장음표시 사용
111쪽
De Posteriora Methodo Indiuisibiliam. 9 7
diuidentur donec ad parallesogrammlina, ut a PQ deue- l . Deci:riniatur minus spatio, 6 ,sit/gitur sectum, AP, in parallelogramma aeque alta, AZ,β&, PR,ΔP,per aequidistates lineas, TU,ΔX,quae secent lineas,Amn punctis,is,r,o, CQdn, E,I,N, DP, in,Z,&,R,FT,in, ΛΠΣ,HT,in,O, R,S, & tadem, LY, in, k, V, X, compleanturq; parallelo ramma, BZ,2 6 ,3 iuxta descriptionem superius traditam, erunt enim lineae,BE, 2 I, 3N,Δυxtra figuram,CQPD, quod patebit, veluti, AQ,extra, C QPD, similiter cadere ostensa est.& c6sequenter figura ex parallelogrammis,BZ,2&,3 iu ,ΔP,co posita comprehendet spatium, COPD. Sint autem etiam completa parallelogramma, E&,I' NP, quorum descriptae lineae, Eo , ΙΩ, NM, intra figuram, CQPD, quidem cadere ostendemus ex eadem ratione, quod dictae parallelae ipsi, PQ, propinquiores remotioribus sint semper maiorcs, &subinde patebit figuram ex parallelogrammis, E&, IN,NP, compositam comprehendi a figura, C QPD. Tandem compleantur parallelogramma quoque, Gh,6V,9X,SY, ex qui bus compositam figuram spatium, HTYL, eadem methodo comprehendere demonstrabimus. Cum ergo figura comprehendens spatium, CQPD, superet ab eo comprehensam parallelogrammis,m ,α. 3n,in ioc est parallelogrammo, ΔΡ,quod est minus spatio, Q, dicta comprehendens figura superabit, Cin D, multo minori spatio , quam sit, ηε, sed, ETYL,sii perat,C D, ex hypotest spatio, , P, ergo figura comprehendenS,CQPD,minor est,HTYL, & multo minor figura ipsum,HTYL, comprehendente, quae iam, descripta
fuit. Hoc autem est absiurdum, cum enim parallelogramum,
ΣΥ, tota toti adaeqt latur contra prae demonstrata, non ergo
figura, H TY L, maior est, C QP.
Sit nunc eadcin minor, si possibile est, eodem spatio, igitur descriptis circa, C QP D, eisdcm figuris, ita ut comprehendens, C QP D, superet ab eo comprehensam minori spatio, quam sit, i , compleantur parallelogramma, OU, HX, SY, ex quibus compositam figuram, ut sit pra a spatio,H T Y L, comprehendi ostendemus. Igitur si comprehcndens, C QPD, superat figulam comprehcnsam minori spa-N tio,
112쪽
; 8 Exercitatio Secunda. rio, quam sit, φ , ipsem spatin m ,CQPD, superabit ab eo
comprehensam figuram multo minori spatio,quam sit, Φ, idem autem superat,HTYL,spatio, ,ergo figura compre-ensa a spatio, C QP D , maior erit spatio, HTYL,& multo maior erit figura iam descripta, ab eodem sipatio, ΗTYL , comprehesis,quod cst absurdum. Cum enim parallelogram mum, E&, aequetur, OV, ipsi, RX,necnon,NP,i STtota toti adequatur contra praedemonstrata, nec ergo Ngura, HTYL, minor esse potest figura, C QPD, sed neque eadem maior, ut ostensum est, ergo eidem aequalis erit, quod dcmonstrare oportebat. Vnam quamque autem dictarum figurarum, C PD, ΗΤn, praefatas conditiones haben tium, figuram in alteram partem deficientem appeIlabimus,
regula basi, seu quacunque illi aequid istante.
LEMMA III. SI curua linea quaecunque tota sit in eodem plu
no, cui occurrat recta in duobus punctis, aut rectis lineis, vel in recta,& puncto, poterimus aliam rectam lineam praefatae aequi distantem ducere, quae tangat portionem curuae lineae inter duos praedictos occursus continuatam. D E F Ι N I Τ I o. T Angere autem dico rectam lineam aIiam quamcunq;
curuam totam in eodem plano cum ea cxistentem, cum ipsa recta linea siue in puncto, siue in recta linea,curuae Occurrente,eadem curua vel tota est ad eandem partem, vel illius nihil est ad alteram partem illi occurretis recte lineet. Sit curua linea, B AC, tota in eodem existens plano, cui recta, BC, occurrat in duobus punctis, seu rectis lineis, vel in recta,& puncto,B,C. Dico nos aliam rectam ipsi,BC,aequi- distan-
113쪽
distantem ducere posse,qus tangat portionem curuae lineae inter Quos occursus,B,C,c6tinu tam . Quoniam ergo recta est, BC,& curua, BAC, ideo inter se spatium comprehendent, figuramque,ut,BAC,constituen erisgo possibile erit figura ZAC,rγIpectu rectae , B C, verticem inuenire, sitis punctum, A,per quod ducatur,DF,parallela,BC, igitur, BF, tanget figuram, BAC,ergo totus ambitu BAC, est ad eandem partem rect , DF, vel nihil est saltεad altera partem, si enim aliqua illius portio esset ad alteram partem rectar,DF,iam recta, DF, scicaret figuram, BAC,quod est absurdum,ergo recta, DF,tam Sit curuam, BAC, igitur possibile est, &c.
COROLLARIUM.HIne manifestum est quomodo ducenda sit recta linea
datam curuam totam in eodem plano cum ea existentem contingens, quae quidem datae rectae linei sit aequi-
SI proposita quaecumque figura plana uni regu .lae parallelis quotcumque lineis ita secari possit,ut conceptae in figia ra rectae lineae integrς semper existant: Ipsa ex parallelogrammis rectilineis, aut curvilineis, seu ex figuris in alteram partem deficietibus, regula eadem, componetur. Sit quaecumque figura plana,SPFR, talis tamen, ut secta quotcumque uni regulae, ut, FE, parallelis conceptae in ipsa rectae lineae integrae sint. Dico ipsam vel ex parallelogranais rectilineis, aut curvilineis, ves ex figuris in alteram paris N a tem
114쪽
gentes figurae,SPFR,regula eadem ,FE, quibus incidat
'luomodocumque recta linea, AE, moueatur autem,
F versus,SA,semper aequi distanter eidem,SA, donec illi congruat, interim vero
punctum, E, ita in ipsa stratur, ut describat lineam, ENA, cum, ΑΕ, figuram, A N E, comprehendentem, quae eidem. SPFR, sit aequaliter analoga iuxta regulam, F E; in eademini ris existentibus parallelis ipsi,FE, ad ambitum, ANE,
termina ntibus:rursus feratur recta linea, A E, versus ambi eum, ANE, semper ipsi , AE, aequi distanter, donecto tam pertransierit figuram, NE, adnotentur autem contactus lineae sic decurrentis in ambitu, ANE, vel enim tan get in linea,aut lineis,vel in punctis, & lineis, vel tantum in punctis, esto quod fiat contactus in recta,m, & in puncto,N,transeantq; per puncta,L,M,N, recta lineae regulae, Friparallelae , HD, QU, PB, secantes ambitum figurae, SPFR,in punctis, P, Q, H, I, O, R, & rectam, AE,in punctis,s,C, nullusq; alius facius fuerit contactus in ambitu, ANMLE. Quoniam ergo a puncto, N, ad, A, nullus datur contactus, erit,AN figura in alteram partem, nempe versus, A, deficiens, hoc est quaelibet in figura, A N B, parallela,N B, erit maior remotiori,si enim non,esto quod aliqua,vt, ΥT, non si maior remotior XV,ad ambitum terminata,vel ergo erit illi aequalis,vel eadem maior, sit illi aequalis, & iugatur, o, haec ergo erit parallela, A E, & occurrit ambitui in duobus punctis, Y, X, ergo possibile erit ducere rectam lineam ipsi, ,seu,AE,parallelam,tangentem portionem curuae lines, ambitus,AN,inter duos occursus,Y, X, csitinuatan ιε' quod est contra suppositum.Qubd si dicatur,o,esse min rem,XV,multo magis conuincetur praefatum absurdum, ergo,o,erit maior,XU,& quaelibet, NB, propinquior remo time maior, ergo figura, A N B, erit in alteram partem deficiens et
115쪽
ciens. Eodem modo autena ossedemus etiam,NMCB,l ED, esse figuras in alteram partem deficientes, L M C D, aut cmmanifestum est esse parallelogrammum rectilineum, ergo in figura, S P F R, ipsis, SPR, quae est aequaliter analoga ipsi, ANB, erit figura in alteram partem deficiens,sic etia,PQOR, EFI, Io, vero erit parallelogrammum rectilineum, scucurvilineum, prour, QΗ, OL rectae,vel curuae, esse possunt ergo figura,SPFR,componitur ex figuris in alteram partem deficientibus, ac ex parallelogrammo rectilineo , seu curvilineo,regula,FE, quod ostendere opus erat.
&uniuersaliter figuras planas atqualiter analogas, in quibus earum regulae aequidistantium quotcunq; linearuconceptae portiones integrae sunt,inter se aequales esse. P Ropositio antecedens, aliter, quoad priorem partem ostensa. Sint quaecumq; figurae plans squaliter analogae iuxta reis gulam,CM, ipsae, BIHIC, Lin, quarum oppositae tangen tes, AF, C M, regula paritcr, C M, parallelarum aut cm ipsi, C M, quotcumque portiones in unaquaque dictarum figmrarum integrae sint, sue non . Dico easdem artiales esse.
Incidat ergo parallelis, A F, G N, quomodocumque rccta
116쪽
linea, EL, in dissidem terminata, moueatur autem, Gmverosus, AF, semper eidem,ΛF,aequidistanter donec illi congruerit, interim autem unum punilium moueatur in eademGM, sic mota,describens ambitum, LaE, figurae aequaliter analogae ipsi, DQk, & aliud punctum in eadem motum ad aliam partem,EL scribat ambitum figurae, EYL, aequaliter analogae ipsi, BHIC, in auibus quidem sic descriptis figuris conisceptae ipsi,GM,parallelarum portiones quscumque integrqsnt. Erit ergo figura,EsL, squalis figurae, EYL,esto autem quod in figura,DQ conceptae portiones parallelarum ipsi, GM,non omnes sint integrae, sed alique fractae per interim rem ambitum, iacirape, qus intercipiuntur parallelis, Q6,ΦΩ, in quibus habeantur duo figurς frusta 67 R Ω,QO R, in quorum tamen unoquoque dictae parallelarum portiones inte-giae habeantur , sit autem in motu, G M, a quodam puncto descripta linea, S rs, nempe ambitus figurs,'ΣT, eodem modo, quo descripti fuerunt ambitus, h L, EYL, figurgim quam, &ΣT,aequaliter analogs frusto, RH6i erit ergo rei qua figura, Δ&,aequaliter analoga frusto, QΦR, cum tota, TS , si toti composito ex stustis, Q. R , ΗΩ6, aequaliter analoga, & sunt portiones ipsi, G M, parallelarum in unaquaque figura, Δ&, F&ΣT, integrae omnes,sicti reotingerenipposuimus in frustis, Q. R, RH6, ergo clim, Q R, Isint figurs Ptiam aequa ster analopς, imo sic aequa ira crunt: Eadem rarione patebit fructu, 7 lino, aequari figurs, S&ΣT, Sero
117쪽
De Posteriori Metbodo Indis dissum. Io 3
ergo frusta, Q Φ R, 7RΩ6, simul sumpta aequabuntur figurae
Τιβα, sed & figuram, 76D,ipsi, EST , a dequari,necnon, ΦΙΩ, ipsi,ΔLΣ, pariter adaequari manifestum est, cum sint figurae aequaliter analogae,& portiones parallelaru ipsi, G M, in eisdem conceptarum integrae sint,ergo tota figura DQk,
toti, EβL, aequalis erit. Consimili modo in figura, BHIC, ducentcs rectas lineas ipsi, GM, parallelas, nempe Oa, P 3, quibus ipsa distinguatur in frusta, capientia dictas parallelarum portiones integras,scilicet in frusta,BON,CNa,PH , qI3,OP3a,PΗ , I 3,easdem,oa,P3, producenteSut secent ambitum figurae,EYL,velut in,T,X, R,Y, descripti'; lineis, EV,ZL,ut fuit descripta, T&, ut constituatur figura, ETU, aequaliter analoga frusto, CNa, ex quo remaner, E V X, ae qualiter analoga ipsi, BON, & figura,Z L, aequaliter analoga ipsi, I 3, ex quo, ZLY, remanet etiam aequalitcr anain
toga ies, PHA, cum in his captae parallelarum dictae portiones integrae sint, manifestum erit fig. E T V, aequari ipsi, CNa,EVX, ipsi,BON,ZRL,ipsi,qI3,ZLY,ipsi,PHq, & tandem,XTRY, ipsi,OP3 a,ex quo concludemus figura,BH IC, aequari ipsi,EYL, hoc est ipli, Ei3L, sed eidem, E is L, ostensa est aeQualis etiam, DQh, ego figurae, BHIC, DQk, inter se
aequales erunt, igitur quaecumque planae figurae aequaliter analogae inter se aequales erunt, quod ostendendum erat.
Per haec autem priori parti Propos. I. huius iam satisfactum esse manifestum est.
FIgurae planae quaecumque in eisdem parallelis constituistae, in quibus, ductis quibuscumque eisdem parallelis
aequidistantibus rectis lineis, conceptae cuiusciamque rectae lineae portiones sunt inter se,ut cuiuslibet alterius in eisdem figuris conceptae portiones c homolagis tamen in eadem figura semper existentibus eandem inter se proportionem habebunt,quam dictae portiones. Dicantur autem proportionaliter analogae, ac etiam, si libuerit, iuxta regulas ipsas parallelas, in quibus existunt. Sint
118쪽
Sint duae quaelibet figurae planae,B&R COA,inter parallelas,AD,XΩ,constitutar,ducta vero utcumque,E prae dictis parallela,eiusdem portiones in figura, Δ,concepta quae sint,HI, LM,simul sumptae sint ad eam,seu ad eas, 'uae concipiuntur in figura, C Φλ. ut aliae quaelibet similiter sumptae,nempe ex .g. ut,& hiro,ad Φλ. Dico figuram,B&Rad figuram,CΦλ, esse ut, HI, LM,ad, NO, vel ut,&-ro,ad A, velut qu libct aliae similiter silmptae. Accipiantur in ,
Φλ, producta versus, λ, quotcumque eidem. ΦΑ, aequales, ut, Aa,similiter quaelibet linearum figurae,C Φλ,producatur,& in ipsa intelligaritur tot assumptae aequales unicuique produ clarum,quot assiumptae sunt aequales ipsi,Φλ,ex .g. unica tan tum,& per omnium terminos ex parte, a,traseat linea, CPa,
similiter in alia figura,B&Δ, sumantur quotcumque in ipsa , o&,producta versus,&, aequales ipsis, & Ri, rΔ,simul jumptis, & productis reliquis in fig. B & Δ , ipsi, S Δ, parallelis, aliae tot aequales suis productis in directum capiantur, per quorum omnium terminos transeant linear, BGZ, BF Y. Quoniam ergo figurae,BFYZG,BGZ&Η, BN nΚrΔ, sunt in eisdem parallelis, A D, X Ω; & ductis in eisdem quomodocumq; ipsis,AD, XΩ, parallelis, interceptae in figuris portiones sunt aequales, ideo ipsi figurς, B YZ, BZ& , B&Η ΚrΔ, equaliter analogae , & subinde squalcs, erunt: inopacto Per M. etiam ostendemus figura S, e C λ , λCa , s quai cs esse: Qimtu plex
119쪽
Erit, Φa,ipsius, A, tot uplex erit, aggregatum ex figuris, C , C Aa,hoc est figura, Coa, ipsius figurae , C ex Habemus ergosque multiplices primae,& tertis utcumque assumptas simuliter,& ς que multiplices secundae, & Quartae. Quoniam vero ex. g.Yδr,ro; FI, L M, sunt que multiplices ipsarum,SR,rΔ; HI, LM; similiter,aΦ, PN,sunt aeque multiplices ipsam, ΦΑ, NO, ipsae vero, ΓΔ, HI, LM i Φλ, NO,sunt propor tionales , ideo si aggregatum ex, YN. ΓΔ, adaequabitur ipsi. Φa, etiam aggregatum ex , FI,LM, adaequabitur ipsi, NP, vidi reIi lus omnes similiter sumptae, & consequenter etiam E an figura,BY adaequabitur figurae, C Φ: s vero aggregatum ex V m ro, superet, ea, eodem modo patebit figuram, BIRXrΔ , superare figuram,CΦa; vel superari ab eadem, si,
YR,r αἱ iuperetura,Φ2. Ergo prima ad secundam erit, ut temtia ad quartam,scilicci figura, B&'ΚrΔ , ad figuram, CΦA, erit,ut aggregatum ex, & R, rΔ; ad , Φλ , vel ut aggregatum eX,HI, LM, ad , NO, seu ut quaelibet alis duae similiter sumptae,quod erat ostendendum. Dicantur autem dii, figurae proportionaliter analogae iuxta regulam AD,ves, .
PROPOSITIO III. Figurae solidae quaecumque in eisdem planis para IIelis
constitutae, in quibus ductis quibuscumque planis di. eris parallelis aequidistantibus, concepte cuiuscumquc sic ducti plani in ipsis solidis figurae planae sunt inter se,ut eiusmodi cuiuslibet alterius plani in eisdem sistis conceptae λgurae homologis tamen in eodem solido semper existentiabus eandem inter se,quam dictae iam conceptae cuius umq; plani figurae, rationem habebunt. Dicantur autem figurae proportionaliter ana Iogae, iuxta reguIas ipsa plana paralle. la, in quibus existunt.. Sint duae quaelibet fig. lidae,AMEGF. PQ in eisdem planis parallelis constitutae; ductis vero qui cumq; pl o nis
120쪽
Exercitat o Secunda. nis praefatis parallelis etquidistantibus, eorum conceptae insolidis figurae sint unius plani ex. g.figurae, NSTV, 2 ΩΔ, a terius autem, MEGF, QY , et contingat has esse solido-rimi bases, ac in altero planorum parallelorum, solida, AMEGF, PQRY, contingentium, sit vero figura,MEGF,ad Eguram,QRY, ut figura, NSTV, ad figuram, homol gis nempe in eodem solido existentibus . Dico solidum,
EG F, ad solidum, PQR Y, esse ut, NSTV, figura, ad Mguram, vel ut fit ra MEGF, ad figuram, MY. D
catur enim in figura, MEGF, utcumque recta, EF, ad illius ambitu terminata aut ducta parallela, SV,in figura, NSTRProducatur ambae indefinite versus pucta, S, E,in quibus Inantur utcumq; aeque earu multiplices, BS,CE. Similiter in
eisdem figuris ductis alijs eisdem, SV, EF, aequidistantibus,
si mantur earum pariter aequc multiplices iuxta praedictatum multiplicitatem,& omnium termini sint in lineis,NBT, MICHG, sicut ipsiarum partium termini sint in lineis, NST, NOT,NBT, MEG, MD G, MCG: traductis vero alijs quotcumq; planis praefatis parallelis, ac ipsa solida secant, bus, hoc idem fiat circa ipsorum figuras in ipsis solidis comceptas,omnisi vero ita resultantiu figurarli termini sint in Q- perficiebus, AMCG,AMDG, AMEG. Similiter in alio soludo esto quod plana, quae produxerunt in solido, A ME GF, figuras, MEGF, NSTV, genuerint figuras, QRY, Z ΔΩ, ad
quas illae habeat eandem rationem: ductis aute, vel assumptis rectis, QY, Zo, inter se parallelis, illae producantur versus eandem partem, ori in ijsq; productis accipiantur quaecumque aeque multiplices, vel aequales, YX, Δ', & ide fiat in citeris ipsis parallelis in figuris,QRY,ZΩΔ, sic productis, ct omnium termini sint in lineis, YXR, Δ Ω,hς vero lineae, sicut & reliquarum figurarum eodem modo producibilium, sint insuperficiebus, PYR, PYXR. Manifestum est autem figuras,MEGF, MDCE, MCGD,esse aequaliter analogas, Ex anm. & ideo inter se aequales; scut etiam figurς, NSTV, NOTS,NBTO, pariter inter se sunt aequales, & quaecunque ali sunt in eodem plano: ex quo habemus etia solida, AMEGF,
AMDGE, AMCGD, esse ρqualiter analoga, & ideo inter se qualia. Lode modo ostendemus solida, PQR PRXY,