장음표시 사용
71쪽
stentibus, quae ab omnibus lineis uniuscuiusq; propositatu figurarum describuntur,cuius desci ibentes sint carum linet vel latera homologa. Dico omnes figuras similes ipsus, AE, ad omnes figuras smiles figura , BCE, esse ut omnes Sguras similes ipsius, BF, ad omnes figuras similes urar. BEF,quia enim, MQ,vrcunque ducta est parallela ipsi,Cridi est,MO,ad, I,ut, QO,ad, P, permutando erit,ut, O,ad, Q. si I ad Rid vr,CE,ad,EF, si IO,ad, OP,&scoitendemus, ut, CE, ad, EF, ita esse quaslibet alias duas in figuris, BCE, BEF, existentes ipsi, CF, parallelas, divi una ad unamsic omnia ad omnia, idest ut, CE, ad, EF, ita omnes lincae figurae, BCE, ad omnes lineas figurae, BEF,ut
aute,CE,ad, EF,ita sunt omnes lineae,AE,ad omnes lineas. ED, ergo omnes lineae, AE, ad omnes lineas, Ei , erunt ut crinnes lineae figurae,BC ad omnes lineas figurae, BERSi vero vice linearum sumamus descriptas,ut dictum est, ab eisdem figura ex g.si,ut quadratum,MO, ad triangulum aequilaterum, cuius latus, IO, ita reperiamus esse circulum, Cuius diameter C ad polygonu,cuius latus, C pmnium autem linearum, AE, singulae describant quadrata, & omnium linearum figurae, BCE, singulae describant triangula aequilare mum linearum BF,singulae describat circulos& figuras BEF, singuIs describant polygona praedicto simialia,ita ut quae in eade figura sui lineae, vel latera describetia sit homologa,erit ut quadratu,Mo,permutado,ad circulu, Sinita triangulum aequilaterum, Io, ad polygonum, Oriquia vero,MO,aequatur ipsi,CEAE,C ipsi, EF,idco quadratum,MO,aequatur quadrar CE, & circulus,C circu- xya.r. IO,EFAE ideo,ut quadratu,CE,ad circulum,ERita erit tria gulum aequi laterum,I ad polygQnu, ORund quia, MQ, utcunque ducta es parallela ipsi, c F, concludemus omnia quadrata,AE,ad omnes Q culos,BF,csse, ut omnia triagula aequilatera figurae, BCE, ad omnia polygona uni milia Ggurae, BEF, & permutando omnia quadrata,AE, ad omnia tria gula aequilatera figurae, BCE, esse, ut omnes circuli, BF,ad omnia polygona uni similia figurae, BEF. Eodem modo fiet demonstratio, si vice inarum alis assi mantur figurae planae, luarum postlint etiam,quae sunt dua H rum
72쪽
nim figuranimesse similes, ut si comparentur omnia qua drata parallelogrammorum , A E, E D, & omnia triangula aequilatera figurarum, BCE, BEF, vel si comparentur omnia quadrata , AE, &figurae,' BCE, & omnia triangularquilatera, B F, & figurae, B E F; potest etiam esse omnium quatuor figurarum omnes figuras esse similes, ut si
comparentur omnia quadrata eorundem vel omnes circuli, &e. Patet autem hic demonstrationcm currereis
quotiescunque quae comparantur sunt eiusdem generis scilicet, vel lineae, vel sit perficies, si v cro contingat magnitudinci diuersi generis comparari, ut si compararentur omnes lineae, AE ,& figurae, C E , & omnia quadrata, BF,α figurae, BEF, tunc quia a permutata ratione non possumus argumentari, cum lineam superficiei comparare sit absurdum,ideo demonstratio pro his non currit,quapropter aliud Theorema pro hoc subiungemus.
IN eadem anteeedentis Prop. figura si comparemur magnitudines diuersi generis, adhuc comparatae magnit dines erunt proportionales. Comparentur e g.omnes lineae, AE,regula, CE,ad omnes lineas figu re, BCE, & omnia quadrata, B regula, EF, ad omnia quadrata figurae,BEF, ita ut duri utcunque ipsi, CF,parallela,Minreperiamus,MO,ad,Ol, esse ut quadratum, γ, ad quadratum, O P . Dico adhuc omnes lineas . AE,ad omnes lineas figurae, BCL, esse ut omnia quadrata, BF,ad omnia quadrata figurae,BEF; Ponatur seorsim parata Ielogrammum , E,simul cum figura,WE,sed, ne fiat confv fio, sint sub ampliori forma,& in ipsis tanquam in basibus constituti intel figantur duo cy Iindrici recti, F E, nempe in basi, A &MGE,in basi figura, BCE, & in eadem altitud,
ne, quorum quod insistit ipsi, A ri est parallelepipedum , vefacile
73쪽
Deile ostendetur, imtelligatur nuc parallelepipedum, FE, s cari utcunque plano ipsi,GE, aequidistanis Gre, producetur emo
ex hac sectione in ipso paralles ramum Hressingulum , quod sit,Κ eodem autem plano fiat in cyli drico , DGE, rectangulu, Lo, fiet autem Cci in hoc cyIindrico rectangulum, quia dictum planum ductur per latera basi, arisistentia, cum ducatur arquidistanter ipsi, Griquod ducitur per latera,G SE, erit ergo rect ngulu, kO, Vnum ex ijs, quae dicuntur omnia plana parallelepipedi, regula, GE, & rectangulum. erit unum ex ijs, quae etcuntur omnia plana cylindrici, GD regula,CE,quae re , tanguia rant aequeaha,ac rectangulum,GE.Omnia igitur
gula ςque alta,ac,GE,ipsius parallelogrammi,AE, regula, ME, & omnia plana cylindrici, GDC sunt omnia recta gula figurae, BCE, aequiangula, & atquealta, ac ipsiimGE, regula eadem, C E: Secemur nunc dicti cylindrici planis basibus arquidistantibus, fient ergo comunes eorum sectimnes limites,& aequales basibus, sit in parallelepipedo, F producta,NP,& in cylidrico.GDE,produeta figura, H QP, erit ergo ut,AE,ad figuram Rita,NRad figuram, H ri& ita etiam qua libet aliae figurae in ipsis per plana aequidi-ιtanter basibus eostiem secantia producis,& ut una ad una, scomnes ad om ues idest, ut AE, ad figuram, CBE,ita omnia plana parallelepipedi, FE,regula, AE, ad ola plana cylin. drichGDE, regula eadem basi, sunt autem omnia plana pa- .rallelepipedia E,regula, AE,aequalia omnibus eiusdem plani ,regula, GE,quae sunt omnia rectangula ipsius, Ariregu- '' 'εa,CL aequealta, ac ipsum, GE, & omnia plana cylindrici,
74쪽
Ex Cor. 1 CDE, regula basi,CBE, sunt aequalia omnibus eiusdem planis,regula, GE, quae & ipsa sunt omnia rectangula figurae, CBE,regula,CE,aequealta, ac ipsum,GE, ergo omnia rectam gula ipuus, A regula,CE,squealta ,ae ipsum,GE,ad omnia rectangula figurae,CBE,regula,CE, aeque alta,ac ipsium,GE, 3 ius. erunt ut,AE,ad figuram, , scilicet ut omnes lin , Ariad omnes lineas,BOTregu Ia,CE,quod serua, Conspiciatur nunc figura Theorematis anteced. in qua diximus,MO,ad,OI,esse ut quadratu, γ, ad quadratum.. OP. Dico omnes lineas,AE, ad omnes lineas figura , BCB, regula, CE, esse ut omnia quadrata, BF,ad omnia quadrata' figurae, BEF, quia enim, ut Μ ariol, ita sumpta quavis communi altitudine,nempe eκ. g. altitudine constitutorum parallelepipedorum, quae est,SE, rectangulum sit b, MO,δο, - SE, ad rectangulum sub, Io, Sia ideo, ut rcctangulum stri MO, SE, ad rectangillum sub, I Ο, S E, ita erit quadrarii mi, qnadratum,OP,siant aute lis magnitudines eiusdem
Franste. generis,nelnpe omnes superficies, ergo omnia rectangula ipsius,AE, regula, CE, squealta, ae unum eorum,nem pC,Vt ' rectangulum sib, CRES, ad omnia redi ingula figurae,BCE, regula eadem, G, arquealta.ac unum eorum, v GE, erunt
ut omnia quadraca BF,ad Omrita quadraea sigurae,BEROImnia vero rectangula ipsius, ΑΕ, aequealta ,.ac unum eorum,
ut,GE,ad omnia rectangula figurae, BCE, aequista ac ip
rae, BCE, regula, CE. Ergo oes lineae, A E, Gad omnes lineas fisturae, BCE, regula, CE,
dra ra, BF, ad omnia, quadrata figurae, BEF, sunt ergo propo tionales,licet fini magnitudines diuersi generis,nempc lineae,&s3perficies , quod ostendere opus eratis
75쪽
HIne igitur primo habetur,si fuerint parallelogramum,& 0ura plana in eadem basi,& altitudine, regula
sumpta bati, omnia rectangula parallelogrammi eque alta ad omnia rectangula illius figurae aeque alta ac praedicta, esse ut dictum parallelogrammum ad dictam figuram,quod patuit, dum ostenium est omnia rectangula ipsius, AL altitudinis, S E , ad omnia rectangula figurae, BCE, altitudinis eiusdem,S esse ut,ARad figuram,sin
HAbetur secundo eylindricos in eadem altitudine exsestentes esse inter se, ut bases, quod de caeteris, veluti de supradictis, FE, GDE, ostendetur, quamuis aliter etiam id aliunde insta colligetur.
mori criE duobus The rematibus exposita duo parallelogramma , diduae tigurae,is unum tantum ima figura in eadem basi,& altia tudine eum ipsoA uius basi posta pro regnia ,& siimpto v eunauepunlio in uno laterum basi insistentium,perquei , sum basi ducta parallela, reperiatur eam . quae intercipit uvparallelogrammo ad eam, quae intereipitur figura es figuras similes ab ipsis deseriptas, ta quam homologis lineis, vel lateribus,esse ut unam ex maximis abscissaru lateris,.in quo sumptum est punctum, ad abscisam perductam basi aequo. distantem, vel ut istas adnin ista qua Am recta linea, vel ut istarum figuras similes ab ipsis tanquam lineis,vel lateribus homologis descriptas, ita ut figurae deseriptae a singulis e rum , qtiae dicuntur omnes lineae parallelogrammi, & dictae figurae, sint similcs, ut pariter, quae describuntur a singulis
earum, qt ae dicuntur maximae adscissarum, vel abscissae diacti latetis; quod adhuc magnitudines collectae erunt
76쪽
proportionales: Vt ex. g. si in Theorematis antecedentis figura habeamus tantum parallelogramuin, BR& in eiusdehasi, EF,& eadem altitudine,figuram, BEF,& sumpto in uno lateriam, BE, DF,utcunque puncto,O,& per,sAud MQ, parallela ipsi, EF,reperiamus. χ, ad. OP, esse vr,EB,ad BO,vel figuras similes descriptas ab , O G P, tanquam lineis , vel lateribus homologis, vi ex.g. quadratum, QO,ad quadratu, OResse vitriadae vel utim,adiuncta quada linea ad, BO, adiu ista eade, vel ut ab istis descriptas similes vras, dico collectas magnitudines, quae comparantur esse proporti nates. Nam si ipsi SLinteli atur applicatum parallelogr inum AE. cuius basis sit, α, in diretium ipsi, EF, constituta,&,CE,qqualis ipsi,EB,tunc omnes lineae,AE, regula,CRssent aequales maximis abscissarum, BE, ut probatum est, & ominora a Isset aequales omnibus line s trianguli,BCfici sit iumω,BC, qui secet, Minin,X, unde vice earum, quq dicuntur maximae abscissarum, vel abscissae ipsius,starcia sumemus omnes lineas, AE, & trianguli , BCE, & ita reperiemus quadratum, ,ad quadratum, P, ex. g. eme uti MO, ad OX, velut quadratum, M, O, ad quadratum, OX, vel ut aliae figurisinites ab ipsis dcscripti,tiue ab ipsis simplicibus,sive ab ipsis adiuncta quadam linea, unde casis iste ad casum ne rematis praesentis,uel antecedensis deductus erit,ila ideo patebit, omnes linem AE, ad omnes lineas trianguli, BC ,el omnes figuras similes, RS,ad omnes figuras similes triaguli, E,ideli vel maximas abscissarum, B ta ad abscissas omnes
ipsius,BE, vel earum figuras similes esse, ut omnia quadrata, BF, ad omnia quadrata figurae, B E F. Vocabuntur autem isties inatuor ordinum magnitudines collectae iuxta qua tuor magnitudines proportionalta utcunq; inuentas, quae fuerunt ex. g. prima quadratum NQ, secunda quadratum. OP,tertia, EB,quarta, BO, magnitudines aute collectε iuxta primam scilicci ex. g. omnia quadrata,BF, dicentur primi ordinis, collectae vero iuxta secundam scilica omnia quadrata figura, BEF, magnitudio es secundi ordinis , collectae vcro iuxta temain magnitii dines tertij ordinis, di tandem collectae iuxta quartam magnitudines quarti ordinis. Sic igitur appollabunus hos quatuor magnitudinum ordines. In supra
77쪽
supradictis autem quod dicimus de abscissis, idcm intellige de residuis abscissarum,& quod de ipsis simplicibus, id in de eisdem adiunctis aliis, siue sint recli, siue ciuiacm obliqui
transitus : Hoc autem Corollarium prae citeris summe antinmaduertendum est,ac memoriae diligentistime commendandum , ex hoc enim potissimas demonstrationes tanquam ex sente derivari sudiosus in sequentium Librorum lectione facile comprehendet.
Poteratfine his Propositi icere Propositioq- in qua quo ιωmodo istae dua,vel trem prioν virtuatiter continetumverum hasuperaddita fuerunt ut clare eo fici posseMe quatuoν ordines magnitudinum squipalym in dicta Geometria Ind. rnuicem c rarantur in quatuor oblatis figaris a ouetarum, quinamsgurarum duae funis Ner parauelogramma, o reliquae dua indem inscribuntur. Vt in Schemate Prustionis a 3. quod hic repetimus primafigura es parasi mammum, AE, secunda , BCF, A Deidem inscripta a tertia parallelo grammum,BF; quarta Mnique estoris
omnes in ei e parauelis, hoc est a in eadem sunt altitudine . Ma' ,-- agnitudines autem comparata ris . Hsunt esse vel omnes eiu emgen νι vel dis Mi. Ur er dem generis reuos comparentπν omnes lineae earundem quiniuorti rar m , mel earam omnes figura plana ut omnia quadrata omne4 circuit c. in fame potes
78쪽
parabilis ; ideo opus fuit etiam Propositisnem 26 superaddere . qua certi feripossemus etiam hos quatuor magnitudinam dinvirum quatuor figararum ordines esseproportionales quotiescunque quatuor singulares magnituanes, eadem tinea, vel plani regula aquidisfantis utcunquesumpti traiectione inrita, repe-νiantu proportionales) etiam si somparato magnitudines et Hue generis. XXX. Corollarium primum Propositionis a o. est maxime adnotam dum , per illud enim nedum intelligimus, uerint pariatii y um .s figura plana in eas basi est altituane, regula sempta basi,omnia rectangula par elogrammi aeque alta ad omnia rectangula dictae figura aeque alta ac praedicta, esse ut dictum parallelogiamum ad dictam figuram: ut assumpto denuo Sch
mate Propositionis 2y. omnia r
neas sturae BCEr Uream per hae δ' Equoq; admonemur huiusmodsi do ctrinam adeo subleuariposse: ut se omnes regnitates seu praeastates Cossicas attingat. Vetur enim in eodem Schemaresco paretur recra, MO, ad rectam, I, tunc sumpta alia quacunque pro communi altitudine, ut eadem Mo,recte infrimus vi,MO,
ad νectangulum sub , MO, OI; vnisper Propositioncm 26. comeludimus omnes lineas, AE,adomnes linea gura,BCE,esse veomnia quadrata, AE, ad omnia rectangulasub-ct figura ECE itas ex Pirimo compararetur quadraguam , ad quadratu,OI,deinde alia qMuis recta vi, fumeretur tanquam communis altitudo, cuti recte inferremus ut quadratum, ,
ad quadratum I. ς esse paralusenipedumsub basi quadrato, Mo est altitudine,MO, hoc es cubum ipsius,MO, adparatu P pedum sub basi quadrais Io, altitudine eadem, Mod non incens recte concluderemus iuxta normam praefata Propositionis 26. cub s omnium linearu,AE,adparallelen pedasub omnibus quadra Diuitigoo by Corale
79쪽
omnia quadrata figura, BC E. Vel si pro commani altitudine meretur non tinca, Mosed quaecunque eiusdem Dieritas c spica,ut G fecunda Dignitas, hoc es qηadraru ipsius, Min, inuar lineae; sicuti reme inferremus, ut quadratum, MO,ad quadratu OI,sic esse factu ex quadrato,MO,in quadratu, MO, C Hquadratu, MO,ad factu ex quadraro,MO m quadratu . rita recte cocluderemus ora biquadrata,AE, ne ebi adrata smnium lineaνum, ΑΕ, adinstar rectangulorum ) a MIUM omnibus quadratis, AE, in omnia quadrata. B ,esse 2t omnia quadrata,AE ad omnia quadrata, ECE. Et sic res se haberet in al,s quibuscunque Dignitatibus costris. Hac ut leuiteν hic tacta , fusius suo Deo explicabuntur, ubi quoque ad imititionem Propositionis 23. eiusq; Lemmatum,considerabimus6 monem, quae fit in figuris planis is tineis,nedum quatenus diuidunt omnia quadrata imarum figurarum,iuxtapropositam regulam; visit in dicta Propositione iusq; Corollaws fised etiam prout diuidunt earundem Aurinum omnes cubos, velomnia biquadrata, aliasque sequentes Dignitates sec. in infinitum progredientes. Vt in superiori Sehemate nedum considerab
nia quadrata trilincorum, ACE, BEC se in rectangulis hyob eisdem tritincis vi docet nos Sccfio D,Corollarν Prop. 23 ius riorio sed etiam quatenus Huidit omnes cubos, vel omnia bi quadrata sec. eiusdem, AE noas sqqua erit mirabilis exintensio DoctrIna Secandi Elementorum.
Ab UR O residua c. in Cor. 3. praefata Prop. 26. conrideis
ratae,necnon In Cor. Propositionis aq. commutabuntur in omnes lineas traangulorum componentium quadratum, vel rhombum
adiacentem lateri, in qu umenda in dictis locis praecipiuntuν abscisse, se residua c. iuxta monita num. 2 q. ra repter quatuor ordines magnitudi' u in eorim Cor. 3. expensi suorum iso isd absci as se restrias o c. reducuntur9 intelligenta florip.rre ad greatuor figuras in Urim parallelis constitutas nu. 2 8.exstic.rtas,quarum duasan emper parallelo rima, or ν siquae
80쪽
a consistunt una Mor; cumsuo parallelogrammo in eadem basi. Ita ut cum traiecta utcunque linea, vel plano in ipsis Fguris regulae data quidistante emerferant quatuor singulares magnitudines proportionales ex vi huius Corollaris ιn ferre pol smus omnes horum quatuor ordinum magnitudines esse proportionales per quod strata via est ad innumerabilia foliis
Veturi in planis postparallelogramma , ct triantula eorum trapezia ιn Prop. 2 o. congrue expensa fuerunt: rca post cylin-d cos est conicos , eorundem conicorum frusta consae Ones entes Prososit. a 7.cta 8. quas ideo hic pariter adiungimui
SI duo trapezia suerint in ea dein basi, sumpto uno Iateis rum aequidistantium pro basi,®ula,& fuerint cita in in eadem altitudine respectu illius basis,& Iatera basi parallela suerint aequalia, trapegia crunt aequalia, & omnia eorundem quadrata erunt aequalia. - Sint illio trapeΣla, AER B, IABD, in eadem tiast, AB, quae sit sumpta pro regula, cuique latera, E R, ID, sint parat la& iter se aequalia. Dico trapeZiacsse aequalia, & omnia eorundem quadrata esse aequalia. Produca- ' tu AE, Bli, donec sibi occurrant, ..' ..'
yt in O, &, AI, BD, donec simul . iincidat, ut in , X,&iungatur, O X. Quia ergo, ER, parallela est ipsi, AB, erut triangula, AOB, EOR, similia ,& eadem ratione similia AE