장음표시 사용
161쪽
sintdub quaecunque Alida proportionaliter analogii, Π Cr. rCΦ, iuxta rigulas bases, rir, ro, ctenim ad figurae si0em euitandam per lineas plana intelligemus, re Per has stural planas ipsa corpora qua; sint inper eadem opposita tangentia 'lana IA E, RO Concipiantur autem constituti cylindrici in eissimi basibus,ri 'rΦ,' ac in eadem caim Elidis altitudine,nimam, Ar, τ E, &se possibile soliadis, Cnr, rCst, figuram eircumscribere, & inscribere, &c. ut sipra propositum est. 'Dico praesua solida esse inter se, ut
hasta, Πr , r. . Quod ut concludatur, probandum erit πή indricum, Ar, ad solidum, Crar, esse ut cylindricus, Er, ad
solidum, Cro. Nisi eteo ita ut se,ad; Cia ita,Ar, ad, C n r, addit6. , et demisis ab eodem aliquo solido: Siebrimum addito selido, ubiesblito autem eii inscri- Datur solido, Crir, figura ex cylindricis aequealiis composiata,quae sint, B H, G GP &, XL & alia inscribatur e , IQ, O&, Yr, pariter composita, sta 't circumscripta superet 'inscriptam minori excessu, quam 'est solidum, Φ : ψturcidi cunucripta superabit solidum , cnr , minori soli , quam, ergo circumscripta minor erit lid Crar, cum solido, b, unde cylindrscus, A r, habebit maiore ratione ad figuram circumscriptam,quam ad solidum, CΠr,cum solido, hoc est, quam cylindricus,Er, ad solidum, Cro. Nunc ipsi selido, cro, circumisibatur figura ex cylindricis eiusadem altitudinis cum praedictis , totque numero,' quot ijdem, composita,c'nstans ex cylindricis,Ch, HS, QI, &Φ. Extemsis vero hinc inde horum cylindricorum basibus, secentur cylindri ci, D. PE, in aequealtos cylindricos, AH, FQ1Mα
162쪽
iunt cylindrici aequeaIti: ergo cylindricus, ΑΗ, ad, HB,erit, ut 'lindricus. ΕΗ, ariΗD. Eadem ratione ostendemus cylindricos, Fc DL, ad, G Q, Q8, eandem rationem ha re,& sic de reliquis, dcc. Et tandem concludemus cylindrucos, AMHM, M& ,SΠ. hoc est cylindricum, Ar, ad figuram circumscriptam etandem rationem habere, quam cyti dricos, CL. L Q,, 3r, hoc est lindricus, E ad figuram solido,Cro, circumlaiptam Sed cylindricus, A r, adram circumsa ipta maiorem rationem habere superius oste sum est, quam cylindricus, Er, ad solidum, Cro, ergo Glim dricus, Er, ad figuram circumscriptam solido,Cro, maiorem rationem habebit, quam ad solidum, C , quare figura cireumfaipta solido, c ro, ipsomet, Cro, minor eris, sed est emd' malor, cuni ipsum comprehendat, erit ergo eodem s LM & minor,& malo ,quod est absurdum. Non ergo Gli dricus, Ar, habet candem rationem ad solidum, CΠr, cadis dito ilii aIiquo tolido quam cylindricus,Er,'ad Qtiuu, CPΦ. Dico neque,dempto ab eo aliquo solido, habere eand r tionem,&c. Si enim fieri potest, sit iIlud idem solidum P, & denuo circ5scribatur,in inscii at ut ipsi, Cnr,figura, &C. deserviantq; eaedem deseriptae. Tutic ergo cism circumscri-
163쪽
pta superet inscriptam minori solido, quam est, Φ ; ipsum solidum, Cri si superabit instriptum multi' minori solido , uam sit, qε , ergo inscripta erit maior lido, Cnr,ab eo empi', , unde cylindricus, Ar, ad figuram inscriptam minorem rationem habebit: quam ad solidum, C n T, depepto, lioc est, quam cylindricus, Er, ad Elidum, CtΦ. Denique inmipta Blido, C r φ , Dura cylindricis 'R,. QD, & α , composita , quae sint eiusde altitudynis, & alijstor, quot componentes inscriptam solido,Ctir, ostendemui; ut supra fecimus circa circumsiaeiptas, cylindricum, Ar, adi figuram lido, Crir, inscriptam esse, ut cylindricus, Er,ad inscriptam ipsi, Cro. Sed cylindricus, A r,ad figuram .solido ' ri r , inscriptam minorem rationem habere ostensiim est, . quam cylindricus, Er,ad solidum, CrΦ; ergo idem cylindri, cus, Er,minorem rationem habebit ad figuram solido, Cro iinscriptam, quam ad ipsum solidum , Cro, igitur figura illi
inscripta eodem solido maior erit,sed etiam eo minor est, custin scripta , ergo eodem maior, & minor esset, quod est absurdum. Non ergo cylindricus, Ar,ad solidum,CΠr,habet eandem rationem, quam cylindricus, Er, ad solidum, Cr' addito, vel detracto a solido, CΠr,aliquo solido. Ergo cylindricus , Ar, ad solidum, Crir, erit, ut cylindricus, Er, ad solidum, CrΦ, & permutando cylindricus, Ar, ad cylindriacum, TE, erit,ut solidum, CΠr, ad solidum, CΓΦ, sed cylindrici, Ar, SE,inter se sunt vi bases, rir ΓΦ,per Lemma 9.am tecedens. Igitur & ipsa solida, CHT, Cro, erunt inter se, ut dicta bases, Πr,Tφ. Ergo solida quaecunque proportionaliter analoga,&c. inter se sunt, ut bases . Quod ostem dere propositum erat.
FIguram planam ordinatam voco, quae sub ambitu esus rationis continetur, ut si in eo duo quaelibet puncta sit, mantur,re, eadem iungentis nihil cadat extra figuram. LEM
164쪽
Si exposita quacunque figura plana ordinata, in '
eaque ducta qualibet recta linea, usq; ad illius ambirum hine indE terminata , ab eadem linea quaecumque portio abscindatur,a qua tanquam a praedictae homologa similis, similiterm figura descii pia supponatur: prior figura posteriorem eoprehendet.
Sit exposita quaecunque figura plana ordinata ἡ Κ B L, in qua ducatur recta, AB i,&ab ea sit abscissa quaecumque Portio,OS,a qua tanquam ab homologa supponatur descripta similis,similiteri; posita figura, RoΜS, Dico figuram,
A, BL figuram,oMSR ,eomprehendere. Vt hocprobetura ostendemus nihil figurat,ROMS, esse extra figuram, LAIB, ad quod sufficiet demonstrare nullu punctum ambitus eiusdem,ROMS, esse extra figuram, LAX B, par bit namqι sub inde nihil figurae. ROMS, nosse extra, LAh B, reperiri. Sumatur ergo in ambitu, ROMςr quodcunque punctum, ur, dico ipsum esse in figura,LAKB. Sint figura , LALB, oppositae tangentes, quae sunt regulae homologarum, ipsae, LT,
165쪽
kB,RCNS decabunt similit stant incidentes, ut in punctis, E, C, per , D, desinitionis Io. Lib. Primi Geom. Ind. quae incident f erunt,non coeliens sed inuicem parallelae per, D,eiusd- finitionis .in inter, YD.di figuram, R quia per dictam lesinitis, nem est, M. TD, ad.
maior , ES, cu S, B, erunt id e punctum,& multo maior erit,
CS,ipsa,ES, cum punctum, S, ut figura ostendit, erit aliud a punM, B; ergo, χF, cadet intra figumin,'ROMS,S ipsam, T D, cum incidentes erctra figuras assumptae supponantur& sint ad eandem partem figurarum, quia istae sunt similiter. positae. Patet ergo ex dictis, YF, non extendi super, T D sed illi esse parallelam, ut dixi. Per punctum autem P,rursus producatur,m,vsque d incidentem YF,quam sinet in, H,ambitum vero in, I. Sit etiam ducta, Ninin figura, LAI Nparallela ipsis,LT, ID,regulis homologarum,& subinde ipsis, RY MF, quili figurae sunt simi Iiter positae hoc est ipsi, PI,cui sit homologa, quae & producatur usque ad incia dentem,TD,in,G . Per dictam ergo definitionem Io. ipsae,T D, Y F, secabuntur in punctis, G, H, similiter ad candem
partem, unde erit vi,TG,ad, GD,ita, YH,ad, H F,& componendo,ac permutando,TD,ada F, ut, GD,ad, H F. Eodem modo bstendi mus,TD,ad,YF,esse vi,TC,ad,YE, nam,TD, YF,similiter ad candem partem secantur in punctis, E, C,ut dictum est. Ergo ut, TD, ad, VF , ita erit compositum ex Τc ,GD, ad compositum cx,YE,EF, ergo ut, TD, ad, ΥΙΤ, ita erit residuum, C G, ad residuum, Ebi . Est autem, T D, maior,YF,ergo S, CG, ipsa EH,maior erit,ergo punctum,P, ea det intra parallelas, AC, NG. Iungantur nunc puncta, A,N,O,P, rectis, AN, CP, quas dico esto intcrso parallelas. Ducantur vero,PE,NC. Erit ergo ut, TD,ad,YF, ita, G,
ad , P H, per dibam definitioncm decimam, sed ut, T D, ad, YF, ita probatum est esse,CG, ad, Ela, ergo ut, CG, ad, ΕΗ,
166쪽
ita erit,NG,ad,PH,& permutando.CC,ad,GNAErit ut FH, ad,HP,& sunt circa aequales anguloλCGN, EΗP, quia ex definitione incidentium ipsae incidentes cum homologis,leucum regulis homologarum,laciunt aequales angulos ex ea dem parte latera proportionalia, ergo per 6. Sexti Elem. aequiangula erunt triangula GN,EHP,ae similia,&les erunt anguli,GCN,HEP, unde AC DEP, aequalium, ACG, ΟΕΗ, residua aequales erunt. Sed & circa hos esse latera proportionalia sic ostendemus. Est enim, AC, ad, OE,vta D,ad,YF,seu,vt, CG, ad,ΕΗ, & permutando,A ad CG, ut, ΟΕ, ad, ΕΗ, estque, GC,ad, CN, utME,ad,EP, propter similitudinem triangulorum,CG EHRiam osteniam. Ergo ex aequali,AC,ad,CN,erit udo ad,EP,& sunt anguli, ACN, OEP, aequales, ergo triangula, ACN, OEP. erunt aequiangula,ri aequales erunt anguli,CAN,Eorium de rectae, A N, OP, parallelae erunt. Sicuti si punctum, o, identificaretur ipsi, A, neret probatum,ORextendi super, AN . Ita ut quicunque sit casus,veL OP, erit parallela ipsi, AN vel illi coextensa. Est autem,AN, non extra figuram,
L AKB, est enim figura ordinata, ergo linea, o P, & sibi e
punctum, P, non erit extra figuram ex parte, Λ N. Eodem modo iunctis, SI, Binostendemus punctum,I, no exire eX-tra figuram,LAKB,versus,BQ, ergo multo minus punctum, Rexibit extra figuram,LAis, versus, BQs est intra paraI
167쪽
test, igitur vel erit ina labitu eiusdem, Vimia lambitum. Currit autem demonstratio etiamsi,1 linqH-t, sed tangat figuram, ROMS, tunc vero&ms it ut ex dicta definitione facile elici potest: sicuti etiani vales si pro duobus punctis,seu recta tangente, PI, unum tantus esset punctum contactus, illud enim ex nulla parte extra figuram, LAEB, exire postie eodem modo ostenderemus Et quod de puncto,Piidem de quibuscunque alijs punctis, quae in ambi. tu , LAkB, sumi possunt eadem ratione probaretur. Ergo nullum punctum ambitus eiusdem figuis NMMS,& subinde nihil illius poterit esse extra figuram,LAEBEst autem maior,LAk8,ipsa,ROMS,quia, AB,est maior,OS, & per Prop. I s. Lib. Secundi Geo. lna restauratam in Annot. Hop. s. Lib. Septimi, sunt ipsae figurae, LAkB, ROMS, in duplicata rationeipsarum , AB , OS. Ergo, LAkB, necessario ipsam,
L E M M A XII SI exposita quacunque plana figura in basi re.
cta linea, in ea si quoque parallelogrammum eidem circumscriptum: Rectar vero in figura ducibiles parallelae basi integrae sint, & parallelae lateribus parallelogrammi basi insistentibus, indefinite productae nonnisi semel ambitui figurἰae occurrant:
basi descript supponatur quaecunque figura
ordinata, & erecta, vel inclinata plano expositae s. gurae. Solida ad inuitam smilaria genita ex parat telogrammo,& prisposta figura iuxta regulam descriptam a basi figuram ordinatam, erunt inter se, v alia duo quaecunq; solida,ad inuicem similaria genuta ex eisdem iuxta' regulam quamcunq; aliam figuram o, clinata' ab ea deni basi descriptam.'.
168쪽
Videatur Schema Lemmatis Io. in quo sit figura, Cnr, in basi re ,Πr,in qua sit & parallelogrammu Ar,ipsi, Crir, circumscriptum. Rc vero in , CΠr , ducibiles parallela
basi integrae sint, & ques a quocunque puncto basis, Π rei
definite in eadem producentur aequidistantes ipsis, Ari, Cr, nonnisi semel ambitui occurrat. Supponatur autem a basi, , descripta figma plana quaecunque ordinata, erecta, vel
inclinata plano, CΠr, in qua tanquam in basi insistant duo solida ad inuleem similaria genita ex parallelogrammia Ar,
de figura,Ciar, quae sint solida similaria, ut declaratur Lib. 2Geam. Ind.ad, B, definitionis octauar, quae definitio explicatur quoque Per plana numero finita Lib. Septimo in An- not. Prop. 2 2. iuxta quam explicationem & hie solida similaria intelligentur hoc est talia, ut si ducatur quodcunque planum eadem secans,& figurae, Π , arquidistans, ut ex gr. planum secans parallelogrammum,fi in recta,M & figuram,CΠΓ,in recta,QO, producta in solidis figurae sint simiales figurae descriptara, ur,fimi liter postae,& earum lineae; vel latera homologa ipsae, MQ, QO. Dicosolita similare genitum ex parallelogrammo, Ar, ad sibi similare genitum
ex figura GΠr, regula figura descripta a,Πr,esse ut solidum 'quodcunque aliud genitum ex eodem parallelogrammo , Ar, ad solidum sbi similare genitum ex eadem, Criri iuκta regulam taliam quamcunque liguram ordinatam a basi, M. descriptam. Supponamus ex .gr.describtum a,rar, triangulum aequila rum eredium ipsi, kr, & pentagonum aequHaterum, & aequiangulum pariter ipsi erectium . Erunt ergo duo
169쪽
duo solida similari enita ex parallelogra innM, AP, cylindrici quod probabitur eodem inodo,quod ro emonstratur in Prop. 3q. Lib. Geo. Ind. yice omnium n ai a substiti:-tis quotcunque figuris, &c. Dico solido simila ingenito ex , CΠr, tam iuxta regulum triangulam aequi laterum , quam quod fit iuxta regulam pentagonum descriptum ab ΠΓ;figuram ex cylindricis aequealtis circumscribi, &aliam inscribi posse,ita,uttircumscripta superet inscriptam excessu quouis oblato solido minore. Ductis enim planis parallelis altitudinem ipsorum solidorum, ut Cr, & sisis indua,ut moris,
est bissecantibus,quemadmodum in dicto Lemmate Io. eis dium est,& ut in schemate conspicitur, manifestum cst deueniri posse ad cylindricum,ut,Xr,minorem proposito solido, ut ipso, F. Pariter ex dictorum planorum sectione fiunt duae figurae planae, una quidem circumscripta spatio, CDr,& alia eidem inscripta, ut apparet in figura; namque aequi- distantes ipsi basi,nr, in ipsa figura, CΠr, integrae sunt,&aequidistantes ipsis,CT, Πλ, nonnisi semel occurrunt ambi tui,ΠC,ita ut linear, Y,LO,NI,non sint extra,&, PY,GO, BI, non sint intra figuram, CΠr ; unde figura ex parallel grammis, . Gin P&,Xr, composita est circumscripta; &ex parallelogrammis P, U&,Iinest inscripta spatio,CΠr. Si ergo regula triangulo aequilat cro descripto a , Πr, intelligantur solida similaria genita ex parallelogrammis, ΒΗ, G Q P&, Xr, figurae circumscriptae; & his similia solida genita iuxta eandem regulam, cx parallelogrammis inscriptae; ista similaria solida erunt cylindrici, ut si perius ex Prop. 3q. Lib. Secundi Geom. Ind. indicatum est. Cylindrici ergo fi- urae circumscriptae superabunt cylindricos inscriptae cylin-rico,XT,namq; cylindricus, B Η, aequatur ipsi,IQ, G Q,
ipsi,O&, &, P&, ipsi,Yr, qui tandem cum residuo ipsius cylindrici, XT, componit ipsem cy lindricum, S PSuperabit ergo solidum circumscriptum ipsum inscriptum cylindrico,
XT,hoc caeminori excessu,quam sit solidiim, . Quod vero compositum ex cylindricis figurae citcumscriptae spatio, CΠT,sit circumscriptum,ac comprehendat solidum similare genitum ex ,CΠr, compststum vero ex cylindricis figurae
inscriptae sit inscriptum, ac comptahendatur ab eodem solido a
170쪽
lido, deducetur sie ex Lemmate antecedenti. Sicuti enim ex.gr.triangulum aequilaterum descriptum ab,X&, comprehendit triangulum aequilaterum descriptum ab , &.Υ , pex
Lemma anr.cum illud sit figura ordinata, &, Y&, portio ipsius, X&, sicuti quod fit ab,Y&, eadem ratione comprchen in det,quod fit ab,&Z; hoc vero, traiecto ubicunque plano figurae a,ΠΓ,descriptae aequidistatue, semper verificatur. Ergo compositum ex cyliindricis figurae spatio, Cur, cireum- scriptae comprehendit solidum similare gcnitum ex , CΠr;
compositum vero ex cylindricis ins piar ab eo comprehe-ditur. Solidum ergo similate genitum ex figura,CΠr, iuxta regulam triangulum aequilaterum, tale esti, quale postulat Lemma Io. Huiusmodi vero esse solidum similare genitum cx cadem figura iuxta regulam pentagonum aequi laterum.& aequi angulum descriptum a ,Πr,olicd mus eodem modo iuxta quas regulas sunt proportionaliter analom, quia eκ. gr. ut triangulum,HI ad ipsius pentagoinim, ira est trianguis luna, γ&,ad ipsius pentagotium,& sic in caeteris. Eruntcrgo inter sedi Iolida', ut dictae bases, triangulum. nempC,&pentagonum . Sed in ratione earumdcin basilidiiunt quoci; duo cylindrici geniti ex, Ar,iuxta ea me regulas, hoc est prinina tria aulare.& pctagonale per Lcma p. Ergo erit ut sblidissimilare genitu ex, Ar,ad sibi similare gentiu es , 'Πs, iuxta regula triangulia aequilaterii descriptu a, nriita solidum simu
Iare genitum ex eodc, Ar, ad stibismilare genitum ex eadem figma,CΠr,iuxta regulam pentagonum artii laterum,& ar quianguluin descriptum 4 , . ΠPPatet ergo plopositu,ib c.