장음표시 사용
641쪽
dum eorollariorum desinitionibus subjicit theoremata , quorum v xitas intime non perspicitur, nisi demonstratione redintegrata. Quodsi ergo propositionis alicujus demonstriationem in elementis nostris perpendere volueris , postquam corollarium , quod eandem enntibnet, in Mathes Stumiana trutin eris veritatem propositionis praesentis ipso facto experieris. Poteris etiam Clamium , vel aurorem alium, qui perinde ac nos completas dedit demonstrationes elementorum Euclideorum, consulere, postquam Stumius de evidentia soblieito negotium facessit. Quoniam Geometrae primi ordinis in seliediasmatis praesertim , quae Diariis Eruditorum inserere solent. demonstrationes incompletas amant, propterea quod peritis scribunt, non tyronibus inui eorum demonstrationes rimari voluerit, donee eas ex asse assequatur, difficultatem sibi objectam abunde sentiet. Legat, cui volupe est opus eminens Principiorum Philosophia naturalis mathematicorum Viri summi et proni, qui, cum Geometris primi ordinis seripserit, incompletis demonstrationibus ut plurimum contentus legat etiam Leonitis in Actis Eruditorum eonten ta schediasmata nec erit ab eo, quod modo demonstravimus alidinus. nimvero demonstrationes incompleta non modo negotium facessunt νronibus,verum etiam exercitatis, qui, cum ob alia agenda
in meditarionibus mathematicis continui non sint, propositiones ab aliis suppositas omnes familiares habere nequeunt. Ratio ex dimonstratione patet, ct constat ipsum Hugenium is in studiis mathematicis assiduum . de diffieultate operis Neruloniani intelligendi ob demonstrationes incompletas conquestum fuisse, quemadmodum me olim ex Dibnitio audivisse memini. Ceterum probe norandum est, me viris summis minime imputare, quod demonstrationes compiditas dare non potuerint summam enim hoc arguerer ignorantiam. &rationem modo reddidi, cur eas dare noluerint. Sane plurima abs que demonstratione nullibi adhue demonstrata, sed a se primum imventa proponunt, ut aliorum studia excitent quis vero adeo vesanus foret, ut vel sibi, vel aliis persuadere vellet, quod demonstrationes dare non potuerint 3 Immo in genere notandum est , nos tantum theoremata logica demonstrare, a reprehendendis aurem autoribus
quam longissime abesse , quibus rationes subinde esse possunt noueontemnendae, cur theoremata logica instipe habere malim, veluti eum Geometra demonstrationes incompletas affert ad exercendum aliorum ingenia, ut, dum ipsos in partem inventionis trahit, non istrideat voluptatem ex inventis percipiendam, quae multa industria quae
642쪽
De di iudicandis libris dogmaticis
rebantur , quemadmodum artem visum fuerat S L .mitis auid bat, quod ita sungeretur loco colis.
Demon alio ordinata facillime iste itur .aninetum lecto Praerogarisariae plerius convinciis genuinae demoUrationis ideam Ustinctam demonstra 'animo tigenerat. In demonstratione ordinata propositiones risuis ordi- singula, quae demonstrationem sive tanquam praemita, sive tan t pra ivi quam conclusiones ingrediuntur , eo ordine se invicem excia r- βω-piunt, quo in ratiociniorum serie, in quam demonstratio s
luta abit, continentur 3 799 ) Nullo itaque negotio Nehor demonstrationem , dum eandem evolvit, in suos ibit gismos resolvit, ut appareat, nec in materia, nec in forma ha rere vitium, consequenter veritatis propositionis demonstratu, certus redditur 3 57o.). Demonstrationem adeo ordinatam facillime intelligere datur. I pono nimirum, quod nemo in dubium vocaverit, demonstrationem penitus intelligi, qua primum eam resolvere datum sueritis. III. seqq.), nec quic-mam amplius circa eam dubii superesse potest , quantamcumque ingenii aciem in eadem intendas.
Qui demonstrationem ita resbivit, ut certus sit, nec in materi , nec in forma latere vitium ullum cis plenius utique convincitii de veritate propositionis quam alten, qui de uir que non satis fuerit certus. Ita autem comparata est demonstratio ordinata, ut vel invitus caui rite resolvat lector , modo attentionem ad eandem asserat, quemadmodum modo ostendum is tentanti manifestum evadit. Denique cum demoustrationis genuinae formam animo distines e non comprehendat, nisiritu noverit, ex quibusnam ea ratiociniis componatur&quomodo illa inter se conneetantur
3. 331 2sqq. demonstrationem autem ordinatam, quemadmodum modo ostendimus , lector attentus perlegere non possit, quin eam vel invitus in sua ratiocinia resolvat, eaque docente ratione inter se connectatri ni illum quoque dubium
643쪽
6is Part. H. Sin. LII. Cop. V.
superesse potest, quin istiusmodi demonstrationes saepius m ditatus genuinae demonstrationis sorinam tandem animo distincte comprehendat.
Experiuntur hoe illi, qui demonstrationes nostras in elementis mathematicis sibi similiares reddunt, quas quam maxime ordinatas esseere studuimus,4 postea alios autores consulunt, qui inordinatas afferre solent. Et prosecto demonstrationes inordinatae maxime in causa sunt, cur autores egregii demonstrationes extra Mathesin daturi probationes attulerint, quae a vera demonstrandi serina quam longissime absunt.
D mmclem Quoniam demonstratio consummatis ordinata est,& com-rimi cum pleta G, 83s Pea edi facile inteluitur, di plenius lectorem com Ammqt uincis, genuinae demonsrationis ideam ammo ejus generat' f. 33j 838. x Diconsummata cum inordinata sit S incompleta 3 855.o, dissiculter melligitur, lictorem non adeo fortiter ad assensum trahit, nec genuinae demonstrationis ideam animo ejus ingenera cit.).
Quod in demonstratione inconsummata remanet dubium, vel examina tollunt,vel successu temporis crebra repetitione contracta iambliaritas examina enim nos convincunr, quod bene ratiocinati simus, ubi a priori deducta suit propositio; familiaritas vero evidentiae sp ciem mentitur, ubi cum acumine attentio minime conjungitvir Demonstrationes inconsummata confusam demonstrationis deam. eam que incompletam' ex parte obscuram, animo ingeneranr ita ut in illa
dijudieanda falli adhuc possis 1 a. 8O. . Ipsa experientia loquitur, quod brevi temporis pario magnoque I boris compendio multam sibi scientiam comparare possint, qui istiusmodi libris ducibus utuntur in quibus demonstrationes sunt consum tae. Arque ea rario cst, cur elementa nostra Matheseos sedula manu evolventes, vel nostra inuit. tione usi celeres in hoc studio experiantur progressus eurna in istis demonstrationes proposuerimus consummatas ct in lectionibus earum analysin naturali maxime modo institutam exhibeamus.
suaud ne Si mi inscripto scientifico in numerum axiomartim , probatiunc stulatarum refert propositiones denoo irauras, is sne probatione
644쪽
De dijudicandis libris dogmaticis. I9
ssumit, P. probari debebanc Si propositiones fuerint demo in muri strativae, intellectis terminis nondum patet, utrum praedicatum se . iiiibjecto convcniat, nec nes 3 262.), consequenter non appa ret, utrum propositio vera sit, an falsa s. 5O3.). Ut adeo constet, utrum vera sit, nec ne, demonstratione opus est g. 344. 337.). Enimvero axiomata ct postulata indemonstrabilia lunt 3 267 269.), adeoque ex terminis manifesta f. 62. probatiosae nulla indigent. Qui igitur propositiones demonstratuvas in numerum axiomatum postulatorum resere, is eas nulla probatione indigere censet, atque adeo sine probatione immit, quae probari debebant.
Exempla obvia sunt in eorum scriptis , qui methodo Geometria recepta libros conseribere ausi sunt, cum methodi illius interiora minime habuerint perspecta, idea demonstrationum nonnis incompleta animis ipsorum inhaerente. Quoniam vero abunde docuimus, quando propositiones sint indemonstrabiles f. 63. 64. ωquaenam innumerum axiomatum ac postulatorum reserri debeant g. 68. aro. seqq.) haud quaquam dissicile erit in eas dam dijudicare, num autor propositiones demonstrativas in axiomatum, vel postulatorum numerum reserat. i. gr. Si quis existentiam Dei demonstraturus methodo mathematica inter axiomata refert, I dari ord rum universi a. ordinem universi esse contingentem his sne probati ne sumit, qua quidem vera sunt, attamen sine probatione nec rent, nec ab atheo conceduntur. Utrumque demonstrabimus in
Cosmologiari ubi apparebit, quam multa recondita opus stae ctrina, antequam utraque propositio demonstrativa ratione evinei possit. Quod si vero quis demonstrationes profunde haustas capere nequit is tamen probabiliter easdem adstruere debet quo in casu existentia Dei exinde tantummodo probabiliter probaturig.486 γ, etsi probatio sussciat ad assensum imperandum bene multis, qui inter certum irobabile distinguere non didicerunti
me debet, in numerum axiomatum, e flosulatorum refert;
is me probationesumit, quod probari debet. Qui ad experien
tiam minime obviam provocat, is casum singularem affferre Iii a tene
645쪽
tenetur l. 666. , unde scilicet judicium inmitivum deduxit, ut appareat num idem sit rite formatum f. 669. ω67o. ex in crus num ad universalitatem absque praecipitantia fuerit, rs. 726 7 .) Non igitur sine omni probatione alarita poecit Enimvero cum axiomata & postulata indemo secabilia Ent s. 67. 69. , adeoque ex terminis mani sta Get. proe ione nulla indigeant autor, qui judicia intintiva experien tarnime obviae debita in nuinerum axiomatum, vel pinkilatorum reten, ea nulla probatione indigere arbitratur. Atque adeo patet, quod sine probatione sumat, quae probari, eurpe per operientiam, sive a posteriori, debebant
Nos g tur in Mathes mixta observationes circumspecte enunciamus ne vim Labreptionis rei evadamus g. 668. , vel alio labctione minus cauta ejus participes reddamus, cludicia intuitiva per o am emotariorum iisdem subjicimus. Eundem morem ior talia sopb uiri aeque te muru
tu iia. t mi , utut probatione indigeant, is lectorem ad certam matum, quae proponit, cognitionem perducere nequit f. 8 - Quamobrem qua ι migerum axiomarum G postulatorum proposuitames demo fratrem dy judicia inurima experientiae minus obvie debita refert; Dictorem ad cretam Ogmarum, qua proponit, cognitionem minime perducitis. 86O mi. .
E. gr. De existentia Dei dubitantem ad certam ejus cognitionem minime perducit, qui eam demoni raturus inter a atomata refert, dari natura ordinem eumque esse contingentem.
Pro sim Si scriptum dogmarisum historicum in usum inventorum rem scrip ρ ρ ditur, omnes propustiones eidem serendae sunt, quae in Hiemifigm i ' i ei, Ghe d monstrara extant. Etenim veritates ex effinitim nibu &Itypoeli us datis eruturus familiares habere debet
ιὸ in issi propositiones 3m inventast, aq. 723. . Cum vero commmm . iaci Bion possit, ut omnes Omnino propositiones, quae in libru
646쪽
De iisdicandis libris dogmnticis. a I
libris scientificis in aliquo gener scientiarum conscriptis demonstrantur, inveniendi arte pollentibus familiares sint, pra, sertim si in illa non sint continui memoriae vicem stipplere debet liber dogmaticus historicus in usum inventorum conditus. Omnes igitur propositiones in scriptis scientificis demonstratae, ne incerta cum certis confundanturi 368. , eidem inlc-rendae, ut evolvi possint, quoties neces artae inventori nunime
Hactenus istiusmodi scripta in ipsa Mathesi desiderantur , etsi
magno usui futura inventoribus : quod alibi ostendemus & ex demonstratione propositionis praesentis colligere liceti Cmnes autem propositiones, quarum idem est subjecthim , in uno loco congerendae,&subjecta earundem o dine alphaberico collocianda, ut absque t bore reperiri possint Videtur aliquod horum scriptorum specimen dedisse Mesemius, dum universe Geometriae mixtaeque Mathematica Synopsin conscripsit, in qua dennitiones & propositiones Lichaila, Rami, Archimedis, epleri, Theodosii, Menelai, Maurostri spol ni Sereni M orgii Pani se .ibsque demonstrarione, sed eo ordine proponuntur, quo apud Aurores, a quibus demonstrantur, eollocantur, dissiculter adeo reperiendae, ubi eas evolvere volueris Inservit ista synopsis potius inventoribus, ut propositiones jam inventas sibi familiares reddant, quam ut nondum familiares, quando iis tabent opus, evolvant. Ceterum si seripta istiusmodi dogmatica historica prostarent, hunc praeterea inventoribus,riestarent usum, ut inde discerent, num propo-Drio aliqua in quam meditando incidunt am ab aliis fuerit inventa.
lectionem simitifimvmm praeparetur lector sine rustiones ei renda in demons eudae Aut quarum frequem est in demonstrandis aliis usum sectis' usus Quoniam enim veritatis propositionis demonstratae ceria vi se vi intus non est, qui praemiuarum syllogismos concatenatos ingre ς μ' dientium veritatem ignorat f. 37o. x ad lectionem scripti scientifici accedens demonstrationum vim facillime percipit, qui omnes propositiones, quae pretemussarum loco habentur, is
647쪽
gmatico historico in usium lectionis scientificorum eondito ii 1erendae, quarum frequens est in demonstrandis aliis usius.
Qui ad studium Geometriae elementaris accedunt , nullis adhuc cognitis definitionibus atque propositionibus, plurimum dissicultatia in demonstiationibus concipiendis experiuntur, propterea quod earum principia ipsis nondum familiaria. Unde accidit, ut subito quasi lux quaedam eorundem mentibus affundatur, quam pi imum crebra ' . repetitione illa semiliaria evasere. Magno igitur commodo renera aetate istiusmodi scripta volvuntur, antequam ad ultiori ad scientifica accedas. Immo praestat tyronem omnem illorum lactionem sedulam praemistere horum lectioni, ubi celeriori tramite progredi libuerit.
MI ius Si sicriptum dogmaticum historicum in sum vite conditur,renda in propstione eidem infrendae sunt, quae ad praxin tendunt. Quae usim vi enum in vita usui ense debent, ad praxin aliquam tendere , per
se patet. E. gr. Geometriam elementarem in usum geodarticum seribens praeter definitiones problemata ad exercendam Geodoesiam necessaria Villa theoremata eidem inserere debet, quae in praxi Geodaerica usui sunt, veluti theorema de ratione summae omnium angulorum polygoni ad rectum , quod examini inservit, num instrumento goniometrico anguli singuli accurrate fuerint capti.
Prositisης Quoniam in scripto scientisso propositiones demonstra insere' ri , vel probari debentis. 731. , facile patet, I sicriptumscien- seripi s fcum in tisium vitae conditur, praeter propositiones, quae ud p . i. '' 'tam tendunt, eas etiam inserendas esse, quae idis demonserandis im
Ε. gr. Nos elementa nostra Matheseos Germanica ea potissimum fini condidimus , ut praxes in vita utiles demonstrativa ratione traderemus. Non plura igitur theoremata inseruimus, quam quae iis demonstrandis sufficiunt.
renda in eum in sim eorum conditur , qui, ubi hactenus inventa sibi usim 'V ' familiaria reddiderunt, propria meditatio: uiseriora eruere δε-
648쪽
De dijudicandis libris doginaticis. 623
erauerunt, ei inferendar ese propositiones etiam alias, quae ad sum
Omnes nostrae actiones ad finem aliquem tendere debendi Cognitionis autem theoreticae fila is est praxis, vel ulterior veritas per eam eruenda. Qui inventores agere nolunt, frustra sibi familiares reddunt propositiones, sine quibus demonstrativa ratione praxes adduseere licet ast inventorum non est negligere theoremata, quorum nulla adhue utilitas apparero Suffici eadem esse vera, ut sic ferente Oeeasione praemissas praebeant ratiociniis, quibus ulterior veritas nonnunquam quoque usus theoriarum hactenus desideratus detegitur. Nos opera nostra larina philosophieais mathematica eo modo condimus, ut ad ulteriora adspicimtibus usui esse queant.
Quoniam ex fine ab autore intento judicium fieri debet, UD, theore num scriptum ejus in suo genere completum sit f. 16. matum pra theoremata de propostionibu unicuique scriptorum generi pro di ς η inmmersitate filium infrendi inserviun judiciis formandis, Irum scripta sui in Do euere compita, nec ne.
Usa hic major est, quis videri poterat. Etenim non solum iudicia de utilitate veritatum detestarum praecipitant illorum ignari; verum etiam qui alios docent non satis caute seligunt discentibus prolatura. Sed uberius de his dicemus in Politicis curam imperantium inpromovendis virtutibus intellectu libus sub incudem revocaturi.
is i in rGolutione problemati bi gula recensemur, quibu D RVolutioctis obtinetur, quod adsociendum proponebatur 'esolutio proble problematis ma/ii completa est in cisi opposito incomphra. Problema enim compsetos cum sit propositio praelicitis. 76.), adeoque aliquid fieri prae iη mping cipit s. 266.o ejus resblutio modum docere debet, qtio ali- uuid fieri possit, consequenter haberi debet pro notione distincta molli, quo aliquid fieri potest. I igitur singula recenset, quibus factis obtinetur, quod fieri debebat, completa utique
Non absimili modo colligitur , in cassi opposito res blutionem exhibere notionem incompletam, adeoque S ipsam recte incompletam appellari
649쪽
Exempla solutiomam completarum habemus in elementis Math. seos, ubi resolutiones problematum distincta constant enumerati ne sngulorum, quibus factis'mesto satisfit. . gr. Dum trianguli aequilateri constructio docetur, factis iis, quae praeeipiuntur, triam gulum aequilaterum construitum est Theorema praesens definitionis loeo esse poterat in nostra enim libertate positum est hane solutionis speciem dioere completam visi oppositam incompletam. Enimvero cum termino eodem jam antea us fuerimus iraesenseasu commode ad anteriorem tanquam species ad genus redueatur;
eonsultius quoque judicavi fim reductione ostendere, quod definitionem notanalem non sine ratione condamus.
p)esua con feri debent, ut i, quod petebatur reflatio superflua continet. tinens. Constat ex demonstratione propositionis praecedenti 869. resolutionem problematis esse notionem distinctam modi, quo aliquid fieri debet. Quodsi igitur in ea plura enumerantur, quam quae sieri debent, ut fiat, quod petebatur is a re livitionem problematis non spectant & cadem salva ac integra
abesse possunt Nullum adeo dubium , quin stipersilia sint
Si quis resolutiones problematum in elementisMatheseos propost, rum examinare voluerit, is experietur, nihil in iisdem contineri superflui atque adeo exempla eidem in promptu erunt, quibus theorema praesens illustratur. Duplici autem modo innotescir, num problema tis solutio superflua contineat, altero quidem a posteliori, altero a priori. posteriori innotescit, ex resolutione superflua exulare sera ad easum singularem applicetur, cum se appareat, num quibusdam praetermissae, quae praecipiuntur, fiat quod erat faciendum. A priori idem discitur, si attendamus, num sngula, quae praecipiuntur , de monstrationem ingrediantur. Utrobique cautione opus est ne facto examine judicium praecipitetur. Etenim in casu priori haud rari sunt casus, ubi vix superflua detegere licet, nisi variis tentaminibus actis. num hoc, vel isto omisso adhuc obtineatur, quod intenditur. Exempla praebent formula medicamentorum compositorum. In casu posteriori demonstrationem non ingrediunt ur, quae id pretestatar ut, quod
erat faciendum, commodius fiat. Exempla praebet communis algorith
650쪽
De dijudicandis libris dogmaticis. as
mus numerorum integrorum, V gr. eum numeris summandis decen
ter scriptis ducitur line, quae aggregatum inveniendum ab iisdem separar, ne num ri ad hoc spectantes per errorem ad illos reserantur. Demonstrationem additionis minime ingreditur egula de linea sub numeris summandis ducenda. Problematis de lignis eaedendis solutionem a superfluis vacuam dedit Vitruvius lib. I. c. 9 f m. 33 qtaemadmodum in Elementis Architecturae Civilis ostendi. nimvero si quis cum egetio lunae decrescentis rationena haberi jubet,superflua in eam
lis praecipiunturoieri, quod erat furiendum, nee in ea praecipian probΔ-tur, nisi quae feri posse jam consat resolutio prιblematis vera cra. st. Omne problema reducitur ad theorema, si resolutio sumitur pro antecedente k quod fieri debet pro conlequente propositionis hypotheticae Scilicet omnia problemata continentur sub hac propositione generali: Si haec ni, si etiam , quod erat faciendum. Iam si nihil praecipitur inresblutione , quod non fieri possit, antecedens verum est 3 3o6.) Quare si demonstrari potest positis istis fieri, quod erat faciendum , propositio hypothctica demonstrata est 3. 332.) Vera igitur ei propositio hypothetica, ad quam resolutio problematis reducitur 3.348. M . .eomequenter etiam problematis resolutio.
Exempla praebent omnia problemata Geometriae elementaris in nostris Geometriae elementis,immo omnia quoque ceterarum disciplinarum mathematiearum problemaraeg. r. Si triangulum aequilaterum
superdata recta AB construendum, ex Acti inrei l recti AB in tersectio in fieri jubetur, eaque fatis porro praecipitur, ut rectae AC& BC dueantur. Reducitur adeo problema de construendo trimagulo aequilatero ad hoc theorema Si ex punctis extremis As B, effae datae AB ejusdem intervallasiat utersectis in C punctis atque Betιmsmucto intersectionis Cconnectantur triangulum constructum ACBes aequilaterum Nihil hic praeeipitur, quod non fieri possit. Quare eum demonstrari possit, triangulum sic constructum aequilaterum esse, problematis resolutio vera est.