장음표시 사용
181쪽
bus, BREM, Δ, contento ua suis perponemus. Cum enim, DE, aequetur, NO, ad ista comis
erit,DC,in, E A,quia recti sunt anguli,CDN, AEO, &, C,in, A,propter aequales,CD, AE,& punctum,L,in, M,ob aequales angulos,DCL, EAM,&rebas, L,AM,&,LN,eritin, MO. Sed &solidum dico solido congruere. Cum enim superficies AD, BE, sint planae, & aequidistantes, propterea erunt subiecto plano aequaliter incla natae, & ideo c6gruente, DC, ipsi, EA, illae constituentur in eodem plano. Est vero sol, dum,AE,cylindricus,eiusq; oppositae balas, AD, BE, ut supra diccbatur, quae id co similes erunt, aequalcs, & smailiter
positae per Prop. i I. eiusdrea Libri Primi. quare congruentectus latere homologo,LC, ipsi, EA, per Prop. a I. eius cm c6gruet,AD,ipsi, BE: & punctuni ,Δ,erit in,F,ac, A,in, B; unde, G,erit in ,hm,H,in, I, nccnon,HG,in, lΚ,superficicsq; , AG, congruct supcrficiei, Bh; nam an bae sunt in plano rectam guai,Hk, ipsi,LO,oppositi. Sed &supcrficies,GΔDN,congruet ipsi,ΚFEO,si enim aliquod illius punctum caderet extra istam, no essent ambae ab co lcm cylindrici latere dcscriptae, quia reperirentur duo puncta in pIano per tale pulictu subiecto plano aequi dictanter traiecto,quae non essciat in coclem latere cylindrici. Nullum ergo punctum supelficiei, ΔGN D,cadet extra superfici cm, FKOE; nam &, C N, congruet ipsi,KO,quia, ΔI , congruit ipsi, Fh,& quen admodu, DN,ostensa est aequalis ipsi, , ita quae a traiccbi quo curque plano subiccto plano aequi distante gignentur indictis superficiebus Ulindraceis, ΔGND, PKOE , ostendenturaequales,unde nullum punctum lincar, G N, ostendetur posse cadere e tra lineam, Κ O, quapi opicr sibi congruent dicii aestu heisicics, GND , II OE. Eadcm ratione patc fiet super. sicies, Apii C, BIMA, sibi congrucre. Et tandcm supersuciem, HGNL,congrucre ipsi, IMOh, quatum amb tus iam ostensi sunt congrucre ostendetur,ut in primo Lcmnia tecLfcctum est, ncmpe probando nullum punctum supcrficiei, H N, posse cadcre extra supcrficicm, IO. Eicnim traiecto planopcrpunctum extra cadens possibile essct siub: ccto
182쪽
i64 Exercitatio Secunda. plano aequidistante, ficret parallelogrammum veluti sunt parallelogramma, D L, E M, ΔΗ, FI, in quo ducta a silip posito puncto reti linea parallela ipsius oppositis later,
bus,maior, vel minor, & aequalis eidem rc ostenderetur: sicuti in figura primi Lemmatis,QO, , &πquales,& inae quales esse probabantur. Quod cum esse non possit, ideo superficies,HN,cogruet ipsi,IO,& totum solidum, AN,toti, Bo, unde erunt aequalia; & sublato communi, quod comprehenditur superficiebus,BE, EL G, GB, BALΗJ ENG, remanebit solidum,H aequale ipsi, AE. Non dissimili r tione demonstrabimus & solidum, mi aequari eidem, AE, unde patebit, ΗΘ, aequari ipsi, in , in quibus solidis sunt, LM,PU,sibi indirectum,&,M VΣ, parallelae. Quod si i tra superficies cylindraceas, P Π, Π in V S, VX, indefinite
versuS,ΠXZS, protensas,constitutuni supposuerimus solidurectangulum,quale, AF,cum binis superficiebus planis ipsi,n Z, oppositis, sicuti planae supponebantur ipse, AD, BE. Ostendemus simili ratione eidem aequari tam, S R, quam ,rP; ex quo concludetur, S R, aequari ipsi,TP,cui cum probatum fuerit aequari &,Ho, ideo,HO,SR, proposita solida i ter se aequalia erunt. Quod ostendere opus erat.
SI ex schemate Lemmatis antecedentis, eiusqparallelepipedis, IN, S R, assumantur tantum bases, L O, XT, & superficies, HM, M Κ; ΠΖ, ΖΠ
sub quibus eontinentur: supponantur verb in alterutris superficierum,quq sunt homologae, ut in,HM,nZ,ductae lineae,IL, S X, ut in praesenti schemate apparet, eiusque conditionis, ut cum, IM L, SEX,eonstituant figuras, IL M, S X Z, ouae aut sint planar in alteram partem deficientes ut explicatur in Lemmate a. post Prop. Primam Libri Septimi Geo. Ind.
183쪽
Posteriori Methon Ingui ilium. Us s luel saltem sint homologae figuris planis in alteram. partem deficientibus, regulis, L M, XZ: hoc est,ductis in dictis superficiebus, IL M, SXZ,quibuscunq; ipsis, L M, XZ, parallelis; earum, quae sunt in eadem figura propinquior basi, ut in , H M, propinquior ipsi, LM ,sit semper maior remotiore. Dico rectangulum solidum sub parallelogrammo, H M, & figura, I LM, regulabas, LO, aequari rectangulo solido sub parallelogrammo YZ, & figura, S XZ, regu
Si enim non, erit eorum alterum maius. Sit maius,quod
sub,ΚM, ILM, continetur quantitate solidi, quod vocetur, Tunc remugulo solido sub ἡ Κ M, ILM, figuram circumscribemus, & aliam insost,emus ex paralleleppipedis , siue rectis, si euruis aeque altis eompositam, prout ΗΟ ,ΠR, erunt parallelepippeda recta, vel curua, ita ut circumscripta superet inscriptam minori solido, quam sit, qε. Hoc
184쪽
166 Exerritatio Secunda . Hoc autem obtinebimu* traieciss plani*basi, tali aequidi stantibus, ut in Annotat. a 'superiori esses um est, quorum primum bifariam secet solidi,HO, altitudinem. Et alia duo Subsequentia rursus diuisas altitudinis partes bita iam diabuidant, sicque deinceps, deuenietur enim per primam Decimi Elemen. adparallelepipedum minus ipso, ι quod sit contentum sub , L Α, Α Ο, quae vel sunt parallelogramma, vel ijs homologa, tota enim superficies, H M . in Lemmateant. supposita est vel parallelogrammum, vel parallelograinino homologa,regula, L M,& BA,est parallela, LM,ut . ex Prop.9. Lib. Primi Geo. Ind. ely ci potest , in qua pstenditur, s planii aequidistans plano per latera cylindric ducto, quale est, Lo,transiens per,LM, latus eius cylindrici, cuius
HM,est superficies cylindracea tangat cylindricum, contactum fieri in recta, vel rectis lineis ,.quae erunt latera cylin drici,& consequenter cuicunque eiusdem lateri parallela ;quod enim ibi ostenditur de plano tangente cylindricum, idem desecante idipsum ob tandem ratio nem ibi allatam. vcrificatur: unde concludemus, BM, & simili ratione, M,C, esse parallelogrammum, vel parallelogrammo homologum. Esto ergo quod dicta parallela plana secuerint superficies , HM, .h, in recti E, EP; G D,- : crorum quae sunt ita,
fieri concipi tui pei ni ini lateris su 3 irici in sipinficie, UM, faciti in ipsi di, semper aequidvij r i Vt e X g. pro
A tori priora ipsi i 12, cni, Anah. I a lit. φ quali ipsi, IA, percurrentGM, lineasti, MI, puncti vir, 3, d ibet ipsam, 3 a, admodsi, quo in Lemmate secundo post Prop. I. Lib.priini Geo. Ind. explicata est descriptio parallelogram mi sine recit linei, siue curvilines. Sicque eirca aliaS,6q,87,plo cedemim. 'Erunt autem, 3',6 8Vὸ intra, Ra, &q,, 7,extra figuramo I LM, in ea enim parallelarum ipsi, L M, propinquior cidcm supponitur Scmper remotiore maior.
185쪽
fila et go stratio .d M, ersi cirisilisci ta, & inscripta figura
ex parallelogramnisset, parassesogrammis homologis figuris, aequealtis composita; & est,Io, parallelogriinimum mparallelogrammo homolet gum, regula, MO; si ergo intellis mus ompleri rectangula solida tam sub , Κ M, & figura, qLM,quam sub, , CE, P ris I,&sibi respondentibus figuris tam circumscriptae. nempe ISA, P& D, VI quam inscriptae,nempe,3 A,6E,8D, mahistilium est ipsi rectangulo solido spbAM, &, IL M,sore circumscriptam,& inscriptam figuram,ex paralleseppipedis,sive rectis, siue curuis compostam, ita ut circumscripta superet inscripta minori solido, quam sit, Q. Namque parallelepippedum seb: h D, D 7, aequabitur et,quod fit sub,PD,D8, per Lemma ant. Hoc vero iunctum parallelepippedo siub, PD,8 , eonficiet parali Iep pedum sub,PD,E quod facile ostendetur,quia totum aequatur omnibus suis partibus simul sumptis. Hoc vero arquatur ei, quod fit sub, M,A&, ergo si hoc iunxerimus ei, quod fit sub, PA, 6a, componetur parallelepippedum sub , PA,Aa, seu iub, CM, M',quod cum eo,quod fit sub, CM,3B,constituet parallelepippedum sub,CM, MB, cui aequis, tur dictus excessus fisurae circumscriptae super inscriptam. Cum ergo parallelepippedia sub,CM, M disit minus solido, , etiam dictus excessus erit eodem minor. Vndc circumscripta
186쪽
I. . Exercitatio--: se . scripta superante inscriptam minori excessu, quam sit, Φ, reiangulum λlidum si,,kM,ILM, quod est minus Dura
ipsi circumscripta supStabit inscriptam multo minori exiscessuieuam sit, , idem vero ponitur superare rectanguis
tum solidum siu RS,SXZ, solido, , ergo figura inscripta rectangulo ioli, sub , OI , IL M manr erit rectangulo solido su es. SM0 2binde multo Maior quacunque illi
instam, quud tamen absurdum qisesie euincemus. Cum enim Alidotuin Ho, G, sit supposita eadem altitudo, existensis planis,quae insolidi qui stanter basi, w, ducta sunt,secentvr α superficies, Y i , Z Kα linea, G, ut in solido,ΗO,effectomest,& per pqncta D ta in, S ducantur intra, SXZ, usque ad prorimam para luam lineata quales sunt, ' 3, &4, V 8, conitituentes laudim ex parallel gramis seu ijsde homologis figuris,squealtis coposita: ut c6Dletis rectangulis solidis sub sis, de ubi respondentibus in, IZ, figuris,ut in,HO, factum est, necnqasub,YZ,SXZ,huic sat inscripta inura ex parallelepiepedis aequealtis compinsita,quom unum ex.gr. sit, quod fit sub, RA, ΑΔ . Hoc enim
aequari ei quod fit sub,OA, A3, manifestium est per Lemma ant. quia sunt parallelepippeda aequealta, & contenta s ibsuperficiebus,3A, A , A R, quae sunt vel paralislogramma, vs ijs homologae , repulis basibus rectangulis, 3 M Ο, Z R , aequalibus, & sub lateribus aequalibus, & parallelis,3M, M; M O , ZR , contenris. Eadem ratione reliqua sibi respondentia solida haru inscriptarum figurarum adaequari ostendemus, ex quo integras aequales esse constabit contra id, quod supcrius demonstratum est, Non CSqrςαqgu
RS,SXZ. Eadem ratione 'stendemus, nec posse cominus esse,quia tunc poneretur, qάod fit sub,RS, SXZ, esse maius,& fieret demonstiatio incipiendo circumscriptionem, &inis scriptionem priorem in Elido, Π R, & prolequendo postoriorem inscriptionem in , Η Ο, ac deducendo ad absurdum. Quapropter constat rectangulum solidum sub,OI, ILM,nec, maius,nec minus esse posse rectangulo solido sub, RS,SXZ. Ergo eiqi ui aequale erit. Quod ostendere OpuS erat . .
187쪽
SI in resiquis figuris homologis, EM, YZ, in
Schemate Lemmatis ant. supponantur ductae linear. OI, RS, eiusmcdi, quales fuerunt, LI, XS, idest constituentes figuras, IMO, SER in eandem partem cum, IL M, S X Z, deficientes; caeteris ma
nentibus. Rectangulum solidum sub figurisa LM, IMO, regula, LO,aequabitur rectangulo solido su S XL,SZR, regula, XR.
Hoc autem non aliter quam Lemma ant. probabitur. Namque per continuam bissectionem altitudinis solidi, H O, vi & in figura, I LM . iactum est , ipsi , IMO. circumscribemus , & inscribemus figuram ex parallel grammis , vel ijs homologis figuris , aequealtis compositami, sub quibus, & reliquis figuris componentibus circumstriptamό& inscriptam spatioό IL M, mente completis rectangulis solidis, ostendemus, ut in Lemmateant. rectangulo solidμ sub figuris, IL M, IMO, circumstria Wptani esse figuram , & aliam inscriptam , quam illa superat excessu minori dato solido, ut,-ho que mediante, ut supra, inscriptionem in rectangulo solido, sub ,.sZX,SZ R, prosequentes, 'stendemus Itactangulum solidum ia
188쪽
DEnique in eodem Schemate Lemmatis 1 q. &in figuris, ΚM,YZ ducantur linear, Mh, ZY,.quales fuerunt, IO,SR, hoc est constituentes figuras, IM h, s Z Y, in partes tamen oppostas deficientes ijs, in quas deficiunt, I ML,S LX. Dico, sippositis ijsdem regulis, rectangulum solidum sub figuris, IML, IMh, aequari rectangulo Blido sub , SEX,SZY.
Namque ex Lemmate I . rectangvIa solida sub , R M, IML, & sub, YZ, SZX, sunt aequalia. Similiter per Lemma ant. rectangula solida sub figuris, IM L, MO, ,& sub, SXZ, Z R T sunt aequalia, quia, M O X, Z R Y, deficiunt versus easdem partes,ΗΙΚ, ΠSY, versus quas deficiunt ipsae, IML,SZX. Ergo residuum ressingulum solidum sub,l LM, IMh, aequabitur residuo rectangulo solido sub , SM, STY. Sed ut omnis ambiguitatis locus austratur congruet hic rectangula solida clarius Lectori exhibere. Assumantur ergo ex Schemate Lemmatis Iq. tantum superficies, LO, XR, UM,
189쪽
G, MK, ZY, cum descriptis lineis, IL, SX, MK.ZY, cae cris omissis, de compleri intelligantur dicta solida , concuta entibus,ac,G,P,tribus cy lindraceis superficiebus, CL, GO, CI, tribus, MX, M H, M N, in s.lido, HO, oppositis r & tribus. PX, PR, PS, tribus, ZΥ, ΖΠ, ZT, insolido ,ΠR, pariter op- Usitis. Describct autem ex . gr. NO, latus cylindrici ipsam
superficiem cylindraceam, GNOh,dum concipietur mou eris per fixae,NO, a quidistantesimanente puncto, semper
in linea, Oh, donec perueniat in situm, Gh. Qua ratione &, GL, describetur ab, L N, &, GI, a, G H, vel, G λ. Eodem modo discedat recta aequalis ipsi, L N, ab ipsa, L N, mota semper ipsi, LN, a quidistanter, & manente semper puncto, L, in, Ll, quae describet superficiem cylindraceam, II NM&in superficie, GO, lineam, Nh . Similiter recta aequalis ipsi. LM, discedat ab , L M, cui stratur semper aequidistanter, describens superficiem cylindraceam, L LM, linea recta, L M,
iacente conclusam. Eodem vero modo intelligemus in alio
solido, Π R, descriptas praefatis respondentes superficies.
His peratas licet nodo intueri solida supficiebus, IN, NM,m, kNO, ILM; de , ST, TZ, ZY, YTR, SM,comprehensa, quae sunt rectangula selida subsu'fieiebus;OI, ILM, RS,
SX praenominatis contenta: traiectis enim quomodoc ut
que in ipsis planis basibus, LO, XIl, a quidistantibus, fient
in dictis superficiebus lineae parallelae lateribus ipsarum basium per citatam superius Prop. s. Lib. Primi Geo. Ind. &subinde fient i ectangula, quorum latera iacebunt in figuris, . OI, ILM; RS, SXZ, idcirco dicta solida continentibus . Est . autem itidum,lΚONLM, aequale solidis, II MMkLN OM, totum nempe omnibus suis partibus simul sumptis: vi& solidum SYRI XL, piae licto aeqtrale, pariter adaequa tui soludis, S XZY, YXTRZ. Est autem, λLNOM, aequale ipsi, YATRZ , per Lemma a1. nam haec sunt rectangilla solida subsuperficiebus,kNO, KOM, figuri sucin eandem partem dcficic nimii contenta; hoc enim, ut circa solida, lKONL M,S Y R TXZ, processimus, pariter ostendetur. hrgo rcliqua
190쪽
SZY, contenta, eodem modo, quo circa praefata lida idosici adinatis. Ergo rectangula solida sub figuris, ILM, MIK; bra, SE contenta inter se aequalia erunt.
Voniam vero in Lemmate 13. superiori parallelepip-- peda, ΗΟ,ΠR, supponiatur siue recta, siu8 quomodo-- ,cuq; cui LM; idcirco propositis duobus quibuscu-que rectangulis so dis aequealtis, in quorum unoquoque duae continentes superficies iuxta regulas bases quae sintreeta gula,ciusq; latera aequalia,& parallela seu in directum,
unum vni,di alterum alteri sint vel duo parallelogramma, siue rectilinea, siue curvilinea; vel una pacallelograminum, altera vero figura plana in alteram partem deficics; aut am. hae figura planae in casdem, v ci etiam in contrarias partes deficientes ; scu sint his homologae; manifestum est ex his quatuor proximis Lematibus ea inter se aequalia esse. Possumus enim semper figuras in alteram partem deficientes, leti his homologas, ita complere, ut sint parallelogratiam is, vel ijsdem homologis figuris inscriptae . Sicuti ex. gr. ipsae, II M, IMA , A Mo, parallelogrammis, vel iisdem homologis figur: s,HM,11 V, sunt inscriptae . Ex quo fit, ut& ipsis con
tuita recias uti solida parallesepippedis quoquc sue rectis,