam immediatam porro colligitur Recta AE N EB An aequales tandem hine per consequentiam immediatam infertur Ergo Recta CD ex renno ductasi aris cum AB bisecat, hordam quoque eognominem bisecat. Analys logica hujus demonstrationis tam est rI. Omnes Tectae ex centro circuli ad peripheriam dusti sunt radii eireu Lmpora. Rectae CA, CD&CB excentro cireuli ad eiusdem persepheriam duczae.
443쪽
a. Axianna. omnes radii circuli sint inter se aequales. Cones. I. Recte CA, CDM CB sunt radii circuli. Ergo Peae CA, CD MOMunt ii te se aeqv. iles 3. Theorema Si arcus sunt aequales choriae eorum aequales sunt. Ibpoth. Areus Am mi sunt aequales. Ergo Areuum ADAE Di chordae Am DB aequales sunt. - cor a Iutri Musis sibi mutuo aequilareris an ii aequalibus la teribus oppositi aequales sunt.
Ergo in triangulis A iam CB anguli aequalibus lateribus oppositi aequales sunt. duclusis in triangulis ACD MDCB anguli aequalibus late ribus oppetit a: luales sunt Prop. intuitieta oguli A D EQUE U B aequalibus uteribus CAR Cui oppos . sutar. Ergo Anguli AD E DB arquales sunt
Q. Indorema. Si duo triangulti fuerint ejus cond:tionsis ut angulus unus unitas sit aequalis angulo untaberius, ct latera comprehendentia angulum in uno triangulo Cait illatim a qualia lateribus coat prehendentibus angulum in ali cro triangulo erit quo luelatus tertium uia in s aequale lateri tertio herius
Ficoncis V 4 Triangi is A DEI DE sunt ejus conditioni ut angustis unus uuius Amssi sit aequat sangulo uni alterius L D 3 ct latera A i ta D L snt aut ualitasgillatim Iitelibus D URDY.Ergo in triangultis A D EM DI, latus et uitium unius aequa Ie lateri tertio aberius.7. Ergo per configventium Mnmed uanici ecbe A SQ DB aequales sunt. Ergo clanuo per consequentiam Divite latam: Recta CO ex centroii: ti, quae a reum Ambi leca teli ordim quoq recognominem Asbisecat: quae est pro positio ad demonstranstum proposita. Constat igitur demonstratio octo ratiociniis, ut mirum duabus eoasi quentiis immediatis es sex syllogismi partim categoricie partim by
potheticis. Conetatenamur quoque ratiocinia ut conclusiones anterio res irrgrediantur ratiocinia sequentia permodii praemissarum. Patet
praeterea conclusiones aliquot ex hypothesi deduci,nempe tertiam a quintam quae propositi oui formanda in se vi uni cujus ope propcsito ad demonstrandum proposita ex hypothesi colligitur.Non taedet de hac demonstratiooum anali si cnuamdii biclissime dueere,quae tenenda sunt, Dj9jligo by orab
444쪽
eum paueissimi earum formam habeant perspectam . nas re iginuesse jultio, si exemplum adhue aliquod demonstrationis logicae adjungam. E. gr. Ubi demonstranda est propositio: Si in duabuspropossis-mbassubjectum fuerit idem terminio, eidem ramen diversae livbuanturnosiones opositione divor sint quammis id fit praedicatum;exlty thes formatur propositio Subjectum propositionum es terminus idem, mi diversae respιadent notiones. Iam cum ex antecedentibus memoriam subeat propositio: Omni termino, cui notiones diverse respondent res diverse de tantur; sumta hac pro majore ista pro minore syllogismi im sertur conclusio Ergo beectopropositionum res uiuersae denotantur. Unde per conseqvientiam immediatam infertur Ergopropositiones ini pothesibeorematis diversa habenisubjecta. Quonitam igitur porio in m moriam revocamus propositionem: mnespropositioin, qua id prindicarum,seddiversa subjecta habent, sint divosae, sumta hac pronisjoresvllogismi ct formata ex conclusione praecedente ac hypothesitheor. matis minore Propositiones duae quorumsubjectum idem es terminus saeurdiverse tribuuntur notiones aedicatum vero idem diversa habentμbjecta edia praedicatum insertur tandem conclasio: Ergopropositi massae diseriasius. Si quis plurium demonstrationum anal sin logi- eam instituir, is diversitatem concatenationis distinctissime percipier, quam hic particulatim persequi instituti nostri non fert ratio ubi principiis generalibus contenti particulares tractationes aliis relinquimus vel, si alii nos non praevenerint,nobisque Deus spatium sufficiens temporis largietur,in aliud tempus reservamus Satis nimirum Ditet, non semper conclusones interiores per modum praemit ingredi syllogisnos sequentes absque omni mutulone. Unde sebinde inexercit is dissieultatem facessit demonstrationum analysis logica Et anui eos hujus tyrones, si plus sperant de Acultatibus suis, quam in iis eia, ne scio quos errores in demonstrando admussos confingunt
Quoniam tu demotu ratione apogogica seu indirecti ex post Fbrma deto contrario ejus, quod probari debet, tanquam vero, colligitur, monstratio quod propositioni vera vel notioni libjecti contradicit 3 33o. , propositionem aliquam ad Drdum vel impos'Me reducturus si imi ei contrariam tanquam veram eaque utitur ceu definitione atque hypotheti in demonstratione ostensiva f. III 552. , ut nempe vel ipse subeat minorem in syllogismo primo, yel incle sor--anentur judicia intuitiva, vel per consequentiam immeditatam
445쪽
inferantur conclusiones, quae protbent mamores in syllogismis primis: Quibus datis concatenatio tyllogianorum eodem pror
ius modo, quo supra I ns.), absolvitur, eo usquc progrediendo, donec syllogismo aliquo inserat reconclutio, quae vci hypothesi, vel definitioni subjecti, vel propositioni alicui verae contradicit.
Istiusmodidemonurationes in Mathes non manseequentes aene gativae praesertim propositiones per indires tam demonstrari solent.
Ε. gr. Si demonstrandum theorema Duo circuli se intus tangemes muhabent idemcentrum sumimus conrearrum Nas, duo circulise iniuria gentes habent idem centrum tanquam verum Quod si igitur jam /-- tu centrum commune circulorum se intus tangentium &Υ,ducaturque ex eodem recta C A ad contareis punctum A, tum alier C D se. eans circulum inferiorem et B per intuitum patet, quod rectata CB surrectae ex centro circuli interioris X ad ejus peripseriam MuQuoniam itaque memoriam subit definitio Radius irrati est remexeemro inperipseriam ducta, unde per consequentiam immediatam insertures ne rectae ex rentro circuli adperipheriam ejus διetasuta rata ejusdem circuli. sumta hac conclusione promajored iudicio intuitivo an Ierior I pio minore syllogismi insertur Rectae CΛs CBβατ radu ejusdem ei culi. Reeor dati axiomaris: Radii Viniam eis disium inter haequales umto eodem pro majored concItis e anteriore pro minore 1llogismi, inserimus porro Recta CAs casint inter se aequis similiter ad hypothesin, quam figura repCesentat, respiciente inivit,ve cognoscimus propositionem C Asae Munctim rectae ex cenet Uusdem circuli adperipheriamo stam Sumta igitur eadem pro mi
nore&conclusone per consequentiam immediaram ex definitione r 'dii illata pro majore, insertur c AsCD sunt rarii ejusdem circuit sumta hac conclusione pro mincire si Mogismi novi adjuncto eidem tanquam maiore axiomater Omnes reae ejusdem circuliflures inter flaequales, infertur nova eo ne Iulio Rectae CasCDsunt inre equast , Conterentes iam eo elusiones: Rectae CasCBsunt inter se quia atque recta Cas CD sunt intersea ales serm mu, iudicium tuta
dam intuitivum: Rectae CBs CD uti aequales eiu tertia Caci rto hoe iudicio pro minore & conclusione ex axiom te AEquatiariam reniosum aequalia ime se pei consequentiam immediatam deda Lineae rectae aequaloeidem tertiaesunt aequale isterse pro maiore Iblogismi,infertur: Maae CBs per se F3ior, CBesse pariem, CD vero istum pex consequentiam Immodi.
446쪽
ram hineporro Insoriir: --co tradicat axiomari Para smisortu,; redinio ad ablardum absoluta.
AnaIysis logicalirius demonstrationis a gogior seu reductionis ad absurdum haecest: Possis: Duo eluuli x&Υ se mitis in A rangentes habent idem
I. Degustis Radius elaciali est recta ex oenrro in peripheriam dum. Ergo per consequentiam immediatam: Omnes rere excentro circuli ad peri pheriam us ductae sunrraen ejusdem circuli. II Couelini omnes reste ex centro circuli ad perrpheriam ejus ductarium radii ejusdem circuli.
Dauium sitiativum. Rectae C A et B lunHressi ex emcro coeuli interiorix X ad per heriam duitie. Ergo Reine Ad CB sunt radii ejusdem irreti III. Axioma omnes radii eiusdem eireuli sunt inter se aequales, Conclusio a. Rectae rad CB sunrradii ejusdem circuli. Ergo Renec Adaei sunt inter se aequales. IV. Conclusior omnes rectae ex Gnrro cireuli ad peripheriarn eius ducta sunt radii ejusdem circuli. Dufeium inmitivum CD4 C sunt Iinea restae ex centro eirculi existioris vad ejus peripheriam ductae. Ergo Rectae CD&C sunt radi ejusdem circuli. V. Hismia omnes radii ejusdem eireuli sunt inter se aequa Ier Melusio 4. Rectar C D&CA sunt radii ejusdem circuIi. Ergo Rectae Cus C sunt inter se aequales. H. Comis σ3. s. Rectar CA&CB, sunt inter se aequales&Re CD SCA sum inter se aequales.
Ergo per immediatam consequentiam Rect CB&CD sunt aequetiales eidem tertiae A. VII. Asoma AEqualia aedem terito sentaequalia inlar se. Ergoper e equentiam immediatam Lineae rectae aequales eidem tertiae Iuncaequales inter se. VIII. cinet o 7 Linea rectae aequaIeseidem tertiae sunt aequalis inter se. Conclusio 6. Rectae CBSCD sunt aequales eidem tertiae A.
Ergo Recte CBS CD sunt aequales inter se, IX. Iudicrum intuti isum C B est pars C D totum S Coch ORCBae ualis ipsi CD. Ergo per c equeritiam immediataem Pars est aequalis toti. X. Conri os Pars ea aequaIis ton.
447쪽
Ergo per consequentiam inunc saram Falsum est, piartem esse icto minorem Id quod absurdum.
P. te adco demonstrationem apogogicam praeseritis casus eonstare erquatuor consequentiis immediatisdia syllogii in is eodem modo inter se concatenalis, lUio concatenantur ratiocinia in demonstratione ostensua.
Utimur nos quoque subinde demonstrationibus apostgogicis in Logica atque iisdem utemur in aliis philosophia partibus. Ita e gr. per indirenum demonstramuso. . si in prima iura conclusissiuniper lii, utramqMotiam praemissam univcryakm esse debere. Etenim sumimus . novorem esse debere particillarem quae propositio cum si contraria paulo ante demonstrataei, 366. , absque ulla statim probatione patet, eam esse falsim 9. 33o. 1 Sumimus et mi rem esse βι ιυparticularem. Jam cum memoriam subeat demonstrata in anterioribus propositio Falterutra praemissa particularis concis o quoqrs parti laris, per immediatam consequentiam inferimus: Si tuor parmulas is con .ch o particularis, S sumta hac conclusione pro majore,anteriore autem
propositione pro minoie insertur Conclusio sparticularis quae propa sitio hypothesi repugnat, vicujus conclusi esse debet universalis Patet igitur, in demonstrationibus apogogicis subinde primam statim propositionem, quae sumitur, repugnare posse veritati demonstratae.
f. 554-iud ei Quoniam sorites resolvi potest in syllogismos categoti
demon cos ejus conditionis , ut conclusio praecedentis sit minor solis es quentis 3. 468. 4 sorites continet seriem syllogismorum inter
se concatenatorum, adeoque si in eodem nou occurrat pruefitio, nisi ante demonstrata, vel quae is desivisionum arque axiore tum, vel experientiarmu indubitatarum numero habe r demoη-
E.'gr. Sorites,queminot. . 466. exempli loco proposuimus non nispropositionibu constat evidentibus,adeoque demonstrationis oeum tuetur. Fieri vero potest,ut sorites tantiim partem demonstrationis constituat, si conclusio per eum collecta nondum ea est, quae adde' monstrandum proponitur, sed instar praemissae ingreditur syllogismos alios posteriores. Ceterum me non monente apparet perinde de se rite hypothetico, quam categorico intelligenda esse, quae hie de eo monentur. Lubet afferre exemplum demonstrationis geometricae,
quae solo serit hypothetico at solvitur. Si enim demonstrandum fit
448쪽
Quoniam demonstratio est species probationisi . 98.J ma arginprobatio vero simplex unicos logiimo abituitu. 3. 97.), cui mentarii dens QR demonstrationem quoque unico Odommo obfimi, eo se G stris mi quenteritiam inductione completa . 78. , dilemma f. 48a
'gismo biformi f. 489. consare posse multo minus. itaque
dubitari potest, quod viribus Iemimis argumentandi mo is in demonstratione sit locus.
Si quis ad demonstrationes mathematicas animum assert attentum Sin modum argumentandi inquirit, is plura istiusmodi offendet exempla, quae hic cum tiri supervacaneum foret, praesertim cum illas argumentandi modos jam exemplis it Iustiaverimus.
Si ex propositione ali pio cossi itur ve propositum missam dum verae vel Dotiovi subiecti verae contradicito: op :ioiει falsus, estis tum dema autem contracis uria vero Quod propositioni verae, vel notio strationi es subjectu vera contra illait illud salium est 3 532.) Quoniam pigitur modo argu nicula ad legitimo infertur conclusio falsa, omnes praemita verae esse nequeunt f. 337. J. Enimvero de omni bas praemissis quae aliunde simu utu certo constare supponimus, quod sint vera cie sola propositione, quae precario sumitur, id non constat lita igitur tina salsia esse debeti Jam propositionum contradictoriarum altera necessario salsi, 3. 33a ). Quamobrem cum ostenderemus,saliam esse propositionem , ex qua legitima a,llogismorum conca eliatione, adscitis asiunde uonnisi praemissis verila, colligitur propositionis eujusdam verae, vel notionis subjecti verae contradictorium ilialius contradictoria vera esse debet
449쪽
E. r. si sumimus duos circulo se intus tangentes idem habererram, inde colli. sipartem esse totiacaualem not. q. FH. . Quoniam in syllogismis quos concatenamus, non utimur nisi praemissis, quuverasesse eon; it inde concludimus, propositione sine probatione aliari tam, quod duo circuli seintus tangenus idem habeautontrum, se falsam: unde porro inserimus, eius contradictoriam , quod rus circuli simus tangantes non habeant idem centrum esse veram. Vulgo ita effertur propositio: Ex quo resaria consequentia deductisrosum, illud 'gumfalsum est. Aut eaodem brevius et Ferum: sis fassum Auitur, id falseum est.
Cur proposse quoniam in demonstratione apogogica ex propositiorexis vcmq- preeario assumta legitimo argumentandi modo adscitisque albpcr praemissis nonnisi evidenter veris colligitur, quod propin
st..isuri sitioni erat, Vel nouoni byecti vera contradicit, indeque insertur propositionis assumtae contradictoria tanquam vera ν553. ter i. irectum demonstratur. Hud veram es.
quod vera sit propositio, quae directe demonstratur, iam se a ostendimus. Ex demonstratione enim patet, quod nonnisi de demonstratione ostensiva inteli seuda sit propositio.
I . m. Si ex propositione aliqua inrecte cossi tu editis emtrad θω quaenam ria proportio is fassa est, hae autem vera Ponamus enim contradicto pmpositionem istam esse veram, unde ejus contradictoria di-riarum ro, recte se ostensiva demonstratione colligitur Cum vera strβ-η μ' propositio quae ex praemissis veris insertur , 537.); contra' ηοι dictoria datae quoque vera erit, consequenter duae contradi ν' estoria possimi esse simul verae: quodcum sit absurdum f. 3P., propositio illa, ex qua directe colligitur ejus contradictoria, tibia esse debet s. 336.) Quouiam itaque propositionum comtradictoriarum altera necessario vera, altera necessario uisa j. 53a.), quae autem in casu praesenti insertur propositio est contradictoria ejus, unde insertur, per bdimus quam uxum esseostendimus. eam veram esse necesse est.
450쪽
non moveri. Unde eonstat, propositionem primam Rota metur
motu celerrimo, esse falsam alteram Vers Rota non movetur motuc Ierrinis esse veram.
Ouodsi propositionis probandae contradictoria sumatur αδεγῶ tanquam vera' inde directe inseratur 3. na propositio,.8strati probandi, hoc ipso patebit, eam esse veram s. 538. . Habe nis perindiamus adeo finiuilarem quandam operiem demoU aliam per in
Hoe demonstrandi modo usus est Euclides in demonstranda propositione duodecima Elementi noni. Ut is rectius intelligatur, ipsius , monstrationis analysin logicam instituere lubet. Propositio haee est:
Si fuerit series numerorum proportionalium ab unita te Acipiens, num rus primus metiens nitimum, metietur otiam proximum ab unisue veseeundum. rides igitur eam demonstraturus sumit, quemadmodum in demonstratione apogogica fieri debetis. o.), Numerum primum, qui vis imi meritur, non metiri secundi . clam cum duo quLeunque numeri quorum nurires numerus primus, alterum vero non me titur, t primi inter se sumta hac propositione majoris anteriore autem minoris loco inserri. Ergo numerus privims, qui ultimum metiatur, non vero metitu ecundum,as hie secundus sunt numeri primi inserse Porro quoniam duo numeri primi inter se sunt in ratio minimi; sumta hae propositione pro majore S conclusione praecedente pro minore inseri Ergo Numerus primus, qui metitur ultimum, non vero femndum, atquesecundu/Iunt in ratione sua minimi. m. brevitatis atque perspicuitatis gratia series numerorum I. A. B. C, D. E. e. vel in eas singulari I. o. ICO. Iooo Io O. Iooooo. c. &i sives numerus primus, qui metitur ultimum sive Iooooo non vero
metiri ponitur secundum A sve Io. Per demonstrata liquet foro F sesterminos in ratione Aua minimos. Sit numerus istes, per quem F metitur E. Habemus ergo propositionem Numerus Fmetitur Epers seu si numerus E per F dividatur, quotus est G. Recordati igitur δε- erim ex quot in divisorem esse avidendo aequale, sumta hae propositione pro majore 6 anteriori pro minore inserimus eonclusionem: Factum ex Fino esse numero E aequale, seu F. -- E. Iam eum vi progressionis termi s ultimus fit factum ex penultim infecundum, per intuitum vero pateat, esse terminum ultimum, D'nultimum
Aseeundum, insertur per syllogismum biformemig. 489hi A si mavis, vi syllogismi bisormis per consequentiam immedi tam F. 43I. 489. .