장음표시 사용
141쪽
oppositarum tangentium eas portiones , qua 'inter duras inebaentes se circuitus figurarum M eandem pamm sitae fune , e dem ordis optas,eandem interserarionem rubere,quam re cta linea, qua dictis tangentibus inciderunt. o in easdem ter minantur . Isa autem dicuntur tinea homologa iactarum ra
Cum vero duae similes figurae plana in eodem plano , velinquidistantibus planis ita posis fucrint, ut earum incidenres mel sint inuicemsuperposita vel aequiristantes homologia tineis aeciam guraru, or homologis partibus imarum incidentiam ad eandem partem constitutis: Vs vicentur simiture poritae , vel 2 suis lineis aut lateribus similiteν aescripta. His veropremibys nunc adi a Lemmata accedamus.
mis aequaliter analogis iuxta regulas bases quorum unum saltem sit rectilineum in iisdem mparallelis planis per parallelogrammorum bases
. transeuntibus concius, inter se sunt aequales. Sint duae quscumque inter se paralleis redis linet UE,A D; & in ijs duo quilibet paralles ogramma squaliter
analoga,HA BC, Fc DE, iuxta regulam,AD, quorum alterum saltem, ut, HABG, sit rectilineum; extendantur autemper, HE, AD,duo indcfinita plana parallela ambo recta, vel inclinata ad planum per, HE, AD, transiens ; qui tangant duos cylindricos rB,& E,equealtos,& in basibus ipsis, HB, CE, constitutos,existente cotactu in planis, YB, 'C, unius,& alterius in planis, PG, DE, ipsis, AB, CD, HG, FE, insi- sentibus. Dico prs dictos cylindricos inter se squales esse. Quoniam ergo opposite bases, TZ,Δhi, sunt in eodem plano cum cylindrici supponantur squeal ideo dictu planum extendatur indcfinit c , & concurrat cum planis parallςlis tangentibus, in rcctis, rΠΔΦ, YZ& R. Manifestunt c si ergo
142쪽
parallelogrammorum , ΗΒ , CE, bases, AB, CD, ut & oppositas, H G, FE, inter se, necnon prς dictis squales esse,per definitionem figurarum qualiter analogarum traditam in Prop.pr. Lib. 7. Geometrii Indiuisibilium. Et per eamquet tradita est ad finem demonstrationis Lematis primi, ibidein subsequentis pro parallelogrammis, tam rectilineis, quam curvilineis. Erunt insuper contactuu plana, ra,&D, rG, ΔΕ,parallelo ramma,per Prop.9.Lib. Primi eiusdem, & reliqua plana,rA, α, LG, pariter parallelograma, TZ,quidem per Prop. I I.eiusdem primi,& reliqua ex reuolutione lateris cylindrici,vno extremo per rectam, HA, seu,GB,p perate, quod idcirco cogitur describere parallelogramum. Ex quo patet,eB,esse parallelepippedum. Sicuti etiam erit, Δ D, si, FCDE, supponatur pariter esse parallelograminum rectili. neum, Quoniam ergo, AB, aequatur ipsi,CD,apposta c6muni,BC,erit, AC, aequalis ipD, BD; eadem ratione ostendemus, HF, aequari ipsi, GE. Si ergo mente intellexerimus selidum,quod coprehenditur superficiebus, FHAC, ΔrY&,&YAC, ΔrHF, rHAY, Δ&CF , superponi sblido coinpre- liensis superficiebus, EGBD, ΦΠZR, REBD,ΦΠGE, Π BZ, in Φ DE,
143쪽
Φ RDE,ita ut punctum,H, ponatur in,G, recta Vero,ΗF,extendatur stipe GE,punctum, F,erit in,E,quia,ΗF, GE, sunt aequales. Quod si figura, FHAC, cadat super figuram, EG BD,linea,HA, erit in CB, propter aequalitatem angulorum, ΑΗF, BGE,& punctum,A,in,B,quia,HA,GRssint aequales. Similiter ex a qualitate angulorum,HAC, GBD,& linearu, AC, BD, concludemus, AC, cadere super,BD,& punctum, C,in,D. Vlterius cum sint aequales anguli, P, BCΠ,inter se, ut&,PH F, ΠGE,in superpositione solidorum, extendo tur,Fr,in,CΠ,& punctum, P,erit in, Π, ut &,ro,in, Πφ, &, Δ,
ponitur esse parallelogrammum rectilineum, erunt rectar, CF, DF,& Δ, quia probatum est punctum, , esse iri, Φ,&,in, hi, C,'n,D,&,F,in, E, ideo & rectae rectis, & planum plano congrucnt. Ex quibus concludetur solidum, TACF,
solido, nBDF, congruere, & subinde illi aequale esse, unde sublato
144쪽
De Posteriori Metbado Indiuisibilium. I 2 3
sublato communi solido, Π&GBCF, remandbit narallela. pippedum,rB,aequale parallelepippedo, ΔD . Si vero, F D. iuerit parallelogrammum curvilineum, de dictae litieae curuserunt,tuncq; sirperficiem,Δ congruere ipsi,ΦD,sic probabimus. Nisi enim congruant, aliquod saltem punctum in superpositione cadet extra, vel intra selidum e cadat prius extra, & sit, eX. gr. punctium , N; per quod traiecto plano ipsi subiecto plano aequidistante , illud secet plana cylindricos tangentia , & erecta , vel inclinata eidem subi cto plano, in rectis, MLLI, X VT S, per quod creabuntur in parallelepippedo, r B, parallelogrammum, MV,& in cylindrico, ΔD,parallelogrammum curvilineum, Κ S, per Cor. Prop. I a. Lib. Primi Geo. Indiuisibilium. Rursiis in plano parallelarum,MI, XS,per punctum,N, extendatur indefiniate,NOPQR, parallela ipsis, MI, XS, cuius pars concepta in, MV, sit,i & in, ΚS, ipsa, PO, quae erunt inuicem aequa. Ies,& subinde,addita communi, P,erunt ipsae,RP,QO, pariter aequales,sed,RP,eadem est ipsi,QN,quae venit in stipera ositione ex hypotes,ergo, QO, ,hoc est pars toti aequas erit, quod est absurdum. Non ergo, N, scu ullum punctum superficiei, Δ&CF,cadet extra superficiem, φκDE SO-
dem modo ostendeinus nullum cadere intra, ergo multo ma
gis nihil superficiei, ΔC, cadet extra, vel intra siti perficiem, ΦD,quapropter tota, GC, toti, QD, congruet, & totum solidum, rACF,toti,ΠBD pariter c6gruet, ac ideo illi aequale erit. Sublato ergo communi solido, Π& GBCF, rema iacbit parallelepippedum, rs, aequale cylindrico , o D. Quod ostendere opus erat.
EX hoe patet si parallelogramma,ΗB, FD, suissent in eadem basi ; vel si pro duobus unum tantum esset parallelogrammum, in quo tanquam incommuni basi existere suppositi fuissent praedicti cylindrici, quod nihilominus cadem ratione aequales ostensi fuissent. Vnde siue sint in eadem, siue in aequalibus basbus, habentes reliquas condi
145쪽
tiones superius dictas, s per aequales erunt. Casum a vitem assumpsi aequalium basium , ut minus Schema comsunderetur.
VLterius si in basi, FCDE, & in eadem altitudine cum
parallelepippedo, PB, concipiamus esse parallelepip- pedum, seu cylindricum, qui quomodocunque protendatur extra plana,YD, rs, habebit ipse duas facies,veluti sui,& D,ΔΕ, quae erunt parallelogramma insistentia ipsis, CD, FE,ut de eisdem,& D,ΔΕ, probabatur. Si ergo eorum plana,velut & plana, An B Π, cum plano per, TR, rΦ,transeute ad partem suppositi cylindrici indefinite extendantur, orietur figura similis proposito schemati. 'Nempe habebimus alia duo plana parallela per, AD, ΗΕ, transeuntia, & inci nata subiecto plano, HEDA, sed inclinatione diuersia ab ea, ctuae in planis, YD, TE, supposta fuit, tangentia nouum cylindricum, basi, F D, pariter insistentem. Inter eadem vero erit,& parallelepippedum si compleatuo basi, HB,insistens, quod tangetur ab eissidem duobus parallelis planis. Unde nouus ille cylindricus erit aequalis nouo huic parallelepip- pedo per ipsum Lemma. Sed per idem Lemma, nouum illud parallelepippedum,cum sit in eadem basi, ΗΒ, paralleI
pippedi, PB,eademque altitudine,tangaturque a duobus parallelis planis, nempe planis, AP, BΠ,indefinite extensis,erit aequale ipsi, rB. Ergo nouus cylindricus basi, FD,insistens sub diuersa tamen inclinatione erit aequalis primo proposito, Δ D, & consequenter ipsi, r B. Quicunque ergo cylindricus in basi, FD,& in eadem altitudine cum, rB, qualiteriscunque sit inclinatus, erit eidem,rB, aequalis. Hoc vero de quouis alio se disposito eodem modo probabitur . Ergo uniuersaliter colligemus,omnes cylindricosaequealtos,& in eisdem, vel aequalibus basi
bus constitutos quae sint parallelogramma, siue retillinea, siue cum uilin ea ijsdem in esu sa parallelio inter se aequales esse.
146쪽
LEMMA II. CVlindriciaequesti, & in basibus cotistitui; ,
quae sint parallelogramma, siuὶ rectilinea , si-uE curvilinea, proportionaliter analoga iuxta eorsi bases; erunt inter se, ut ipsae bases.
Quae sint figurae planae proportionaliter analogae explicatur in Prop. Secunda Lib. Septimi Geometriae Indiuisibilium. Ex danitione vero ibidem allata coIligitur, si dictae figurae sint parallelogramma, ®ulae eorum bases; ipsa
necessario in eisdem parallelis esse constituta,ut considerati facile innotescet. mapropter bases praedictorum cylindricorum erunt in eisdem parallelis. Supponamus ergo in Schemate Lemmatis antecedentis talia esse parallelogrammams, Frinempe esse non aequaliter, sed proportionaliter analoga iuxta bases, AB, CD, in quibus parallelogrammis insistant cylindrici aequealti, r B, ΔD , seu alius quomodo cunque inclinatus. Diso hoscsso inter seret bases, HB,FD. Hoc veroeadem ratione demonstrabitur , qua fit Prop. as. Vndecimi Elementorum, hoc est peraeque muItiplicia basium, H B, F D, & cylindricorum eisdem insistentium, quae habebuntur sumptis in, AD, hinc indE indefinite producta, quotcunque aequalibus ipsi, AB,& alijs quotcunque aequa' libus ipsi,CD, completisque parallelogrammis, siue rectilineis, siue curvilineis, iuxta modum describendi parallelogramma curvilinea traditum in Lemmate a. Propos Primae eiusdem Lib. Septimi. Complebuntur vero ulterius& cylindrici, iuxta ipsorum definitionem positam Lib. Primo cheis Geometriae. Tandem enim ostendetur,si multiplex primae squalis erit multiplici secundae nempe si duo cylindririci compositi ex descriptis cylindricis fuerint aeqitales etiam multiplicem tertiae sore aequalem multiplici quartae: hoc est eorum bases fore aequales per Lemma ant. etsi minor min rem, & maior maiorem , &c. ex quibus, ut in dicta Proposi
147쪽
II 6 Exercitatis Secunda. tione fit, tandem eoncludemus, r B, o D, seu quemcunque alium uersimode inclinatum,sed in eadem baLFD,& a Ititudine cum , r B, csse ut bases, H B, F D. Vnct patet propositum . Sunilis modus tabetur quoque inserius ilia Lemmate 8.
L B M M Λ III. Solida parallelepippeda, quae in aequalibus sunt
balibus, & eadem altitudine , inter se sunt aequalia.
Ηoe ostenditur ab Euclide Lib.Vndecimo Elem.Prop.3I. sed & nos ex praedemonstratis illud sic colligemus. Sint
eisdem parallelis,per Corollarium a. Lemmatis primi, cyIim drici , seu parallelepippeda aequealta eisde quomodocunqὴ insistentia, essent aequalia. Non sint ergo ambo in eisdena parallelis, sed, BI, in parallelis,AF, GM, &, NL, protendatur extra ipsas, existente tamen basi,KL,in recta, GM,& se cant A parallelogrammum,NL,in recta, DE,ut fiat, DL, aliud parallelogrammum. Si ergo in tribus parallelogrammis,B I, D L, N L, tria parallelepippeda recta, vel inclinata insistere intelligantur, erit quod stat in , BI, ad illud, quod stat in, DL, ut, BI, ad, DL. ex Lemma te antecedenti, quia, BI, DL,
148쪽
BI, DL, sunt parallelogranama proportionaliter analoga iuxta bases, HI, kL, ut facile ostendi potest, cum sint in eisdem parallelis, A F, G M. Eadem ratione quod stat in basi, N L, ad illud,quod est in, DL, erit ut, NL,ad, DL,per idem Lemma,quia, NL, DL, sunt in eisdem parallelis, NI O L. Sed, BI, ad, D L, est ut, NL, ad, D L, quia, BI, N L, ponuntur spatia aequalia;ergo parallelepippeda basium, BI,NL, eandem habebunt rationem ad illud, quod est in basi, DL. Ergo erunt inter se aequalia. Quod si, KL, non esset in recta, G M, nihilominus propositum eodem modo concluderetur, quia ab eo per duas parallelas aequalis distantiae cum ea, quae est inter, AF, GM, parallelogrammum, quale est, DL, abscindi posset. Vnde patet propositum.
grammis , siuE rectilineis, siuE curvilineis a, qualibus, iriter se lant aequales.
Intelligantur eylindrici aequealti in basibus, IcE, YR,y
rallelogrammis quibuscunque aequalibus . Dico eosdem aequales esse. Si erra bases suerint in eisdem parallelis, v etsi non in eisdem, saltem in parallelis aequalis distantiar ; id
149쪽
manifestum erit ex Corollario a. Lematis primi. At si non in ijsdem, seu aequalis distantiae parallelis fuerint, vi ex. gr. ΚΕ, YR, quae sint in parallelis, GM, AF, T&, NS, quarum distantiae inter se sint inaequales: itidem illud tali ratione ostendetur. Sumptis enim, OP, aequali ipsi, γ, & , BC, aequali ipsi, DE, constituemus in parallelis, T&, NS, paralle. logrammum rectilineum, VP, quod erit aequale, YR,ut elici potest ex Lemm. I. Lib. . Geo. Ind.&in parallelis, GRA F, ipsum, H C, quod erit aequale ipsi, ΚΕ. Intelligemus aute in basibus, VP, Η C, constituta parallelepippeda eius. dein altitudinis cum ijs cylindricis, sui in basibus, YR, Κ esse hipponuntur. Erit ergo per dictum Cor. a. Lemmatis primi cylindricus, YR,aequalis paralleIepippedo, VP: ut &cylindricus, G, parallelepippedo, HC. Sunt vero parallelepippeda, V P, H C, inter se aequalia per Lemma ant. igitur& cylindrici, YR,LE,inter se aequales erunt. Cylindrici ergo aequealti,&c. inter se sunt aequales. Quod,&c.
COROLLARIUM.ΜAnifestum est iuxta modum adhibitum in Lemmate
secundo, quo dictum est ostendi Prop. 23. Undecimi, posse pariter demonstrari cylindricos aequealtos, & in basibus quibuscunque parallelogrammis constitutos, esse inter se ut bases. Nempe per sumptionem aeque multipliacium,&c. Hoc ergo tanqua hic demonstratum assumemus.
CΥlindriciaequealti,& in basibus, quae sint pa
rallelogrammorum quorumcunque aggre
gata, constituti, inter se sunt, ut dicta basium ag-g egata.
Sint in basibus parallelogrammoriam, A, B, & aliorum C, D, E .aggrcgatis constituti aeque alti cylindrici. Dico
150쪽
eos esse,ut dicta aggregata,&C. Exponatur .n. paralla lograminurum quodcunque, F, in quo intelligatur cylindricus eiusdecum praedictis altitudinis constitutus. Et quoniam cylindriacus, ΑΒ, componitur eκ cylindricis, A, B, sicut cylindricus, CDE, ex cylindricis, D,E, est autem ut cylindricus,A,ad cylindricum,F,ita basis,A, ad basim,F, per Cor. Lemmatis antecedentis; & eadem ratione cylindricus,B,ad cylindricum, F, est ut basis, B, ad basim, ideo per Prop. a . Quinti Elem. erit cylindricus, A Rad cylindricum,F,vi, AB, basis ad basim, F. Rursus cylindricus , F,ad cylindricus, C, erit ut basis, F, ad basim, C; di sic e lindricus, F, ad, D, ut basis, F, ad basim, D ; ut & cylindriacus,F, ad, E, erit ut basis, F, ad basim, E. Ideoque per definitionem I 3. Primi Geo. Ind. colligendo, cylindricus, F,ad cylindricum, CDE, erit ut basis, F, ad basim, CDE. Ergo ex aequali cylindricus, A B, ad cylindricum, CDE,erit ut basis, AB, ad, basim, CDE. Igitur cylindrici aequealti, &in basibus,q aae sint parallelogrammorum quorumcunque aggregata, constituta, inter se sunt, ut dicta basium aggregata. Quod ostendere propositum erat.
EX hoc patet, si comparetur aggregatum ex paraIlelo.
grammis cum parallelogrammo, vel e contra: cysininoricos aequealtos in ipsis stat es esse pariter, ut ipsas bases.
nis aequalibus, ct in alteram partem absolutὰ deficientibus constituti; inter se sunt aequales. R Sint