장음표시 사용
171쪽
Ex hoe manifestum est posteriorem partem Propositio. nis Primae Libri Septimi, ut & Prop. Tertiam eiu mem Libri,etiam quoad huiusmodi solida similaria vetificari,quae
gigauntqr exi ra habente conditione. ipsius , . Has vero habent me omnes figurae .in Lib. Secundo considera tae,cum sint triangula,vel trapezia,quae sunt llelogrammis quos pater gignere cylindricos, & de quibus iam dictu est inscriptibilia. Similiter huiusmodi sunt Durae assumptae in Lib. 3. . & s. cum plerumque sint circuli, vel secti nes conicae,aut earum portioaes, Cr, ΓΠ, vel sint bases,
aut diametri earundem seu ipsis aequidistantes. Ἀ
Vaecunque ergo ex illis supponatur esse, C Π Γ, cum rostensa ierit ratio alicuius selidi similaris geniti ex, AR, ad similare genitum ex , Cnia iuxta rmula figuram a basi, Ur, descriptam ut si, Π describat quadratum', ostehsa ratione solidi similarisgeniti ex , ΑΓ, hoc est quadrati solidi ipsius, AP, ut illud voco Lib. 7. Prop. I I. adore. A, & Propos a I. ad solidum sibi similare genitum ex . CΠr,iuxta eandem rmulam quadratum ipsius, II r, hoc est ad quadratum solidum figurae,CΠT, illico per hoc Lemma
patet eand rationem habere quaecunque alia solida ad imi uicem similaria genita ex iisdem figuris, iuxta regulam quacunque figuram ordinatam descriptam a, . Modo et,qui dictum Geometriam Indiuisibilium perlustrari manifestum fiet in methodo Indiuisibilium consuetum semper esse reperire, quam rationem habeant omnia quadrata, A r. ad omnia quadrata, CIIT: Et in Lib.7. vice proportionis omnium quadratorum, quaeri proportionem quadrati solidi, AP, ad quadratum solidum, CDr,iuxta regulam, semper intelligo, quadratum, Πr. Vnde in omnibus illis transferri poterit inuenta ratio ad quaecunque alia sulida ad inuicem similaria genita ex ijsdem figuris quarum altera est semper parallelogram-
172쪽
lelogrammum iuxta regulam figuram quamcunque ordinata a basi s gurae descripta,ut & sup. in.Notis.Quae omnia facile patet etia verificari, si vice figurae, Π C r, cocm angulu,Crn, cuin parallelogramo habentis, eligeretur ut vin C in basi, Π Φ . cui esset circumstetimum parallelogi galamum, ut, Ast, reliquas habens conditiones superius aenarratas. Nempe si est semicirculus.vel semicilipssyparis via,
perbpla vel eoruni portio, eadanseo ipsis quoque subintes sigi deberent.
HIs intellectis superest, ut explicetur quomodo quadratorum solidorum duarum figurariun,quales in e dem schemate supponuntur, AT C Πr, proportio per hic ostensia, seu per ea.quae in Libris inuisian pendent neque a Methodo Indi uisibilium,neque a p eriori parte Propositionis primae, seu a Propositione terita einsdem LibrIlori possit. Prius ergo,Cri uapponatui me redis lihea, vi knr, sit triangulum relictilineum. Si ergo IIr. demibat almai cunq; triangulu, & quomodocunq; plano. A r, inclinatum, solidum similare genitum ex , Ar, erit pris basim laribens
triangularem; & genitum ex tria nablo, C Iar, communi re gula triangulo facto a, Πr,erit pyramis, quod ex Prop. 3q. Lib.ptavi luperius in Lemmate Ia. dicebatur, elici potest Sed ex Duod. Elem. Prop. 7. dictu prisma triplum est dictae pyramidis,& ex ostensis quoque in Exerc.ant. num. I .ergo de quaecunq; solida similaria ex ijsdem genita, iuxta communem regulam figuram quamcunque ordinatam a , ΠΓ, descriptam, sic se habebunt. Vnde nedum quadratum solis dum ipsius, Ar, triplum erit quadrati solidi cx,CΠP, geniti, ut hic probare intendimus, sed & quilibet cylindricus genitus ex, Ar, triplus erit pyramidis genitar ex triangulo,c Πr; inhali communi r ula figura descripta a basi, Π Γ, ijsdem exist entibus. Immo &quicunque' alius cylindricus in eadem basi, & altitudine cum praedicto cum sit illi aequalis per Lemma 90 illius pyramidis triplus erit.
173쪽
Non sit vero, C Π, recta linea, sed quae clinque alia ex
consideratis in Libro 3. q. & s. Geo. Ind.hoc est circuli circumferentia, vel coni seAio, videndum ergo remanet quomodo haberi possit proportio quadrati sqlidi, A ad quadratum itidum genitum cx , C Πν. Suffciet vero hoc in una Propositione declarare, etenim in rcliquis elucdem conditionis similem procedendi modum adhibendum
esse intelligemus. Assematur ergo Schema Prop. Io. Lib. Geo. Ind. circa quod videbimus quomodo haberi p'ssit ratio quadrati solidi, HB, ad quadratum solidum semiportionis circuli, vel ellipsis, E PB,regula, IlP. Supponatur autem hic quoque ilitiis constructio, immo videns prius Lector illam Propostr. ex ea intelliget rectangulum solidum subparallelogrammis, GX, XE, in circulo esse aequaliter, & in cilipsi,proportionaliter analogum quadrato solido, HB,r gula, φ. Et rectangulum saldum sit b trapezio, G XE,& triangui EXB,regula eadem, RP, in circulo esse aequaliater,in ellipsi vero, proportionaliter analogum quadrato solido,EBP . Ibi enim ostenditur ex .gr.rectangulum, QZ C, aequari quadrato,CM, seu,in ellipsi,ad illud esse, ut rectam gulum,'XB,ad quadratum, BP. Similiterque rectangulum, C, probatur aequari quadrato, CN; in ellipsi vcro,esse V ad il-
174쪽
adaequantur, cum eandem habeant rationem ad aequa IesAX, AB, nempe quam habet, ΑΕ, ad, EX, ut ex Proposit. q. Sexti Elem. elici potest. Ergo iuxta demonstrata indicta Prop. ao. Septimi Libri Geo. Ind. solidum, GOREAX, erit in circulo aeqpaliter, de in ellipsi proportonaliter analogumqu*drato solid', EB P. Sicuti, GA, rectangulum solidum
sub,GX, XE, erit aequaliter, vel proportionanter analogum quadrato solido, HB,ad illudque, ut rectangulum, 'XRad quadratum, BP,per Lemma '.quia sunt aequealti cylindrici,& ideo inter se ut bases, quod serua. Reliquum est ut ad rem nostram probemus solida, GOREAX,& quadratu solidum, EB P, inter se csse ut bases. Hoc vero illico patebit si ostendamus illis conuenire posse,quod postulat Lemma I o. quod hac ratione nunc demostrabimus. Sit seorsim positu quoscunq; solidum,quod vocetur, 'φε , opportet ostendere prae fatis Iolidis circumscribi, & inscribi posse liguram ex cylii dricis aequealtis compositam, ita ut circumscripta superet insici iptam minori excesIu, quam est, ψεε. Ducantur more
se lito plana ipsi, OB,aequidistantia, quibus secetur parallelepippedum, G B, in parallelepippoda aequa Iis altitudinis,
quorum ut irin quodque, & subm de , Yβ. unum ex illis, sit minus, . Esto autem quod dicta plana insimul iccuγrint rectas, GO, I ', EX, EB,in punctis,Φ, S, T; V, Q, Υ; 3, D,4 a,C, 8,& pCrpuncta, Φ,S,T; 3, D, , producantur ipsi, GR, aequid istantes rectae lineae usq; ad proximas hinc inde V a parall - .
175쪽
m, ΚΦ, aequatur recta ngulis solidis sub , 3 Q. Q , di sub , 34 φ . Scd per eandem Prop. rectangulum solidum sub ,3 diuisa in figuras D V, D 3, dc sub indivisa, Q. , a quaturritetangulis solidis stub, 3 D, sub, D V, QΦ, unde sublato quod fit sub, D V, Qφ, ex eo, quod fit sub, 3 VS, remanebitquod fit si: b, 3I Ru sub, 3 C, in , nam paralici
Iogiama, D 3,3 sum squalia quippe qus sunt squealta,&in basibus aequalibus, LT, PC, cum sint aequales ipsae, D 3,3E,quia sunt cum aequalibus, Ca, aE,proportionalcs per a. Sexti Elem. aut sub, 3C, OS, cum sint parit cr aequalia haec parallclogramma, So, ΦΩ, & in eisdem parallelis) una cumeo,quod fit sub, 3 Q, OS, quae stinui co a ponunt per dictam Prop. I 3. Ll,7.rccianguluin solidum sub, et O ΦS. Huic verim si iunxerimus scruatum rectagulum solidum sub a Q, componetur per eandem Prop. II. Lib. 7. rc clangulum sae sumsiuria 'S,ut dicebatur. Porro eodem modo ostcn- Ccmus quod fit sub,8Q,ST, esse cxcessum rectanguli solidi bib, DY, QT, circumscriptitu per rectangulum sub, qO,YS, si iungamus rectanpulum solidum ib, du,YS, quod est aequale et,quod fit sub, et O,VS,prius co
lub BY, NT. Et huic tandem tueto, quod fit fu Y,TO, quod, ut sit pra sectum est, ostendemus esse excessiim eius, quod sit sui , qR, Y O, super illud, quod fit, sub, XY, NT,)confici cmus rectangulum solidum sub, BY, YO,aequalc omnibus praefatis excessibus smul collectis. Ex quo patebit fg uiam circumscriptam solido, CC EAX, exccccre inscriptam , ipso parallelepippedo, υ, hoc cst minori ex ccssu, quam sit, . Quo vero ad quadratum solidum semiportionis, EBP, patet ipsi figuram ex quadratis solidis, seu parallclcpippedis aequealtis compostam circumscribi posse, & aliam inscribi,
ita ut circumscripta stiperet inscriptam minori excessu, quocunque oblato solido. Hoc enim ad modum Lemmatis Iz. olicd tur, sicu id ex eo colligi psit, siunt. n.integrae, quae fiant
176쪽
rs 8 Serunia. Denique per Lemma Io. patebit idcireo selidum, G o di
ERT,seu rectanguIum solidum sub trapeZio,GRXEM tri gulo,ingad quadratum solidum semiportionis,EBResse ut basis ad basiin,hoc est ut rectangulum, B Gad quadratum, BP: hoc est ut parallelepippedum, GA,seu rerungulum s lidum sub , G X, XE,ad quadratum solidusiis. Sunt cim. haec quatuor solida proportionalia . QDprcrer cum in Prop. I 6. Lib. 7. ostensum fuerit rectangulum solidum GX, XE, adreciangulum solidum sub trapezio , Ghira, de triangulo, EX B, esse ut, J X , ad compositam ex dimidia, HX,&sexta parte, X B; liquet etiam quadratum solidum, .HB,ad quadratum solidum,EBP, esse in eadem ratione, hoc est, ut, R B , ad compositam ex dimidia, R B, dc sexta parte,
B E, ut in Prop. ao. eiusdem Lib. 7. pariter demonstrare intentum fuit. Consimili vero modo, praesuppositis ijs, quae habentur in Prop. I 6,IT,I8, I9, per hanc circumscriptionem,&inscriptionem,&c. quae Prop. ao. subsequuntur, ac peraeadem ibi ab Eluuntur, compleri posse, ad huius imitationem poterit studiosus intelligere. Cuius industilae, ne Iongior sim, a me relinquuntur, si circa posteriorem partem Prop. primae,&Prop. tertiam, adducta in eodem Lib. sep t. demonstrati nes illi non satisfaciant, velitque de illarum veritate in his
dicta pendent, circa' quas viden. Propositiones, I 6, II, 18,& s. eiusdem Lib. . a quibus prae- 1 l , , licta pendent, circa' quas viden- 'ν
dum est nutu subsistant, etiam per tantum hic ostensa o Videatu ne go Schema Proposit. I 6. quod ' i. hic deiuio ex non imus ei utq; demonstratio, in qua assiam itur reis l
177쪽
pendet autem hoc ex huiusmodi veritate, quod nempe cylindriciaequealti, s sent eni* rectagula Elida sub, AE, EC,& sub, AE,& triangulo,BEC,arquealti cylindrici per Prop. I 3.eiusdem Lib. 7. ipsiusque Cor. I. sint inter se, ut bases, quod probatum est in Lemmate s. Porro ex cadensveritate pendet quonuere minaulum solidum sub, AE,EC,ad quadratum 1bli m, EC, esse ut rectamulum, DEF,ad quadratum EF. Et tandem quadratum solidum, E C, sex cuplum esse rectanguli solidi sub triangulis'. BEC, E FC, insertur exeo,quod sit triplum quadrati suidi tam trianguli BEC, qua
CEF, quod patuit in superiori Annot. prima. Caetera vero pendent ex Prop. I 3. eiusdem Lib. . de qua in sequenti An- not. dicendum est. Non .dissimili ratione autem intelligo. mus parito, &isequentes ibi Propositiones, II, 18, &, I9. subsisterepexhu: tamqm ostensa , cum per similia his, quae attigimus circa Prop. I 6. & ipse procedant.
DEnique circa Propositionem I s. eiusdem tam SeptLmi remanet ostendendum rectangulum solidum sub 'duabus quibuscun- superficiebus, iuxta datamr ulam. contωtum cui ex Prop. I a. indefinita numero solida reis ictangula pariter dari possunt, sub homologis superfici cbus praedictis contenta hixta eandem rUulam,quae omnia inuicem esse aequalia ibidem probatur per posteriorem partem Propositionis primae aequari cuicunque rectansuisse lido sub aIhs duabus qui byslibet superficiebus,praedictis hokologis,eontento iuxta eandem regulam: ut circa usum eius dem Propositionis II. qui maximus, & creberrimusest, etiaper hunc modum omnis tollatur ambiguitas. Hoc autem per sequentia Lemmata absolvemus, in qu bus numerum antecedentium Lemmatum continuabimus cum haec,ut & illa,tem dat ad polieriorem panem dictae Propositionis prima , tantae molis extat, pariter confirmandam LE L
178쪽
LEMMA XIII .REctangula solida sub superficiebus iuri d
tam regulam contenta, quae sint parallel gramma rectilinea,seu curvilinea,vel eisdem homologae , dicantur parallelepippeda recta , vel curua, prout continentes superficies erunt planae, vel cur , uae. Haec ergo si sint in eadem altitudine,&inba .sibus rectangulis sub aequalibus lateribus compre 'hensis, quorum planum sit regula,sintque latera lateribus parallela, vel sibi in directum constitutarinter se aequalia erunt.
Sint duo quscunq; recta, vel curua parallelepippeda, NI, RS,atquealta,& conte. . ta sub superficiebus, HM, JHY; ΠΖ, subiectu planum,in quolint bases, Lo, XT, rectangula, coprehcnsia rectis, LM,MO;X ZT; existentibus aequalibus,
179쪽
De Postirhri Methodo Indisi ilium. 161
de parallelis, LM; ipsi, XL, OM, ipsi,TZ. Sint vero di-
Π ZY, continentes superficies,vel parallel grainma, aut parallelograminis homologae. Dico ipsa parallelepippeda, seu rectangula solida,IN,SR,inter se aequalia esse. Quoniam ergo, IN,SR,sunt rectangula solida, id per Prop.ri Libri Septimi eiusdem Geo. Ind. superficiebus cylindraceis comprehendentur,unde sit perficies, H I, k N, NM, MN,enant cylindraceae, immo ab eodem latere descrilitar, ut ex dicta Prop. II. Acile intelligi potessi illud ergoatus describens dictas superficies,quod sit ex.gr.HI, cxte
datur hinc inde indefinite, ut usque in, A, Q, quod insimul intelligatur descripsisse seperficies cylindraceas, o O, Q C, CΣ,ΣΔ,hoe est dictae superfi cs,Hl kN,NM,MH,snt hinc
inclis indefinite caetensae. Similiter in rebangulo solido,SR, accipiantur superficies cylindraceae, quae pariter indefinite productae .versus pro dictas,ciam illis concurrere possunt, tales sunt enim ipsae, HY, YZ, ZR, R Π, quae productae versu S, Q, Occurrant praefatis superficiebus, cum illisq; concludant solidum, Q β, quod erit solidum rectangulum contentum sub fit perficiebus, QP,Vr, iuxta regulam subiectu pIanum. Traiecto enim qu 'cunque plano secante altitudinem solia dorum,IN, Sit,& ipsi subiccto plano,aequidistant procrcabitur in solido, in , rectangulum, cuius latera iacebunt insuperficiebus, , Vr, namque illa aequi distabunt ipsis, PV, UΣ, cum sint in superficiebus cylindraceis, quorum describentia latera ipsis,PV, VΣ, aequidistant. Immo sicuti, PV, aequatur Ipsi,RT, est enim,R U,parallelo3rammum &,VΣ, ipsi, OM, ita facile ostendemus genitam in superficie, QP, per ductum planum,aequari genitae in superficie, Y R, quia erunt latera opposita parallelogrammi per imaginarium planum producti quaecum aequetur ipsi. RT, namque, RΥ, supponitur vel parallel raminum, vel parallelogrammo superficies homologa nempe habens omnes parallelas ipsi, RT,eidem pariter aequales sequitur & productam in sit perficie QP, aequali ipsi,RT. Eadcin ratione probabinius eam, quae gignitur in sueerficie, TV, aequari ipsi, MO. Vnde patebit ipsas superficies, TV, QP, vel es parallelogramma, vel parallelogrammis homologas.
180쪽
- ducatur parallaia,OM,&inter parallelas, L M, NO, indcfinite cum praefatis siu- perficiebus extensas, compleatur rectangulum , C E,
perque ipsas,DC, EA , extensis parallelis pIanis, illa secent productas superius solidi, IN, superficies cylindraceas, ut fiat solidum, AE, & ipsum cylindraceis superficiebus, DΛ ,
AF, FΑ, AD,&, ΔΕ, ΑΔ, comprehensum,quod pariter,ut cim ca solidum,m,effectum est,ostendetur esse solidum rectangulum sub superficiebus, A Λ,ΛF, contentum iuxta regulam iubiectum planum, quarum, AF,erit cen Eparallelogramum ut &,AD,) nempe vel rectilineum,vel saltem curvilineum, clim supponantur superficies planae: ipsae vero, o E, A ri , erunt vel parallelogramma, vel saltem parallelogrammis analogae: est enim,AE, cylindricus per Prop. Io Lib. Primi Geo. Ind. cum, AD, BE, sint plana parallela, & secantia superficies cylindraceas, latere,HI, idefinite producto descriptas, hoc est cylindricum secantia, cuius illae sunt superficies, si1ntque oppositae bases ipsae, A D, B E. Nunc ergo ostendedum est solidum, IN,aequari ipsi,BD, quod sic ad modum quasi Lemmatis primi via superpositionis exequemur. Accipiemus enim solidum stiperficiebus, AD, DL, LG, G A, S, AGND, AHI C, comprehensum,illudque solido superfici