장음표시 사용
131쪽
pem suefolida , nece 'fuit alia ab ad bita in Lib. I. rationem iustituere. Manissumes illi, qui attenιὸ Libri secundi Ge metria Ind. doctrinam perlustrarit, ut plurimum ibi considerari
omnia quadrara taliunx se talium figurarum iuxta datas regulas , eorumque ad inuicem proportionem. Id verὸ non ab re factum esse intelliget Philogeometrae cum enim. habita rarione omnium quadratorum datarum planarum Aurarsi iuxta tr
positam regulam uico habeatur ratio quarumcumque similium figurarum a datis figuris iuxta eandem regulam descriptarum,
J consequente obdorum Amilarium ab eisdem figuris iuxta
eadem regulam genitorum,ut probatur in Exerc.ant. Profl. 3 3. ideo operaepretium fuit prius examinare proportionem omnium quaaratorum datarum figurarum, iuxta earum assumptam regulam, ut inde lucraremmr eandem pro alys quibuscumquese
milibu guris, ossissis Haribus ab eisdem genitis iuxta
eadem regulam. Similis ratio currit in hac posteriori methodo, habita enim rarione interea , quae aequivalent dictis omnibus
quadratis issico huiusmodὶ infiniti lucri nobis fit accessio. seu
ualens ureo omnibus quadratis tale adinuemmus , quod facile intesiler', qui dominam numeri W7. Exercitationis ant. non fueris oblims Afumatur in exemptam , malinis inteEL gentis gratia , quae M MI Gmm- σα ν auel frammum , cui tin eodem numero 17.funonamusq; regulaba , or ab ea describi quadratum , rectum, vel ioclinatum plano eiusdem par auelogrammi , hocque quadratum sis ducem dorum planorum quoque regula. Rufus ab omnibas tineis dicti parallelogrammi reola νasi intelligatur describi quadrata, bases quadrato parallela: scimus ergo iuxtapriorem methodum hae vocari omnia quadrata dictiparallel rammi ,regula basi. Concipiamus nunc solidum quoiaam adiacens prae ιν parauelogrammo in basi eodem quadrato ab italus basi iam deseripio, in quo F secetur regula a uelis quotcumqueplani gignantur semper quadrata , descripta a lineis parallelovammi eius basiparasielis. Num ergo obium erit si quotcumque plana duci possunt assenu supponantuυ hae coincidere cum rictis omnibus quadratis usias parallelogrammi , ct eadem esse omnia plana dictisolidi,quod eritiarinulenipedum. Euapropter iliado eo, Madratum findo ricti parallelog ammi, regula qua-
132쪽
drato Biatas basis, unde conceptui omnium quadratorum sub Atuo conceptu oliditatis dicti paraue piperi, seu AFadrari
solidi, quo hac ratione utor. Hoc e sproponantur ex. σ. δεσparalle ramma in eisdem parallelis, quorum bases describant quadrata ad eandem pariem eisdem erecta seu aquὶ inclinata, ubi iuxta priorem methodum quaerenda esset proportio inter omnia quadrata eorundem; potius inuestigo rationem quad eorum solidorum eorudem paratulo animorum, regula eadem hoc traiectis quomodocumq; planis regulae equid antibus,
est collato quolibet quadrato unius solidi cum si respondensequadrato in ali obdo bi enim inuenero inter ea singillarim
comparata unam,steandem esse rationem, nempe quam habent quadrata basium, ill/cὸ pronuciabo iuxta Prop.3 perior hac esse solidaproportionature analoga, ct ideo hasere eandem
regula tam basis. quam ab ea descriptum quadratum, ia- inteLligimus quale nam se, quod vocamus quaiasu olidum eiusdem parallelogrammi consequore dictis infra to num. II. Excrcit. avt. anellamus quoque genitum ex eodem parallel grammo tamquam ex sua genitrice figura , esq; eis Potidum smιlare, vepatet ex B, Degnitionis 8. tradita in Exercit. ant. smado pro omnibus figurissimilibus obstituantur quotcumque in eo cooceptibiles. Iguo mutetur figura genitrix, quaeri e par.1sielogrammum in triangulum, traperi um,or uniuersaliteν in aliam quacumque figuram planam, in qua Ait assumpta quaelibet reruta , ct ab ea sit d scriptum quadratum rectum, vel inclinatum plano diritaegenitricis figura, nuncluto, facile intelligi potemt quale nam i imus quadratum sidam, qaomydo inter quarumcumque genitricium figuratrum quadrata Iolida ut ratili querenda , illaque ruuenta ad alia quaecumque, itaria solida ab eisdem genita figuris, transferatur. Sciendam tamen est a sincis, quae pro regulis assumuntur , vice qua dratorum posse ias ubi rectangula altera arte Angiora,cr consequenter hisparalli plana tunc no c c quadrata scdrecyangula
133쪽
gula prasitis equabaissimilia, arsimiliter defcripta in eo e supra quadrato solido nos ipsum appellare rectangulum foliadum. Utraque autem possumus hac genraraia dedimtione con
DEFINITIO RECTANGULORUM soLIDORUM. SI Wν tum quodcumquefolia m paralutis quotcumque
planis irascampossit, ut conceptae exsecanriouspianis in eo figuraesintsemper parallelem a rectangula statera vera eadem describantia snt omnia uni cuidam lateri, ut regulae aequidistantia: dicantur ea communi nomine Rectangulas da.
Verum fricta rectagula fuerint quadrata, dicantur speciali nomine Auadrata folida; ct Rectangula solida, cum illa non
ferint Euadrara. VI. Porro istorum solidorum quadam proprietates in eodem Libro I. demonstratur. Ut in Prop. II. ostenditur eademsemper sepe cie s cylindracris hoc es qua sent portiones superficierum cylindricorum comprehendi . Ex quo supposito illico intelligimus ad minus ψ, ct commum' o revisseis s ilia
circumdari posse. diuatuor inquam erunt, de mentibus rectam sulis ad duo opposita puncta ; quinque , si ex una parte terminentur adpuctum .ct ex alia adrectangulum; sex tarim,qua- do utrinque timites erunt ambo rectangula. Sicuti vero quodcumque rect uiam etsi habeat in suo ambitu quatuor latera, aeritur nihilominus contineri tantum ob duobus angulum rectum in eo constituentibus uxta Des'. Lib. 2. Elementorum,
quia opposita eisdem duo laterasan emper ipsis aqualia: ita quodcumque ex dictis folidis etsi qua uis superficiebus ad innas comineatur, in quibus iacentsemper latera descriptorum rectangulorum , congruenter tamen iactae Definitioni Eucliamna usum aeramus quoque comprehendi sub duabus tantum superfiebus capientibus duo latera rectangulorum inuicem perpendiculatria, quia alia dua praeiacitis Fqoriis exhibent ori,aetraefatis aqualia latera. Aliqua tamen hic interes cum curia Def. disterentia , etsi enim in ita latera reperiri
134쪽
fuerint dua quHibet piana figurae in ei ram parasielis, quarum regula,suponaturq; altera iactaru Aginata irim , diuisa, prout dicitur in praemata Pro a 3 recti iasMiduob indimo, se aeui tarua interra qua ri rectangulis foliis ob iniam inobpartibus diui . 'Hoc vera dem ruis roscio inferiuntur i s similia, qua in CorolZpraefata Prop. 2 t. Itaguntur, hoc est si ea iuxta hanc methodo adaptam supponantur. De his tamen insequenti spariter agemus. IX. His demonstratis probantur denuo per hae nou undamna
Prop. 3o, 3I, secum ni in gratiam doctrina retiquorum Liriorum rictae Geometriae, quam hic tota prosequi neutiquam intendimus,propterea es in Exerc.ant.pratrem hic quoque relinquuntur; xx'reliqua ex Libro 3,q, , eis e Geometriae, restaurata sexta hanc fosteriorem methodum. 3. . - α
Hven colhis etsi crus, quem exean erationesolida r diu lorum b datis figuris pender veritis diximus,
. nec evenit adhuc sendere Ut ad aerata, via res quia ilia ob duabus quibuscum me si'--xta os regulas , dia esse qaacunq;folida milari genita ab eisdem guris taxia easdem regulas . Hoc autem robat Prop. a a. dicti Libri 7. Hi demo ratione ei, qua allata es ad endendam Propos. 33. Libri a.
quam attulimus in Exercit. ant.
Disi e vi modus 'ocedendi iuxta hanc posteriorem me thodum in omnibus a0s figuris aliqualiter anareint, eadem
rabolam,st ab eagenitassice iam auarasent . Uumpta eLtur denuo figura eiusdem num. 31, prius es hic ostendemus parallelogrammum, T Cin quialterum esse parabolae , O AC, tali ratione. Suno uis indem ui constructis, manifestum est, ut ibiprobabatur U,ad, ΚΗ, esse ut quadratum, ra ad quadratum , K eae ut GΚ, ad H, uafumpta communi altitudine, GK,es quadratam Κ,adrectigulum, GKm ergo quadratam, , P G o, ad
135쪽
DForegula, , inter se, quam re pagulam HIL G sub , BD, ct trilineo, :ADC,ac quadratu olidum trianguli, A DE, regula eadem nter o proportionaliter analoga: qua ropter per
Prop. 3. erunt utraque ut quadrata, CD, D E, O consequenter in eadem ratione inter s. Sic ergo qώadratu obdum, B D,
adrectanguis obdurio BD,st trilineo, ADC; erit ut quadratumsolidum , F D, ad quadrata olidum trianguli, ADE. Sed uadratu indum, FD, triplam es quadrat olidi tria gub,ADE,ster acta num. a periori etenim quadrarum sol dum, FD,es Osindricus, se quadratu obdum, AD N conLcus,iuxta admonita nam.7. superiorist ergo ct quadrarem folidum,PD,triplum erit recta insolidio BDAE triline ADC. Verum ut quadratumsolidum , ED, ad rectangulum solidum
sub,BD,σ trilineo,ADC ta es D,ad trillineum,ADC,ster tradita eodem num. 7. superioris ergo parallelogrammo, B D, i' a trilinei, ADC, triplum erit, se consequenter semiparabolae, A B C, sequialterum . Igitur se parallelogrammum, T C,farabola,OA sexquialterum erit, ut locosepracitato perfriorem methodum pariter sendebatur. XII.
Sit nanc in eadem figura probandum quadrarum solidum, TC, plum esse quadrati solidipatrabolae,OAC,regula, OC. Su'
possis ergo tydem conservisis num. 3 6. Exerc. ant.constat, BA, ad, A S,
136쪽
dratum,SH. M propter ut pra tam quadratum folidum. LB,concludetur e e proportionauter analogum quadrat olido, DB,quam rectangulumsolidum sub, LB, is triangulo, ABN, quadrat olidosemiparabola C ,es subinde haec quatuorsolida esse proportionalia. Sic igitur quadratumsolidam , LB, ad rectangulumsolidum ob, LB, ct triangulo , ABN, mi ut quadratu obdum, DB, adquadratii solidum semiparabolae,ACB. Sed quadratumsolidum, LB, adrectangulum solidum sub , LB, triangulo,ABN, es ut,LB,ad triangulu,ABN per numreum 7.superiorem,hoc es duplum. Ergo quadratum foliae ,DB, quadratissidisemiparabolae, ACB,duplum erit ι se consequent etiam quadrata olidum, τC, duplum erit quadrati foliri parabola, OAC sunt enim ilia horum quadrupla. Nam per D.
Semonis Propos a 3. Exerc. ant. huicsylo adaptatae , rota perius dicta nu. 8 quadratumsolidum TC, aequatur quadraris folidis, T B, BD, Cr duobus rectangulis solidis b, T B, BD, hoc est quatuor quadratis solidis i us, T B. ΣΨa ratione pari.
ter consar quaaratum folidumparabola,OAC, quadruplum esse quadrati sobri femi parabolae , AC B. Poreb ex dictis num. I o. periori manifestum es hanc eandem rationem reperiri inter quaecumque alias olida genita ex parasielogrammo, T Cior sarmbola,OAC,iuxta eandem regulam, O C, quodprobat dicti Lib. I.
Ex iam dictis ergosaris credo precipi posse omnibus quadratis datarum Auram iuxta quandam regulam, ναIesul tui
earumdem quadrata solida iuxta eandem regulam ruto omisnibas rectangulis ob duabus figuris iuxta datas regulas, rectangula solida sub eisdem iuxta easdem regulas. Hac enim, collatis inuicem aestributiae eorundem Indiui bilibus, facile enucleatur quirationem habeant .Etenim habentur femper σhic quatuor solida proportionatiter, analogae quoru duos urige-mraex parallelog mis aequeritissesequa πινο exsiguris etfac rup a friptis,
137쪽
scriptis, regulis ror cfunt qa istuntia sagatiso mTgnituistinum ordinisus in Exercisent.num. 29. consideratis.Patet ergo ratio procedent per hanc quoqueposse emanetho n.
Asriam ureo Prop. I. a. ct 3 iverius reaaera potius μiusce method unt fundamenta , ideo ad earum veritarem com firmandam insolidis,non digimili ratione et quam post eandem Prop. pr. immeriaia adhibuimus operius in 'planis , hao qua obsequuntur nupero Ua, duri peraddenda. Ea tamen in praeterire poterit, qui ia demostratis quiescat: qua cumsnt ιngratiam pracipue dinaram Propositionum Uerviant tamen ortati doctrina Libri . dicta Geo. Inae 'opterea sub titulo Lem
Antequam vero ad hae Lemmata accedamus,quoniampassim nomen cylindrici, elusique non Leproprietates in dis usu pantur, τι multoties fi or pro usis, se pro conicis in superior, Auriputem non obscure Me que haec intelli potuisse,dum dictum es cylindricos esse corpora columnaria, or conicos nymmidaba , artamen ut eorum gulas condisiones exacte perci-μαυ-iosus, omniis; circa haec ab eo uuarur ambiguitas, e rum definitiones Libro primo Geo. Imί traritas hie confult.
XVI. Definitio CyIindrici. quae est tertia Libri Primi Geo. Ind. Eos a PacAv; figura plana, or in eiusdem ambitu6pto utcunque puncto, ab eoque ad alteram eiusdem palmitum ducta quadam recta linea terminata,o per planum
proposuη figura eleuata se hac per ambitum talis figura semper
aquidistanter cuidam recta linea moueri intestigatur, donec omnem percurrerit ambitum: alterum eiusdem extremum punctum quod non fertur per ambitum propstae sturae, defribet circuitum plana Aura i props a AEquid His, ut probabitur. Solidum ergo, quod comprehenditur virisque Auris iam dictis, o su-
138쪽
et uperficiebnea, qua reuoluitur defcri aduetur , Cylindriatus ., Superficies in reuolutione descripta, nec non quoHibet urbusfustum, peiuries cylindracea. Cylindrici opposio bases,dina figurae plana Inter se H Midistantes. Larus autem Olim drisi , quaeris recta insuperficie cylindracea oppositas ba spe tingens, cui comuit in reuolutisne i a linea reuoluta. Est tamdem regula Iateris e lindrici dicetur illa , cui reuoluta Nomanet a Miseans. U. XVII.
Desinitio Conici , quae est quarta
Libri Primi Geo. Ind. EΟΝΘviana quaeamq; figura, extris cuius plamum aduraramuis eiusdem partium quodcumqueμ assumptum pum m ab eo ad odis punctum libus ambitus rec a tinea δε--tur , qua indesinite quoque sis producta; hac per eiusdem
ambitum moueatur donec imum totum percurrerit ambitum; sumptum punctum erit vertex soliab, quod comprehenditu a perficie descripta a linea, qua reuoluitur nire ambitumproposita stu acto itim punctum clause, vertex inquam minptus νιsperi propositae urae, Wymbαμ- .-τale solidum a ram dicatur, Conicui, cuius basesproposita figura, se vertex dictvmpunctum. Superficies tas rapta a ιinea, qua reuoluitur, ct iacet inter ambitum propo uaflgura ac dictvmpunctum,or quodlibet illiusfructum dicatur,Superficies Conicularis. Ilia
Mero rec a tines,qua In eadereperiuntur,or quibus congruit re- aeoluta inter verticem, or ambitum basis conclusa, vocentur; Latera eiusdem Consci.
Proprietates quaedam Cylindricorum demonstratae eodem Libro Primo Geo. Ind. SI a quocunque puncto basis cylindrici, per quamst reuolutio, versus cylindricum da Iafuerit recta linea, parallela regula lateras cylinduci: haec erit laιus cylindrici in tali basicon ituri. Prop. Dei dem.
139쪽
In cylindrico , fratemper eiusdem iatera quomodomnque plano creatur in imoparauelogrammum, vesta Minamma.
Concursus planorum per latera cylindrici transeuntium sito recta parauela eiusdem cylindrici lateri. Prop. 7. Traiectis per latera cylindrici quotcunque parasielis planisi um scantibus, fiunt in eo parallelogramma quianguia. Propos. 8.
cum tangens: fer contactus in recta, vel rectis . qua erant μerea cylindrici; vel in parallelogrammis, aequiangulisper laurea duoro. Prop. 9.Secto cylindrico quomodocunqueplanopo latera ducto. ἀλλά tur in lindricos . At Geturparauelis aris, omnibus eiusdem lateribns coincidentibus , comprehensa ab illis, es imcis superficie cylindroea , solida erunt pariter olindrici. Propos Io. Cuiusuis Olindrici oppositae basemunt itis, aequales, σῶmiliterpositae. Prop. II.
Secto cylindrico quomodocunque plano per latera ducto,eiusdem oppo ta base reantur quoque in figuras miles, aequales, ct similiter po tas. At eceturparactetis piaris omnibus eiu dem lateribus coincidentibus, concepra in eo figure erunt pay tersimiles, aequales, essimiliter po m. Prop. II. Secto cylindrico quomodocunque plano fler latera ducto,ne nonplanis oppositis eiusdem basibus parallelis: eorum commmnes fectiones erunt oneae homologa similium figurinum ex tali parasielori oppositis basi spianorusectione orientia. Prop. I 3 Si duaefigurae planae, non existentes in eodem plano , fuerinae sun les aequales , ct similiter posita : H, erunt cuiussam olim Hici opposita bases.
XIX. Proprietates quaedam Conicorum ibidem ostensae.
P crum manens, cui in reuolutione init itar latus conici , os illius vertex resectu eiusdem basis. Prop. IS. Si conicus scetur utcunq; per vertice ducto Hano et in eot ri ulus,vel Iriangula. Prop. 16.
140쪽
Seno conico per vertice ducto plano, diuiditur is in conicos. At eos Io plano omnibus eiusdem lateribus coincidente, b ffum ab eo vemus vertice olidum erit conicus, ei que basis abscindensfigura. Prop. II. Si per verticem conici, rectam tangentem eius ext in datur planum; hoc tanget usum conicum in recta, viarectis ibneis, qua erunt latera eiusdem conici; vel in plano, aut planis,
qua erunt triangula. Prop. 18.
Si conicus cetur auomodocunq; plano basaquid ante uine gura milis eidem basi, militerposta. Prop I9.
Si conicus secetur quomodocunqueparallelisplanis omnibus eiusdem lateribus coincidentibus: conceptae in imo figurae erunt similes. 1 literposita. Prop. 2 o. Secto conico per verticem ducto plano, vel aliquo usum tangente in plano, vesplaniss deinde fecetur alijs planis utcunq; parassetis: communes dinorumpianorum sectiones erunt lineae homologa figurarum , qua ab usis quid fantibus planis in eo
Si dis gurae miles ct militerpositae naequales tameninon extiterint in eodem plano: im erunt cuiusdam frusti conici opposita bases. Prop. 2 2. uoniam vero hic,rae est in super; ori s saepe fit mentio similivmplanam gurarum ut Lector nedum has intelligat iuxta particulares desinitiones de simitibus figuris ab Hys traditas, sed et iuxta mea desinitione generale cui particulares cocordiare in eois Lib. I. sei,deo hanc quoq; hic biungendam duxi. XX.
Desinitio generalis similium planarum Murarum, quae est decima eiusdem Libri primi.
SImiles figurae planae in uniuersu vocetur, in quaru singulis oppositae t agetes ita duci post se in ea et Ictes ita incia
re ad eunde anguia ex eadeparte recta linea in illis terminata, mi si intra dictas oppositas tigetes, et eae idistate, utcumq; ductae fuerint rectae linea, eas, qua incιdunt dictis tangenti'bus qu.e uocantur earum Incidentes 2 similiter ad eandem parte ccantes; reperiamus harum Parallelarum, necnρnct posi-