장음표시 사용
81쪽
De Priori uel bovi tib isibilium.
& pariter sunt lim lia triangula, A XB,S XC, ergo, AB, ad, 'T, crit vi, BO,ad, OT,idc si vi, BX, ad, XC, quia, VC, p, rallela est ipsi, AB,& consequentcripsi, OX, idest ut, AB ad , SC, ergo, VT, SC , erunt aequales, & eorum qua, ata pariter aequalia. Sic autem de caeteris ipsi , AB, parallelis idem ostendetur, ergo omnes lineae trapeZij, AERB, erunt aequales omnibus lineis trapezij, AID B, regula, A B, &consequenter ipsa traprata erunt aequalia, & oia earundem quadrata pariter aequalia, quod Ostendere opus erat.
SI parallelogrammum,& trapezium habuerint communem basim unum aequi distantium lateria trapezij, quod iit sumptum pro regula: Omnia quadrata parallelogrammi ad omnia quadrata trapeZij erunt, ut quadratum dictae basis ad rectangulum subparallesis lateribus trapezij, cum quadrati differentiae dictorum laterum aequidistantium. Sit parallelogrammum, AC, & trapezium, IBCo, cuius
Iaterum aequi distantium alterum, ut, BC, sit communis basis ipsi, vicalici Dico eaeo omnia quadrata, AC,ad omnia quadrata trapezij, IBCD, esse ut quadratum, BC, ad rectangulum sub,BC, IO, una cum quadrati differentiae ipsarum, BC, IO. Sumatur in,DA,ipsa, ED, aequalis ipf,lo,& iungatur, BE,& per, E, ipsis, AB, D C, parallela ducatur, E M: Omnia ergo quadrata trapezij, EBCD,per lineam, EM,diuiduntur in Omnia quadrata trianguli, E B M , in omnia quadrata, MD ,&in recita gula sub triangulo, EBM,&, EC, bis sumpta,ad horum ergo sinis
gula comparemus omnia quadrata,AC. Igitur omnia quadrata, AC,ad omnia quadrata, C E, sunt ut quadratum, BC, ad quadratum,CM, quod serua. Insuper omnia quadrata, A C , ad omnia quadrata, AM, sunt vi quadratum, CB, ad quadratum,BM, iἰς in Omnia quadrata,AM, sunt tripla om-I a nitura
82쪽
i . huius. nium quadrato in triaguli,EBM,id est sunt ad illa, ut quadratum, BM,ad quadrati, BM,ergo ex aequali,omnia quadrata, AC,ad omnia quadrata trianguli, EBM, crutvt, BC, ad φ quadrata, B M, quod pariter s. rua. Tandem omnia i 'hμ- φ ' quadrata, AC, ad rectangula sub, AM, MD, erunt ut quas ratum,Bc ,ad rei tangulum, BMC, rectagula vero sub , AM,
MD, ad rectangula sub triangulo, EBM,& sub , MD, sunt vi, AM, ad triangulum, EB M, quia illa sunt omnia rectan gula parallelogrammi, AM,& rrianguli, EB M. aeque alta, altitudinis nempe aequalis ipsi, MC , sumpta regula, BM,
idcst dupla,idest ut rectangulum,BVC,ad eiusdem dimidiis. Ergo ex aequali omnia quadrata, AC, ad lectangula sub triangulo, EBM,& sub, MD,erunt ut quadratum, BC,ad di- Inidnim rectanguli,BM C, ad ea scm vero bis siumpta ei unt, ut quadratum,BC, ad recta gulum, BM C. Ergo, colligendo, Omnia quadrata, A C. ad omnia quadrata, E C, ad omnia quadrata trianguli, EBM, & ad rectangula his sub triangulo, EBM,& sub, EC, eru tat ut quadratum,BC,ad quadrat st, C M,cum rectangulo, Clin B, & μ. quadrati, BM.Sed recta impulum B M C, cum quadrato, MC, conficit recitangula sub, B C, C M, ergo Omnia quadrata, AC, ad omnia quadrata Per D.Co trianguli, EBM, parallelo rammi, AtD , rure et angula bis rol. 3-hn iboeddein , id est ad omnia quadrata trapezij, ED CB, id cst EG ahiee. ad Omnia quadrata trapezij, IBCO, quia, Io, ED, sunt aequales erunt, ut quadratum , BC, ad rediangulum sub, BC,
CM, id est sub ,BC, ED, vel, Io, una cum e. quadrati, B M, qtiae est differentia parallelariam,BC, ED,siue,BC, Io, ipsius trapcet ij, i BC quod ostendere opus erat,
83쪽
Libri 3. q. s. quam hic totam extendι re nequassa m intendo sed tantam edicta Geometria Ind. huc ea duxi tranfferenda , quibus priorem Indiuis ilium methodum Lecto uscienter edoceri posset. Sequuntur nunc duae Propositiones, nepe 33 s 3 q. cum suis Corollariis quarum veritas cum in antec
dentibus suppo uafuerit ideo litis premittenda ipso entsed
ne ordo Libra fecnndi dictae Geomc tria ρι ruerteretur , suo loco irat Iasent. De iis antepraemonitu uitstudio sp nι ob nimia abstractionem omnium quadra orum cosderataru guraram, nimo iniucunda eidem eanderct hac doctrina, illius L.nem non per i sienti . Nunc ergo de Ira assamptis certus si dum in I NE 3 3. eiusque Corollariss intelligit in consederatione omnium quadratorum datarum figurara, mul comprehcndi es omnes alias, miles earundem figuras ct omnia sodasmilaria ab eisdem genita. Eic in Pros clare intuetur solidas milariag nita ex parali tetramnus iuxta rcguias bases esse cylindricos,
.i utcunque figuris planis it in earum
unaquaque lumpta vicitia, ille re ii Ia. Vt Omnia qua. orata carumdcm figurarum sti mpta ita Aia cilcitas rigillas ira
84쪽
cumque regulae, EF, parallela, HM, quia crgo quadratali, bent inter se duplam rationem laterum, a quibus describu . p. & is . tur, ideo quadratum, EF,ad quadratu,HM, habebit duplam eius, quam habet, EF, ad HM, sed eti m aliae duae quaecumq; figurae planae similes ab eisdem tanquam lineis, vel lateribus homologis earumdem desicriptae habent duplam rationem earundem, ergo, ut quadratum, EF, ad quadratum,HM, ita crit alia quaelibet figura planae destripta ab. EF., ad similem, sibi descriptam ab ,HM, ita ut, EF, H M, sint carum libmologae, & permutando , quadratum, E F, ad aliam Gguram descriptam ab , E F, erit ivt quadritum, bibi, ad figuram Bpraedictae similem ab , HM,d
scriptam . Sic etiam esse osten demus quadratum cuiuscumque
in figura , DE p , ducta ipsi , E F, arquidistantis , mhritis. ' EO,ut unum ad unu, sic omnia ad omnia, idest ut quadratu, EF, ad figuram aliam quamcumq; dc scripta ab, EF, sic erutomnia quadrata figurae, DEF,regula, EF, ad omncs figuras smiles eiusdem figurae, DEF,regula eadu, EF. simit in qua descriptae ab , EF. Vt autem quadratum, EF, ad figuram deis scriptam ab , EF, ita quadratum,BC,ad figuram, quae describitur a , BC, similis ei, quae descripta est ab EF, ita ut describentes sint earumdem homo togae,&vt quadratum, BC, ad figuram d escriptam a , B C, sic cile ostendemus omnia quadrata figurae, ABC,regula, BC, ad omnes figuras similes ciuidem figurae, ABC, similes inquam descriptae a, B C, vel ab, EF, eodem modo, quo id ostendimus in figura, DEF: erago omnia quadrata figurae, ABC. ad omnus figuras similes alias quascunq; eiusdem figurae, ABC, erunt, ut omnia quadrata figurae , DEF, ad omnes figuras similes piae dictis clusiacm figurae, DEF, regulis eisdcm BC, E F, crgo permutando , ut omnia quadrata figurae, ABC, ad omnia piadrarii figurae , D E F , ira crunt omnes figurae simiales quaecumque figurae, ABC, ad omes figuras similes praeci: ctis figurae, DEI . Quia vero Onancs figurae simi-
85쪽
Ies alicuius figurae planae regula quadam sumptae, sunt omnia plana solidi, quod dicitur similare, & g cnitum ex tali figura iuxta eandem regulam. id co,ut omnes figurae similes quaecunque ipsius figurae, ABC,rcgula, BC, ad omnes figuras similes ipsius figura , DEF, regula, EF, similes inquam praedictis, id est ut omnia quadrata figurae, ABC, rcgula,BC,
ad omnia quadrata figura , DEF, regula EF, ita erunt omnia plana solidi similaris cum scuri: que geniti ex figura, ABC, tu Ara regulain,BC,ad Omiva plana solidi sillularis geniti ex fistura, I EF, iuxta regulam,EF. Vt aut in omnia plana duorum solidorum sic & ipsa scilida , creti ctiam solida similaria genita ex figuris, ABC, I EF liis sunt similaria ad inuicem, quia Omnes figui ae siti ite, figulae, A B C, sunt cliam similcs omnibus figuris similibus figurae, DEF, iuxta regulas, BC, EF,erum ad inuicem , ut omnia quadrata earumdem figurarum eis icin rcgulis sumpta, quod erat ostendendum.
HI nc patet, si in figura , A BC, utcumque regula,BC, descripserit duas quascunquc figuras, quod ut una
descriptaru D,ad omnes figuras cium cna limites alteri deseris tartim id est ita lininia plana solidi similaris geniti ex , ABC, iuxta regulan , BC , similibus existentibus esus cm figuris uni deseri prasum ad omnia plat a solidi similaris geniti cxeaecia fioi a iuxta com7cia legi lana huius smilibus existent hi. s figuris alteri de si riptartim idest ita et unt solida sim l. ma ut ι' i a lx ad c π figi ra, AB c ,iuxta cc renitin m reis git hiri . sc , i on tamen sinitoria ad inuicem , scd qua-IIIn On n a plana iunt cinanes figurae similes eius d cn ALc ,s milis ii qua ir, quae stant unius dictoium solidorum uni descripta iuma, B c , figurarum, & qua' sunt a lintcnus, similes alteri descriptarum figura
86쪽
V Nde solida similaria, sed non ad inuicem,genita ex. Na figuris, ABC, DEF, iuxta regulas BC, EF,quae duas figuras planas dissimiles descripterint, quibus sint similes figurae,quae dicuntur omnia plana dictorum sinularium solidorum; erunt ad inuicem, ut ipsae figurae diis miles descriptae ab ipsis, BC, EF. Nam soli tu similare gela itu ex ,D, EF,iuxta regulam, EF,ad sibi similare genitum ex figura, ABC, iuxta regulam,BC,erit ut figura descripta ab , EF, ad sibi similem figuram descriptam a , B C , item solidum hoc siinitare genutum ex figura, ABC, iuxta regulam,BC,ad sblidum similare, sed non sibi, genitum ex eadem figura iuxta ea ridem regulam,BC, erit ut figura descripta a, BC, similis descriptae ab, E F, ad figuram sibi dissi nilem descriptam ab eadem, C, quibus figuris dissimilibus sint similes figurae,quae dicuntur omnia plana solidorum similarium genit 0rum ex eadem figura, ABC,iuxta communem regula, eroo exaequali
Iolidum similare genitum ex figura, D E F, ad solidum similare,sed non sibi, genitum ex figura,AEC, genita intellige
iuxta regulas, EF,BC, cete Me sis ura descripta ah, EF, cui sui
similes figurs huius solidi, ad figuram descriptam a BC, prs- dictae dissimilem, cui sunt similes figurae solidi ex , BAC, geniti iuxta regulam, B C.
Ρ R o P O S. XXXI.V. Solida similaria genita ex parallelogrammis iuxta regulam unum eorumdem laterum, sunt cylindrici. Et solida similaria genita ex triangulis iuxta regulam unum eorundem laterum, fiunt conici; quorum bases erunt figurae a regulis descriptae,& latera, eorundem palallelogrammorum, vel
triangulorum latera regulis insistentia. Sit ergo expositum quodcumqtie parallelogrammum, AC,& triangulum, FGH , in quibus pro regulis sumantur latera , BC,GII Dico solidum qiiodcumque similare genitu
87쪽
ra parallelogrammo,AC, iuxta regulam, BC, eme cylindricum,cuius basis crit a , BC, descripta figura,& latus viribuis ipsorum, AB,LC, laterum regulae, BC, insistentium; Ee genitum ex triangulo, FGH, iuxta regulam, GΗ,esse conicum,cuius basis erit a, GH, desa ta figura, & latus virum. uis duorum,FG,m, regulae, GH, insistentium. Describantur a regulis, BC,GH,figurae utcunque planae, BCE, GH aequaliter inclinatae planis,AC, FGH, deinde per circuitum figurς,BCE, seratur latus,AB,cui sit aequale latus,EX,quod que puncto, A, describat circuitum figurae, AXL, & per circuitum figurae, GH P, feratur utrumuis laterum,FG,FH,i definite productum versus figuram, GH P, cuiuSportio inter, & puctum, P,sit,FP, erit ergo solidu, quod clauditur superficie cylindrica,descripta latere , AB, & duabus figuris,ALX, BCE, cylindricus;& quod clauditur superficie conica descripta altero Iaterum,PG, ΓΠ, indesinite producto, M figura, GHP,erit conicus. Dico autem solidum similare genitum ex , AC, iuxta regulam,BC, cuius omnia plana sint omnes figurae ipsius, A C, similes figurae, BC E, esse hunc cylindricum, ACE, nam quaelibet earum, quae dicuntur omnes figurae similes parallelogrammi, AC, regula, B C, similes inquam fi .gurae,BCE,est etiam similiter posita,ac BCE, descripta latere homologo ipsi, BC, igitur eius perimeter erit in superficie cylindrica descripta latere, AB, si enim aliquid eius esset intra, vel extra illam superficiem, aliquid eius esset intra, vel cxtra communem sectionem talis assumptae figurae, & superficiei cylindricae: talis autem communis sectio est perimeter is figurae similis,&similiter positae,ac, BCE, quia si cylindri- ictis plano secetur basi aequidistante concepta figura erit similis, & similiter posita,ac basis) ergo haberemus duas figu- Coiol.is. ras ab eodem latere homologo descriptas,similes aequales,&' 'similiter positas, & non congruentcs, quod est absurdum,
88쪽
eongruent igitur, erit ergo assumpta figura, quae est una earum,quae dicuntur Omnes figurae parallelogrammi, AC,similes ipsi,BCE, regula, BC, & est unum eorum,quae dicuntur omnia plana solidi similaris geniti ex , AC, iuxta regulam, BC, erit, inquam, assumpta figura etiam unum eorum, quae dicuntur omnia plana cylindrici, ACE, regula,BCE,quod etiam de caeteris simili modo ostendctur. Ergo solidum limi- Iare genitam ex,A iuxta regula,BC,& cylindricus, ACE, habebunt omnia plana regula,BCE,assumpta communia, ergo solidum similare genitum ex , AC, iuxta regulam, B erit idem cylindrico,ACE,cuius basis est figura, BCE, & latus alterum laterum, AB,LC. Similiter ostendemus solidum smilare genitum ex triangulo, F G H , iu&ta regulam, GH, esse idemc'nico, FGH P, cuius latus alterum laterum, FG, FH,&basis est figura, GHI consimili via supradictae proc dentes,quae erant demonstrNnda.
HInc manifestum est, si figurae descriptae a,BC, GH,sint circuli, quod solidum similare genitum ex, AC, erit
cylindrus,&genitiam cκ triatagulo, FGH, conus,sive recti,
sine scalent; si vero descriptae figurae sint rectilineae, genitum cI, AC,erit prisma eX, FGH, autem pyramis, siue recta, siue scatena caetera autem nomine communi vocantur solida similaria genita ex eisde firg. iuxta regulas,intellige,BC,GH.
SI intra triangulum, FGH, ducamus ipsi,GH,parallela utcunque, quae sit, DI,abscindensa triangulo, FGH, trapeZium,DH,ostendemus eode modo,quo supra, solidum similare genitum ex trapezio,DH uxta regulam, CH, cis frustum solidi similaris geniti ex triangulo, FGH, iuxta eamdem regulam,idest frustum conici, FGH P,idest coni, cum figura descripta a,GH,est circulus, vel stiistum pyramidis rectae, siue scatenae, cum illa est figura rectilinea, quae facile ostendentur.
89쪽
Ics cis qnae describuntur a bas bus dicti parallelogiamini,&trianguli,& sic concepcris cilici soliduin, cuius illae sit ni cmnia plana ; siue intellextris latus dicti parallelogranimi, vel trianguli indefinite productum rcuolui pcr circulium figuratarnabasibus descriptarum, vi habeas solidum dicta su-Κ a perficie
90쪽
6 Exere;tatis Prima . perficie deseripta, &basi, vel basibus comprehensum, idem
utroq; modo tibi obuenit lidum Potest autem prior v cari generatio solidorum per descriptionem figurarum ; posterior autem,generatio lidorum per reuolutionem facta,quq maioris dilucidationis gratia hic apposui, ut ex hac declaratione aliqualiter pateat,in plurimis etiam alijs utramqi generationem rite nos imaginari posse, ut in sphaera, spha roide, conoidibus, eiusdem frustis, & alijs quamplurimis , ut suo loco animaduertetur.
A. COROLLARII IV. GENERALIS SECTIO I. ET quoniam, ut ostensum est Prop. 3 3. huius Libri, ut
omnia quadrata duarum figuraru inter se sumpta cumdatis regulis, ita sunt solida similaria genita ex eiusdum figuris iuxta easdem regulas ideo cum in Propositionibus huius Libri inuenta est ratio omnium quadratorum pararulelogrammorum,vel triangulorum,vel trapez iorum,rssulis eorum lateribus, eandem rationem comperiemus haberes lida similaria genita ex parallelogrammis, idest cylindricos, vel eκ triangulis, idest conicos, vel ex uapezijs, idest frusta conica, genita inquam iuxta easdem regulas, quae amplius dilucidabimus singula , quae opportuna fuerint, Theorema. ta denuo assumentes.
B. SECTIO ILIN Prop. s. igitur exposita denuo eius figura. intelligam
turbases,GM, M H , describere similes figuras planas, quae sint , GIMR, MI HS , ut eorum linei ,: vel latera homologa, v n Eaeque erectas planis, AM, MC, & cinijs, tanquam in basibus consi- stere cylindricos. AM, Bbl,quorulatera sint,AG CH. Erut igitur hi cylindrici solida similaria genita ex paraIIeIogrammis, AmMC,iuxta regulas,GRMΗ,igitur et ut, ut omnia quadrata