장음표시 사용
121쪽
iditiplices primae,&tenis,necnon secundae. onitudinis. Cum autem figurae, FMG , V T, snt aequEmultiplices figurarum , MEGF,NSI V ,& pariter figurae, ORX, Z s, k, si ni aeque multiplices figuraram, CRT, Zo Minis vero figurae, MEGF, QRT,NSTV, Za ,sint proportionales, & homologae, M E G F, N S T V: ideo fi figura, MCGF, suerit aequa i s figurς. QRX, etiam erit equalis figurs,Z hi,& qu liberalia insidiu'AMCGF, sibi respondenti in alita solido, PQRX, unde &AMCGF aenuabitur solido,PQRX. Et si ligura , Mc GF, gae i. M.
superauerit figuram,OR X, eodem modo Ostcndemus, Od ius. solidum, AM L. GF, superabit solidum, P0RX,&siis a superabitur, etiam hoc superabiriir. Ergo ima ad ἰecundam Dessu ait - ut tertia ad quartam , hoc est solidum, AMLGF, ad solidum, P QR Y, erit ut figura, M E G F. ad figuram, Q R T,vclvi figura, ST V, adfiguram, ZΩΔ,vel ut alia quaelibet eiusmodi in solido, P.ME GF , ad sibi rc om
122쪽
1ὀ8 Exercitam ieeunda. dentem in alio solido, P QR Υ, hoe est ad existentem in
eodem cum ipsa plano, quod ostendere opus erat. Dicantur autem Dursis oportionaliter analogi , iuxta regulas,
ILms ex Libro I. Gest . Inae deprumptis, ibidem postmodum a
Pro . . fuc ad 'op. s. exclusiue recoluntur ostensa circapin tuom ma, est tria uia Labra a.srobanturque hac noua ratione eisdem canuenire cohamania mplomata, quae usis inesse iuxta priorem methodum iuExoc ent. dicebantur,ac numero a I. ennumerata fuere . Hod autem dedacitur hic ex
Prop. 3. perius Ure, ;para elogramma enim, or trianguia in eadem altitudine existentiaprobantur esse interse ut bases , via sunt 'ura proportionaliter analogar est ex hoc reliqua 1Nνο-- untur Hia geomestica consuma, o .ransforitatur ad trianguia, quia haesunt dimidia paratiis amm rum sub duobπου qui cunque eorum LMeribus co Nomm. Non dismisi ratione infertur ex eadem Prop. 3. cylindricos Orant σι eadem altituane existemus esse intero urbas quodes hic aliter insa probabimus quapropter Mens pri a tria- να ire esse tripiam pyramidis in eadem altitia ne . se basi cum
eo existentis PM or aliter sensum es in Exercit ant. numero, αλλι caricluditur uniae A te omnem cylindricae striplum ei conici in eadem altitudise , ct basicum eo flantis. Hiscobinfertur comunias tomata e indricreu in Exerci
A Propassiones. usque ad Ir. exelusiae aritur defustis e nicis, ut praecipia demonstretur Prop. 28. vri a. translasa ad cylinae eo se conicorum M. Hac aatem dedacitur evrae sebis in eodem Libro 7. IV Cum ante Propositionem II lolidorum examen aines tax ra baneristeriorem merhodum, Olindricos, conicos, ct eorum Wasuum austerimus, orientiae ara elograemmis, trianis, suos , strape Us, ut pararitW adituae iuxta eandem ad a
123쪽
De Nosteriori Methodo indiuisis dum. I o s
quoquefolida , vere 'fuit alia ab adhibita in Lib. a. rationem iustituere. Manissum es illi, qui attentὸ Libri secunH Ge metria Inae doctrinam perlustrarit, utplurimum ibi considerari
omnia quadrara talium,se talium figurarum iuxta datas regulas, eorumque ad inuicem proportionem. Id vero non ab re
factum esse intelliget Phil remetra: cum enim. habita rarione omnium quadratorum datarum planarum figurara iuxta propositam regulam ilico habeatur ratio quarumcumque milium figurarum a datis figuris iuxta eandem regulam descriptarum,
δ consequente olidorum smilarium ab eisdem figuris iuxta
eadem regulam genitorum,ut probatur in Exer .ant. Prop. 3 3. ideo ope pretium fuit prius examinare proportionem omnium quadratorum datinum figurarum, iuxta earum assumptam ν gulam, ut inde lucraremur eandem pro a*s quibuscumquest
milibusfiguris, o solidis itaribus ab eisdem genitis iuxta, eadem regulam. Similis ratio currit in hacposteriori methodo, habita enim ratione inter ea , quae aequivalent dictis omnibus quadratis illic. huiusmodi infiniti lucri nobissit accesto. Duri ualens vero omnibus quadratis tale adinvenimus , quod facile intelliget', qui doctrinam numeri I7. Exercitationis ant. non fuerit oblitus . Agumatur in exemplum , maioris intelligentis gratia , quacumque Rura Ptana, me emo patrallel grammum scutis in eodem numero II. nonamusq; regulabas m, se ab ea describi quadratum , rectum, vel .clinatum plano eiusdem parallelogrammi , hocque quadratumst ducendorum planorum quoque regura. Rufus ab omnibus lineis dicti parallelogrammi regula basi intelligitur describi quadrata , bases quadrato parallela: scimus ergo iuxta priorem methodum haec vocari omnia quadrata dicti paralleloirammi, regula bas. Concipiamus nunc solidum quoddam adiacens prefato parali
Dirammo in basi eodem quadrato ab illius basiam deseripto, in quo Ffecetur regula parallelis quotcumque planis gignantis semper quadrata , Hscripta a lineis parallelogrammi eius has parallelis. Nulli ergo dubium erit γ quotcumque plana duci possunt assu supponantur2 hac coincidere cum dictis omnibas quadratis usius parallelo rammi, ct eadem esse omnia plana dictisobri,quod erit parallelenipedum. Mapropter illud voco, diuadratum solidum ricti parallelogrammi, regula qui
124쪽
Gato tissius fioli, unde conceptui omnium quadratoreum sub Atuo conceptum soliditatis dicti paraue piperi, seu Auadrati
solidi, quo hac ratione utor. Hoc e proponantur ex. F. dao paralleis amma in eisdem parallelis, quorum bases describanstquadrata ad eandem partem eisdem ere seu αquὸ inclinata, ubi iuxta priorem methodum quaerenda esset proportio intem omnia quadrata eorundem ;potius inuestigo rationem quad eorum solidorum eorudem parallelogrammorum, regula eadem; hoc traiectis quomodocumq; planis regula equid antibus,
ct coliato quolibet quadrato unius solidi cum sibi respondensequadrato in adi obdo: ubi enim inuenero inter ea suillarim comparata unam, se eandem esse rationem, nempe quam habent quadrata basium im pronuciabo iuxta Prop. 3 iuperiore hac essessio proportionaliter analoga ideo hasere eandem rationem, quam Mirum bases.
. Mando ergo proposita Ha est parallelemammum, ei que
regula tam λω quam ab ea descriptum quadratum, iam inteL imus quale namsit, quod vocamus quadrasu olidum eiusdem parallelogrammi σ consequerer victis in prefato num. II. crcit. ant. anellamus quoque genitum ex eodem parallel grammo tamquam ex sua genitrice figura , sq; eiu e solidum simιlare , vepatet ex B, Desinitionis 8. traditae in Exercit ant.
smado pro omnibus figurissimilibus ob tuan/ώr quotcumque in eo coσceptibiles. agu' mutetur Aura genitrix qua fuit par.illelogrammum in triangulum trapedum,or uniuersaliter in aliam quacumque figuram ianam, in qua sit assumpta quaelibet retula . se ab ea M Hscriptum quadratum rectum, vel inclinatum plano dictaegenitricis figura, nunc puto, facile intellio poterat quale nam sis illius qπadratumsolidam, or quomodo inter quarumcum e genitricium figurarum quadrata Iolida sit rati, qucrenda , illaque inuenta ad alia quaecumque, itaria solida ab e dem genita figuras, transferatur. Scien--m tamen .st a lincis, quae pro regulis assumuntur , vice quadratorum posse dosi rari rectangula altera arae longiora con sequenter his parallela plaua tunc no esc quadrataicdreoArn-
125쪽
gula pra iis cqualia se milia, ac iliter descripta in eoque supra quadraro solido nos ipsum anezere rectangulum sol dum. Utraque autempossumus hac generatid nitione comprehendere.
SOLIDORUM. SI propositum quodcumquefolidum parasielis quotcumque
plinis itasecaripossit, ut conceptae exsecantiouspianis in ea figuraesintsemper paratu ramma rectangula ι latera vera eadem describantia snt omnia uni cuidam iatera, ut reginaquidistantia: Heantur ea communi nomine Rectangulas da. Verum fricta re gula fuerint quadrata, dicantur speciali nomine Mariata folida ; ct Rectangula solida, cum illa non ferint Euadrata. VI, Porro istorum solidorum quadam proprietates in eodem LMbro I. demon atur. Ut in Prop. II. ostendis r eademsemper supersiciebus Ilindraceis choces qua sent portiones superficierum vilindricorum9 comprehendi . Ex quo opposito illico intelligimus ad minus ψ, ρο - -- 6 ves ierio illa
circumdari posse. ΔΤatuor inquam erunt, desinentibus rectam gulis ad duo opposita puncta; quinque , si ex una parte terminentur adpuctum ct ex alia ad rectangulum inex tarim,qua- do utrinque timites erunt ambo rectangula. Sicuti vero quodcumque rectetulum etsi habeat inoo ambitu quatuor latera, dicitur nihilominus contineri tantum sub duo s angulum rectum in eo constituentibus uxta Despr. Lib. 2. Elementorum,
quia opposita eisdem duo laterasent semper ipsis aqualia: ita quodcumque ex dictis solidis etsi quatuor superficiebus admianas contineatur , in quibus iacentsemper latera descriptorum rectangulorum, congruenter tamen iactae Definitioni Euclid mna Vfum iacimus quoque comprehenia sub duabus tantum superfiebus capientibus duo latera rectangulorum inuicem serpendicularia, quia alia dua praerictis opqosita exhibent ori a raefatis aqualia latera. Aliqua tamen hic interes cum
Euclidiana Des disteremia etsi enim infinita latera reperiripet int
126쪽
pontusis duobus aqualia, b quibus rectangu .. ntineri, qua ad aetulum rectum componipossunt, se , rectangulum continere, ilia tame untsem' recta linea. A.
pro istis sobris in Anita quidem superficies reperiri possunν ea mbentes aqualia iatera νs, qua iacent in illis dua bustus quibas rectangatum solidum continetur mi ostenιειαν in eodem rari nProp. II, 11.2 quas omnes propterea inuicem homologas voco: verum non omnes poterunt in ambitu M oliri reperiri , is τι quodammodopotentiaonon actu i a sol da continere Μωυδcerentur. Hocque oritur ex varietate homologam super rierum,qua non omnes sunt an fedo c- , ese Ma in inismossis variabiles. cum ita sint, fit ut illa tamen in ambiam aliorum solidorum reperiri posent, illaque actu continere,
indectis lassida sub superficiebus Bomologis contenta, dari possint. quoad ambientem quidem pεrficiem Hure sed
quoad britatem omnia inuicem aquaba: quod sendis Propositio I a. dicti Lib. 7. media Prop. prima; hoc tamen O infra aliter demonstrabιtur. I
In Prop. I 3. eiusdemprobatur quoque quadrarum, utaremiagulumsolidumsubparallelogrammo, se alia quacunque figura
eiusdem cum eo altitudini contentum; regiars duasius rectis,
quarum una sit basis patrallelogrammiore olindricum ,etuis; basim iactam figuram. Eusta ri' ara figura fueris est Q parallelogrammum,regulaque eius bari . in obdum erit paraαίAenipedum. Hinc infertur in Corosiarioprimo eiusde i furirini duo rectigalasotida communitersub ae eo parallelogramo, est singillatim sub duabus Auras contenta, re os c . ea, cum sint aeque μοι cylindrici in balibus dictis figuris, iri ore vidiam bases. Similiter in Prop. Iq. ostendis Q, si Amrae continemees oerint triangula in eisdem parasielis, O verticibus ad eamdem pariem constitutis, contenta ob eisdemstari recta alis. regulis basibus eoruAd inren miris ectangulas bases M. hentes; ct contentasub trapevi, Dramidum M.
Sequitur ibidem Propositio II . imilis Propositioni 23 Li a. eiusdem Geomeινια Ind. quaFropter ineatri, strobatur, si fuerint Disiligoo by Coral
127쪽
De Posteriori Methstis Indi sibilium . I r 3
fuerint dira quesibus a figura inri emparasielis, quarum requia, nonaturq; altera iactata Aura diuisa, diui , prout dicitur in praecitara Prop.a3rrectQuia IstiGob indivisa, se disi traulintegra equa ri rectangulis finis ob Ad usa sub partibus diui . 'Hoc vero dem rato te inferiuntur j similia, qua in Corost. Iraefata Prop. 2 3. colliguntur, hoc est si ea iuxta hanc methodum adaptam opponantur. De his tamen insequemibuspariter agemus.
His demonstratis probantur denuo per hae nou undamna Prop. 3O, 3I, i 2,qu cum ni in patiam doctrina reliquorum Librorum dictae Geometriae, quam hic totaprosequi neutiquam intendimus,propterea ct in Exerc.ant. praetermissaeon' se hic quoque relinquuntur xx se reliqua ex Libro 3,q, , eis e Gemmetriae , res aurata sexta hinc fosteriorem methodum. '
i Vt vero colligi posset fructus, quem ex confideratione solidarum rectangulorum b datis figuris pender verius diximus, nec enit adhuc sendere ut divariata, metrectagula solida ob duabus quibuscumque si=---πά----as , sta esse .quacunq;folida similariagemta ab eisdem figuris taxia eis e regulas . Hoc autem robat Prop. a a. dicti Libri 7. Hi demo-sνatione ei, q- allata est adsendendam Propos. 33. Libri a.
quam attulimus in Exercit. ant.
Deniq e ut modus procedendi iuxta hanc seriorem meis rhodum in omnibus Abs Auris aliqualiter appareat, eadem
exempla ameremus,qua rasene Exercisentia um. 33, 36, circa Parabolam in ab ea genitassivi iam auataoni. Uumpta eLtur denuo figura eiusdem num. 3s, prius es hic ostendemus pinrallelogrammum, T Cin quialterum esse parabolae , O AC, tali ratione. Suppossis i dem ibi constructis, manifestum es, ut iri probabatur AK,ad, λει, esse ut quadratum, H ad quadratum , KImed ut GK, ad H, italumpta communi altitudine, ,es quadrata GK,adrecta uiam, GKV; ergo uadratam, P Go, ad
128쪽
nis praefatis parallelis squidistantibus, eorum concylatae insolidis figurae sint unius plani ex.g.figurae, NSTV, a terius autem, MEGF, Q Y, vel contin at has ciue solido. rum bases, ac in altero planorum parallel .m, solida, AMEGF, PQRY, contingentium, sit vero figura,MEGF,ad Sguram,QRY, ut figura, NSTV, adfiguram, ZΩΔ, homoloingis nempe in eodem solido existentibus . Dico solidum, AMEGF, ad solidum, PQR Y, esse ut, NSTV, figura, ad Gguram, ZΩΔ, vel ut figura MEGF, ad figuram, cuY. D
catur enim in figura, MEGF, utcumque recta, EF, ad illius ambitu terminata, ut ducta parallela, SV,in figura, NSTV, producatur ambae indefinite versus pucta, S,E,in quibus sinmantur utcumq; aeque earu multiplices, BS,CE. Similiter in
eisdem figuris ductis alijs eisdem, SV, EF, aequidistantibus,
simantur earum pariter aequc muItiplices iuxta praedictarum multiplicitatem,&omnium termini sint in lineis,NBT,
NICHG, sicut ipsiarum partium termini sint in lineis, NST, NOT,NBT, MEG, MD G, MCG: traductis vero alijs quotcumque planis praefatis parallelis, ac ipsa solida secant, hus, hoc idem fiat circa ipsorum figuras in ipsis solidis com
Ceptas,omnisi vero ita resultantiu figuraru terminisint in sil-
perficiebus, AMCG,AMDG, AMEG. Simit iter in alio sol Ldo esto ciuod plana, quae produxerunt in solido, A ME GF, figuras, MEGF, NSi V, genuerint figuras, TZon, ad
quas illae habeat eandem rationem: ductis aute, vel assumptis rectis, QY, Zo, inter se parallelis, illae producantur versus eandem partem, ΔY, in ijsq; productis accipiantur quata cumque aeque multiplices, vel aequales, YX,-& ide fiat in citeris ipsis parallelis in figuris,QRY,ZΩΔ, sic productis, ct omnium termini sint in lineis, YXR, Δ Ω,hq vero lineae, scut.& reliquarum figurarum eodem modo producibilium, sint insuperficiebus, PYR, PYXR. Manifestum est autem figuras,MEGF, MDCE, MCGD,esse aequaliter analogas, an c. & ideo inter se aequales; sicut etiam figuri, NSTV, NOTS,NBTO,pariter inter se sunt aequales, & quaecunque alii sunt in eodem plano: ex quo habemus etia solida, A ME GF,
AMDGE, AMCGD, esse tqualiter analoga, & ideo inter se equalia. Lode modo ostendemus solida, PQR PRXri
129쪽
pariter inter sesqualia esse. Quotuplex est ergo Elidu AMCGF, ex tribus,AMCGD, AMDGE ,AMEGF, copositu solidi,AMEGF,totuplex est figura, MCGF, ex tribus, MCCD,MDGRMEGF,coposita,figuis,MEGF.Similiter quo-tuplex est solidum,PQRX, ex duobus,PQRYJYRX, Positum ipsius, PQRY,tomplex est bass, MX.ex duabust QRY, Ym, composta, in. QR T ; ita ut habeamus Sque
onitudinis. Cum autem figurae, FMG, VNM , sint aeque multiplices figurarum , MEGF,NSTV, & pariter figurae, X , Z o Ri, sint aeque multiplices figuraram, CRI , ΩΔ, ipis vero figurae, MEGF, T,NSTV, gQ ,sint propor-
ronales, & homologae, M E GI, N S T V : ideo fi figura, MCGF, suerit aequat s figurς. QRX, etiam fgnra, si V, Qui vitia. erit equalis figuri,Znhi,& quilibet alia in solid'AMCGF.
sibi r spondenti in alio solido, PQRX, unde & solidum, . AMCGF aequabitur solido,PQRX. Et si figura , ML Gx, Exi .hua superauerit figuram,OR X, eodem modo Ostcndemus,quod rus. solidum, AMCGF, superabit solidum, PQRX, & si illa superabitur, etiam hoc superabitur. Ergo prima ad : cui dam Desuerit ut tertia ad quatiam , hoc est solidum, A ML Gν, in . ad solidum, P QI Y, erit ut figura, M E G F, adfiguram, Q R T ,vclvi figura, NST V, adfiguram, Zo vel ut alia
130쪽
eodem cum ipsa plano. quod ostendere opus erat. Dicantur autem figuretis oportionaliter analogi , iuxta regulas,
Pro'. . rue. ad 'op. s. exclusue recoluntur se a circapa rael inamma, ct trianissia Libro a. probanturque hac noua ratione eisdem cinuenire cois inia mplomata, qua usis inesse iuxta priorem methodum iuExexciatnt. dicebantur,ac numero a I. ennumerata fuere . Hod autem dedacitur hic ex
Prop., perius se fa parasita amma enim, or trianguia in eadem altitudine exstentiaprobantur esse inter se ut bases , via sunt Μαμ proportionatiter anagogar ex hoc reliqua Imprama umo Hia geometrica consueta, o rarisso κώψαν adisi angula, quia hac sunt dimidia patris ommm inmob duobαι scunque eorum lareribus com ustrum. Non domui ratione infertur ex eadem Prop. 3. Ob ricosorani νιμ π altitudine existentes esse intres urbasis odes hic aliter Afraprobabimus quapropter ostens pri a tri
Di, re esse triplam n miris in eadem altitia ne . bos cum eo existensis, Υ Miter sensem es, in Exercis. annnumero, σ7.1 concluditur uniuersiaire omnem cylindricum ariplum esse conici in eadem abitud e ,- secum eo Atis. Hinc Gfertur comunias tomata cylindricors in Exerciant.num. 2 a. ennumerata,etiam i s conicis naenire.
nicis, ut praeripia demonstretur Prop. 28. Lu ri a. translata ad cylindricos,or conicorum sta. Hac aatem deducitur evrae senses in eodem Libro I. IV. Cum ante Propassionem II lolidarum examen ain s tax tabanoposteriorem merhod m, Ulindricos, conicos, σωμαδεν solum artigerimus, orientia ex rasi ov mmis, trianis fulix, ct trapelas, ut pararetur assitus iuxta eandem ad alia