장음표시 사용
151쪽
. Sint duae planae figurae aequales, AT BC DEF, in basi-Duβ rectis, BC, EF, quibus tanquam' communibus regulis 'M eis quotcunque ducibilas in eisdem figuris ita st habeant,ut integrae sint,&earuin quaelibet basi propinquisi it maior remotiorc. Has hic voco figuras in alteranti pax ilcm absoluth deficientes', etsi in Lemmate a. Ub. Septimi G Ind. ibi consideratas figuras habentes ulterius hanc 'conditionem, quod sint iuxta su as bases, tanquam regula , aequaliteranalogae) pariter appellauerim in alteram partem uesicientes. Vnde ista hi nune usurpatae liberiores sunt, cum ab ea lege solatae sint. Intelligantur vero in dictis iguris, AI BC, DEF, tanquam bustus aequealti . lindrici, quomodocuno; constituti, Dico hos aequales esse. Si enim non sunt aequales,ecn um alter erit maior . Sit maior cy lira' oricus, AT BC, hoc est,qui est in basi,TBCA, ut breuius loquamur & seperet ipsiim, DEF, cylindrico eiusdem cum illis altitudinis, cuius basis sit parallelogrammum, 'E', QRemadmodum ergo in dicto Leinate a. Geo. lnd. figurae, CQPD, in alteram partem deficieti quaecumque essent linear, DP, Cin circumscripta ,&iu ςTtR est figura ex parallelogiam inis composita, qua ruincisterentia minor esset, oblato ibi spatio, ita circa figu- ῆm, AI BC,hic faciemus, haec enim tota per parallelogram morum aequealtorum descriptioncm ibi tradita expedietur. Eito quod hoc sit factum , & quidem sircumscripta sit com posita LX parallelogrammis, SR, PU, LH, GC, & insicripta
152쪽
De Nosterini Methodo hiauisibilium. va r
ex parallelogranam is, Nil, ΚΟ, ΩΗ, quam illa superet munori spatioiquam sit, uel - , Et ua ligantur in dictis parallelogrammis circv iistriptam, di inscriptam figuram componentibus, constituti cylindrici eiusdem cum cylindricis,ATBC, DER altitussinis, & quorum latera ipserum: lateri. bus congruant,vel sint parallela: hi 'c enim fiet,ut cylindricus ex illis compositi , qui insist pni parallelogrMnmis Ggurae circumscriptae, comprehendat cylindricum. T B C A, quemadmodum basis basi continet: scuti cylindriciis imsistens figusae inscriptae a cylindrico, AT BC, pariter comprehendetur. ostencii potem undricus cringo figurae circumscriptae ita perabit cylindricum inscriptae.
cfindricis,qui insistunt spatijs, S R, PN, Ly, Gn, quae cum
paralislogramma, eorumque aggregatum sit minus ex.
posito pargite grammo, 'F, ideo aggregatum ex cylimcticis insistetatibus spatiis , SR, PN, LL, Cn, hoc est excessus cylindrici figurae circumscriptae super cylindricum imscriptae,minor erit cylindrico, per Lemma I. antecedes,
hoc est minor excessu cy lindrici, Ad BC, super cylindricae DEF. Cum ergo cylindri us figurae circumscriptae supercicylmdricum inscriptae minori excessu . quam cylindricus , AT BC, superat cylindricum, DEF, sequitur cylindricum, hi T BC minor cylindrico figurae circumscriptae, quippe qui ab ea comprehenditur,ut supra dicebatur) su pe, rare cylindricum figurae inscriptae multo minori excessu quam idem cylindricus, AT BC, superat cylindriitu, DEF, Ergo cylindricus figurae inscriptae ipsi, AT BC, maior sit cylindrico, DEF, quod tame absurdum esse sic euincemus οSit enim eo maior cylindrico in basie parallelogrammo, B aequaliscum praedictis cylindricis altitudinis. Et ruris vefactum est in figura, AT B C, sic fiat circa figuram, DEF, nempe circumscribatur, & inscribatur illi figura ex parali
logrammis aequealtis composita, ita ut circumscripta stuperet inscriptain spatio minori, quam sit, N. Sit autem circi scripta , quae componitur ex parallelogrammiS, qο, λ6. ΠΖ, Γ,& inscripta quaci componitur ex parallelogrammis,3Z, YF; quibus insistat cylindrici eiusdem eum cylindrico ,
UEF, altitudinis quorum latera eiusdem lateribus, vel
153쪽
eonvuant, vel sint parallela: hinc enim fiet, ut eylindricus circuinscriptae comprehendat cylindricum, DEF, & cylindricus insalptae ab eo conivrehendatur. Quoniam ergo cylindricus circumscriptae superat cylindricum inscriptae, cylindricis insistentibus parallelogrammis, Φ, Ar, n&,VX, uae bases sunt minores basi, R, ideo circumscriptus limricus superabit inscriptum minori exessi, quam sit cyli
dricus, , ex Lemmateant. hoc est quam cylindricus figuret
insalptae ipsi, A T B C, superat cylindricum, DEF. Ergo
circumscriptus ipsi, DEF, cylindricus ipsum cylindricum. DEF, minori excessu superabit,quam cylindricus figurae ininseriptae ipsi, ATBC, superat cylindricum eundem, DEF. Εκ quo concludemus cylindricum Murae inscriptae ipsi, ATB maiorem esse cylindrico figurae ipsi, DEF,circumscriptaesergo Lemmateant. figura ipsi, ATBC, inscripta maior erit circumscripta ipsi, DEF, & multo maior erit ipsa figura, AT BC, circumscripta ipsi, D E F. Sed talis circumscripta
bac quoque maior est,cum circumscripta comprehendat i sam, DEF. Igitur tandem euincemus figuram, A T B C , triaiorem esse ipsa, DEF, quod est absurdum,cum ponantur aeqciales . Non ergo cylindricus, AT B potest esse maior cylindrico, DEF. Sed neque minor, poneretur enim esse maior, DEF, unde incipiendo circumscriptionem, &inscriptionem a figura, D E F, ut fecimus circa, ATBC, postmodii in aliam perficiendo circa, AT BC, quam recimu A
154쪽
6rca, DEF, eodem modo idem absurdum aduersario ob. truderemus . Cum ergo neuter cylindricorum, ATB C,
EX praefata demonstratione innotescit, quod si aItera
datarum basium, ut, ATBC, supponeretur esse parabielogrammum quodcunque aequale figurae,D E F, facilius ostenderetur cylindricos aequealtos, &in ipsis tanquam in basibus constitutos,sore inter se aequales. Si enim ponatur lindricus, ATBC, maior cylindrico, DEF, sitque ex. gr. maior cylindrico,cuiu, basis parallelogrammum,is,eiusdem cum ipsis altitudinis, tunc cylindricum circumscribe dies, &inscribentes cylindrico, LEF, ut supra factum est, ita ut circumscriptus superct inscriptum minori excessu, quam sit cylindricus, concludemus circumscriptum superare cylindricum, D E F,multo minori excessu,quam sit ipse cylindricus,ht, idest, quam superet cylindricus, ATBC, cylindricum, DEF: & ideo cylindricum, AI BC, maiorem esse cylindrico circumscripto . Vnde & sappositum parallelogrammiam, AI BC, maius esset figura ipsi, DEF, circumscripta per Cor. Lemmatis antecedentis, & consequenter, AT BC, figura maior esset figura,DEF, quod est absurdum, cum ponantur aequales. Quapropter non potest cylindricus, ATB C, maior esse cylindrico, DEF. Quod si dicatur esse minor, erit maior, DEF,unde circumscripto,& inscripto cylindrico ipsi, DEF, ita ut ille hune superet minori exck sis, qua m,D E F , superct,AI BC,ostende ur,cylindricum,DEF,multo minor, excessu superate cylindricum inscriptu, quam cylind ricu mi ΑTBC, & idco inscriptum cylindricum maiorem esse cylla drico,AI BC, ae subinde inscriptam ipsi,PEF,figura maiorem cssὶ figura, AT BC, per Cor. Lemmatis ant. quia inscripta figura est ex parallasogramis conposita, &, AT BC, ponetur esse parallelogrammum & multo maiorem esse figuram, D E F, ipse, AT BC,qiiod est absurdum, cum ponantur aequales. Ncque ergo minor esse potest, sed nec maior;
155쪽
ergo illi aeqv erit. Sive exin aiandae sint nJuram pVtem absol ite de iure 'ter ah a 4u se altera sis parallelos 'mulindricos aequales esse. -
. aequalibus quibuscunque constituti,quariam: unaquaeq; uni regulae parallelis quotcunque lineis sita secari possis. ut conceptae in figura rectar lineas integraesemper existant: iliter se sunt aequales. Sint in duabus quibuslanque aequalibus planti figuris
N Gci HE,OT DV tanquam in basibus constituti cylindriciaequealti. Sumpta autem bro unaquaque basium pro re gula quadam recti linea Due duae diuersae Jegulae illis seris uiant, siue na) vr, AB, yicisque communis; ductae.
in eisdem figuris quotcunque parallelae in ipsis.eonceptae rotegrae sint. Dico praeseeos cylindricos N HE, TD V, inter se aequales esct . intoniam erso hano habent conditionem,qualem quoq; postulat Lemma 4. Lita Septimi Geo. Ind.
156쪽
Ind. ideo per ipseminet Lema poterit,iam figura,NGC HE, quam, O T D V , per aequi distantes ipsi A scindi in frusta, quae sint vel parallelogramma, vel figurae in alteram parte absolute: scientes etsi non opus sit hic dicere absolute, vel non absolute deficientes, quia loquimur hic de figura solitaria,& non alteri comparata ut ibi probatur. Esto quod figura, CNH per GE,parallela ipsi, AB; sit secta in figuras, GNE, GC E, quarum, GNE, sit in alicram partem deficiens, di , GCHE, parallelogrammum curvilineum. Simbliter, OT DV, per parallelas, i I, TV, ipsi, A B, sit diuisa nfrusta, TOI, TD V, 4n alteram plartem deficientia,&, FI VI, parallelogrammum curvilineum. Ponatur autem, N G E,
csse maloi cm, F OI, & ducatur, M P, parallela, AB, quam Dpponamus abscindere figuram, MN P, aequalem ipsi, T OI; similiter si, FTVI, non sit aequalis, sed maior, C MPE, ducatur. KL, aequidi staps, AB, quae pariter abscindere supponatur, KFIL, aequalem ipsi, GMPE ;& tandem agatur, QR, parallela, A B, constituens spatium, G QR E, ae quat alio, Κ T V L, Midc QCHR , erit aequale spatiio, I DV. Erunt ergo quinq; spatia, NM P, M GER C QREQC H R, aequalia quinque spatijs, o FI, FLLI, Κ T V L, TD V, singula singulis sibi respondentibus,& eorum spatiorum quodlibet est parallelosrammum, vel figura in alteram
partem dcficiens. Ergb si per rectas, Q R, G E, M P; T V,
Κ L, FI, intelligantur extensa plana per latera cylindricorum, N H,ΟTDU, transeuntia, scindentur per ea dicti cylindrici in cylindricos praedictis decem figurarum frustis in siliciat s per Prop. ic. Lib. Primi Geo. Ind. & per Lemma ant.cum suo orollario, erunt cylindrici, NM P, OFl, inter se aequales, cum & basis, NM P, pars figurae, N G Ε, in alte, ram partem deficientis , si & ipsa in alteram partem deficiens. Et eadem ratione cylindricus,MGEP, '
ipsi , T D V, ac tandem totus cylindricus , NC H, toti cylindrico, OT DV, aequalis erit. Ergo' cylindrici squealti,&c. quod ostendere
157쪽
LEMMA VIII. CNinaris atquealtu& in basibus figuris planis
quibuscunqire constituti, quarum unaquiluni regulae parallelis quotcunque lineis, hii aerari Possit, ut conceptae in figura rectae lineae int graesemper existant: inter se sunt, ut basis. Sint in quibuscunque figuris planis,GBC, s L, tanquain basibus aequealti cylindrici constituti. de bases sint eiu modi, ut sumptis ex. gr. regulis, A E, io, i isdem parallelae ductae in ipsis basibus integrae sint . Dico praedictos cy, lindricos esse inter se, ut ipsae bases,GBC, in I. . Extendantur autem, FH, PR, parallelae ipsis, A E, IO,langentes ipsas figuras. De nde silmptis in, BE, quotcunque aequa Iibus ipsi, BC, aduerte si fig urae desinerent ad, AE,IO, in pucta, quod tuc
opus esset exlede re inter oppositas tangetes, FH, AE; PR,lo, duas rectas
ipsis parallelas, &in illis pcrficere , quod in his nunc praestabimus ut, CD , aequali, BC;& in, LO ab is quotcunque aequat bus ipsi, kL, ut, L M, MN, intellig mus , CE , ferri versias FH,
semper aequidi sitanter ipsi, FH, ac,decurrente puncto, C, Iineam, CG, interim aliud punctum discedeae a, C, versus, E, per rectam, C E, & abscindore a quacum que in , sic , conci
158쪽
piatur ipsi, AE, parallela, rectam aequalem. .Vr, ducta ipsi, AE, parallela, XY, cuius portio, ST, fit concepta in figura, G2C, punctum illud sit in situ,V, abscindes, TV,aequalem ipsi,TS,& hoc ubique fieri intelligatur, sicuti in discussione cemmatis Prop. Primae Lib. Septimi Geo. Ind. st pra ditium est pro desci iptione figurae, ANE, ae oualiter analogaripsi, SPFR. Et hoc ut putabum sic fluens designet lineam, G VD,quae cum,GTC,&, CD, terminet figuram,GCD, aequaliter analogam ipsi, GBC. Vet,ut super has descripti nes dubitanti omnis tollatur ambigendi locus, supponatur tanquam facta figura,GCD,aequaliter analoga ipsi, GBC,
iuxta regulam,AE, cum hoc nullam inuoluat repugnantia.
Eademque ratione vel fiant, vel factae supponantur figurae, LQM, MQN, aequaliter analogae ipsi, a L, iuxta regulam, Io. Et per ambitum figurae, G C D, decurrente latere cylindrici,quod descripsi superficicm cylindrici, GBC, se per aequid istanter regulae lateris cylindrici, GBC, fiat cylim dricus, G C D, eiusdem cum cylindrico, CBC,altitudinis. Eademq; ratione fiant cylindrici, QLM, QMN, decurrete eorum ambitum codem latere, quod descripst supcificiem cylindrici, QKL, seinher eiusdem regulae aequidistanter: &sint eiusdem altitudinis cum cylindrico, QΚL. Quoniam ergo aequc alti cylindrici stant in aequalibus bas bus, GBC, GCD, figuris,quales postulat Lemma antecedens, ideo aeis quales erunt. Eadem ratione cylindrici, XL, OLM, Q M N, erunt aequales. Qu*tuplex ergo erit basis,D G B, basis, GBC, totuplex erit cylindricus, D G B, cy lindrici, G B C. Et ita quot uplex erit basis, MN,basis, QvL, totu-plex erit cylindricus, QvN, cylindrici L. Habemus e go, C B D , basim. & cylindricum,aeque multiplices primae, di retriae nempe basis,& cylindrici, si BC. Similiter basib,&cylindricus,QkN, sunt aeque multiplices secudae,& quartae, hoc est basis,ce cylindrici,QKL. Et quia si basis,GBD,multiplex primae, est aequalis basi, QK N, multiplici secundae, etiam multiplex tertiae,cylindricus,GBD, est aequalis multi. plici quartae, tylindrico, QKN; quia sunt aequealti cylindrici in basibus,quales postulat Lemma antecedes, per constructionem enim quaecumque ipsis, A E, IO,paralic Iae, ins figuris,
159쪽
menitatis Secunda. niuis G B Ρ , Qv N , conceptae integrae sunt . Et i illa,
maior, vel minor est, &c. etia cylindricus cylindrico maior, vel minor est, &e. ideo prima ad secundam erit, ut tertia ad Iuartam. Nempe ut bases, GBC, , ita erunt ipsi cylindrici, GBC, QKL, Cylindrici ergo aequealti,& in huiusmodi basibus constituti, inter se sunt ut bases. Quod demonstrare opus erat.
CYlindrici aequesti, & in basibus quibuscunq;
planis figuris constituti, inter se sunt ut bases.
Sint dus quaecunque pIanae figurae , ΚBI, PoΠR, in quibus tanquam in basibus squealti ulindrici quomodocunq; intelligantur constituti. Dico eosdem inter se esse, ut dictas bases. Tangant easdem figuras plana rectae, A B C, o ri, quae tanquam regulae sumantur, quibus concipiantur ductae parallelae quaecunque partem ambitus earumdem tangere possunt,ut in figura, LBI rectae, DET, CHI, L L M,& in figura, PΔΠR, recta , YZde, TVM O S, Pn, per quas sci dentur in frusta, in quibus ductae quaecunq; ipsis reguliS. AC, ΔΠ, parallelae in rae erunt. Si enim aIiqua non esset inimra, bis saltem posset ambitui figurae interius occurrere, unde posset duci tangens portionem ambitus illis duobus occursibus interceptam,per Lemma 3. Prop.Primae Lib.S primi
160쪽
ptimi Geo. Ind. ponuntur autem duclae Quaecunque sunt ut
sic ducibiles, ergo non alla duci potest, de reliquae in frustis ductae integiae erunt. Esto igitur quod figura , a I, in talia frusta quatuor secta fuerit,quae sint, x GH, GDEH, IEr, DBr: de figura, PΔΠR, in frusta sex, nempe, P . OTV RUX, TYZ&X, Y Δ Ζ, ΖΠ&. Traiectis ergo planis per re- .ctas, Dr, GI, TZ&, IUX, O QR S, & per latera cylindrLcorum, K BI, PΔΠR , secabuntur & ipsi cylindrici in cylindricos praedibis frustis,tanquam basibus, insistentes. Exponatur vero seorsim figura plana quaecumque, N, sed talis conditionis,qualem postulat Lemma antecedens: in qua Cylindricus eiusdem altitudinis cum praedictis constitutus imieltigatur. Ergo per lemma antecedens cylindricus,KCΗ, ad cylindricum, N, erit, ut basis , FGH, ad, N. Similiter cylindricus, G D E H, ad, N, erit, ut, CD m, ad,N. Et eadem ratione ostendemus cylindricum, IE T, ad, N, esse, v IEr, ad. N; ut & cylindricum, DBr, ad, N, csse, ut,DBr,ad, N. Vnde per aq. Quinti Elem. concludemus hos quatuor cylindricos, hoc est cylindricum, L BI, ad cylindricum, N, esse ut basim, ΚBI, ait, N. Erit vero cylindricus , N, ad cylindricum , O P Q, ut basis, N, ad basim, O P in & idem ad cylindricum, o T V Q , ut eadem basis, N, ad basim, O T V Q, & sic conserendo cylindricum, di basim, N, cum
reliquis cylindricis , ac eorum basibus , quae sunt reliqua frusta figurae, P ΔΠR, nempe, RUX, TYZ&X, Y ΔΖ, Ζ Π &, tandem concludemus cylindricum, N, ad hos ominnes cylindricos, seu ad integrum cylindricum, Pori R , esse, ut, N, adfiguram, P ΔΠR. Sed& cylindricus, ΚBI, ad cylindricum, N, ostensus est esse, ut figura, R BI,ad Sguram , N. Ergo ex aequali cylindricus, ΚBI,ad cylindricum,PΔΠR, erit, ut basis, KBI, ad
basim, P Δ Π R. Cylindrici ergo aeque. alti, & in basibus quibuscumque planis figucis constituti, inter se sunt, ut bases. iQuod ostendereor :- pus erat . l