장음표시 사용
101쪽
In qua agitur de Posteriori Methodo Indi uisibilium.
AC TENVS is testare potuit studiose qu sit ratio procedendι iuxta prιμ
rem methodum Iudiuisibilium : nune vero posteriorem araredimur tu hae Exerc. a. in qua, n alior,babuit,quo
sibi amplius satisfaciat , si ab infinitate
Indiuisibi aborrea collectivesumptoris. D.π.in Exerc. ant. nu. 6 Miserepotuit bu tantu distri uitiue eadem In diuisibilia comparari. Porro de bacposter ora methodo tractat ex professo Geometriae Ind. Liber T. quapropter ex eo praecipua istius desumenturfundamenta, 'veluti in antecedenti Exerci nobis Onorauna suscit eiusdem Liber a. D nuo igitur hic exponetur dictι Libri T. Trop.prιma cumsu sequentibus Lemmatibus, necnon Propos. Σ.-34 reliquo eiusdem doctrinae postmodum summarie tantum explicato. Denique his adiungentur ea, que Vcipue ad confirmationem Actarum Propolis. pr. tertis,ac ιotius Lorι T. a me nuper offensa sunt. Eι etet haec quoque clarior ant, mbi congruet interdicunturpariter μια, Πυι in Exerc. avt. con serrumisit.
102쪽
I. Subsquens Propo tisespraecipuum huiusposterioris meth di Inae uendamentum: quapropter haud Lia tori mirandum erusi per tot, quot ad cientur Lemmata,videbit eandem confirmari . Non crgo perfunctorie ,sed attente erit examinanda. Epautem haseus Q.
Libri Septimi Geometriae Indiuisibilium. Figurae planae quaecunque in eisdem parallelis constituistae, in quibus, ductis quibuscunque eisdem parallelis a quidistantibus rectis lineis,conceptae cuiuscumo; rectar l, Iacar portiones sunt aequales, etiam inter se aequaIes erunt. Et figurae solidae quaecumq; in eisdem planis parallelis costitutae, in quibus, ductis quibuscunque planis eisdem planis parallelis aequi distantibus, conceptae cuiuscunque sic ducti plani in ipsis solidis figurae planae sunt aequales, par
ter inter se aequales erunt. Dicantur autem figurae aequali. ter analogae, tum platiae, tum ipsae solidae inter se compar tae,ac etiam iuxta regulas lineas, seu plana parallela,in quibus cile supponuntur, cum hoc suerit opus explicare. Sint quaecunque planae figurae, BZJc, C ,in eisdem parat telis, A D,Yq, constitutae, ductis autem ipsis, AD,Yq, qui buscunque parallelis, E6,LΣ , portiones ex. g. ipsius, Eo, in figuris conceptae, nempe, FG, HI, inter se sint aequales, necnon ipsius, LΣ, portiones, MN, OP, simul sumptae siectam figura, B L &. ex. g. intus caua secundum ambitum, H, O, ipsi, SV, sint pariter aequales,&hoc contingat in quibuscunque alijs ipsi, AD,aequi distantibiis. Dico figuras, BL&, CiSA, inter se aequales esse. Assumpta ergo alterutra figit rarum, BL&,C A, ut ipsa, BLI, cum parallelarum, AD, Y , portionibus ipsi conici minantibu S, n Empe cum, AB, Y&, superponaturreliquae figurae, C Λ, ita tamen ut ipsae,AB,Y. , cadant super, BD,& q: vel ergo tota BZ&, congruit Dissiligod by Corale
103쪽
gruit toti, 3Λ,& ita cum sibi congruant aequales erunt,uel non aliqua igmen pars esto quia congruisit ustui parti, ut, ςIr 18Mira figurae,BZ&, ipsi,Clri3387, parti figurae, C.A. Manisenum est autem superposition d figurarum taliter cffecta, ut portiones parallelarum, AD,ΥΑ, ipsis figuris conterminantea sint inuicem seperpositae, quod quaecumq; rectae lineae in figuris concept* exant sibi in directum,inanct
ctum ipsi, SU, dicta superpositione acta, inanent etiam sibi in directum, nempς, QR, ST, in directum ipsi, SV, est enim distantia ipsarum, MN,OP,ab, AD,aequalis distantiae, S V, ab eadem, ADivnde quotieicunque, AB, extendatur lisper, BD, ubicunque hoc fiat, semper, MN,OP, manebunt in directum ipsi,SV, quod is de caeteris quibuscunque ipsi, AD, parallelis in utra que figura liquido apparet. inod vero
pars unius figurae, ut, BZV, congruat necessario parti figurae, . ,& non toti, dum fit superpositio tali lege, qualisi, cstsi est, sic demonstrabitur. Cum enim diictis quibuscunq; ipsi, AD, parallelis,conceptae in figuris ipsarum portiones, quae era ut sibi in directum,adhuc post superpositioncm maneant sibi in dircctum, ills vci 5 ante superpositionem ement ex hypotest aequales, ergo post superpositionem portion parallelarum ipsi, AD, in figuris sis perposliis coceptae, erunt paliter aequales, vi ex. g. QR, ST, simul suinpt v p qilablin-M Mu
104쪽
tur ipsi,sRergo nisi utraeque,QR, ST,congruant toti, SQ. congruente parte alicui parti,vr,ST, RST,erir,QR, quo lis ipsi,TV,&, QR, quidem erit in residuo figurae ι BZct, sit perpositae:TV,vero in residuo figurae, ,cui fit superpositio. Eodem modo ostendemus cuicunq; parallelae ipsi, AD, conceptae in residuo figurae,M&,siuperpositae,quod si, Id P. syri respondere in diremim aequalem rectam lineam, quae erit in residuo murae,CβΛ,cui fit superPositio.Ergo superpositione hac lege facta, cum superest aliquid de Mura sape posita, quod non cadat super figuram, cui fit superpositio necesse est reliquae figurae aliquid eria superesse, super quod nihil sit superpositum. Cum autem unicuique rectae lineae parallelae, AD, conceptae in residuo, vel residuis quia ponsunt esse plures Durae residuae figurae, Brac, siue,Crur, superpositae, respondeat in directum in residuo, vel residuis figurae,CV,alia recta linea , manifestum est has residuas figu. ras,sive residuars aggregata, esse in eisdem paraliciis. Cum ergo res dua figura,ΗR 197, sit in parallelis, E 6, Y , etiam residua figura, vel residuarum aggregarit,ipsus, CH quod sit ipsa frustadrA, 8s, erit in eisdem paraIlelis; E6, Y : si enim non pertingeret hinc inde ad parallelas, Eo, Y vi ex. g. sipertingeret quidem usque ari Esi non tamen usque a ΥΑ,sed latum usque ad,LΣ, conceptis rectis lineis in frusto,
105쪽
. &β3 9R,ips,AD parallelis non.responder miri residuo figulae,c ex residuis aggregato, aliauectae lineae, ut superius cesse esse probatum est .Sunt ergo haec res dua, vel residuorum aggregata in eisdem parallius de in illis conco-ptae parallelaru ipsi , AD, Yq, portiones inter se sunt aequales,ut supra ostendimus tergo residua eu residuorum aggre. sata, sunt eius condicionis, cuius ipsas, BZ&, C Λ, figuras iam sese suppositum sui didcst aequaliter analoga . Fiat ergooenuo res duorum superpositio,ita tamen ut parallell,GH, Si super parallelas,Hk, β sint costituis,& congruat pars. V tusti,Η' 397, parti,iu aerusti, Ira, ostenciemus ergo ut lupra,dum unius habetur reiiduum tabcri etiam alacrius; dc haec residua siue residuorum aggregata,esse in eisdem parallelis. Si autem ad figurana. BL&, spectans residuum. LVλ3ΠX i ad figuram autem, Cita, sint pertinentia residua, I x o V, 78I, quorum aggregatum est in eisdcm parallelis cum residuc , k , κJΠX, nempe in parallelis, E6,Y . Si ergo horum residuorum fiat denuo superpositio,ita tamen ut parallelae, in quibus existunt, sint semper ad inuicem superpositae,& hoc semper fieri intelligatur,donec tota figura,suerit stuperposita,dico totam debere ipsi, C β Δ, congruere; alioquin si esset aliquod residuuari ut 6 ri, C βα, cui nihil xssct superpositum , esset etiam aliquod residuum figurae, Bu,quod non incisupcrpositum, ut supra ostendimus nccesse esse e ponitur autem totam, BL& , esse superpositam ipsi, Cergo ita sunt ad inuiccm stipei positae, ut neutriusrcsidua habeantur, ergo ita sunt seperpositae, ut sibi comgruant. Eigo figurs,sZN,Cβ interses,inta quales. i. Sint nunc in codem schemate duae figurae 1 olidae quaec queZZS,c βλ, in cisdem platus parallesis, AD, , constitutari ductis aut cin quibuscunqui planis, Eo, LΣ, praefatis aecpud istantibus, sint con prae in solo dis figurae, quae iapentin eodcin plano, semper inter se a. qualcs, ut, E G qualis, MN, PP, simul sumpta sit enim solidit figura ex. g. BZ&, intus utcunque caua secundum superficiem, JO,) squales ipsi, SV . Dico eas ficax solidas figuras equales
106쪽
Meraitatis Secunda. perposuerimus,ut planum, AB, sit in plano, AD, Usi ah Φlano,ra, ostendemus ut fecimus sirperius circa parallela. ri m ipsi, Anci nceptas in figuris planit,B ,- poleti, Res figuras iniqsdis,M. ,CD, eonceptas qui erantinet dem plano, etiam post superpositionem manere in eodemi Plano, & ideo adhuc aequales esse figuras in superpositisi si, lidis conceptas,&ipsis,AD,Y parallelas. Nisi ergo totum solidum toti congruat in prima superpositione, relin et . residua solidae, vel ex residuis compolita in utroq; quae non erunt ad inuicem superpara,sun enim Isim, ST,squentur figurie, SV, dempta εommno, isti, ST,resiqua, QR, squabitur reliquς, TV, hocque conii κin 'uouis alio plano ipsi, A D, parallelo occurrhiato miid bC, P, C . Ergo semper habentes residuum uni soIid
habebimus etiam residuum adterius; & patebit , iuxta es, rhodum adhibitam in priori parte huius Propositionis i caliguras planas, residua solida, vel residi aram aggregata semper esse in eisdem parallelis planis, ut residua , Iro, 7 8s , esse in planisparestetis. Eri , ac aequaliter analoga. Si ergo iis c residua adhuc superponantur, ita ut planum, ΕΗ, locetur in plano, H λ& υ , in, 4 dc hodiem per fieri intelIeatur, donec quod superponitur, , ut. PL& ; totum fuerit assumptum, tandem ipsiam totum , BZ &, songruer toti, C AE A, nisi enim toto sblido, B , ipsi, C s Λ, superposit6 pia sibi congruerent,esset aliquod residuum unius ut solidi, Ci3 A, ergo ctiam esset aliquod residuum solidi, Chir, seu, BZ&,itIudque non effers
perpositum, quod est absurdum, ponitur enim iam totum
solidum, B T & , esse ipsi, C β A , superpositum.Non ergo erit aliquod residuum in ipsis sblidis, ergo sibi congruent, ergo dictet figurae solidae, B Z inter se squales erunt,
i quae fuerunt demonstranda. Prἱstis autem figuri', ut supra innuimus, dicatur aequaliter analogς, & si opus erit, iuxta regulas lineas p
rallelas, seu plana parallela, A D,
107쪽
CVin antecedens Propos maximisit momenti, ut inse- quentibus apparebit, aliusque modus priorem partem demonstrandi, stylo Archimedeo haud absimilis, menti succurrerit, id siuin ne pereat in Lemmata distributum hiesubiungere placuit.' LEMMA PRIMUM.
SI in eadem,vel aequalibus hasibus, & in eisdem
i parallelis figurte plana aequaliter analogi iux taeasdem baseέ fuerint constituis,ira tamen ut quae- basibus linearum portio-ye innitu meoncepta: ngyris integrae uni, ac ei dem basi, vel basibus aequales, ipsae pariter figurae inter se aequales e runt '3 r
Squaliter analogae iuxta eandem basem, CH, scia basies aequale iadristas: extensa vero quacunq; ipsis, P F,pa'
NO,ihlegrae an .c aequatis basi,GH, seu dictis squalibus balbus. Diconiam haesitas figuras inter se aequalcs esse.
108쪽
basium,sis constitutumn in eisde parallelis,Aῆ,iniquo
cunque parallelogranatuum, C H, in qu0 portio concepta ipsius.SR,sit,LM,quae erit squalis ipsi,GH,di consequetito: i, No,vndea desita communi, MN,fiet AEN, qualismo. Eodem modo autem ostendemus, CE, esse aequalenum,dereliquas huiusinodi similiter ad quari Nunc aviumpto trilineo, ECG ,& posito, C,in,D,α CG, Π,DΗ, cadet,G,in, Η, quia CG,DU lquilae Pales,cadente rotri impo, G. uiper, FDH,extendetur,CE,stipe DF,cum a usus,FDm . eYtaior sit aequalis interiori,ECG, parallelarum, DH,CG,& punctum,E erit in, ainbitusque, EN G, cadet stiper ambirum FOH, si cnim non, esto quod aliquod punctum ambitus,ENC: non cadat super, FOΗ, calici ergo ves extra trilineu,FDΗ, velit ira, cadat extra, utin, Ruta ut ambitus, EN GH,cadat ut,FRH, crit ergo, Mit,maior,MO, sed, MI ,estaequalis, LN, ergI, LN, crit maior, MO,sed est etia aequalis eidelis O, eκ dcmonstratis ,ergo estet aequalis, & maior eadem. Mo, quod est absurdiam.Non ergo aliquod punctum ambutus, ENG, cadit extra trilineum, FDH.EOdem modo probabitur, nec cadere intra eundem trilineum , ergo ambitus, FN G, caddi super ambitum, FRH,congrueim istus toti,&conseque iusi etiam trit m S, ECG, coartiet trilineo,FDH,
109쪽
ter se aequales erunt. Cum autem dictae fisus a fuci intinaequalibus basibus, tune constituentes super unam anὶq; parallelbgramum in eisdem parallelis cum ijsdem postum, concludemus etiam dictas figuras aequales esse, probantes eode modo descriptis parallelogramis ad quari, qui quideinter se erunt aequalia, quod dem6strare opus erat. Hsc au- te vocetur parallelograma curvilinea,cu, AG,BΗ,EG,FH, fuerint curu et lines, cum vero fuerint rectae lincet, parallelogiisa rectilinea ad illorsi differetia Ea de appellabimus, sed utraq; in genercisi libuerit, nomine parallelogrami tantum etiam nuncupabimuS.
L E M M A II. SI in aequalibus restis luteis ,' tamquam in ba
sibus, et 'in eisdem parallelis, fuerint quaecunque planae figurae , aequaliter analogae iuxta dictas bases 3 portiones autem aequi distantium
quotcunque ipsis hastat in fiPrisconceptae integrae fuerint, ac in altera dictatum G urarum sic se habentes, ut quilibet propinquior asi sit maior remotiori r dictae figurae inter se a
quales erunt. Sint in aequalibus rectis Iineis,QP,TY, tamquam in bas, bus,& in eisdem parallatis,AL, QT, quaecunq; planae fixae, CQPD, Η TY L, squaliter analogae iuxta dictas bases,
QP, TY , ductis autem quotcunque basibus parallelis, ur, X,r V, 3k, earum in figuris conceptae portioncs intcgri sint,ac in altera figurarum propinquior basi maior remollO
110쪽
eaeteris, cum sint aequaliter analogae iuxta bas , QP dico figuras, CQPD,HTYL, stiter-aequales en: Si enim non sint aequales, altera earum maior erit,sit maior, HTYL, ipsa, CQPD, spatio , , tunc minoris figurae basis, ,moueatur versus, Al , semper ipsi, AD, aequidistanter, ac manente iugiter pu iacto, P, in linea, PDi donec cotaruat ipsi,AD,igitur punctum, describet lineam, QrA, &,QR describet parallesogrammum, AP, rectilineum , seu curualia nemo prouGAQ. DR 'erint re , vel curuat: prie autem, in A, Big extra figuram, C QPD, cum parallelae, P, in fi- gura, CQpD , ipsi, , propinquiores remotioribus sint
Lmper maiores quo pacto data basi, & curtia linea, tota in ςodem plano cum ipsa basi,ac uni extremorum eiusdem cointermin te,parallelogi ammum curvilineum ab eisdeH ain pichensum, deserit ibi cdocemur)similiter compleatur paralis grammum, ΙY, iucaturque; 3 V, cpara heIa, QY, bis riam diuides altitudinθfigurarse, CQPD, H L, respectu, QY, sumpta, secans';, RQ in,r,C hin, I,DP, iii,&, FT, in, Π, HT,in,R,&,LY,in V. Per, PU, igitur diuidetur parallelo- L m in qualia parallelograma, A&, & .Rursus autem per alias ipsi, CY, parallelas dividantur dictae altitudines portiones bifariarn, & sic semper fiat sectis insimul constitutis 'parallelograminis, quae idcirco etiam hifariam diui