장음표시 사용
91쪽
eorundena rcgulis eisdem, GM, MHi sunt autem Omnia coinrum quadrata,vi quadrata basium,GM,MΗ,ergo cylindri- s. liuius.ci,AM,MC,erunt ut quadrata basium,GM, MN,idcst ut figurae similes,GIMR,MSHT, igitur cylindrici in eadem alti tudine,& smilibus basibus insistentes sunt,ut ipsae bules.
IN Prop. Io. eonsimiliter procedentes colligemus, cyIin. dricos in eadem, vel aequalibus , ac similibus basibus consistentes esse, ut altitudines, vel ut latera aequaliter e tundem basibus inclinata.
insistentes habere inter se rationem compositam ex ratione basium,& altitudinum, vel laterum aequaliter dictis hasibus inclinatorum .
IN Prop.r a. colligemus cylindricos, quorum simIIes bases altitudinibus, vel lateribus aequaliter basibus inestis . natis reciproch respondent, esse aequales s & cylindricosaeis quales, similibus basibus insistentes , bases habere altitudinibus,vel lateribus et qualiter basibus inclinatis, reciprocas.
F. SECΤIO VI. IN Prop. 73. habebimus similes cylindricos esse in tripla
G. SECΤIO VII. EX Prop. a colligimus si praedicti cylindrici insistant basibus dissimilibus,adhuc piaedictas passiones de ipsis
verificari; in quibus tamen non numerantur similes cyli drici, cum oporteat eosdem similes bases habere.
92쪽
Exercitatio Prima. H. S E C T I O V III. IN Prop. ar. habemus in eius figura, solida similariagα
nita ex parallelogranimis, AS, I s, iuxta regulas, ES, Zβ, eandem rationem habere ad solida similaria genita ex tria-ξη hδς gulis, OES,& Zβ, idest cylindricos genitos ex, RS, Tβ,ad co nicos gelatio Sex triangulis, OES,& Zβ, andem rationem habere, unde, cum conici sint partes proportionales cylindita corum in eadem altitudine cum ipsis existentium,quaecunq; de cylindricis in huius Coroll. Sectionibus a. 3. q. s. 6. & I. collecta sunt, eadem &pro conicis tamquam collecta reis cipiemus .
IN Prop. et q. habemus quemcumq; cylindricum esse tria
plum conici in eadem basi,& altitudine cum ipso.Sit esepositus quicunq; cylindricus, AE, in basi, DHEF, in eadem autem basi, & altitudine sit conicus, DBE,sic tamen bisi insistens, ut ducto
plano per latcra conici, idcira transcat per latera cylindrici, AE, sit autem ductum tale planu na,quod faciat in conico, DBE triangulum, DBE,& n cylin-Coroll.6. drico,AE,parallelograminum, AE, erutec i i igtur, AE,&triat gialum, DBE,genitri Coroll. . ceS figlirae eoruni scin solidorum , quae similaria ad inuicem 3η vocantur,genita iuxta communem regulam, DE, quod ergoggnitur cX, AE, ad genitum c X triangulo,r BE, et it ut omnia
quadrata, A E, ad omnia quadrata trianguli, DBE, regula , DE, id est triplum. Solidum vero similare genitum ex , A E, iuxta regulam, DE,cuius figurae sint similes figurae, DFEΗ,
est cylindricus, AE, & solidii in si initare genitum ex trian3ulo, DBE, iux in rcgulam, D E, cuius figurae sint similes pariter figurae, DFEH, est copicus, ira E, ergo cylindricus, AE,triplus erit conici, T BE & consequciater triplus erit cum sivisa ij in ea leni basi DFEH,& altitudine, cum conico, DBE,
93쪽
cxistentis, quoniam, ut ostensum est, conici in ea dcm altitu- 3 huuis dine stantcs sunt, ut bases, unde cum bases sunt aequales,&'c oconici sunt aequales,verum ergo est,quod proponebar ur.
K. SECTIO X. IN Prop. 27. habemus solida ad inuicem similaria genita
ex trapeet ijs in ea dcm basi quae sit unum latetum aequi- distantium )& altitudine constitutis, quorum oppositae bases sint aequales,genita, inquam,iuῖcta communem regulam ipsam basim, idest frusta conicorum quorum oppositae bases sunt figurae descriptae a lateribus dictorum trapcetior haequidistantibus, es eaequalia.
L. SECTIO XI. IN Prop. 28: habetur cylindricum in eadem basi, & alti.
tudine cum frusto conici constitutu, ad idein, cst siumptis duabus homologis in oppositis frusti conici bas bus ut ' quadratum maioris dictarum homologarum ad rectangulusub dictis homologis una cum l. quadrati differcntiae ea
cus AC, in basi figura quacumque plana, BC, in eadem autem basi, & altitudine sit frustum conici, EBCI, sic tamese habens, ut ducto plano per Iatera cy lindrici,AC, idcin traseat per Iatera frusti conici, BEIC, sit autem ductum tale planum,quod faciat in cylindrico, AC,parallelograminum,AC,& in frusto, BEIC, trapeZium, BUC, erunt igitur .ctae, BC, EI, lincae oppositarum basium frusti interse homo togae, &quia cylincidicus, AC, est solidum similare genitum e X, L C, tulit a re- Coroll. . gulam,BC,&frustum, EBCI, est solidum praesidio similarem lutius. g nitum ex trapeZio, EBCI, sunt autem haec solida similaria, ut oninia eorumdcm quadrata, & Omnia quadrata, A C, re gula, B c , ad omnia quadrata trapeZij, EBCI, regula cadcm sunt, ut quadratum, BC, adrectanguluin sub, BC, EI,una cul. quadrati differetiae earumdem. Ergo cylindricus, AC, ad. sirust in
94쪽
frustum conicum,EBcI, & ad quodvis aliud in eadem basi,& altitudine cum hoc constitutum, quoniam existet huic aequale erit ut quadratum, BC,ad rectangulum sub,BC,EI, una cum l. quadrati differentiae earumdom, B EI,quae Sueduarum oppositarum basium, EI, BC, homologae vicumssumptae, nam planum eadem solida secans duAum est v cumque, dummodo per eorumdem latera transeat.
HInc patet si in eadem basi, BC, figura, fuerit eoni
cus, & eadem altitudine cum frusto, idest cum cylim drico, AC, qui sit conicus, BO quod hic erit . cylindrici, A C, & ideo ad frustum, EBCI, erit ut . . quadrati, BC, adrectangulum sub, BC, EI, una cum quadrati differentiar, BC, EI, idest ut totum quadratum, B C, ad rectangulum sub , B C, & tripla, EI, una cum toto quadrato differentiae earumdem, BC, EI. Vide igitur quam sit amplior haec domonstratio ea, qua alij ostenderunt cylindrum esse triplum coni, &prisma pyramidis in eadem basi,& altitudine cum ipso constitutae, nam ad tot varia solida haec se cxtendit,
quot sunt figurarum planarum variationes, quae nullo assignato coarctantur numero, cuiusmodi demonstrationis
uniuersalitatem in alijs figuris quoque in posterum considerandis prosequemur, ut amplius infra patebit.
IN Prop.rst.& eius Corollario tandem edocemur solida
similaria genita ex paralleIogrammo, vel triangulo eodem,iuxta duas regulas latera angulum continentia, idest lindricos ab eodem parallelogrammo, & conicos ab eo dem triangulo genitos, iuxta dictas regulas, esse inter se, veeasdem regulas. XXXIV. Persupraposita Corollaria fucum huius doctrinae Indiusῖbilium amplius perciperepetes Studio s, etsi eorum maior par fuerat
95쪽
fuerit or operius declarata. Sequentes veνὸ Propositiones is 3 . inque ad em dicti Libra se cundi, cum sint lemmatica ad alios Libros propterea relinquuntur . Per ea ergo,qua hic alimra sum patuit Lectον vim prioris methodi Indiaribilium experiri, primo in parasielogrammis scanaeo in triangulis, tertio in eorum trapelas, quarto in Ilindricis, quinto in eonicis sexto, or vltimo in eorundem eonicorumfrustis. Hac,suto,fusticere
potuissent, ut huius prioris methodis rei capax edad maiore eis em intelligentiam, de eadem quoque periculum faciemus in area inuestiganda alicuius in Disfigura plana, o soliditMe corporis illustris : Vt ad eorum normam percipiat es rei, quarum figurarum tam ploarum, quam solidarum mcnsuram obtineriposse. Inter omAes ergo a me delecta .s Patrabola, o Conoid parabolicum ab eadem genitum ,praecipia cum mihi facilioris captus visa fuerint . Haec metitur quoque Liber q. aecia Geometriae sed ut pateat quoque exemplum operandi sine ab Ois, residuis orc- ut ibis, propterea iuxtasquentem rationem earum mensura patefiet. N. XXXV. Sit enim quηcunque Parabola, OAC, cuius venex, basis, OC, se diamerer; Aacit '--MAE , ABC. m enim, AB, diuidat AsariSomnes ij, AC, equidistantes, fit ut omnes lineae issius, AOB. Int aequales omnibus tineis gos , LACB, regu ι,OC, quare per Prop. 3. AOB, aequa-rritur usi ACB estque,ACE semiparabola. Comia
pleavIur nunc parallelogramma, AEC, ABO,
ut sitant parallelogram-mum, TC, i parabola OAC, or B D, BTiemi. parabolis , o CB, AOb , circumscripta. His μ'
96쪽
N,BA,ad, Aster Prop. 2Ο. Primi Conicorum sue ex Prop. 38.er Seholio Prop. o. Libri Primi Geometria Ind. Cum vero, BC,
dratum, VI. ita erit Gh,ad, H. Invenimus ergo quatuor hasma initudines,vicum'; sumptas, froportionales,ergo per Cor. 3. Propositionis 26 adhibitum sine ab Ups C c. iuxta praemonitanum 3 o. quatuor maenitudinum ordines, iuxta quatuor dicrasma indines,assumptarum in quatuor figuris, quarum prima est parallelogrammum, FD fecunda triangulum, ADE, tertia parallel raminum, DB, or quarta trilineum, ADC, erunt proportionales . Hoc est ut omnia quadrata paratulogrami, FD,aae omnia quadrata trianguli ADE. regula. E. ita erunt omnes lineae paraue grismmi, ED, Bd omne, tineas aeruinei , ADC,r gula eadem CE. Sed omnia quadrata, F D, omnium quadrat mm triangu*ADE. Osten funt tripla esse in Prop. aq. se demonstratione directa, num. 26superiori. Ergo omnes lineaeparallelog ammi, DB, triplae erunt omniat linearum trilinei,ADC. Verum ut omnes linea ad omnes lineas duarum figurarum, ita
sunt Vse figura per Prop. 3. Ergo parallelogramam, BD,triplum erit totas trilinei, ADCo subindesex quialterumsemiparab lae ABC; unde parallelogrammum, T Ciexquialterum erit pa rabolae i&ACiunt enim haecpraedictorum dupla. I uodorc.
97쪽
Erit ergo rursus ut quin dratum, CB, ad quadrio an f S, eme ut qui dratum, QS,ad quadratu, VS, ita BA, ad, AS, hoc est ita, M S, ad, SP, s est enim , IIS, aequalis
Ande hi quatuor orianes magnitudinu erunt δεν portionales. Nempe ut omnia quadrata para Diogrammi,DB, primi ordinis, ad omnia quadratas parabo-M,ABC me cunae ordinis, ita erant omnes lineae parallelogrami, LB, tertiν ordinis, ad omnes lineas trianguli, ANA,quarti ordinis . Sedomnes tineaeparallelogrammi,LB, dupia sunt omnium linearum trianguli,AB sunt enim v paralleloreammum,LB, ad triangu - N .m Pruis. z. cuius ilis es duplum per Prop. I9. Ergo omnia quadrataparallelogrammi,DB, pia sye omnium quadratorum femi arabolae,AΓCivnde es' eorum qua- aerupla ,soc est omnia quadrata parall. Urmmmi , T C, dupluerunt omnium quadratorum parabois, OAC: nam quemadmodum quadrat-,X.2 quadruplum est quadrati, quadratum,VN, quadruplum quadrati,SH ita per Prop. q. sueser Prop. 2 . omnia quadraia, TC, quadrupla sunt omnium quadratorum, AC, ' omnia quadrata parabola, OAC quadrupla omnium quadratorums mi parabola. ALC . diuod se.
Cum vero ex Prop.3 3. ut omnia quadrataparallelogrammi, TC, ad omnia quadra a parabola, OAC, ita sint quaecunquefolida adinvicem similaria squa distiniuntur in Sectione , C, des. 8. genis a ex parallelogrammo, T C., ct ex parabola, OAC, iuxta regalam figuram a basi,OC,defcriptam e ideo per demon.
98쪽
rata solum in omnibus quadratis earundem signrarum, illitar ta dictam Prop. 33. euidenter perspicimus infinitu lucrum
ex eisdem fecisse, nempe in infinitis solidiss-ilaribus a dicto
parasielogrammo, separabola genitis: qua non inutile erit pamliore contemplari. Consederabimus autem primo duoseo , quo nεbissent magis familaria, nempe quorum omnia plana sent circuli fustida rotonda. Si ergosjura se basi C,defcriapta fuerit circulus, eluis, diameter, quem recte secet planu, TC innotescit M,TC era cylindricῶ immo cylindrum Eumq; rectum , AB sit perreiacularis circulo 'fias, OC,velscalenum,ssit illi laeclinata. - hoc perdicta in Cor. pr. Prop.3as: Similiter ex parabolasset conoides parabolicum circa axem, AB, rectum, vel inclinatum circuloMC, prout se habebit pro dicto cylindro, eius enim omnia plana sent circuli per momta in Seholio Prop. sta Libri IMrti Ηeo. Inae se per dicta in Prop. q7, Libri primi, qua ὰ Lectore supponi poterunt. Hinc ergo fit manis flum cylindrum G, T C,genitum,conridis para olici geniti ex parabola, o AC, iuxta regulam circulum,OC, duplum esse me, ABD i circulo, OC,perpendicularis Aue non. Hucuseque autem Veteres cum Archimedebor ali, postea ad haec usque rem
Verum per hanc Ariorem methodum Ind. poterit Studiosus tam angustos limites in infinitum extendere, hoc est inuentam proportiouem ad infinita folida transferendo. Namque si cim Ius,OC, mutetur in quadratum ab eodem,OC,tanquam ὰ latere descriptum, cuiplanum,TC supponatur erectum, vel quomodoc-que inclinatum: nihilominus duo solida ad inricem fiamitaria descripta a TC parabola, OAC uxta regulam qst
dratum ipsius,oc .habebunt eandem rationcm dupla. Horum
primum erit prima,suparallelenipedum rectum, avocatenuex Coro I. primo Prop. 3 secundum vero eri obdum basim hab/ ns quadratam do Pleus versus, A, iuxta ραrabolae, OAC, desicientiam, terminans; ad idem, A, in quo paradelis basi planis utcumquefecto, n emper quadrata discripta is lineis inflarabola, C,ordinatim ductis. Videtur autem hoc solidia
99쪽
De Tristi Methodo India ilium. 8 s
fai concavo limilarismicoch velfeminari,Mu potius Temtoru emiradio. Sic mutato quadrato ipsius, O tacin trianguium, pentagonum, exagonum c ciere in quamcunque Auram νectilineam, oe curvilineam seu mixtilineam, ab earim, OC, qmmorieunque descriptam , per aectam Prop. 33. admonemur sudum similare ex, TC, genitum quoderat in rectilis is figmri emper prima, vel in a* altem cylindricus per Pyop. 3 duplum es olidi praedicto similaris geniti ex parabola OAC, iuxta regulam descriptam ab, OC, basim, quod idcirco infinitis moris variaristotcs.
Perpendat nunc Studiosus quam fertilis hinc euadat Geo. metra obdorum,se quam late pateat hic dem ranssi moris, quem iugiter prosequimur in omnibus figuris planis in dicta
Geom. Inae tamquam solidorumgenitricimus considcratis. Hoc
es Libro 3. expendimus solida,qua oriuntur a circulo,ct eltissi, eiusque portionibus. Lbro q. quae gignuntur is Parabola,ut σab eius portionibus ac Lib. sclentia ab N perbola,oppositi eritionibus, necnon similiter a earundem portionibus, consiae rantur: o hoc st- - κατ-HM---- genis .cium aint per
pediculares basibus factorum sidorum. siue eisdem tactinatae. Denique Libro 6. agitur de spatiis helicis, aliaque ratione ab Archimedea Libro de Spiralibus, eorum mensura inustatur,
prius nempe per Indiuisibilia, quaesunt circulorum omnes periphariri eisdem eoncentrica, deinde per circumscriFIioncm inscriptionem figurarum, etiam more Veterum e superaddunturque nonnulla Theoremata,ae Problemata ex univcrsa dicra Geometria doctrina emanantia: Es autem in Probi maribus hoc sum e notandum, nempe. Dato quocunque ex solidis indicta Geometria confideratis, inuenire ex quaι unque occi o lidoram nedum dato aequale sed etiam qnoae ad illud caram rationem habeat. Excipe tamen, qua supponunt circuli aut Hyperbola quadraturam, in quibus proxime tantum dicta ratioinucitur . Ita ut ex his tandem Stadiosus animaduertcre
possit quantum ultra Veterum timItes per sanc priorιm IndisLesbilium methodum prodierit Geometria. Dixi Ve
100쪽
D que ex modo, quo num. 3 I.'36. ostendymus ibipro msita,innotescere potest, qualiter sine ab illis, residuis orc. op randum sit. Vbi enim dicendum fuist in Gram Schemate ium ta iam consectum in dicta Geometria, omnes lineas, BD. ad omnes lineas trilinei, ADC, regula communi, EC, esse ut quadrata maximarum ipsius,AD , ad eiusdem quadrara omnium abfrigorum; hic dinum est esse ut quadrata omniu tineinam, F D ad quadrata omnium tinearum trianguli, ADE, etenim istae eisdem maximis,stabscisis adaquatur. Sic pro omnibus lineis parasiclo ζrammi,LB,estri usi ANB, regula communi, VC, adhiben fuissent maxima ab Carum, a B,eiusque omnes abscissae. Liberum tamen cuique erit si volueris, etiam ipsas a cissas, residuas oc. iuxta prioremolum retinere, nullus enim hinc error, nisi ilia perperam accisiantur, emerget. Haec ad intelligentiam prioris methodi Indiuisibilium fusocere puto, in sequenti Exercitatione poserior quoq; explicabitur, necnon se confirmamur, quaFropter nonnulla e Libro Septimota a Geomeoiae Ind. E fum pia, eidem inserenisaea erunt.