장음표시 사용
451쪽
26 Part. II. Sect. I. cap. II.
Ergo factum ex D in es aequale numero E seu D. Ain E. Cotae serentes inter se conclusiones F. in Ed D. - - E; videmus facta F. Gs D. esse aequalia idem mιmero tertio E Recordati axiomatisci qualia eidem Hrtis sunt aequatia inter se , per immediatam consequentiam β. 4si. inferimus: Ergo facta aequalia eidem numera tertio sunt aequalia inter se. Sumta hae conclusione pro majore &propositione modo intuitive agnita pro minore, inferimus porro: Facta F. σB. esse inter se aequalia, seu F. - D. A. Facta
haec contemplanti apparer eadem esse numeros oductos ex duobusaliisse mutuo multiplicantibus atque interse aequales. Jam cum memoriam subeat propositio: Si duo numeri producantur ex duobus allio mutuo multiplicantibus fuerintque interse aequales, e cientesβιnt reciproce pro- rtionales; sumia hac pro majore anteriore autem intuitive agnita pro minore inserimus: Ergo Grientes Iactorum F. G EI D. Iuni reciproce proportionales seu FLA D G. Ex demonstratis constat, FUM esse terminos in ratione sua minimosis patques ipsis proporri natii. Quamobrem ubi in memoriam nobis revocamus propositionem Termini in risionesὴ minimi aeque metiuntur terminos i spr portionales, sumta hac propositione pro majored anteriori pro minore per syllogismum biformem inserimus : Ergo numeri Fa A quι metiuntur numerosis G, nempe F ipsum D cIA ipsum G. Eodem modo si ponaturi metiri per re, ostendetur, numeros Ff A aqvi metiri C atque H Si porro ponatur F metiri C perci, ostendetur ut ante numeros Ff A aeque metiri B atque I Si denique ponatura metiri Eieri ostendetur denuo ut ante numeros Ff A aeque metiri
As L nimirum Fimum a s Aipsium L. mine per consequentiam
immediatam tandem infertur s8. Ergo meritur A, hoc est, ummerus, qui metitur in progresson geometrica ab unitate incipiente rem
minum ultimum, metitur etiam ab unitate proximum. Immo genera
liter demonstratum est, quod metiatur omnes inter primum multimum intermedios Cur conclusio ultima admittenda sit tanquam vera, ex ratione logica pater β. 38 , qua nititur modus demonstram 4i 3 As9. Ruio vero particularis, cur iste demonstrandi modus hic habeat locum, inde est, quod vi progressionis geometrica ab unitate incipientis numeris S A teque metiuntur sibi proportionales, DI H, EMI, Aini, etsis metiatur A, perinde ac ninmeri primi inter se in omni eas sibi proportionales metiuntur.
Obiter hie observo, occurrere demonstrationes mathematicas , per
qua promini demonstrata non agnoscituriora , nisi conclusionem M
452쪽
illatam admitti debere, ex Logica pareat et Mus sane remexemplum pra, bet demonstratio praesens ' Etsi enim quis Logica artificiali non instructus admiserit, duarum protositionum contradictoriarum alteram esse debere veram, alteram falsam non tamen absque probatione pater, cur eam potius, quae ex altera colligitur, quam quae demonstrationem per modum praemisi, ingredίtur, pro vera habere debeat. Immo cum no omnes omnino argumentandi modi manifesta gavideant vi illationis, quemadmodum facile largietur, qui omnem syllogismorum ambitum attenta mente fuerit mensus omnes tamen demonstrationem ingrediantur 9.sss.) evidens est , certitudinem de veritate propositisvis demonstrata a rationibus logicis mi pendere. Hine non rnirum ad demonserationes leometricas primum animiιm appellem ter vim illam non percipere, qua mens impcllitur ad assensum. Nee hoc negligi debet, quod ex praelemi demonstratione pateat,ollogismum biformem in demonstrationibus ometricis inum habere, sicuti jam supra monuimus I. Is ). Quemadmodum vero in praesente exemplo ex propositione negativa collegimus affirmativam veram; ita in exemplo motus celerrimi ex falsa assirmativa colligitur negativa vera. Demonstrationem ipsam non apponimus prolixitatis vitandae gratia.
f. 56O. Quoniam demonstratio tam ostensiva β. III. IIa ), quam S gogi O.
apogogica s. 553 559. continua syllogimaorum omnis gene rumin δε-ris concatenatione stibivitur; γllogismorum indispensabili inde 'ρηsrando monstrando inus in dubium revocari equit indupensabhEquidem non ignoro, esse hodie complures, qui aliter sentiunt in o V ter tricas nugas scholasticorum reserentes,quae deforma syllogismorum praecipiunt Logici,cum multo faeilius veritas propositionis pere, piatur, si quis ad notiones subjecti & praedicati attendens advertar, num haec in illa contineatur: quam sententiam amplexus est ipse de Tphiru- haustu in Medicina lentis parr. a. p. m. 28 29. Enimvero per praeeipitantiam ita judicari, demonstrationum mathematicarum analysis probat cuius exempla in anterioribus not. f. si . sa. ss3 ss9 dedimus. Et suo tempore in Psychologia ostensiurus sum, utique in anima, dum demonstrationem concipir, singulis ratiociniis singulisque earum partibus esse locum, utut non semper diversos animae actus, qui iisdem respondent, distincte discernere valeamus, immo non cujusvis sit distinctam exhibere demonstrarionis , quam bene coneipit, analysin.
Quodsi quis Logicam addistere non dedignatus in exercitiis istius-Hὶ his modi
453쪽
modi analysium requens fuerit , is demonstrandi halfitum mito illustriorem sibi eo arabit, quam ab aliis seri solet, qui formam demonstrationum nomin: eonfuse intuentur. Ichi busiura eregularum logicarum notitiam cum habitu hoc perperam eonfundit: id quod minime fecisset, si ad communes ratiocinandi leges ratio bnia sua strictius omposuisset. Conferenda hic sunt, quae supra not. g. 4s. ymonuimus. Neque illud negligendum, quod habita demonstrandi instruetus non omniu&, quos edit, actuum sibi freonseius id quod in omni habitu, ipsius quoque e poris, accidit.
'hic' Priserpis demonstrandi appellantur praemissa syllogisnorum d-ον rum, qui in demonstratione concatenantur, vel ex notione si
fra usi V 4. 4 derivatae vel aliunde adscitae.
ηες gr. In demonstratione elementari de aequalitate angulorum riparallelogrammo diametraliter oppositorum utimur tanquam primcipiis definitione parallelogrammi, duobus axisuriatis, aequalia eidem tertio AH aequalia inter se ab aequalibus idem subtrahas , qua D Enquuntu aequalia sum, atque theoremate , si diis pariaria iunia scentur, anmuli intumi opposuistin quales duobus rectis.
principia δε fi definitionibus , experientiis indubitatis , axiomatis S pr mons positionibus jam demonstratis 3 498. in numerum primi piorum demonstrandi non ossumuntur ni definitiones, experiem ita indubitare , axiomara, propinsiones Iam demonstram
Vidimus in exemplo modo not. s. 6r. allato non alii demonstrandi principia, quam definitionem , duo axiomata & theorema, quod ante jam demonstratum supponitur. In demonstratione log, eL 3 I cujus supra exhibuimus analys logicam me. g. Ma.Iprincipiis utimur definitionibus modi atque notae duobus axiomatis, qua mutabilia sunt, consanter non insimo quae consanter non infimi a rebus gnosiendos se invicem discemendis inservire nequeunt, atque meoremate in anterioribus demonstrato , quod in desinitiois enumseranda nota, ς plures, neepauciores, quam quae ad definisumumst Haum atque ab aliis risiis endrum Alficiunt. Experientis ingrediuintur demonstratio filivsiera atquc moralia tantum non semper.
454쪽
Quae de consignandis demonstrationibus iisdemque mi Scholiano aliis communieandis dicenda sunt, ea inserius trademus sitis do ---cis. Fieri autem saepissime solet, ut formatis iudiciis intuitivis sive ex definitione, sive ex hypothesi propositionis , deficiant Propositiones aliae , quibus majoris loco utamur ad conclusiones ex istis judiciis Merendas Quamobrem variis opus est artificiis, quibus propostio demoUranda reducitur ad eam mmam, qua ex nobis eremus principiis demonstrabilis efficitur. Equidem dubium non ex generales quasdam de his artificiis regulas praecipi posse: Sed eae ad Artem inveniendi spectant, quam a Logica distinguimus' filo tempore finitis universae philosophiae partibus trademus. Etsi enim Logicae in ipsis arte
inveniendi multus atque praeclarus sit usus cibia tamen eam minime exhaurit. Cumque nos non tradamus nisi ea, quorum rationem reddere valemus , vel quae firma experientia nixa ad aliorum rationem reddendam serviunt, cognitioni quippe phialosophicae intenti β. 6. Pro . , regularum autem artis inveniendi generalium ratio a notionibus ontologicis sisychologicis facultatum animae, specialium vero a principiis disciplinarum specialium pendet, res ipsa minime patitur, ut de arte ii veniendi in Logica dicamus, nisi quatenus ejus in eadem usus
absque aliis principiis intelligi potest Seponimus itaque istad
moestiandi artificia, quorum tamen hic mentio fieri debebat, ne tyrombus insufficientia de demonstratione tradidisse videamur,
ubi praepinationem, quae demonstrationem praecedit, per regu las nostras non patere animadvertunt is parationis enim n
mine comprehenduntur illa artificia, quibus propositio exprimeipiis nobis cognitis redditur demonstrabilis.
DemonstrationesGeometriae elementaris abun&diseent,istiusmodi praeparatione quam saepissime esse opus ita paulo ame in exemplo de
monstrationis indirectaeinat. .ss3 ex sipposto communi centro odi Id. s. eitur recta C A ad punctum eontactus A ct altera CD secans Erculum interiorem in B d exteriorem in D, ut ope axiomatis de ae alixate radiorum ejusdem erculi demontiati, noue absolvi meae. S,
455쪽
Fig. militer in demonstratione ostensiva chord ea B per radium CD bi-
sedi ei eparatio absolvitur ducendo rectis A, B, AD N B. Fig. elides a. Elem. I. demonstraturus si trisagici AB C latui, num BCeontinuetur in D fore ansulum cxte .ium CD di sitis internis onm ti AsB simul sumtis aequalem , theorema ad demonstrationem praeparat ducendo EClateri in parallelain. meque vero istiusmodi praeparationibus tantum locus est in Geometri , sed in aliis quoque disciplinis. Sane ipsime in Logica jam aliquoties theorema ad demonstrationem praeparavimus. Ita demonstrauari, quando eon eluso falsa esse debeat, si alterutra praemissarum salsa fuerit, omnes syllogismos categorico reduximus ad hune generalem: Quie- quid sub universali A per B determinato continetur, ei convenit praedicatum C. Ataui incontinetur sub A per B determinato. Edigo ei convenit praenicatum in I. 38. 39. 4O. . Similiter demonstraturi, quando propositiones hypotheticae indefinitae oppositae aequi- valeant contradictoriis , propositiones istas reduximus ad sormulas generales Hoe universale, quod nomine designatur, in hypoth, si est m& hoe universales in hypothesi non est B I. 3o9. .lodi eo demonstraturi definitionem aequivalere propositioni universali praeparamus theorema ad demonstrationem , dum definitum eone,pimus tanquam ens, cui nomen istud convenitid notionem eidem in
definitione tributam tanquam attributum ejusdem entis as . : id quod aliquid fictitii habet, suo tempore in Arte inveniendi expliean. dum ubi de fictionibus heurificii aesturi sumus, quibus doctrina omlologica cum psychologica de facultate imaginandi faciem praeserre
DE CERTO, INCERTO ATQUE PROBABlu
ciri atque, I agnoscimus, propositionem os e veram, vel falsam, iue ritus positio dicitur nobis esse certa e Quodsi non agnoscimus, nitis uirum ea vera fit, an salsi, incerta vocatur.
E. gr. Per definitionem circuli intelligimus, quod omnes radii sint aequales propositio igitur haeae omnes radii ejusdem circulisvns vires aequales, certa est. Qui demonstrationem supra tot ssi. allatam dinet, is agnoscir, veram esse propositionem, quod in parallalogrammo an-Dj9iligo by Corale
456쪽
De certo, incerto atque probabili 3i
guli Hagonaliter oppositi aequales sinto ea igitur propositio ipsi certa
est. Qui vero vim demonstrationis non perspiςihlive quod praemis sis ignoret, sue quod formam demonstrationis animo nondum habuerit comprehensam vel demonstrationis prorsus ignarus, Vel prinsentem bi distincte non repraesentans ei propositio incerta est. Sis militersieni eum oculorum testimonio pateat, adeoque Veram esse ipso sensu eonstet propositionem Io lucet propositio haec certa est in universum omnibus, qui oculorum usu pollent.
Quoniam notio certi atque incerti relativa est, cum re Cur sidem spectum ad cognoscentem involvat sera potes, ut eadem pro προ sitis μ' positio unisu certa, alteri vero incerti s 564-)- is
Nimirum etsi propositio omnis in se vel vera sit, vel salsa, quem ' 'admodum mox ostendemus non tamen omnes agnoscunt, utrum vera sit, an falsa. Non igitur mirum, si una certa sit, quae lucerta alteriis. 6 4. Exempla modo allata assertum illustrant.
Omnis propositio vel vera est, volsalsa. salsa nimirum est Cur omnis propositio , quae non est vera sae.) Quamobrem cum rustis*ς propositiones Propintio A vera est Propos io A non vera est ', Qq sint contradictoriatis. 288. , ex duabus autem contradictoriis altera necessario vera, altera necessario falsa f. 532. omnis
omnino propositio aut cra erit, aut falsii. E. gr. Aut verum est, omnes radios ejusdem circuli interse esse ae mlas, aut falsum est. Ἀut verum est,solem lucere, aut falsum est.
Si praedicatum subjecto convenire observamus , proposito no Propositionμbis certa est Si enim predicatum siubjecto convenire observa a posteriorinnis, propositionem veram esse agnoscimus , 517. , a o certσ-que salsam es e non posse novimus s. 566. . Certa igituri
E. gr. Nivi convenire albedinem ipso oeulorum judicio constat. Veram adeo esse eum agnoscamus propositionem, nixe lassas eadem nobis certa est. Incerta vero caecis est, qui oeularum usu destituti nec niv m , nee ejus albedinem vident. Enimvero ne videa-
457쪽
mur observare, quod praediratum subjecto alicui eonveniat, quoatamen eidem non convenit, seque decepti rere esse putemus de propositionis veritate, quemadmodum saepissime aeeidit paulo post distinctius disquiremus, qua cautione circa judicia intestiva opus st, quae ab experientia derivantur.
f. 568. μι fit Si praedicatum subjecto convenire me directe, siue indiresse prire demonstrare valemus propositio nobis certa es. Qui enim d e monstrare potest propositionem sive directe , sive indirecte, is eam veram esse agnoseit s. 344. 337. , adeoque salsam esse non posse novit s. 566. . Certa igitur ipsi est propositio 3. 564. .
Exemplum ante dedimus de aequalitate angulorum in parallelo' grammo diagonaliter oppositorum not. g. 64. . Atque ea ratio est, cur omnes demonstratae a Geometris propositiones sint eertae, quam primum demonstrationes comprehenduntur. Eadem est rario, eurnos ad certitudinem philosoph am teducturi demonstrationibus stin
Cujunum sit Quoniam demonstratio omnis, tam ostensu, s. 33I. 332. ,eac xi quam apogogica g. 353. 539. mera syllogismorum concat natione absiluitur, non una ratione instituta, praemissat autem omnes verae esse debent, ut vera inseratur conclusi, ,3370,
qui demonstrationis vim percipere seu ad asse Uum proposito δε- monstratae praebendum compessi debet, is ἐν singularum praemis rum veritatem perspicere formam demonstrationis non modo animo comprebrasam habere, sed particularem quoque, quo
occurrit, generali convenientem Umsicere tenetur. E. gr. Qui vi demonstrationis determinari debet, ut assensum praebeat propositioni In parati rammo an vli diagonaliter οπεμ ti aequales sunt illi non modo definitio parallelogrammiis verius theorematis de symptomatis parallelarum atque axiomarum , quod aequalia eidem tertio sint aequalia inter seis quod residua aequasi sint, si ab aequalibus idem auferas, perspecta esse debet non .ssi , verum idem etiam agnoscere debet, quod tali syllogisinorum cod
catenatione non inferatur nisi conclusio vera. Dissilia πιν Corale
458쪽
protionis praesentis stimuina.
E. gr. Si quis ignorat, utrum verum sh nee ne, quod duo anguli intemni oppositi inter lineasparallelas a transversa sectar sint aequales duobus rectis, is si vel maxime in demonstrando fuerit optime versatus atque in casu presentia formi demonstrationis genuina non esse aberrarum abunde perspiciat nondum tamen novir,utrum in parallelogrammo anguli diagonaliter oppositi aequalessint duobus rectis,an vero, quale ssi. 3. Si eui principia demonstrationis singula,veluti in praesenti casu defini. tio parallelogrammi theorema modo commemorarum atque duo axiomara paulo ante not.3.3690 dducta fuerint perspecta is tamen nondum certus erit veritatis propositionis de aqualitate angulorum in parasielogrammo diagonaliter oppositorum, ubi sexmam demonstrationis ostensiva nee ex Logica sibi tamiliarem reddidit, nec ipso usum consu.
sam i quandam illius ideam animo ingeneravit. Immo si vel maxime singula ista demonstrationis principia optime noverit atque ideam sormae demonstrationis sive eonfusam ipso usu, sive distinctam ex Log, ea sibi aequisiverit; quodsi tamen non attenderit,an praesentis demonstrationis forma deae isti respondeatig 48.3 9.), an ab eadem aber-rer, syllogismis in forma peccantibus, vel non legitime concatenatis; propositio nostra eidem eerta esse nequit Hinc intelligitur ratio eur
rones theoriae geometricae demonstrationum Euclidearum vim, qua assensus vel ab invito extorquetur, non percipiant sub initium trahationis quam in progressu sentiunt Nec minus patet ratio,cur in domonstrando exercitati idem experiantur, modo ryrones ad elementa Euclidis delati, ubi novum rerum campum ingrediuntur, quarum notiones ipsis nondum sunt familiares, ut, quoties iis aliqua ossertur,ejus veritatem una percipiant. Minc etiam liquet, cur demonstratio apo-gogica,qua ex propositione data vel assumta infertur ricis contradistoria, non convincat attentum, nisi fundamentum illationis habuerit ex
459쪽
pristini δε δεβρ mrissimem essessam certum est. Falsa propositio
Ambis sta est, si praedicatum notioni subjecti repugnat 3. 326.). Fallatatione M. igitur esse agnostis, qui novit, verum esse, quod praedicatum notioni subjecti repugnet. Enimvero qui demonstrare valet, prat- dicatum subjecto suo seu notioni ejus repugnare, is novit, Verum
esse, quod praedicatum notioni subjecti repugnet 3 544,337-, Certum igitur ipsi est, quod falsa sit propositio 3 36ψ λΕ. gr. Per demonsti ationem apogogicam patet, repugnare circulisse intus tangentibus, ut idem habeant centrum, cum post eodem utriusque centro sequatur absiardum,scilicet quod pars scio aequalis inor s. n. Qui igitur vim illius demonstrationis percipit,illi certuna est filiam esse propositionem, qua affirmatur, circulosis intus tange trahabere iam centrum
Adiuinat s inomata certusant, itemque postulata. Axiomata j, sistitis balata sunt propositiones demonstrabiles 3 267 269.), at orcstra que adeo terminis intellectis patet, praedicatum subjecto convenire, vel non convenire, quod vel eidem tribuitur, vel ab eodem removetur Ueritas itaque axiomatumo postulatorum cum illi sit peripecta, qui terminos eadem ingredientes intelligit. 3. 3χ. iaxiomata atque postulata cena sunt 3. 5640.
Ita certum ei totum esse majus sua parte statim omnibus , qui ter minos totistipartis ariliae mafinis intelligunt, hoc est, vel eonfusas m tiones terminis respondentes habent. Similiter qui novit definitionem circuli cli radii, vel notionem confusam habet is veritatem axiomalis perspicit, en ero ejusdem circuliδεια inter se aquais , atque 34 axioma ipsi certum est.
Rὸapis . Req sitio veritatem appello ea, per quatinedicaturuνwn ais, subjecto tribuendum determinatur.
ritatem des E. gr. Ad vegetationem plantarum requiritur semen Geundum,mtio terra, cui semen committitur, ae: libere fluens, alor solis pluvia atque ros. Quamobrem si noverim, semen sereundum terra fuisseeommissum in libero aere, quo solis radii per diem pertingvht, pluviamque atque rorem alternatim terram irrigasse omnia adesse novi, quae ad hoc requiruntur, ut plantae ihi locorum crescant. Is Diyitir m Cooste
460쪽
In moralibus atque politicis eas quilibet determinatur per circunx stantias, quibus omnibus praesentibus, intelligitur casum istum adesse. Cirrumstantiae igitur illae sunt requisita ad veritatem illius easus , ut nempe assirmari possit, casuri stille esse loeum. Per notas,quae definitionem ingrediuntur, definitum determinatur in suo genere suaque specie. Notae igitur sunt requisita ad veritatem definiti, ut nempe ex iis praesentibus eoncludi possit, definitum subjecto allata esse tribuendum i quod deinceps expressius ostendemus.
Pui omnia requisita ad veritatem adesse agnoscit, is veri Veritastatem certo eognoscit Qui enim omula requisita ad veritatem quanta rem agnoscit, is novit adesse ea omnia, per quae praedicatum subjecto tribuendum determinatur g. 3730 Qui vero novit, praedic tum rubjecto tribuendum per haec determinari' ea omnia hic adesse, is determinabilitatem priedicati per notionem subjecti distincte agnoscit f. 880 Quamobrem cum veritas sit dete Lirabilitas praedicati per notionem subjecti f. 313. veritatem distincte agnosci constituenter qui omnia requisita ad veritatem adesse agnoscit, is veritatem certo cognoscit 3 36
Applicemus exempla modo mi. f.s730proposita ad theorema prae sens, ut facilius intelligatur. Si cui fuerit perspectum ad vegetationem plantarum non requiri, nisi ut semen foecundum terrae committatur in aere libero, quam sol interdiu calore suo fovet atque plinvia eum rore irrigat, necnninus noverit in praesenti aliquo casu haee omnia facta esse, is veritatem hujus propositionis certoeognotat,quod ibi crescant plantae, etsi ibi loeorum non fuerit, ubi crescunt. Utvntur etiam hoc argumentandi modo homines quam saepissime in praesenti essu. Similiter si in moralibus vel politicis mihi tuerit perspectu casum Aper illas eireumstanrias determinari, atque mihi constet. amnibus istis eireumstantiis hie esse locum easu quoque Ahie loeum esse certo agnoseo. Ita etiam qui novit notas singulas,qua definitionem aliquam ingrediuntur, subjecto cuidam inesse is certo novit,ens hoe referri debere ad hoe genus vel ad hane speciem Attento haud ditriculier patet, eum, qui omnia requisita ad veritatem adesse agnoscit
se inde veritatem eolligit applieare dietiam de omnio nulla s. 348. 369 3 o. quae applicatio cum eonsistat in syllogismo, cujus utraque praemissa vera est, conclusio quoque ejus vera eri deber 9 437,